管道运输问题论文

管道运输问题摘要：本文采用二次规划算法来解决。

首先将各钢厂到铺设节点的单位最小运费转化为求最短路的方法，将铁路的运输费用、钢厂的运价与公路的运费等价转换，即将公路铁路合并成一张网，再利用求最短路的方法求出我们需要的单位最小运费。

对于问题中钢厂产量的约束条件，采用0-1规划模型解决。

第二步求得沿着铺设管道从节点到各施工地单位的最小运费，将待铺设管道按单位长度分解成n 个需求点，直线图考虑左右两个方向的运输，通过构建一个等差数列得到目标函数。

第三问树状图仅需考虑沿各个方向的运输。

该运输模型的方法，避免了问题一和三的差别。

最后建立一个二次规划的算法模型，利用lingo 软件进行编程求得最优解。

根据上述建模思想，我们求得最优解为127.84亿元 。

第二问即为灵敏度分析，我们得出 6s 钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大， 1s 钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。

问题三：第4、7两家钢厂补生产，1、2、3、6四家工厂饱和生产，余下的由5供应， 最优值约为140.66亿元。

最后对模型进行了综合评价，并提出了改进方向。

关键词：二次规划、0-1规划、lingo 、最短路、目标函数 一、问题的重述要铺设一条1521A A A →→→ 的输送天然气的主管道, 如图一所示(见下页)。

经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有721,,S S S 。

图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。

为方便计，1km 主管道钢管称为1单位钢管。

一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。

钢厂i S 在指定期限内能生产该钢管的最大数量为i s 个单位，钢管出厂销价1单位钢管为i p 万元，如下表：i1 2 3 4 5 6 7 i s800 800 1000 2000 2000 2000 3000 i p1601551551601551501601单位钢管的铁路运价如下表：里程(km) ≤300 301～350 351～400 401～450 451～500 运价(万元) 2023262932里程(km) 501～600 601～700 701～800 801～900 901～1000运价(万元)37445055601000km 以上每增加1至100km 运价增加5万元。

公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。

钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点1521,,,A A A ，而是管道全线）。

（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。

（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。

（3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要求给出模型和结果。

二、问题的分析本题要铺设一条 A 1--A 15 的天然气管道，使得总费用最小。

可以这样考虑问题：先把钢厂生产的钢管运到各个站点A j （j 1）再往两边运送，再计算出总的费用使之最小。

第一步：求出各钢厂到各铺设结点的单位最小运费；这部分包括铁路运费和公路运费，但由于铁路、公路运费的不同还有钢管出厂销价的差别，通过合理的方式可将铁路运费转换成公路运费，再利用求最短路的方法求出我们需要的单位最小运费。

第二步：沿着铺设管道从各结点到各施工地的单位最小运费。

如果这两个运费都能算出，我们就可以将待铺设的主管道全线按照 1公里作为一个单位分割成 5171个点 （对于问题三，可以将树形图分割成 5903个点）。

这样问题就变成了一个理想的运输问题，考虑个站点向左向右两个方向的运输，建立等差数列，即可求出最优解。

第三问变为树形图，因此，有些枢纽站点的度不再是1或2，于是将运送到枢纽站点的钢管总量不能总简单的分为左右两部分，而是应该考虑从它各个方向的运送量。

三、模型的假设1. 钢管运输过程中若用火车则直接把钢管运到公路与铁路交接处,即下了火车不上火车；2. 假设运输单位可提供足够的火车与汽车；3. 费用计算时按钢管数量算，不考虑其他计费方法及因素。

4. 运费中不足整公里部分按整公里计。

5. 假设向每个钢管厂都订购钢管。

6. 设１km 主管道钢管为１单位钢管。

7. 路中铺设的钢管只允许由其相邻站点提供。

8. 不计各个环节中的装卸费用四、符号的说明s i ——第i 家钢厂的最大供应量j A ——管道节点i p ——钢管出厂销价1单位钢管为i p 万元ij c ——第i 家钢厂到铺设节点j 的订购和运输费用x ij ——从钢厂i 到j 的运钢量 y j ——从节点j 向左铺设的钢管量 z j ——从节点j 向右铺设的钢管量jk D 1——题图一公路网上两点间的单位钢管最少运输费用； jk D 2——题图二公路网上两点间的单位钢管最少运输费用；五、模型的建立5.1题一分析求解：由于由任一钢厂发出的钢管不经过j A 中任何一个是无法到达管线上的，因此我们可以依据这点将整个问题一分为二：前一阶段是钢管由厂i s 运到j A 去，后一阶段是到达j A 的钢管再由公路送到管线上x 点去。

5.1.1第一阶段：总共有7个厂，15个节点，运到1A 最小费用路必经过2A ，可不考虑：∑∑∑∑====•+•7115271152i j ij ij ij i j i x c x p 。

5.1.2第二阶段：管道上左右每公里的运费是一个首项0.1，公差0.1的一个等差级数，又因为题目明确要求公路运费为0.1 万元/km ，且足整数按整数公里计算，所以()([][1]j j j y y y ⎢⎥++⎣⎦()[][1])*0.05j j j z z z ⎢⎥++⎣⎦才是精确的计费运算公式。

此时，i y ⎢⎥⎣⎦表示不超过i y 的最大数，（i y ）表示i y 的小数部分。

关于节点j 求和从2开始，因为节点1A ，钢管到达他后无需向其他点运送了。

这样向A J 输送的钢管可以向左铺y j km,向右铺z j km 。

此外由A J 向A j 1+铺的部分与A j 1+向A J 的部分应覆盖线段A J A j 1+，故z j +y 1j +=j 1j 2,......14A A j +-=且有y 2=2115,0A A Z -=这里应当注意的是若A J A j 1+中右段钢管全经过j 2A +而来，则上式就不成立了，但如果发生这种情况，去掉A j 1+节点即可。

本问题中由管线外到达4A 点要经过600km 的路程，耗资60万元/km,因此由35i s A A 到Z 中的点的最小费用路经过5A ，故4A 节点可以去掉。

由物理意义y j ,z j 0≥ 总之，该模型为：()()7157151512122444min()([][1][][1])0.05ij i ij ij j j j j j j i j i j j j j j x p x c y y y z z z =====≠≠≠⎢⎥⎢⎥•+•++++++•⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑∑ s.t.{}[]7,...,2,1,,50001542=⋃∈∑≠=i s x ij j ij;71,2,3, (15i)j j i xy z j ==+=∑；z j +y 1j +=j 1j ,2,......15A A j +-=;3553A A y z -=+ y 2=2115,0A A Z -=; y j ,z j 0≥,j=2,3,5......15； x ij 0,1,...,7i ≥= 15,...,5,3,2=j对最小运费的求解，我们采用Floyd 算法。

先求出铁路网上钢管厂到铁路上任意两点i V ，j V 的最短路线的长度ij L ,用matlab 求得ij L 对应的铁路单位运费ij D ；同理用Floyd 算法求出公路网上的任意两点j V ，k V 的最短公路路线的长度jk L ，结果乘以0.1得到公路运费jk D 1。

)1min(jk ij ik D D c +=，j 表示所有运输中转点，于是就得到从某钢厂到某铺设点运输单位钢管的最少运输费用。

约束条件：产量约束：{}[]7,...,2,1,,50001542=⋃∈∑≠=i s x i j j ij铺设约束条件：71,2,...,15;ij j j i x y z j ==+=∑5.2题三分析求解：如铺设的管道是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络对于题图二，我们可以延用问题一里面的思想，在题图一的基础上多几条铺设路段，9，11，17节点的铺设方向变为X,Y,Z 三个方向，其他不变。

5.2.1第一阶段：总费用为：∑∑∑∑=≠==≠=•+•712142712142i j j ij ij ij i j j i x c x p5.2.2第二阶段：由于树形图的出现，则某些管道处会出现多支路。

则模型一中模型的j Y ，j Z 不再适用，此时可考虑多增加支路变量j X ，并增加约束，在目标函数中增加相应的铺设费。

⎣⎦⎣⎦⎣⎦)17,11,9(05.0])1)][([]1)][([]1)][(([min 1542712142712142=•+++++++++•+•=∑∑∑∑∑≠==≠==≠=*j x x x z z z y y y x c x p W j j j j j j j j j j j ij i j j ij ij i j j i s.t.{}[]7,...,2,1,,50001542=⋃∈∑≠=i s x ij j ij71,2,3, (15i)j j i xy z j ==+=∑z j +y 1j +=j 1j ,2,......15A A j +-=;3553A A y z -=+ y 2=2115,0A A Z -=; y j ,z j 0≥,j=2,3,5......15；六、模型的求解1.出厂销价、铁路运费向公路运费的转换：1.1运输费用等价转换原则：按单位运费相等原则将任意两点的最短铁路线转化为公路线。

对于铁路线上的任意两点i j V V 和，用Floyd 算法找出两点间最短铁路路线的长度ij L ，查铁路运价表求得ij L 对应的铁路单位运费ij f ：又设与该段铁路等费用的公路长度为ij l ，则：0.1*ij ij f l =由此，我们就在i j V V 和之间用一条等价的公路线代替i j V V 和间的最短铁路线。

如果i j V V 和之间原来就有公路，就选择新旧公路中简短的一条。