第三章重积分及其应用第三节三重积分
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三重积分
∫∫∫ ( x2 + 5xy2 sin x2 + y2 )d x d y d z, 其中 Ω
Ω 由 z = 1 (x2 + y2 ), z = 1, z = 4围成. 2
解: I = ∫∫∫Ω x2 d x d y d z+ 5 ∫∫∫Ω xy2 sin x2 + y2 d x d y d z
利用对称性
∫∫ ∫ 记作 dxdy z2 (x, y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
z = z1(x, y)
y xD
dxd y 微元线密度≈ f (x, y, z) dxd y
1
例 1 化三重积分 I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz为三
Ω
次积分，其中积分区域Ω为由曲面 z = x2 + 2 y2
Ω
D
z1( x, y)
方法2. “先二后一”
∫∫∫Ω
f
(
x,
y,
z
)
d
v
=
∫b a
d
z
∫∫DZ
f (x, y, z)dxdy
方法3. “三次积分”
∫∫∫ ∫ ∫ ∫ f (x, y, z)d v = Ω
b
dx
y2 (x) d y
a
y1( x)
z2 (x, y) f (x, y, z)d z
z1( x, y)
z
1
o
1
x
y
1
例 3 化三重积分∫∫∫ y 1 − x2dxdydz为三次积分，其中 Ω
Ω 由曲面 y = − 1 − x2 − z2 ， x2 + z2 = 1， y = 1所围成.
第三节三重积分计算法
设M（x,y,z）为空间
z
一点，如果将x，y，z
改用另外三个数r，,z
来表示，则称（r, ,z） O r
为点M的柱面坐标。
x
M (x, y, z)
z
y
P(r, )
在xoy面上 r, 就是极坐标
由图可知柱面与直角坐标的关系是
x r cos
y
r
sin
(0 r ,0 2 , z )
且被积函数含有
x2 y2, y x
常用极柱坐标
2.球面坐标
由球面坐标与直角坐标的关系：
x r sin cos 0 r
y
r
sin
sin
z r cos
,
0
0 2
体积元素
三重积分在球面坐标系下的形式：
f (x, y, z)dv F(r,,)r2 sindrdd
其中 F(r,,) f (r sin cos, r sin cos, r cos)
4
所以 zdxdydz rdrd r2 zdz
D
2
2
4
d rdr zdz
0
0
r2
1
2
d
2 r(16 r2 )dr
20
0
1 2
2 [8r 2
r2 6
]02
64 3
例6 计算 I (x2 y2)dv 其中
由锥面x2 y2 z2 , x 0, y 0
和z a a 0所围成第一卦限 z z a
f (x, y, z)dv
球面方程：r a
2
d
d
a F(r,, )r2 sindr
0
0
0
一般地，空间区域 包含原点在其内
简介三重积分资料讲解
2020/7/30
三、计算xzdxdyd,z其中 是曲面z 0, z y, y 1, 以及抛物柱面y x2所围成的闭区域.
四、计算x2
1
y2
dv,其中是由六个顶点
A(1,0,0), B(1,1,0), C(1.1.2),D(2,0,0),
E(2,2,0),F(2,2,4)组成的三棱锥台.
0 1zd 0 1z z(1yz)dy
o
1
x
01z12(1z)2dz214.
y
1
2020/7/30
例5 计算三重积分 z2dxdyd,z
其中
:
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1.
z
Dz
o
y
解
czc
x
:
x2 y2
z2
Dz :a2 b2 1c2
z2dxdydz
c z2 d z
c
dxd y
Dz
1x2dxdz
x2z21
x1
1y
计算较繁! 采用“三次积分”较好.
2020/7/30
解
1x2z2y1
z
: 1x2z 1x2
1x1
1
o 1y
1
I
1x2dx1x2
1
dz
ydy x1
1
1x2 1x2z2
1
1x2dx1x2
x2z 1x2
1x2(x2zz33)|01x2
思考: dx 若被积函数为
则 三 重 积 分 f ( x , y , z )dxdydz 化 为 三 次 积 分 是
_______________________.
2、 若
是 由 曲 面 cz
xy (c
三、计算xzdxdyd,z其中 是曲面z 0, z y, y 1, 以及抛物柱面y x2所围成的闭区域.
四、计算x2
1
y2
dv,其中是由六个顶点
A(1,0,0), B(1,1,0), C(1.1.2),D(2,0,0),
E(2,2,0),F(2,2,4)组成的三棱锥台.
0 1zd 0 1z z(1yz)dy
o
1
x
01z12(1z)2dz214.
y
1
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例5 计算三重积分 z2dxdyd,z
其中
:
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1.
z
Dz
o
y
解
czc
x
:
x2 y2
z2
Dz :a2 b2 1c2
z2dxdydz
c z2 d z
c
dxd y
Dz
1x2dxdz
x2z21
x1
1y
计算较繁! 采用“三次积分”较好.
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解
1x2z2y1
z
: 1x2z 1x2
1x1
1
o 1y
1
I
1x2dx1x2
1
dz
ydy x1
1
1x2 1x2z2
1
1x2dx1x2
x2z 1x2
1x2(x2zz33)|01x2
思考: dx 若被积函数为
则 三 重 积 分 f ( x , y , z )dxdydz 化 为 三 次 积 分 是
_______________________.
2、 若
是 由 曲 面 cz
xy (c
第三节 三重积分
第三节 三重积分㈠本课的基本要求理解三重积分的概念，会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）㈡本课的重点、难点三重积分在直角坐标、柱面坐标中的计算为本课的重点、球面坐标中的计算为难点 ㈢教学内容一．三重积分的概念定积分及二重积分作为和的极限的概念，可以很自然地推广到三重积分。
定义 设),,(z y x f 是空间有界区域Ω上的有界函数。
将Ω任意分成n 个小闭区域n v v v ∆∆∆,,,21 ，其中i v ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的体积。
在每个i v ∆上任取一点),,(i i i ζηξ，作乘积),,2,1(),,(n i v f i i i i =∆ζηξ，并作和i i i i ni v f ∆∑=),,(1ζηξ。
如果当各小闭区域直径中的最大值λ趋于零时这和的极限总存在，则称此极限为函数),,(z y x f 在闭区域Ω上的三重积分。
记作⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(，即 ∑⎰⎰⎰-→Ω∆=n i i i i i v f dv z y x f 10),,(),,(lim ζηξλ ⑴其中dv 叫做体积元素。
在直角坐标系中，有dxdydz dv =，称dxdydz 叫做直角坐标系中的体积元素。
当函数),,(z y x f 在闭区域Ω上连续时，⑴式右端的和的极限必定存在，也就是函数),,(z y x f 在闭区域Ω上的三重积分必定存在。
以后我们总假定函数),,(z y x f 在闭区域Ω上是连续的。
关于二重积分的一些术语也可相应地用到三重积分上。
三重积分的性质也与二重积分的性质类似，请同学们自己对比写出。
如果),,(z y x f 表示某物体在点),,(z y x 处的密度，Ω是该物体所占有的空间闭区域，),,(z y x f 在Ω上连续，则三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(表示该物体的质量M 。
二．三重积分的计算计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次积分来计算。
0903三重积分-1
过点 ( x , y ) ∈ D 作直线 , 穿出． 从 z1 穿入 , 从 z2 穿出．
x
o
z1
z2 S 2
Ω
S1
z = z1 ( x , y )
D
( x, y)
y
Ω = {( x , y , z ) | z1 ( x , y ) ≤ z ≤ z2 ( x , y ), ( x , y ) ∈ D }.
Ω
1
1− x
1− x − y
0
z dz
z
1 1 1− x 2 = ∫0 dx ∫0 (1 − x − y ) dy 2
1
1 1 1 3 = ∫0 (1 − x ) dx = . 6 24
o
y
1
x
1
读题 计算三重积分∫∫∫ z2dxdydz,其中Ω是由椭球面
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
Ω
= 1(a, b, c > 0)所围成的空间有界闭区 . 域
Ω
Ω1
Ω2
性质4 性质4 三重积分的几何意义 : ◆计算 ∫∫∫ 1 ⋅ dv = ∫∫∫ dv = ? 的体积 . Ω
Ω Ω
性质5 比较性质: 性质5 比较性质: 若在Ω上, 有 f ( x , y , z ) ≤ g ( x , y , z ),
则有
∫∫∫ f ( x , y, z )dv ≤ ∫∫∫ g( x , y, z )dv .
1.先将 x , y 看作定值 , 将 f ( x , y , z )只看作 z 的函数 , 则 :
∫
z2 ( x , y ) f ( x , y , z )dz = F ( x , y ) → 面密度函数; z1 ( x , y )
x
o
z1
z2 S 2
Ω
S1
z = z1 ( x , y )
D
( x, y)
y
Ω = {( x , y , z ) | z1 ( x , y ) ≤ z ≤ z2 ( x , y ), ( x , y ) ∈ D }.
Ω
1
1− x
1− x − y
0
z dz
z
1 1 1− x 2 = ∫0 dx ∫0 (1 − x − y ) dy 2
1
1 1 1 3 = ∫0 (1 − x ) dx = . 6 24
o
y
1
x
1
读题 计算三重积分∫∫∫ z2dxdydz,其中Ω是由椭球面
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
Ω
= 1(a, b, c > 0)所围成的空间有界闭区 . 域
Ω
Ω1
Ω2
性质4 性质4 三重积分的几何意义 : ◆计算 ∫∫∫ 1 ⋅ dv = ∫∫∫ dv = ? 的体积 . Ω
Ω Ω
性质5 比较性质: 性质5 比较性质: 若在Ω上, 有 f ( x , y , z ) ≤ g ( x , y , z ),
则有
∫∫∫ f ( x , y, z )dv ≤ ∫∫∫ g( x , y, z )dv .
1.先将 x , y 看作定值 , 将 f ( x , y , z )只看作 z 的函数 , 则 :
∫
z2 ( x , y ) f ( x , y , z )dz = F ( x , y ) → 面密度函数; z1 ( x , y )
10.3三重积分
M =lim∑µ(ξi ,ηi ,ζi )∆vi
λ→0 i=1 =
n
∆vi
o x
(ξi ,ηi ,ζ i ) y
定义 设 f ( x, y, z)(( x, y, z)∈Ω) 若对 Ω 作任意分割: 任意分割: 任意取点 积和式” 极限 积和式”
lim∑ f (ξi ,ηi ,ζ i )∆vi
λ→0
n
i
)∆v i .
∫∫∫ f ( x, y, z )dv = lim ∑ f (ξ ,η , ζ λ
Ω →0 i =1 i i
n
i
)∆v i .
说明 (1) 在直角坐标系下常写作 dv = dxdydz. (2) 三重积分的性质与二重积分相似. 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 线性性质、对积分区域的可加性、比较性质、 线性性质、对积分区域的可加性、比较性质、 估值性质、中值定理，还有 估值性质、中值定理，
1
D xy o
y
= ∫ dx ∫
−1
1− x
2 2
− 1− x
dy ∫
2− x − y
2
2
x
x +y
2
2
f ( x , y , z )dz
方法2 方法2 截面法 (“先二后一”) (“先二后一 先二后一”
(1) 将Ω向 z 轴投影，得投影区间[c1 , c2 ].
z
(2) 任取z ∈ [c1 , c2 ]，过 z作平行于xoy坐标 z 面的平面去截Ω，得截面Dz c1 ( x , y ) ∈ Dz o 则 Ω c1 ≤ z ≤ c2 x
例2 化 ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz为三次积分，其中Ω为由
三重积分
D
(1 x 4 )dxdydz
解:考虑被积函数和y,z无关,先对y,z积分时把x看成常数.
积分区域 就变成圆 (y2+z2=a2→x2) dydz为圆面积.
D
(1 x )dxdydz dx 2
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
4
y z2 x
(1 x 4 )dydz 2
x3 x7 4 (1 x 4 ) x 2 dx [ ]2 2 3 7
0 0
1
x
2
(2)要把积分次序更换成先x后z再y.可按下列方案进行,第一步 把x和y交换,第二步再x和z交换
但这是错误的.一般说空间闭区域是由几个曲面围
成的,这些曲面的交线向同一坐标轴的投影,这些投影
曲线围成的区域就是空间闭区域向该坐标面的投影. F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0为曲面的交线从两个方程中 消去y,得到H(x,z)=0即是:0≤x≤1, 0≤z≤x+y y=0 y=1-x y=0 z=x+y y=1-x z=x+y 0≤y≤1-x,
1
1 x 2 2 0
上面的计算方法我们称为“投影法”.
“投影法”计算和后面的曲面积分的计算密切
相 关,所以我们要研究“投影法”.这种方法的关键 是 把空间区域Ω向坐标平面投影,如何求空间区域 向坐标面的投影区域?由于空间作图比较困难,再 利用区域Ω的图形去观察就容易出错.例如求空 间区域Ω:0≤x≤1, 0≤y≤1-x, 0≤z≤x+y 在 xoz平面上的投影区域,其图形为如下:从观察得
把f(x,y,z)看成z的函数,在区域
[z1(x,y),z2(x,y)]上对z积分.积分的结果是x,y的函数,记 作
多重积分
当积分区域是长方体的时候,三重积分的积分限最容 当积分区域是长方体的时候 三重积分的积分限最容 易安排
∫∫∫ g ( x, y, z)dV = ∫ dx ∫
Ω a
b
d
c
dy ∫ g ( x, y, z )dz
e
f
如果积分函数可分离变量g ( x, y, z ) = g1 ( x) g 2 ( y ) g 3 ( z )
二 .在直角坐标系中三重积 在直角坐标系中三重积 分的计算方法
三重积分可化为三次积分来计算,其方法可分成 三重积分可化为三次积分来计算 其方法可分成 两种,(1)先求一个定积分 然后求二重积分 两种 先求一个定积分,然后求二重积分 (2)先求 先求一个定积分 然后求二重积分. 先求 二重积分,再计算一个定积分 我们先介绍第一种方 二重积分 再计算一个定积分.我们先介绍第一种方 再计算一个定积分 法即先求一个定积分,然后求二重积分 法即先求一个定积分 然后求二重积分: 然后求二重积分 且假设平行于z轴且穿过闭区域 且假设平行于 轴且穿过闭区域 内部的直线与 闭区域的边界曲面S相交不多于两点 即 为简单区 闭区域的边界曲面 相交不多于两点,即 相交不多于两点 平面上,得到一平面闭区域 域,把闭区域 投影到xoy平面上 得到一平面闭区域 把闭区域 投影到 平面上 D,以D的边界为准线 作母线平行于 轴的柱面 以 的边界为准线 作母线平行于z轴的柱面 的边界为准线,作母线平行于 轴的柱面,
∑ ρ (ξ ,η , ς )∆V
i =1 i i i
n
i
如果当各小区域直径中最大值λ趋向零时这和式的 如果当各小区域直径中最大值 趋向零时这和式的 极限存在,则称此极限为函数 极限存在 则称此极限为函数f(x,y,z)在区域 上的 在区域 则称此极限为函数 三重积分,记作 三重积分 记作
第三节三重积分的计算方法
解 将 向 xoy 面作投影,则
: 0 x 1,0 y 1 x ,0 z 1 x 2y
2
1
1 x
1x2 y
xdxdydz 0 dx0 2 dy0 xdz
1
1 x
dx 2 x(1 x 2y)dy 00
1 1(x 2x2 x3)dx 1
40
48
计算三重积分时也要注意积分次序的选择
P
常数 过 z 轴的半平面
z 常数 平行于xoy面的平面
体积元素 dv rdrddz
这是因为: 如果用三组坐标面划分 ,大部分子域为小柱体, 近似看作长方体,则:
f (x, y, z)dv f (r cos , r sin , z)rdrddz
化成三次积分
前面例2 计算 zdxdydz
: 0 2 ,0 ,0 r R,
z2dv
2
d
d
R r 2 cos2 r 2 sin2 dr
0
0
0
R5
2
d
cos2 sin d
50
0
4 R5
15
例4 计算 x2dv 其中 由 z x2 y2 与 z R2 x2 y2 围成.
: 0 2 ,0 ,0 r R,
例2 计算 zdxdydz
其中 由 z x2 y2 及 z 4 围成
: 2 x 2, 4 x2 y 4 x2 , x2 y2 z 4,
zdxdydz
2
4x2
4
dx dy zdz
2 4x2
x2 y2
64
3
计算过程繁琐
能否把极坐标结合到空间坐标系内?
4 柱面坐标系
0
0
5
三重积分的计算及重积分的应用
三重积分的计算及重积分的应用三重积分是在三维空间中计算一些函数在一个有界区域内的体积的方法。
它是对二重积分的一种扩展，可以应用于多种问题中，包括物理、工程和数学等领域。
本文将从三重积分的计算方法开始，然后介绍一些三重积分的应用，以及如何解决这些应用问题。
一、三重积分的计算方法要计算三重积分，首先需要定义积分的坐标系和被积函数。
常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。
选择合适的坐标系可以简化计算过程。
被积函数通常是一个连续函数或分段连续函数，也可以是具有一些特殊性质的函数，如奇函数或偶函数。
在直角坐标系中，三重积分的一般形式为∭f(x,y,z)dV，其中f(x,y,z)是被积函数，dV表示元体积元素。
元体积元素可以表示为dx dy dz，也可以写成其他坐标系对应的形式。
根据积分的定义，三重积分可以分解为对三个变量的依次积分。
具体方法为，先对z进行积分，然后再对y进行积分，最后对x进行积分。
以直角坐标系为例，三重积分可以表示为∭f(x,y,z)dxdydz。
其中，积分范围为对每个变量的积分范围进行限定。
对被积函数的积分范围的限定可以通过对空间区域的几何性质进行分析得到。
常见的限定方式有矩形区域和曲线边界。
根据具体问题，可以采用不同的方法来确定积分限定条件。
计算三重积分时，可以选择适当的计算工具，如数值积分、符号计算软件或计算机程序，并利用计算机进行数值计算。
三重积分在许多领域都有广泛的应用。
以下将介绍几个常见的应用以及解决这些应用问题的方法。
1.计算物体体积三重积分可以用于计算复杂形状的物体的体积。
通过将物体分解为无穷小的体积元素，然后对每个体积元素进行积分，最后将所有体积元素的积分结果相加，就可以得到整个物体的体积。
例如，计算一个以球面为上下界的圆锥体的体积。
首先可以选择球坐标系，然后确定积分限定条件，如半径和角度范围。
然后将球坐标系下的体积元素转换为直角坐标系下的体积元素进行积分。
最后将所有体积元素的积分结果相加，即可得到圆锥体的体积。
三重积分的计算及重积分的应用
三重积分的计算及重积分的应用三重积分是多元函数积分中的一种，用于计算三维空间内的体积、质量、重心、转动惯量等物理量。
在实际应用中，三重积分可以用于求解物体的质心、转动惯量、力矩等问题，对于解决工程问题具有重要的应用价值。
一、三重积分的计算方法1.直接计算法直接计算法是指直接根据题目给出的积分区域及被积函数的表达式，逐步求解三个方向上的单重积分，然后相乘求和得到最终结果。
以计算空间区域内的体积为例，设被积函数为f(x,y,z)，积分区域为D。
则三重积分的计算公式为：V=∬∬∬_Df(x,y,z)dV其中dV表示体积元素，其表达式为：dV = dx dy dz通过逐步计算对应方向上的单重积分，并依次相乘求和，即可得到最终结果。
2.换元积分法换元积分法是指通过变换坐标系，使得原三重积分的积分区域变得简单，从而通过较简单的计算求解三重积分。
例如，对于柱坐标系下的三重积分计算，可以通过将空间直角坐标系(x,y,z)转换为柱坐标系(ρ,θ,z)，从而简化积分区域的描述。
然后，利用变量替换求解对应的柱坐标系下的三重积分。
1.质心的求解质心是物体在三维空间中的一个特殊点，对于均匀物体而言，质心位于其几何中心。
通过三重积分，可以求解复杂物体的质心位置。
设物体的质量密度函数为ρ(x,y,z)，则质心的坐标(x₀,y₀,z₀)可以通过以下公式计算得到：x₀=∬∬∬_Dxρ(x,y,z)dV/my₀=∬∬∬_Dyρ(x,y,z)dV/mz₀=∬∬∬_Dzρ(x,y,z)dV/m其中m表示物体的总质量，D表示物体的几何形状。
2.转动惯量的求解转动惯量是刻画物体对转动运动的惯性特征，通过三重积分可以求解物体的转动惯量。
设物体的质量密度函数为ρ(x,y,z)，则绕一些轴旋转的转动惯量I 可以通过以下公式计算得到：I=∬∬∬_D(y²+z²)ρ(x,y,z)dV3.力矩的求解力矩是物体受力后产生的力矩矩阵，通过三重积分可以计算物体受力后的力矩。
三重积分
故：
{( x, y, z ) | x 2 2 y 2 z 2 x 2 , ( x, y ) Dxy }
Dxy {( x , y ) | 1 x 2 y 1 x 2 , 1 x 1}
I 1 dx
1
1 x 2 1 x
x
o
P ( , )
y
z
3.柱面坐标系下的体积元素
d
d
dV d d dz ,
f ( x , y , z )dxdydz
dz
o
d
y
x
f ( cos , sin , z ) d d dz .
4.下列情形可考虑用柱面坐标： 1) 的投影区域 D 是圆域或圆域的一部分 ;
当 f ( x , y , z ) 关于
z 为奇函数时 , f ( x, y, z )dV 0 ; 当 f ( x , y , z ) 关于 z 为偶函数时 , f ( x, y, z )dV 2 f ( x , y, z )dV
1
其中 1 为 在 xoy 面上方的部分.
x 2 y 1, 1 x 1.
I
1
1
dx 2 dy
x
1
x2 y2
0
2xdz .
例4.设是由z x 2 y 2及z=h所围，将 I
.
f (x , y , z )dV 化为直角坐标下的三次积分。
例5.设是由平面x=0,y=0,z=0及x+y+z=1所围，将 I
二、利用直角坐标计算三重积分
8-3(1)三重积分
1 ∫∫ dxdy = 2(1 − z )(1 − z ) D 1 1 1 2 . 原式= ∫ z ⋅ (1 − z ) dz = 0 2 24
z
Dz
o
1
y
x
1
Dz的面积
22
解法2 解法2：
z
∫∫∫ zdxdydz = ∫0 zdz ∫0 dy ∫0
Ω
1
1− z
1− y − z
1
dx
o
y
= ∫0 zdz ∫0 (1 − y − z )dy
∑ µ(ξk ,ηk ,ζ k )∆vk
k=1
n
∆vk
(ξk ,ηk ,ζ k )
2
2、三重积分的定义
上的有界函数， 设 f ( x , y , z ) 是空间有界闭区域 Ω 上的有界函数， 将闭区域 Ω 任意分成 n个小闭区域 ∆v1， ∆v2 ,⋯, ∆v n ， 个小闭区域，也表示它的体积, 其中 ∆v i 表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积, 在每 个 ∆vi 上任取一点 (ξ i ,η i , ζ i ) 作乘积 f (ξ i ,η i , ζ i ) ⋅ ∆vi ， ( i = 1,2,⋯, n) ，并作和, 如果当各小闭区域的直径中 并作和, 趋近于零时，这和式的极限存在， 的最大值 λ 趋近于零时，这和式的极限存在，则称此 极限为函数 f ( x , y , z ) 在闭区域 Ω 上的三重积分， 上的三重积分， 三重积分 记为 ∫∫∫ f ( x , y , z )dv ,
(3)计算二重积分 ∫∫ f ( x , y , z )dxdy 计算二重积分
Dz
z
其结果为 z 的函数 F (z ) ； (4)最后计算单积分 ∫ F ( z )dz 即得三重积分值 最后计算单积分 即得三重积分值.
z
Dz
o
1
y
x
1
Dz的面积
22
解法2 解法2：
z
∫∫∫ zdxdydz = ∫0 zdz ∫0 dy ∫0
Ω
1
1− z
1− y − z
1
dx
o
y
= ∫0 zdz ∫0 (1 − y − z )dy
∑ µ(ξk ,ηk ,ζ k )∆vk
k=1
n
∆vk
(ξk ,ηk ,ζ k )
2
2、三重积分的定义
上的有界函数， 设 f ( x , y , z ) 是空间有界闭区域 Ω 上的有界函数， 将闭区域 Ω 任意分成 n个小闭区域 ∆v1， ∆v2 ,⋯, ∆v n ， 个小闭区域，也表示它的体积, 其中 ∆v i 表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积, 在每 个 ∆vi 上任取一点 (ξ i ,η i , ζ i ) 作乘积 f (ξ i ,η i , ζ i ) ⋅ ∆vi ， ( i = 1,2,⋯, n) ，并作和, 如果当各小闭区域的直径中 并作和, 趋近于零时，这和式的极限存在， 的最大值 λ 趋近于零时，这和式的极限存在，则称此 极限为函数 f ( x , y , z ) 在闭区域 Ω 上的三重积分， 上的三重积分， 三重积分 记为 ∫∫∫ f ( x , y , z )dv ,
(3)计算二重积分 ∫∫ f ( x , y , z )dxdy 计算二重积分
Dz
z
其结果为 z 的函数 F (z ) ； (4)最后计算单积分 ∫ F ( z )dz 即得三重积分值 最后计算单积分 即得三重积分值.
第三节 三重积分
第三节 三重积分
一、三重积分的概念 三重积分的概念 二、三重积分的计算 1.直角直角坐标系下 直角直角坐标系下 直角 2.柱坐标下计算三重积分 柱坐标下计算三重积分 3.球坐标下计算三重积分 球坐标下计算三重积分
第十章
1
一、三重积分的概念
引例: 引例 设在空间有限闭区域 Ω 内分布着某种不均匀的 物质, 物质 密度函数为 µ( x, y, z) ∈C,求分布在 Ω 内的物质的 质量 M . 解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 解决方法 类似二重积分解决问题的思想 采用 “大化小 常代变 近似和 求极限” 大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 大化小 可得 Ω
a
b
DZ
f ( x, y, z)dxdy
z2 ( x, y)
方法3. 三次积分 三次积分” 方法 “三次积分”
= ∫ d x∫
a
b
y2 ( x)
y1 ( x)
d y∫
z1 ( x, y)
f ( x, y, z)d z
三种方法(包含 种形式 各有特点, 三种方法 包含12种形式 各有特点 具体计算时应根据 包含 种形式)各有特点 被积函数及积分域的特点灵活选择. 被积函数及积分域的特点灵活选择
D
1
z2 ( x , y )
Ω
z1(x,y)
M
0
. .
y
D
x
P
10
2.计算三重积分 2.计算三重积分
I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz
Ω
积分区域是曲顶柱体
z
z2(x,y)
Ω为图示曲顶柱体
I =∫∫ dxdy∫z ( x , y ) f ( x , y , z )dz
一、三重积分的概念 三重积分的概念 二、三重积分的计算 1.直角直角坐标系下 直角直角坐标系下 直角 2.柱坐标下计算三重积分 柱坐标下计算三重积分 3.球坐标下计算三重积分 球坐标下计算三重积分
第十章
1
一、三重积分的概念
引例: 引例 设在空间有限闭区域 Ω 内分布着某种不均匀的 物质, 物质 密度函数为 µ( x, y, z) ∈C,求分布在 Ω 内的物质的 质量 M . 解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 解决方法 类似二重积分解决问题的思想 采用 “大化小 常代变 近似和 求极限” 大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 大化小 可得 Ω
a
b
DZ
f ( x, y, z)dxdy
z2 ( x, y)
方法3. 三次积分 三次积分” 方法 “三次积分”
= ∫ d x∫
a
b
y2 ( x)
y1 ( x)
d y∫
z1 ( x, y)
f ( x, y, z)d z
三种方法(包含 种形式 各有特点, 三种方法 包含12种形式 各有特点 具体计算时应根据 包含 种形式)各有特点 被积函数及积分域的特点灵活选择. 被积函数及积分域的特点灵活选择
D
1
z2 ( x , y )
Ω
z1(x,y)
M
0
. .
y
D
x
P
10
2.计算三重积分 2.计算三重积分
I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz
Ω
积分区域是曲顶柱体
z
z2(x,y)
Ω为图示曲顶柱体
I =∫∫ dxdy∫z ( x , y ) f ( x , y , z )dz
第三章 重积分及其应用 第三节 三重积分
z
z
z 1
x y
2
2
1
2
z dz
4
31 5
o
y
- 13 -
x
第三节
三重积分
三
重积分在柱坐标系下计算
3
设 M ( x , y , z ) R , 将 x , y用极坐标 , 代替, 则 , , z ) （
第 就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系: 九 章 0 x cos z 0 2 重 y sin 积 ( ) z zz 分 M ( x, y, z ) z 及 其 坐标面分别为 应 用 圆柱面 常数 o y 常数 半平面 ( x , y ,0) x 平面 z 常数
解: 在柱面坐标系下 : 0 2 cos
2 cos
原式
z
2
d d d z
o
y
0
2
d
2
0
2 cos
d
2
0 zdz
8 9 a
3
a
x
y
z0
4a 3
2
2 cos
x
0
cos d
3
o
- 17 -
第三节
三重积分
y
y z 1
z
1
0 dz 1 1 z dy 0 2 2
f ( x , y , z ) dx
y
1 2
1 2
z
y 1 z
o
- 10 -
三重积分计算
方法2 . 截面法 (“先重后单”)
方法3 . 三次积分法 最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
机动
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结束
方法1. 投影法 (“先单后重” ) z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ) : ( x, y ) D 细长柱体微元的质量为
z2 ( x, y ) f ( x , y , z ) d z z ( x, y ) d xd y 1 该物体的质量为
z D z c z
a
2
c z c
解: :
by
x y z Dz : 2 2 1 2 a b c
2
2
2
x
用“先重后单 ”
z
d xd yd z
c
c 2 z dz c
D d x d y
z
2 4 z 2 2 z ab(1 2 )d z abc 3 c 15 c
机动
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返重积分的换元积分公式:
f ( x, y, z ) d xd yd z * F (u, v, w) J
( x , y , z ) 对应雅可比行列式为 J (u , v, w)
dudvdw
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z z2 ( x, y )
z
z z1 ( x, y )
f ( x, y, z ) d v z ( x, y ) f ( x , y , z ) d z d xd y D z ( x, y )
2 1
x
D
y
d xd y
三重积分
机动 目录 上页 下页 返回 结束
面及平面 x 2 y z 1 所围成的闭区域 .
例1. 计算三重积分 xd xd yd z , 其中 为三个坐标
0 z 1 x 2y 解: : 0 y 1 (1 x) 2 0 x 1
z
1
1 2
x d x d y d z
k 1
n
记作
f ( x, y, z)dv
若存在, 则称此极限为函数 f ( x, y, z ) 在上的三重积分. dv 称为体积元素, 在空间直角坐标系下常写作 dxd ydz.
物理意义：
M lim ( k ,k , k )vk x, y, z dv 0
2
2 h
z
h
z
2
4
x x 2 y 2 4h 2 h
o
y
dv d d d z
3. 利用球面坐标计算三重积分
1、 设 M ( x, y, z ) R 3 ,其柱面坐标为 ( , , z ),令 OM r , ZOM , 则(r , , ) 称为点M 的球面坐标. z
x r sin
由直角坐标与球面坐标的关系:
x rsin cos y r sin sin
r sin d
d
z
dr
z r cos
r
rd
o x
2、 在球面坐标系中体积元素为
d
y
dv rd r sin d dr 2 r sin d r d d 因此有:
z z2 ( x, y )
z
z z1 ( x, y )
面及平面 x 2 y z 1 所围成的闭区域 .
例1. 计算三重积分 xd xd yd z , 其中 为三个坐标
0 z 1 x 2y 解: : 0 y 1 (1 x) 2 0 x 1
z
1
1 2
x d x d y d z
k 1
n
记作
f ( x, y, z)dv
若存在, 则称此极限为函数 f ( x, y, z ) 在上的三重积分. dv 称为体积元素, 在空间直角坐标系下常写作 dxd ydz.
物理意义：
M lim ( k ,k , k )vk x, y, z dv 0
2
2 h
z
h
z
2
4
x x 2 y 2 4h 2 h
o
y
dv d d d z
3. 利用球面坐标计算三重积分
1、 设 M ( x, y, z ) R 3 ,其柱面坐标为 ( , , z ),令 OM r , ZOM , 则(r , , ) 称为点M 的球面坐标. z
x r sin
由直角坐标与球面坐标的关系:
x rsin cos y r sin sin
r sin d
d
z
dr
z r cos
r
rd
o x
2、 在球面坐标系中体积元素为
d
y
dv rd r sin d dr 2 r sin d r d d 因此有:
z z2 ( x, y )
z
z z1 ( x, y )
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九 章
区域为
D(z),
则
z D(z)
重
c
积 分 及
f(x,y,z)dxdydz
d
o x
y
其 应 用
dz f(x, y,z)dxdy
c D(z)
先重后定
- 12 -
第三节 三重积分
例4 计算三重积分z2dxdyd,z其中是由曲面
zx2y2,z1,z2围成的闭区域。
第 解 介于平面 z1,
z
九 章
2 x2 y2
dy
fdz
1
1 x2
x2 y2
1
z2 x 2 y2 x2 y2 1 z 1
z x 2 y2
o
y
y
y 1 x2
o
1x
y 1x2
- 11 -
第三节 三重积分
如果区域 落在平面 z c ,z d (d c )之间，对任
z
意固定的 z[c,d],相应的平行于
d
第 xoy面的平面截 所得的平面
第三节 三重积分
第三节 三重积分
第 一 三重积分的概念
九
章 二 三重积分在直角坐标系下计算
重
积
分 及
三
重积分在柱坐标系下计算
其
应 用
四
三重积分在球坐标系下计算
-1-
第三节 三重积分
一 三重积分的概念
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀
第 九
的物质,
密度函数为
(x,y,z) C ,求分布在
•
第 九
dxdy
z2(x,
y)
f(x ,y ,z)dz
D xy
z1(x,y)
章 重 积
分 特别如果
及
先定后重
•
o
zz1(x,y)
y
x
• D xy (x, y)
其 应 用
Dxy: ay1(xx) byy2(x)
b
f(x, y,z)dxdy dz dx
y2 ( x ) dy
z2(x,y)f(x,y,z)dz
重
0x1
积 分
xdxdydz
o y
及 其 应 用
1
xdx
d 12(1 x) y
1x2 y
dz
0
0
0
1xdx1 2(1x)(1x2y)dy
0
0
x
z0
y y 1(1 x) 2
11(x2x2x3)dx 1
40
48
o
1x
-7-
第三节 三重积分
例2 计算三重积分 xzdxdyd,z 其中是由
a
y1 ( x )
z1(x,y)
-5-
第三节 三重积分
同理如果 : (yx1(,zx), z)D xyzy2(x,z)z yy1(x,z)
第 九 章
f(x,y,z)dxdydz
D xz
重 积 分
dxdz y2(x,z)f(x,y,z)dy
Dxz
y1(x,z)
o
及 其 应 用
: (xy1(,zy), z)D yxzx2(y,z)
9
1
-8-
第三节 三重积分
例3 化三重积分f(x,y,z)dxdyd为z直角坐标下
的三次积分。
z
第 1） 是由曲面 y0,y x
九
章 z0 ,xz 1围成
z1x
重 积 分
0z 1x
解
:
0y
x
及 其
0x1
应
用 f(x,y,z)dxdydz
o
y0
x
z0
y
y x
y
y x
1 dx
x
dy
1x
f(x,y,z)dz
z2之间，对于
z[1,2]
重 相应 的截面 D ( z ) 为区域
积 分
x2y2z2.
z
及
其 应 用
z2dxdydz12 dz z2dxdy
D(z)
2z4dz 31
1
5
o x
z2 z x 2 y2 z1
y
- 13 -
第三节 三重积分
三 重积分在柱坐标系下计算
x
yy2(x,z)
y
f(x,y,z)dxdy dz dydz x2(y,z)f(x,y,z)dx
D yz
x1(y,z)
-6-
第三节 三重积分
例1. 计算三重积分xdxdydz, 其中 为三个坐标
面及平面
x2yz1所围成的闭区域
.
第
0 z 1 x 2 y
九 章
解:: 0y1 2(1x)
z z1x2y
0
1 z
1 1 z dy
22
12yz
1
3 0
f(x,y,z)dx
y
1
1
z
22
y1z
o
y
- 10 -
第三节 三重积分
2）是由 z2x2y2, z x2y2 围成的区域。
z
x 2y2z2x 2y2
第 九
解
:
1x2y1x2
章
1x1
重
积
分
及 其
f(x,y,z)dxdydz
x
应
用
1 dx
1 x2
(x,y)Dxy,相应的平行于
z轴的
o
•
其 应
直线落在
部分的质量
x
• D xy (x, y)
用
F(x,y)z2(x,
y)
f(x,y,z)dz
z1(x,y)
zz1(x,y) y
因此 的总质量为 F(x, y)dxdy, 从而
Dxy -4-
第三节 三重积分
f(x,y,z)dxdydz
z
zz2(x,y)
体积, 则存在 (,,) ,使得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f(x,y,z)dv f(,,)V
-3-
第三节 三重积分
二 三重积分在直角坐标系下计算
设
z 1 ( x ,y ) z z 2 ( x ,y )
z
zz2(x,y)
第 九
(x,y)Dxy
•
章 如果将被积函数 f(x,y,z)看成
重 积
的体密度函数，则对任意固定
分 及
内的物质
章 的质量 M .
重 积
解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用
分 及
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
其 应
可得
用
n
Mlim 0 k 1
(k,k, k) v k
vk
(k,k,k)
-2-
第三节 三重积分
定义. 设 f(x,y,z)在有界闭区域 上有界，若对
作任意分割: v k (k 1 ,2 , ,n )任,意取点 (k,k,k)
曲面 xy2 ,x 1 ,z 0 ,zx围成的空间区域。
第
0zx
zx
九 章
解
:
y2 x1
o
重 积 分
1y1
x1 x
y x y2
及
其 应
1
1
x
xzdxdydz dy xdx zdz
1
y2
0
z0
y
1
用
1
1
dy
1 x3dx
2 1
y2
x y2
o
x1
x
1 1 (1y8)dy 2
8 1
vk, 下列“乘积和式” 极
第 九 章
限l im 0kn1f(k,k,k)vk记作
f(x,y,z)dv
重 存在, 则称此极限为函数 f(x,y,z)在上的三重积分.
积 分
dv
称为体积元素,
在直角坐标系下常写作
dxdydz.
及 其
性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如
应 用
中值定理. 设f(x,y,z)在有界闭域 上连续, V 为 的
0
0
0
o
-9-
1x
第三节 三重积分
2）由 x0, zz00,, yyzz1 1,,22y yzz1 1,,3 x 2y 3 z3 x
围成的区域
第
0x12 3yz
九 章
解
:
1 21 2zy1z
重
0z1
z0
积
分
2yz1 x
1
2
y
z
3
o
z
及
其 应 用
f(x,y,z)dxdydz
y
yz 1
z
x0
1 dz