微分方程建模方法
微分方程的建模与解析解法
微分方程的建模与解析解法一、引言微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域的建模与分析问题中。
本文将介绍微分方程的建模过程，以及常见的解析解法。
二、微分方程的建模微分方程的建模通过描述问题中的变量与变量之间的关系来进行。
具体步骤如下：1. 了解问题：详细了解问题的背景和要解决的具体内容。
2. 确定变量：确定与问题相关的变量，归纳出关键变量和依赖变量。
3. 建立关系：根据问题的特点和变量之间的关系，建立微分方程。
4. 添加初始条件：在微分方程中添加相关的初始条件，这些条件旨在确定方程的具体解。
三、常见的微分方程解析解法微分方程的解析解是通过数学方法求出的解，可以明确地表示出问题的解决方案。
以下是常见的解析解法：1. 可分离变量法：对于形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶微分方程，可以将x和y分离到方程的两边，然后分别进行积分求解。
2. 齐次方程法：对于形如dy/dx=f(x/y)的一阶微分方程，可以进行变量代换将其化为可分离变量形式的方程。
3. 线性微分方程法：对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶线性微分方程，可以利用积分因子法求解。
4. 变量替换法：对于一些复杂的微分方程，通过适当的变量替换，可以将其化简为已知解法形式的微分方程来求解。
5. 求和法和积分法：对于高阶线性微分方程，可以通过求和法和积分法来求解特解，然后利用线性微分方程的叠加原理求得整个方程的解。
四、举例与实践为了更好地理解微分方程的建模与解析解法，我们来看一个具体的例子。
假设有一水槽中的水高度随时间变化的问题，可以建立如下微分方程：dh/dt = -k * sqrt(h)其中，h是水槽中的水高度，t是时间，k是一个常数。
使用可分离变量法，我们可以将此微分方程分离变量并进行求解：(1/√h)dh = -kdt对两边同时进行积分，得到：2√h = -kt + C1其中C1是积分常数。
通过一系列代数变换，我们可以求出水槽中水的高度h关于时间t的解析解：h = ((-kt + C1)/2)^2这个解析解可以明确地描述出水槽中水的高度随时间变化的规律。
数学建模的微分方程方法
数学建模的微分方程方法数学建模是将现实问题抽象化为数学问题并运用数学方法来解决的过程。
微分方程方法是一种常用的数学建模方法，可以描述问题中的变化过程和规律。
下面将介绍微分方程方法在数学建模中的应用。
微分方程是描述自变量与其之间的关系的方程，其中自变量通常表示时间或空间。
微分方程方法通过建立适当的微分方程来描述问题中的变化过程，然后利用数学工具来求解这些微分方程，从而得到问题的解析解或数值解。
微分方程方法在数学建模中的应用非常广泛。
例如，经典的弹簧振子问题可以通过建立二阶线性常微分方程来描述。
通过求解该微分方程，可以得到弹簧振子的运动规律，从而预测其位置和速度随时间的变化。
微分方程方法还可以用来描述人口增长、化学反应、电路等问题。
人口增长问题可以通过建立一阶常微分方程来描述，从而得到人口数量随时间的变化规律。
化学反应可以通过建立化学动力学方程来描述，从而预测反应速率随时间和反应物浓度的变化。
电路问题可以通过建立电路方程来描述，从而预测电流和电压随时间的变化。
在数学建模中，常常需要求解一类特殊的微分方程，即边值问题。
边值问题是指在一定边界条件下求解微分方程的解。
例如，热传导问题可以通过建立热传导方程和适当的边界条件来描述。
通过求解这个边值问题，可以得到在不同边界条件下的温度分布。
微分方程方法还与其他数学建模方法相结合，如优化方法、概率统计方法等。
例如，最优化问题可以通过建立约束条件下的微分方程来描述，从而求解最优解。
概率统计问题可以通过建立随机微分方程来描述，从而分析问题中的随机性和不确定性。
在实际建模中，常常会遇到复杂的问题和非线性的微分方程。
对于这些问题，常常需要借助数值方法来求解。
数值方法通过将微分方程离散化为差分方程，然后利用计算机进行数值计算，从而得到问题的数值解。
常用的数值方法包括欧拉法、龙格-库塔法、有限差分法、有限元法等。
总之，微分方程方法是数学建模中常用的方法之一，可以描述变化过程和规律，并通过数学分析和数值计算来求解。
微分方程建模基本方法
容器内含盐量为
x x (t )
,
x ( 0 ) 10
到
t dt
容器中的含盐量的改变量为
dx x 100 t 2 dt
dx
即
x x (t )
满足的微分方程为
2x dx 100 t dt x ( 0 ) 10
解之得
x 10
5 2
(100 t )
1 y'
这是不显含
的二阶微分方程，并有初值条件：
，y ( 0 ) 0
y (0 ) 0
解此初值问题，可得导弹运行的曲线方程为
y 5 8
4
(1 x )
5
5 12
6
(1 x )
5
5 24
当
x 1
时
y
5 24
，即当乙舰航行到点 (1 , 5 /24 )
处时被导弹击中。
解 设导弹的轨迹曲线为
导弹位于点
P ( x, y)
y y ( x ) ，并设经过时间 t
，乙舰位于点 Q (1, v t ) 。
0
由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线PQ就是导弹 的轨迹曲线弧OP在点P处的切线，即有
y' v0t y 1 x
亦即
v 0 t (1 x ) y ' y
（三）模拟近似法
例3 （给药方案）
给药方案：每次注射剂量多大，间隔时间多长
一室模型：将整个肌体看作一个房室，称中心室， 室内的血液浓度是均匀的。 问题：
设所研究药物的最小有效浓度 c
1
10
，最大治疗
浓度
c 2 25 ( g / ml )
微分方程模型的建立与求解
微分方程模型的建立与求解微分方程是自然界中许多现象的数学描述，通过建立微分方程模型可以更好地理解和预测各种现象。
本文将介绍微分方程模型的建立与求解方法。
一、微分方程模型的建立微分方程通常用来描述系统内部的变化规律，要建立微分方程模型，首先需要根据具体问题分析系统的特点，确定影响系统变化的因素，并建立相关的数学表达式。
以一个简单的弹簧振子系统为例，假设弹簧的位移为x(t)，弹簧的弹性系数为k，质量为m，外力为f(t)，则可以建立微分方程模型：$$ m\\frac{{d^2x}}{{dt^2}} + kx = f(t) $$二、微分方程模型的求解1. 解析解法对于一些简单的微分方程，可以通过解析的方法求解。
例如，对于一阶线性微分方程：$$ \\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x) $$可以通过积分因子的方法求解。
2. 数值解法对于复杂的微分方程或无法求得解析解的情况，可以借助数值方法进行求解。
常用的数值解法包括欧拉方法、龙格-库塔法等，通过逐步迭代逼近真实解。
3. 计算机模拟借助计算机编程，可以通过数值方法对微分方程进行求解，这在实际工程和科学研究中非常常见。
利用计算机程序，可以模拟出系统的运行状态，观察系统的响应特性。
三、实例分析以简单的振动系统为例，通过建立微分方程模型并利用数值方法进行求解，可以分析系统的振动特性。
通过调节参数值，可以观察到系统振动的变化规律，为系统设计和控制提供重要参考。
结论微分方程模型的建立与求解是数学建模中的重要一环，通过适当的模型建立和求解方法，可以更好地了解和预测系统的行为。
在实际应用中，需要综合运用解析方法、数值方法和计算机模拟，以全面分析和解决问题。
以上是关于微分方程模型的建立与求解的介绍，希望对读者有所帮助。
微分方程方法建模概述及举例
微分方程方法建模概述及举例微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，特别是自然科学和工程学科中的建模问题。
本文将概述微分方程方法建模的基本思路，并通过举例说明其在实际问题中的应用。
1.问题抽象化：首先需要将实际问题抽象成一个或一组微分方程。
通过观察问题的物理过程和规律，了解问题中的变量、因果关系以及其演化过程。
将这些信息用数学语言表示出来，通常是通过建立数学模型来描述问题。
2.建立微分方程：基于问题的抽象化模型，我们可以建立相应的微分方程。
根据物理规律和描述问题演化的数学关系，确定方程中的变量、常数和系数。
对于复杂问题，可能需要引入附加的假设和近似，以简化问题求解。
3.求解微分方程：通过求解微分方程，可以得到问题的数学解。
求解方法包括解析解和数值解两种。
解析解通常是通过变量分离、常数变易、积分变换等方法，求得方程的具体解析形式。
数值解则是通过数值计算方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，近似计算出微分方程的解。
4.模型验证和分析：将求得的数学解与实际问题进行比较和分析，验证模型的有效性和准确性。
通过对模型进行敏感性分析和参数优化，对模型进行改进和完善。
现在我们来通过两个实际问题的建模例子，进一步说明微分方程方法的应用。
1.指数增长模型问题：假设一个生物种群遵循指数增长规律，种群数量在一段时间内以固定比率增加。
已知在初始时刻，种群数量为100只，经过3个小时后，种群数量增加到了1000只。
求解该问题。
解答：我们可以建立如下的微分方程模型:dy/dt = k * y其中，y表示种群数量，t表示时间，k为增长率。
根据已知条件，当t=0时，y=100；当t=3时，y=1000。
将这些条件代入微分方程，就可以求解得到k的值。
然后再根据k的值，求解出种群数量y随时间t的变化。
2.弹簧振动模型问题：一个弹簧系统在无外力作用下，其振动满足以下微分方程：m* d^2y/dt^2 = -k * y，其中m为弹簧的质量，k为弹簧的劲度系数。
微分方程模型(数学建模)
3
2019年1月8日
开普勒三大定律：
《数学的实践与认识》 2005.12
• 太阳系每一颗行星的轨道皆以太阳为一 焦点的椭圆;
• 行星的向径在单位时间扫过的面积是一 个常数；
• 行星运动周期之平方与平均距离之立方 成正比。
4
2019年1月8日
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段 • 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
5 2019年1月8日
微分 方程 建模
一、微分方程建模的思想和方法
当我们用微观的眼光观察实际问题时一般遵循如下的模式
净变化率=输入率-输出率
（1）根据已知规律：利用数学、物理、力学、化学等经 过实践检验的规律和定理； （2）利用微元法 （3）利用模拟近似法：在社会科学、生物学、医学、经 济学的学科中一些现象的规律性我们不太清楚，需要在不 同的假设下去模拟实际现象。如此建立的模型从数学上求 解或分析后再与实际对比，观察看这个模型是否能够模拟、 近似这些现象。
现代战争的特点是多兵种的协同作战，根据不 同兵种的特点,在不同的区域参加战斗，都对战争的 结果产生一定的影响．
20 2019年1月8日
战争的预测与评估问题
１．问题的提出 现在要求建立数学模型讨论的问题： (1) 分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多 因素之间的相互关系进行讨论； (2) 在多兵种的作战条件下，对作战双方的战 势进行评估分析. （3）分析研究作战双方的兵力消耗，并预测初 始总兵力和战斗力变化对作战结果的影响。
微分方程建模方法
建立微分方程模型的方过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
（2）微元分析法
利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系 式，与第一种方法不同的是对微元而不是直 接对函数及其导数应用规律。
（3）模拟近似法
在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象 的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复 杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现 象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从 数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再 去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模 拟某些实际现象。
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程. • 分析对象特征的变化规律. • 预报对象特征的未来性态. • 研究控制对象特征的手段.
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数. • 根据建模目的和问题分析作出简化假设. • 按照内在规律或用类比法建立微分方程.
微分方程建模
在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化 率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分 方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关 系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
微分方程方法建模
微分方程方法建模微分方程方法是数学中一种重要的建模方法，通过将实际问题抽象为微分方程，再进行求解，可以得到问题的解析解或数值解。
微分方程方法建模的过程通常包括问题的建立、方程的确定、初值条件的确定、求解方程、结果的分析和验证等步骤。
首先，问题的建立是微分方程方法建模的首要步骤。
在问题建立过程中，我们需要仔细分析问题，确定出其中的关键因素和变量，并找出它们之间的关系。
例如，可以考虑一个简单的生长模型，假设一个细菌种群的数量随时间的变化。
在这个问题中，关键因素是细菌的增长速率和死亡速率，变量是时间和细菌数量。
我们可以用微分方程来描述这个模型，令N(t)表示时间t时刻的细菌种群数量，则细菌种群数量随时间的变化满足微分方程dN/dt = rN - cN，其中r是细菌增长速率，c是细菌死亡速率。
确定微分方程是建立模型的核心工作。
通常情况下，微分方程可以由物理定律或经验公式导出，也可以根据问题的特点进行假设推导。
在确定微分方程的过程中，需要考虑到问题的实际情况，确定问题的边界条件和约束条件。
例如，在考虑一个容器中的流体流动问题时，可以利用质量守恒和动量守恒定律导出流体的运动方程，然后根据容器的几何形状和边界条件确定相应的边界条件。
确定微分方程后，还需要确定初值条件。
初值条件是微分方程问题的额外信息，通过初值条件我们可以确定方程的特定解。
初值条件可以是方程在一些特定时刻的解，也可以是方程在一些特定点的解。
例如，在考虑细菌生长模型时，我们可以通过实验测得初始时刻的细菌数量N0，则细菌生长模型的初值条件为N(0)=N0。
求解微分方程是微分方程方法建模的核心内容。
微分方程的求解可以分为解析解和数值解两种方法。
解析解是指能够用解析表达式表示出的方程解，它们可以通过分离变量、常数变易和变量替换等方法求解。
数值解则是通过数值计算方法得到的逼近解，常见的数值方法有欧拉法、改进的欧拉法、四阶龙格-库塔法等。
在实际建模中，求解微分方程时往往会根据问题的复杂程度和需求选择合适的求解方法。
微分方程建模方法
微分方程建模方法微分方程建模是数学建模中的一个重要分支。
它通过建立描述现象的微分方程模型，利用数学工具和方法来研究和解决与该现象相关的问题。
微分方程建模的步骤包括确定问题、建立模型、求解模型和验证模型。
本文将详细介绍微分方程建模的方法。
经验模型法是一种基于已有经验和实验数据的建模方法。
它根据实验数据的分析和总结，通过适当的函数拟合和参数调整，建立与实际问题相吻合的微分方程模型。
经验模型法的优点是简单直观，适用于较为简单和复杂程度较低的问题。
例如，考虑一个物体在空气中的自由下落问题。
经验发现，物体受到的空气阻力与速度成正比，可以建立微分方程模型：$$\frac{{d^2x}}{{dt^2}}=g-\frac{{kv^2}}{{m}}$$其中，$x$为物体的位移，$t$为时间，$m$为物体的质量，$v$为物体的速度，$k$为与物体形状和空气性质有关的常数，$g$为重力加速度。
这个模型可以进一步求解，得到物体的速度和位移随时间的变化规律。
理论模型法是一种基于物理规律和数学原理的建模方法。
它通过对问题的深入理解，运用物理学原理、工程学原理和其他学科的知识，建立与实际问题相对应的微分方程模型。
理论模型法的优点是准确性高，适用于复杂和精密度较高的问题。
例如，考虑一个物体在弹簧中的振动问题。
根据胡克定律，在弹簧恢复力和物体质量、加速度之间建立微分方程模型：$$m\frac{{d^2x}}{{dt^2}}=-kx$$其中，$x$为物体的位移，$t$为时间，$m$为物体的质量，$k$为弹簧的劲度系数。
这个模型可以求解得到物体的振动规律。
解析解法是指通过数学方法求解微分方程模型的解。
对于一些简单和常见的微分方程，可以通过积分、分离变量、变量替换等方法求得其解析解。
解析解法的优点是求解结果准确、精确，可以提供深入理解问题的信息。
但对于复杂和非线性的微分方程，往往难以求得解析解，需要借助数值方法。
数值解法是指通过数学计算机计算求解微分方程模型的解。
一阶微分方程及其建模方法课件
微分方程的解为 ( y x)2 Cy( y 2x)3 .
3、一阶线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x) 0, 上方程称为非齐次的.
例如 dy y x2 , dx x sin t t 2 , 线性的;
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之. 分类2:
一阶微分方程 F ( x, y, y) 0, y f ( x, y);
高阶(n)微分方程 F ( x, y, y,, y(n) ) 0, y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
分类3: 线性与非线性微分方程.
( x ux cos u)dx x cos u(udx xdu) 0,
cos udu dx , sin u ln x C, x
微分方程的解为 sin y ln x C . x
例2
求解微分方程
x2
dx xy
y2
dy 2y2
. xy
解
dy dx
2y2 x2 xy
xy y2
g( y)dy f ( x)dx 可分离变量的微分方程.
例如 dy
4
2x2 y5
4
y 5dy
2 x2dx,
dx
解法 设函数g( y)和 f ( x)是连续的,
g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
设函数G( y)和F ( x)是依次为g( y) 和 f ( x) 的原函
数, G( y) F ( x) C 为微分方程的解.
dx
dt
yy 2xy 3, y cos y 1, 非线性的.
微分方程建模
微分方程建模一般说来，微分方程建模的方法大致可以分为以下的几个步骤：1.根据实际问题的要求确定要研究的量，包括自变量、未知函数、必要的参数等以及它们各自的变化区间；2.列方程。
可以在合理假设的前提下，利用导数表示斜率、速度、变化率的实际意义，根据一些基本定理（几何的、物理的、化学的或生物学的等等）或规律，找出未知函数的导数（或微分）与相关各量之间的等量关系式，建立微分方程并确定定解条件（注：如果没有现成的定理可供利用，也可以用微元分析法与模拟近似法列出微分方程）；3.解微分方程；4.对模型的适用性作出评价，即用已知的数据检验微分方程的解是否与实际相符。
若结果与实际存在一定的差距，则还要对方程进行修正和调整，直到得出较满意的结果为止。
下面，我们就通过一些实例说明微分方程建模的具体步骤。
一.增长模型在自然界和社会的经济活动中，许多量的变化都遵循着一个基本的规律：任一单位时间内的增量都与该量自身当时的大小成正比。
运用这一基本规律，就可以建立起各种各样的增长模型。
1.马尔萨斯人口模型严格地讲，讨论人口问题所建立的模型应属于离散型模型。
但在人口基数很大的情况下，突然增加或减少的只是单一的个体或少数几个个体，相对于全体数量而言，这种改变量是极其微小的，因此，我们可以近似地假设人口随时间连续变化甚至是可微的。
这样，我们就可以采用微分方程的工具来研究这一问题。
最早研究人口问题的是英国的经济系家马尔萨斯(Malthus )（1766—1834）。
他根据百余年的人口资料，经过潜心研究，在1798年发表的《人口论》中首先提出了人口增长模型。
他的基本假设是：任一单位时刻人口的增长量与当时的人口总数成正比，且比例系数为常数。
于是，设t 时刻的人口总数为)(t y ，则单位时间内人口的增长量即为tt y t t y ∆-∆+)()( 根据基本假设，有tt y t t y ∆-∆+)()()(t y r ⋅= （r 为比例系数） 令0→∆t ，可得微分方程y r dtdy ⋅= （4.1） 这就是著名的马尔萨斯人口方程。
随机微分方程建模及计算方法探究
随机微分方程建模及计算方法探究微分方程是数学中的一个重要分支，也是用于描述自然和社会现象中变化规律的数学工具。
随机微分方程是对微分方程进行扩展，考虑了随机变量的影响，使得模型更符合现实情况。
本文将介绍随机微分方程的基本概念和建模方法，并探究其计算方法。
首先，我们来了解一下随机微分方程的基本概念。
随机微分方程是一种包含随机变量的微分方程。
通常情况下，它可以表示为：dX(t) = f(X(t), t)dt + g(X(t), t)dW(t)其中，X(t)为随机过程，f(X(t), t)和g(X(t), t)为已知函数，dW(t)表示维纳过程（一种连续时间的随机过程）。
这个方程的意义是在给定初始条件X(t0)=X0的情况下，描述随机过程X(t)的变化规律。
接下来，我们将介绍随机微分方程的建模方法。
建模的关键是确定f(X(t), t)和g(X(t), t)函数的形式。
这一步通常需要根据具体问题的背景和需求进行选择。
一种常见的方法是利用统计数据分析来估计这两个函数，通过拟合实际观测值来确定参数。
另一种方法是利用经验公式或物理定律来确定函数的形式。
无论采用哪种方法，都需要综合考虑模型的可解性和适用性。
随机微分方程的计算方法包括数值解和解析解。
数值解是通过数值计算方法求取近似解，常用的方法有欧拉方法、改进的欧拉方法、隐式方法等。
这些方法的思想都是将微分方程离散化，得到差分方程，然后通过迭代计算逼近真实解。
数值解的优点是计算过程简单，并且可以适用于各种复杂模型。
然而，数值解也存在精度问题，需要适当选择步长和算法以减小误差。
解析解是通过数学方法求取精确解，通常需要利用一些特殊的函数或变换来求解。
然而，由于随机微分方程的复杂性，很多情况下无法得到解析解。
即使得到解析解，由于随机变量的存在，也很难直观地解释和应用。
因此，在实际应用中，数值解往往更为常用。
随机微分方程的计算方法的选择要根据具体问题的需求和背景来决定。
如果需要精确解或者对模型的解释性有要求，可以尝试解析解。
3：微分方程建模法 数学建模精品PPT课件
分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.
例5.1.4（独家广告模型） 广告是调整商品 销售的强有力的手段, 广告与销售量之间有什 么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？
分析 广告的效果, 可做如下的条件假设： *1. 商品的销售速度会因广告而增大，当商品 在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极 限值；
f
kv k ds dt
可得圆桶的位移和速度分别满足下面的微分方程:
m
d 2s dt 2
mg
gv
k
ds dt
(2)
m dv mg gv kv
dt
(3)
目录(1)
2.由题设这时圆桶受到的阻力应改为 f kv2 k ( ds )2 dt
类似上面,可得这时圆桶的速度应满足如下的微分方程:
m dv mg gv kv2
目录(1)
因 s=90(米),所以解下列方程:
8 < 90 171511 429.744t 171511e0.00250564t
In[]:= FindRoot[90==-171511+429.744429.744t+171511/Exp[0.00250564t],{t,13}]
Out[]:= t ? 13.0001614589966019`
(4)
dt
初始条件为:
ds dt
|t 0
v
|t 0
0,
s
|t 0
0
题设:m=239.46kg,w=0.2058m3,g=9.8m/t2,ρ=1035.71kg/m3,k=0.6
通过Mathematica求圆桶的位移和速度:
In[]:= Chop[DSolve[{m*s’’[t]==m*g-p*g*w-k*s’[t],s[0]==0’
lesson7微分方程模型(2)
案例2
房屋管理部门想在房顶的边缘 安装一个檐槽，其目的是为了雨天 出入方便。简单说来，从屋脊到屋檐的房顶可以看 成是一个12米长，6米宽的矩形平面，房顶与水平方向的 倾斜角度要视具体的房屋而定，一般说来，这个角度通常 在200~500之间。
现在有一个公司想承接这项业务，他们允诺：提供一 种新型的可持久的檐槽，它包括一个横截面为半圆形(半径 为7．5厘米)的水槽和一个竖直的排水管(直径为10厘米)， 并且不管天气情况如何，这种檐槽都能排掉房顶的雨水．
质点在这曲线上用最短的时间由A滑至B点 (介质的摩擦力和阻力忽略不计)。
速降线问题实验
速降线是否连接A和B的直线段？
X
牛顿的实验（1630年） 在铅垂平面内，取同样的两个球，其中一个
沿圆弧从A滑到B，另一个沿直线从A滑到B。发 现沿圆弧的球先到B。伽利赂也曾研究过这个问 题，他认为速阵线是圆弧线。
在生物、经济等学科中，许多现象所满足的 规律并不很清楚，而且现象也相当复杂，因而需 根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设， 在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律， 然后利用适当的数学方法得出微分方程。
5、一个考古问题
（1）问题分析与模型的建立
1、
2、
（2）解
（3）一个事实
6、堂上问答
因为镭-226衰变为铅一210
问题：y0既不能直接测量，计算也有困难
鉴别油画的方法：
要区别17世纪的油画和现代膺品，可根据下 述简单事实：如果颜料的年头比起铅的半哀期22 年长得多，那么颜料中铅-210的放射作用量就几 乎接近于颜料中镭的放射作用量，即两者每克铅 白中每分钟蜕变的原子数应非常接近。另一方面， 如果油画是现代作品(大约20年左右)，那么铅-210 的放射作用量就要比镭的放射作用量大得多。
微分方程模型
r0
r0
x(t ) x0
x(t ) 0
人口将始终保持不变！ 人口将按指数规律减少直 至绝灭！
2 T ln r
人口倍增时间
Malthus模型预测美国人口
Malthus模型预测美国人口
Malthus模型预测的优缺点
优点 缺点 原因 短期预报比较 准确 不适合中长期预报 预报时假设人口增长率 r 为常数。没有考虑环 境对人口增长的制约作用。
机动
目录
上页
下页
返回
结束
医学(流行病,传染病问题)模型,经济(商业销 售,财富分布,资本主义经济周期性危机)模 型,战争(正规战,游击战)模型等。 下面,我们给出如何利用方程知识建立 数学模型的几种方法。
机动
目录
上页
下页
返回
结束
1.利用题目本身给出的或隐含的等量 关系建立微分方程模型。这就需要我们仔 细分析题目,明确题意,找出其中的等量关 系,建立数学模型。 2.从一些已知的基本定律或基本公式出 发建立微分方程模型.我们要熟悉一些常用 的基本定律,基本公式.例如力学中的牛顿第 二运动定律，电学中的基尔霍夫定律等.从 这些知识出发我们可以建立相应的微分方 程模型。
到t t时刻, 除去死亡的人外 , 活着的都变成了
r dr1 , r dr dr1 区间内的人, t t时刻年龄在
即p(r dr 1 , t dt) dr.这里dr 1 dt.
而在这段时间內死去的 人数为 r , t pr , t drdt, 它们之间的关系为 : pr , t dr pr dr 1 , t dt dr r , t p r , t drdt r , t pr , t drdt
常微分方程建模方法
常微分方程建模方法常微分方程建模方法可以分为定性分析和定量分析两个阶段。
定性分析是通过分析问题的物理背景和现象特征，确定微分方程的类型和形式。
而定量分析则是通过对微分方程进行求解，得到具体的解析解或数值解，来揭示问题的本质。
1.理解问题背景：了解问题的物理背景、现象特征、变量之间的关系等，分析问题的要素和限制条件。
2.建立数学模型：根据问题的特征和变量关系，建立微分方程模型。
通常可以利用物理定律、守恒定律、动力学方程等来描述问题的变化规律。
3.确定初始条件和边界条件：对于初值问题，需要确定初始条件；对于边值问题，需要确定边界条件。
这些条件是求解微分方程的前提。
4.分析微分方程：对建立的微分方程进行分析，研究方程的特性和性质。
可以利用变量分离、线性化、换元等方法来化简和求解方程。
5.求解微分方程：根据微分方程的类型和性质，选择合适的求解方法。
可以将高阶微分方程化简为一阶微分方程，然后利用解析解或数值解的方法求解。
6.模型验证和优化：对求解得到的解析解或数值解进行验证，检验模型的合理性和准确性。
如果模型不准确，需要进行调整和优化。
7.结果解释和应用：根据求解得到的结果，解释模型的含义和意义，并将模型应用到实际问题中，得出结论和预测。
常微分方程建模方法可以应用于各个领域，如物理学、生物学、工程学、经济学等。
例如，通过建立流体力学方程，可以研究流体的流动和扩散过程；通过建立生态学方程，可以研究生物种群的数量和分布变化；通过建立经济学方程，可以研究经济增长和波动。
总之，常微分方程建模方法是将实际问题抽象成数学模型的过程，通过求解微分方程来揭示问题的本质和规律。
建模过程需要充分理解问题的背景和特征，合理选择合适的数学工具和求解方法，最终得到有实际应用价值的结论和预测。
微分方程方法建模
10 Q ( t )， Q (0) 0
3
0.001t
),0 t 1800,
且 Q(1800) 0.00835
当 t 1800时 ， 有 dQ dt (10
3
5 10 ) Q ( t ), Q (1800) 0.00835,
0.0015 t
4
运动消耗量/天=69(J/kg.d) ×w(t)(kg) w (t t ) w (t ) w 体重的变化/天= ( kg / d ) t t 在上述描述中，等式两边的单位是不相匹配 的，下面公式将两个单位换算成统一形式： J /d 1kg / d 41868 J / kg 建模 由上面分析，体重w(t)满足下面关系式
结果：u = tan (t+c1)
例2
求微分方程的特解.
d 2 y dy 4 29 y 0 2 dx dx y ( 0 ) 0 , y ' ( 0 ) 15
解 输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x') 结 果 为 : y =3*exp(-2*x)*sin(5*x) 作图命令：ezplot(y,[1.0,4])
10 5 10 3 Q ( t ), 0 t 1800 dQ 3 4 dt 10 Q ( t ) 5 10 Q ( t ), t 1800 当 0 t 1800时 ， 有 解 得 Q(t)=0.01(1-e dQ dt 10
5
w t 5429( J / d ) 69 w ( J / d ) 41868( J / kg )
微分方程的建模与求解方法
微分方程的建模与求解方法微分方程是数学中的重要概念，它描述了自然界和社会现象中许多变化的规律。
微分方程的建模与求解方法是应用数学的重要组成部分，它在工程、物理、生物等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍微分方程的建模过程以及常见的求解方法。
一、微分方程的建模过程微分方程的建模过程是将实际问题转化为数学模型的过程。
它包括以下几个步骤：1. 确定问题的变量和参数：在建模过程中，首先需要确定问题中涉及的变量和参数。
变量是问题中需要研究的物理量，参数是与变量相关的常数。
2. 建立数学模型：根据问题的特点和要求，选择合适的数学模型。
常见的数学模型包括常微分方程、偏微分方程、差分方程等。
3. 建立微分方程：根据问题的物理规律和数学模型，建立微分方程。
微分方程描述了变量之间的关系，它可以是一阶、二阶或更高阶的。
4. 添加初始条件和边界条件：为了求解微分方程，需要添加初始条件和边界条件。
初始条件是在某一时刻变量的已知值，边界条件是在空间范围内变量的已知值。
5. 求解微分方程：通过数学方法求解微分方程，得到问题的解析解或数值解。
常见的求解方法包括分离变量法、变换法、级数法、数值方法等。
二、微分方程的求解方法微分方程的求解方法有多种，下面将介绍其中几种常见的方法。
1. 分离变量法：适用于可分离变量的一阶微分方程。
通过将变量分离到方程两边，再进行积分，得到方程的解。
2. 变换法：适用于具有特殊形式的微分方程。
通过进行变换，将原方程转化为更简单的形式，再进行求解。
3. 级数法：适用于无法直接求解的微分方程。
通过将解表示为级数形式，再逐项求解，得到方程的解。
4. 数值方法：适用于无法求得解析解的微分方程。
通过数值计算的方法，近似求解微分方程，得到数值解。
5. 特殊函数法：适用于具有特殊函数解的微分方程。
通过利用特殊函数的性质，求解微分方程。
以上是常见的微分方程求解方法，不同的方法适用于不同类型的微分方程。
在实际问题中，常常需要结合多种方法进行求解，以获得更精确的结果。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
重要的已知定理.如本章将要介绍的冷却(加热)定律、牛顿运动定律以 及放射性物质的衰变规律等建立的微分方程模型.此法建模要求建模 者必须有宽阔的知识视野才能对某些具体问题采用某些熟知的实验定 律.经过实践检验过的某种规律和已知定理去从事建模工作.
• 思路与启发通常·我们可以从直觉上做出这样的推理:20℃的温度 计.70min后升温25. 2 ℃-20 ℃ = 5. 2 ℃.又过10 min后.升温为28. 32℃-2 5. 2 ℃ = 3. 12 ℃.是5. 2℃的0. 6倍.可以想象以后每隔10 min 后的升温是前一个升温的0. 6倍.于是得总升温为
下一页 返回
3.5掷铅球问题
• (2)为了加快推出时的速度.人体需要在圆面内转体; • (3)铅球投射的投射角与初速度是否有关? • (生)铅球在运动过程中.受到空气阻力如何? • 模型假设为了使建模方便.钊对上述生点.我们可忽略一些次要因索.
作如下几点假设: • (1)铅球投射的投射角与投射初速度无关; • (2)运动员的转体对铅球远近影响可以忽略; • (3)铅球在运行过程中.空气阻力忽略不计. • 模型建立及求解若令铅球投射角为0.投射初速度为v0.运动员的手
• 对式(3.1.1)两端同除以△t.令△→0.则有
上一页 下一页 返回
3.1微分方程建模原理和方法
• 此即问题的数学模型.它虽是钊对液体溶液变化建立的.但它对气体和 固体浓度变化同样适用.实际中.对许多的时变问题都可取微小时间段 △t去考察某些量与其他一些量之间的变化规律.从而建立问题的数学 模型.这是数学建模中微分建模常用手段之一.
• 用数学模型来表示则为
• 于是令△t→0.则有 • 其中.A=(km+r)/ V.月B= k/ V • 该问题的求解可用积分因子法.对式(3.3.2)两边同乘以e^Bt.可得: • 从0到t积分.并利用初始条件x(0) =x0.于是得式(3. 3. 2)的解为
上一页 下一页 返回
3.3车间空气清洁问题
上一页 下一页 返回
3.1微分方程建模原理和方法
• 一般通过一定的模型假设近似模拟实际现象.将问题做某些规范化处 理后建立微分方程模型.然后分析.求解再与实际问题做比较.观察模型 是否能近似刻实际现象.近似模拟法建模思路是建立能够近似反映或 刻实际现象的数学模型.因此在建模过程中.经常做一些较合理的模型 假设使问题简化.然后通过简化建立近似反映实际问题的数学模型.
• 设t时刻(单位为分钟)车间每立方米空气中含CO2的百分比为x(t) %.考 察时间段[t, t+ △t].并利用质量守恒定律:[t, t+ △t]内车间空气含CO2 量的“增量”等于该时间内进入的新鲜空气中含CO2的量加上机器产 生的CO2的量减去排出空气中CO2的量.
下一页 返回
3.3车间空气清洁问题
上一页 下一页 返回
3.1微分方程建模原理和方法
• (2)分析微元变化规律建立的微分方程模型. • 求解某些实际问题时.寻求一些微元之间的关系可以建立问题的数
学模型.如上述问题中考察时间微元△t.从而建立的反映溶液浓度随时 间变化的模型(3. 1. 3).此建模方法的出发点是考察某一变量的微小变 化.即微元分析.找出其他一些变量与该微元间的关系式.从微分定义出 发建立问题的数学模型. • (3)近似模拟法. • 在许多的实际问题中.有些现象的规律性并非一目了然.或有所了解 亦是很复杂的.这类问题常用近似模拟的方法来建立问题的数学模型.
中.T的变化速率正比于物体温度T与周围介质温度m的差. • 定律的表达形式有连续型和离散型两种.分别如下:
上一定律及应用
• 其中.k为比例系数.
• 对上述问题利用冷却(加热)定律由式(3.2.2)得
•
2 5.2-20= k(20-m)
•
28.32-25.2=k(25.2-m) (3 .2.3)
上一页 下一页 返回
3.2 Newton冷却(加热)定律及应用
• 但在实际生活中.该定律具有较广泛的应用.例如当我们把冰柜中的冻 肉拿出来化冻做菜时.可以把室温认为不变.根据做若干次温度测试得 的估算值.就可以计算大约有多长时间能使冻肉化冻为可用的温度.同 样夏天我们会把饮料放到冰箱中去降温.要多长时间才能使饮料降到 我们满意的温度呢?甚至在公安刑侦人员侦破谋杀案件时.往往需要很 快估算被害者死亡时间.从而可以缩小对作案者的调查范围.作为 Newton冷却(加热)定律的一个应用.
离地面高度为h.铅球离手的时间为r.则整个投掷过程可用如下模型来 描述
上一页 下一页 返回
3.5掷铅球问题
• 其中.x.y分别表示水平距离和垂直高度.g为重力加速度. • 式(3.5.1)中消去时间1.可得 • 若令y=0.则可得到水平距离x与投射角0及初速度v0之间的关系式.即
• 模型分析 下面我们来分析投掷效果·如果取h=1. 8 m, g=9 .8m /s,投
下一页 返回
3.2 Newton冷却(加热)定律及应用
• 5.2×(1十0.6十0.6^2十0.6^3十…)=5.2×[1/(1-0.6)] =13(℃) • 则可以得到户外温度是20℃十13 ℃=33 ℃. • 模型及求解下面我们来看这样的想法是否合理. • Newton冷却(加热)定律把温度为T的物体放人处于常温为m的介质
• 注意到 • 溶液浓度=溶质质量/溶液体积 • 因此.容器中溶液浓度会随溶质质量和溶液体积变化而发生变化.不妨
设r时刻容器中溶质质量为s(t).初始值为s0, t时刻容器中溶液体积为 V(t).初始值为V0.则在时间段[t, t+ △t]内有
下一页 返回
3.1微分方程建模原理和方法
• 其中c1表示单位时间内注入溶液的浓度.c2表示单位时间内流出溶液 的浓度.当△t很小时.在[t, t+ △t]内
上一页
返回
3.3车间空气清洁问题
• 设车间体积为v立方米.其中有一台机器每分钟能产生r立方米的二氧 化碳(CO2).为清洁车间里的空气.降低空气中CO2的含量.用一台风量 为k立方米/分钟的鼓风机通入含CO2为m%的新鲜空气来降低车间空 气的CO2含量.假定通入的新鲜空气能与原空气迅速均匀混合.并以相 同的风量排出车间.又设鼓风机开始工作时车间空气中含x0%的CO2. 问经过r时刻后.车间空气中CO2的百分含量为多少?最多能把车间空气 中CO2的百分比降到多少?
• 解式(3.2.3)易得m=33 ℃·即户外温度为3 3 ℃.由此可见.我们的直觉 推理与Newton冷却(加热)定律相吻合.事实上.Newton冷却(加热)定律 是我们直觉想象思想的理论化和一般化.同理由式(3. 2. 1)和已知数据 亦可得到户外温度为33℃.
• 模型应用推广需要注意的是Newton冷却(加热)定律实际是一种实 验定律.在一定范围内是正确的.
• 利用放射性元索C^14可以测定部分考古文物的年代.这是W. Libby发 明的C^14年龄测定法.该方法测定精度很高.
• 3. 4. 1模型机理 • 地球周围的大气层不断受到宁宙射线的轰击.宁宙射线使大气层产
生中子.这些中子同氮发生作用产生C^14.由于C^14会发生放射性蜕 变.故常称为放射性碳.放射性碳在大气中又结合成CO2 . CO2在大气 中运动而被植物吸收.动物吃了植物随之把C’l带人动物机体组织中.在 活的机体组织中摄取C^14的速率与C^14的蜕变速率相互平衡.然而且 机体组织死亡后.则停止摄取C’1.因此.C^14的浓度会随C^14的蜕变 而减少.
• 当然数学模型的建立方法不是一成不变的.在实际中要根据具体问 题采用不同的建模方法才会使建模过程更简洁.才会有新的创意.这也 正是建模的意义之所在.因此.我们在学习过程中要勇于探索.大胆创新. 灵活运用建模方法.以提高自己解决实际问题的能力.
上一页
返回
3.2 Newton冷却(加热)定律及应用
• 实际间题假设夏天在有空调的房间内用温度计测得室内温度为2 0℃ , 为了了解室外温度.把室内的一支读数为20℃的温度计放到室 外.10min后观察到读数变为25. 2 ℃ ,20 min后再观察读数变为28. 32℃.请问你能根据温度计的变化推算户外温度吗?是否可以建立一般 模型来求出户外温度?
下一页 返回
3.4古物年代测定法
• 3. 4. 2基本物理假设 • 地球周围的大气被宁宙射线轰击速率始终恒定不变.该假设可使我
们确定木炭样品的年龄.即利用木炭初始的蜕变速率等于现在对新鲜 木炭测出来的蜕变速率来确定木炭样品的年龄. • 3. 4. 3建立模型 • 设N(t)表t时刻样品中存在的C^14数量.N (t0)表T样品形成时刻所含 C^14的数量,λ表示C^14的衰变常数.则有
返回
3.1微分方程建模原理和方法
• 一般来说.任何时变问题中随时间发生变化的量与其他一些量之间的 关系经常以微分方程的形式来表现.因此.对该类问题可用微分方程模 型来描述.先来看这样一个问题:有一容器装有某种浓度的溶液.以流量 v1注入该容器浓度为c1的同样溶液.假定溶液立即被搅拌均匀.并以、 少:的流量流出混合后的溶液.试建立反映容器内浓度变化的数学模型.
上一页 下一页 返回
3.4古物年代测定法
• 由此可以确定入=ln 2 /T • 如果能测出样品目前C^14的蜕变率R (t);并注意R (t0)等于新鲜木
炭中C^14的蜕变率.我们就能够测定木炭样品的年龄. • 例如.1950年在巴比伦挖掘出一根刻有Hammurabi字样的木炭.经
测定. • 样品中C^14的衰减数是每克每分钟2. 09个.而新砍伐烧成的木炭中
• 综合上述分析.教练员在训练过程中.要提高运动员的投掷距离.应集 中精力增加运动员的投掷初速度.