2012-2013年高中数学常见题型解决方法归纳 反馈训练及详细解析 专题53 圆锥曲线常见题型解法

第53讲：圆锥曲线常见题型解法

【考纲要求】 （1）圆锥曲线

① 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 ② 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质

③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质 ④ 了解圆锥曲线的简单应用 ⑤ 理解数形结合的思想 （2）曲线与方程

了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系

【方法点评】求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法，先定位，后定量。

【变式演练1】 双曲线的中心在坐标原点O ,焦点在x 轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直

例2 已知椭圆221(0,0)x y a b a b

+=>>，A 是椭圆长轴的一个端点，B 是椭圆短轴的一个

端点，F 为椭圆的一个焦点．若AB ⊥BF ，则该椭圆的离心率为( )

A.5＋12

B.5－12

C.5＋14

D.5－14

解： 因为AB ⊥BF ，所以k AB ·k BF ＝－1，即b a ·⎝ ⎛⎭

⎪⎫－b c ＝－1，即b 2＝ac ，所以a 2－c 2

＝ac ，两

边同除以a 2，得e 2

＋e －1＝0，所以e ＝－1±52

(舍负)，故选B.

【方法点评】求值一般利用方程的思想解答，所以本题的关键就是找到关于e 的方程。

【变式演练2】已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22

2:14

y C x -

=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若1C 恰好将线段AB 三

等分，则( )

A ．2a ＝132

B ．2a ＝13

C ．2b ＝12

D ．2

b ＝2

例3 已知2

x +4(y-1)2=4，求：(1)2

x +y 2的最大值与最小值;(2)x+y 的最大值与最小值．

（2）分析：显然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y ，则将此代入2

x +4(y-1)2=4中得关

于y 的一元二次方程，借助于判别式可求得最值．

令x+y=u ， 则有x=u-y,代入2

x +4(y-1)2=4得：52

y -(2u+8)y+2

u =0． 又∵0≤y ≤2，(由(1)可知) ∴[-(2u+8)]2-4×5×2

u ≥0． ∴5151+≤≤-u

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2

3

，求△AOB 面积的最大值。

例4 已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M

向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，向量与OM 是共线向量。（1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点， 1F 、2F 分别是左、右焦点，求∠21QF F 的取值范围；

【方法点评】由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题.

【变式演练4】设1F 、2F 分别是椭圆14

22

=+y x 的左、右焦点。 （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF 的最大值和最小值；

（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O

例5已知双曲线12

2

2

=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。

故直线)1(21:-=-x y AB

由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x

∴

08324)4(2<-=⨯⨯--=∆

这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。

在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

例6

已知曲线()12

:2

21

=-+

a y x C 及1:22+=x y C 有公共点,求实数a 的取值范围．

可得：2y =2(1-a)y+2

a -4=0．

∵ △=4(1-a)2-4(a 2-4)≥0， ∴2

5

≤a .

如图2－47，可知：

椭圆中心()a ,0,半轴长2='a ,抛物线顶点为()1,0,所以当圆锥曲线在下方相切或相交

时,21-≥a . 综上所述,当2

5

21≤

≤-a 时, 曲线1C 与2C 相交

.

【变式演练6】设椭圆22

122:1(0)x y C a b a b +=>>，抛物线22

2:C x by b +=。

（1） 若2C 经过1C 的两个焦点，求1C 的离心率；

（2） 设A （0，b ），54Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，,又M 、N 为1C 与2C 不在y 轴上的两个交点，若△AMN 的

垂心为34B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭

0，，且△QMN 的重心在2C 上，求椭圆1C 和抛物线2C 的方程。

例7

在直角坐标系xOy 中，点M 到点)0,3(),0,3(21F F -的距离之和是4，点M 的

轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线b kx y l +=:与轨迹C 交于不同的两点P 和Q.

（I ）求轨迹C 的方程；

（II ）当0=⋅时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点. 解：（1）)0,3(),0,3(-到点M 的距离之和是4，

M ∴的轨迹C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦中为32的椭圆，