菱形证明专题训练

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1. 已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,DF∥BE,AC平分∠BAD.求证:四边形ABCD为菱形.
【答案】∵AB∥CD,
∴∠BAE=∠DCF.
∵DF∥BE,
∴∠BEF=∠DFE,
∴∠AEB=∠CFD.
又∵AE=CF,
∴△AEB≌∠CFD,
∴AB=CD.
∵AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAF.
又∠BAE=∠DCF,
∴∠DAF=∠DCF,
∴AD=CD,
∴四边形ABCD是菱形.
2. 如图，矩形ABCD中，点O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO.若∠COB=60°，FO=FC.
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求证:
(1)四边形EBFD是菱形;
【答案】连接OD.∵点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，∴B,D,O三点共线且BD=DO=CO=AO.
在矩形ABCD中，AB∥DC，AB=DC，∴∠FCO=∠EAO.
在△CFO和△AEO中，
∴△CFO≌△AEO，∴FO=EO.
又∵BO=DO，∴四边形BEFD是平行四边形.
∵BO=CO，∠COB=60°，
∴△COB是等边三角形.∴∠OCB=60°.
∴∠FCO=∠DCB-∠OCB=30°.
∵FO=FC，∴∠FOC=∠FCO=30°.
∴∠FOB=∠FOC+∠COB=90°.
∴EF⊥BD.∴平行四边形EBFD是菱形.
(2)MB∶OE=3∶2.
【答案】∵BO=BC，∴点B在线段OC的垂直平分线上.
∵FO=FC，∴点F在线段OC的垂直平分线上.
∴BF是线段OC的垂直平分线.
∴∠FMO=∠OMB=90°.
∴∠OBM=30°.∴OF=BF.
∵∠FOC=30°，∴FM=OF.
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∴BM=BF-MF=2OF-OF=OF.
即FO=EO，∴BM∶OE=3∶2.
3. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC边上的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD 的平行线,交CE的延长线于点F,在AF 的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.求证:四边形BGFD 是菱形.
【答案】∵FG∥BD,BD=FG,∴四边形BGFD是平行四边形.
∵CF⊥BD,AG∥BD,∴CF⊥AG.又∵∠ABC=90°,点D是AC的中点,∴BD=DF=AC,
∴平行四边形BGFD是菱形.
4. 如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.
求证:OE=BC.
【答案】∵DE∥AC,CE∥BD,
∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OB=OD,
∴∠BOC=∠COD=90°,
∴四边形OCED是矩形,
∴∠ODE=90°,∵OB=OD,∠BOC=∠ODE=90°,
∴BC=,OE=,
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∵DE=OC.
∴OE=BC.
5. [2015·兰州中考,25] (9分)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,BD=AC.
(1)求证:AD=BC;
【答案】作BM∥AC,BM交DC的延长线于点M,则∠ACD=∠BMD.1分
∵AB∥CD,BM∥AC,
∴四边形ABMC为平行四边形.2分
∴AC=BM.
∵BD=AC,∴BM=BD.
∴∠BDM=∠BMD.
∴∠BDC=∠ACD.
在△BDC和△ACD中,
∴△BDC≌△ACD.4分
∴BC=AD.5分
(2)若E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点.求证:线段EF与线段GH互相垂直平分.【答案】连接EG,GF,FH,HE.6分
∵E,H为AB,BD的中点,∴EH=AD.
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同理FG=AD,EG=BC,FH=BC.
∵BC=AD,∴EG=FG=FH=EH.8分
∴四边形EGFH为菱形,
∴EF与GH互相垂直平分.9分
6. [2015·长春中考,18] (7分)如图,CE是△ABC外角∠ACD的平分线,AF∥CD 交CE于点F,FG∥AC交CD于点G,求证:四边形ACGF是菱形.
【答案】因为AF∥CD,FG∥AC,
所以四边形ACGF是平行四边形①,
又因为∠ACE=∠ECG,∠ECG=∠AFC,
所以∠ACE=∠AFC,所以AC=AF②,
由①②得四边形ACGF是菱形.
7. [2010·上海中考，23]已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD(如图所示)，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE.
(1)在图中，用尺规作∠BAD的平分线AE(保留作图痕迹，不写作法)，并证明四边形ABED是菱形；
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【答案】
∵∠BAE＝∠DAE，
∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，AB＝BE＝AD，
AD∥BE，∴四边形ABED的平行四边形，又AB＝AD，
∴四边形ABED为菱形
(2)∠ABC＝60°，EC＝2BE，求证：ED⊥DC.
【答案】过D作DF∥AE，则DF＝CF＝1，
∴∠C＝30°，而∠DEC＝60°，
∴∠EDC＝90°，∴ED⊥DC.
8. [2010·沈阳中考，19]如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，点E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，OE，OF，求证：四边形AEOF是菱形.
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【答案】∵点E，F分别为AB，AD的中点
∴AE＝AB，AF＝AD(2分)
又∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝AD
∴AE＝AF(4分)
又∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O
∴O为BD的中点
∴OE，OF是△ABD的中位线(6分)
∴OE∥AD，OF∥AB
∴四边形AEOF是平行四边形(8分)
∵AE＝AF
∴四边形AEOF是菱形(10分)
9. [2010·安徽中考，20]如图，AD∥FE，点B,C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC.
(1)求证：四边形BCEF是菱形；
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【答案】∵AD∥FE，∴∠FEB＝∠2.
∵∠1＝∠2，∴∠FEB＝∠1.
∴BF＝EF
∵BF＝BC，∴BC＝EF.
∴四边形BCEF是平行四边形
∵BF＝BC，
∴四边形BCEF是菱形(5分)
(2)若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE.
【答案】∵EF＝BC，AB＝BC＝CD，AD∥FE，
∴四边形ABEF、四边形CDEF均为平行四边形，∴AF＝BE，FC＝ED.(8分)
又∵AC＝2BC＝BD，(9分)
∴△ACF≌△BDE.(10分)
10. [2013·长沙中考，24]如图，在▱ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND＝90°，连接CM交DN于点O.
(1)求证：△ABN≌△CDM；
【答案】∵∠ABN＝∠CDM，AB＝CD，
BN＝BC＝AD＝DM，
∴△ABN≌△CDM(SAS).
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(2)过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE＝1，∠1＝∠2，求AN的长.
【答案】∵M，O分别为AD，ND的中点，
∴AN∥MO且AN＝2MO，
∴∠MOD＝∠AND＝90°，即平行四边形CDMN是菱形，
在Rt△MOD与Rt△NEC中，
∵∠1＝∠2，MD＝NC，∴Rt△MOD≌Rt△NEC，
∴MO＝NE.
根据菱形的性质可知，∠MND＝∠CND，∠1＝∠CND，所以∠MND＝∠CND＝∠2＝30°，所以在Rt△ENP中NE＝PE÷tan30°＝，
即AN＝2.
11. 如图,在△ABC中,∠A=90°,AH⊥BC于点H,∠B的平分线交AC于点D,交AH于点
E,DF⊥BC于点F,求证:四边形AEFD是菱形.
【答案】∵∠ABD=∠FBD,BD=BD,∠BAD=∠DFB=90°,
∴△ABD≌△FBD,∴AD=DF,AB=FB.
又∠ABE=∠FBE,BE=BE,
∴△ABE≌△FBE.
∴∠BAE=∠BFE.
又∠BAE=90°-∠ABC=∠C,
∴∠BFE=∠C,∴EF∥AD.
∵DF⊥BC,AH⊥BC,∴AE∥DF.
∴四边形AEFD是平行四边形.
又AD=DF,∴四边形AEFD是菱形.
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12. [2012·南宁中考,25]如图,已知矩形纸片ABCD,AD＝2,AB＝4,将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O.
图1图2
(1)如图1,求证：A,G,E,F四点围成的四边形是菱形；
【答案】证法一：
证明：在矩形ABCD中,CD∥AB
∴∠1＝∠3(1分)
由折叠可知：AG＝EG,∠1＝∠2
∴∠2＝∠3
∴EF＝EG(2分)
∴EF＝AG
∴四边形AGEF是菱形(3分)
证法二：
证明：连接AF,由折叠可知
OA＝OE,AG＝EG(1分)
在矩形ABCD中,AB∥CD
∴∠AEF＝∠EAG
∵∠AOG＝∠EOF
∴△AOG≌△EOF(ASA)(2分)
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∴AG＝EF
∴四边形AGEF是菱形(3分)
(2)如图2,当△AED的外接圆与BC相切于点N时,求证,点N是线段BC的中点；【答案】证明：连接ON,O是Rt△ADE外接圆圆心.
∵⊙O与BC相切于点N
∴ON⊥BC(4分)
在矩形ABCD中,DC⊥BC,AB⊥BC
∴CD∥ON ∥AB
∴＝(5分)
∵OA＝OE∴CN＝NB
即N为BC的中点(6分)
(3)如图2,在第2问的条件下,求折痕FG的长.
【答案】解法一：
过点O作OM⊥AB于点M,则四边形OMBN是矩形
设⊙O半径为x,则OA＝OE＝ON＝x(7分)
∵AB＝4,AD＝2 ∴AM＝4－x
由第2问得,NB＝OM＝1
在Rt△AOM中,OA2＝AM2＋OM2
∴x2＝(4－x)2＋12∴x＝(8分)
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AM＝4－＝
∵∠FEO＝∠OAM
又∵∠FOE＝∠OMA＝90°
∴Rt△EFO∽Rt△AOM
∴＝∴＝(9分)
∴OF＝∴FG＝2OF＝(10分)
解法二：
延长NO交AD于点M
∴四边形ABNM是矩形
∴AM＝BN＝AD＝1
∵O为Rt△ADE外接圆圆心
∴OA＝OE＝ON
设ON为x,则OM＝4－x(7分)
在Rt△AMO中,AM2＋OM2＝OA2
即12＋(4－x)2＝x2
x＝(8分)
∴OM＝4－＝
∵FG⊥AE,MN∥DC∴∠FEO＝∠MOA∠AMO＝∠EOF＝90°
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∴△EOF∽△OMA
∴＝∴＝(9分)
∴OF＝FG＝2OF＝(10分)
13. [2013·葫芦岛中考,20] (本小题满分8分)
如图,四边形ABCD中,AD∥BC,BA⊥AD,BC=DC,BE⊥CD于点E.
(1)求证:△ABD≌△EBD;
【答案】如图,
∵AD∥BC,
∴∠1=∠DBC.
∵BC=DC,∠2=∠DBC.
∴∠1=∠2.2分
又∵∠BAD=∠BED=90°,
BD=BD,∴△ABD≌△EBD.4分
(2)过点E作EF∥DA,交BD于点F,连接AF.求证:四边形AFED是菱形.【答案】由第1问得,AD=ED,∠1=∠2.
∵EF∥DA,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3.
∴EF=ED.5分
∴EF=AD.6分
∴四边形AFED是平行四边形.
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又∵AD=ED.
∴四边形AFED是菱形.8分
14. [2013·贵阳中考，20]
已知：如图，在菱形ABCD中，F为BC上的任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.
(1)求证：AE＝EC；
【答案】
14第14页共25页
证明：连接AC.
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴BD垂直平分AC.
∴AE＝EC.
(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置说明理由.
【答案】点F是线段BC的中点.
理由：∵菱形ABCD中，AB＝BC，
又∵∠ABC＝60°.
∴△ABC是等边三角形，∠BAC＝60°.
∵AE＝EC，∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°.
∴AF是△ABC的角平分线.
∵AF交BC于点F，
∴AF是△ABC的BC边上的中线.
∴点F是线段BC的中点.
15. [2012·上海中考,23]已知：如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,∠BAF＝∠DAE,AE与BD交于点G.
(1)求证：BE＝DF；
【答案】∵四边形ABCD为菱形,
∴AB＝AD＝BC＝CD,
∠ABD＝∠ADB＝∠CBD＝∠CDB,
∠ABE＝∠ADF
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∵∠BAF＝∠DAE,
且∠BAF＝∠BAE＋∠EAF,
∠DAE＝∠DAF＋∠EAF
∴∠BAE＝∠DAF.
∴△ABE≌△ADF(ASA).
∴BE＝DF.
(2)当＝时,求证：四边形BEFG是平行四边形.
【答案】在菱形ABCD中,ADBC,
∴∠DAE＝∠BEA,∠ADB＝∠EBD.
∴△AGD∽△EGB.
∴＝.
又∵＝,BE＝DF,
∴＝＝＝
∴GF∥BE.
∴∠DGF＝∠DBC.
∵∠DBC＝∠CDB,
∴∠DGF＝∠GDF,
∴GF＝DF,
∴BE＝GF.
∴BEGF,
∴四边形BEFG是平行四边形.
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16. [2013·乌鲁木齐中考,19]如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,分别与BC,CD交于E,F,EH⊥AB于H,连接FH.求证：四边形CFHE是菱形.
【答案】∵AE平分∠BAC,∴∠CAE＝∠EAH,而∠ACB＝90°,CD⊥AB,
∴∠CEA＋∠CAE＝∠AFD＋∠EAH＝90°,又∠APD＝∠CFE,
∴∠CFE＝∠CEF,∴CF＝CE.
又∵AE平分∠BAC,∠ACB＝90°.EH⊥AB,∴CE＝EH,
∴CF＝EH＝CE,∵CD⊥AB,EH⊥AB,∴CF∥EH,
∴四边形CFHE是菱形.
17. 如图所示,在菱形ABCD中,CE⊥AB于点E,CF⊥AD于点F,求证:AE=AF.
【答案】证法1：如图所示,连接AC,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC平分∠BAD,即∠BAC=∠DAC.
在△ACE和△ACF中,
∠AEC=∠AFC=90°,∠BAC=∠DAC,AC=AC,
∴△ACE≌△ACF(AAS),∴AE=AF.
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证法2：∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=DC=AD=AB,∠B=∠D.
又∵在△BCE和△DCF中,∠BEC=∠DFC=90°,
∴△BCE≌△DCF(AAS),∴BE=DF,∴AE=AF.
18. [2013·南宁中考，23]如图，在菱形ABCD中，AC是对角线，点E，F分别是边BC，AD 的中点.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
【答案】在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA(或AB＝CD，BC＝DA).
∠B＝∠D.
∵点E，F分别是边BC，AD的中点，
∴BE＝DF.
∴△ABE≌△CDF.
(2)若∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长.
【答案】解法一：∵AB＝BC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形.
∵点E是BC边的中点.
∴AE⊥BC.
在Rt△ABE中，sin B＝.
∴AE＝AB·sin B＝4×＝.
18第18页共25页
解法二：∵AB＝BC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形.
∵点E是BC边的中点，∴AE⊥BC.
∴∠BAE＝30°.
在Rt△ABE中，BE＝AB＝2.
∴AE＝＝＝.
19. [2012·温州中考,19](本题8分)
如图,△ABC中,∠B＝90°,AB＝6cm,BC＝8cm,将△ABC沿射线BC方向平移10cm,得到△DEF,A,B,C的对应点分别是D,E,F,连接AD.求证：四边形ACFD是菱形.
【答案】法一：∵∠B＝90°,AB＝6cm,BC＝8cm.
∴AC＝10cm.
由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm,DF＝AC,
∴AD＝CF＝AC＝DF,
∴四边形ACFD是菱形.
法二：由平移变换的性质得AD∥CF,
AD＝CF＝10cm,
∴四边形ACFD是平行四边形,
∵∠B＝90°,AB＝6cm,BC＝8cm,
19第19页共25页
∴AC ＝10cm,
∴AC＝CF,
∴▱ACFD是菱形.
20. [2011•兰州中考，27](本小题满分12分)
已知：如图17所示的一张矩形纸片ABCD(AD＞AB)，将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F.分别连接AF和CE.
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
【答案】由题意可知OA＝OC，EF⊥AO.
∵AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，
∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形(2分)
∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形.(4分)
(2)若AE＝10 cm，△ABF的面积为24 cm2，求△ABF的周长；
20第20页共25页
v1.0 可编辑可修改
【答案】∵四边形AECF是菱形，
∴AF＝AE＝10 cm.
设AB＝a，BF＝b，
∵△ABF的面积为24 cm2, a2＋b2＝100，ab＝48(6分)
(a＋b)2＝196，a＋b＝14或a＋b＝－14(不合题意，舍去)(7分)
△ABF的周长为a＋b＋10＝24 cm(8分)
(3)在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2＝AC AP若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.
【答案】存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点(9分) 证明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAO＝∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，∴＝，
∴AE2＝AO AP(11分)
∵四边形AECF是菱形，
∴AO＝AC，∴AE2＝AC AP，
∴2AE2＝AC AP.(12分)
21. [2013·营口中考,19]如图,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC一个外角的平分线,且
∠BAC=∠ACD.
(1)求证:△ABC≌△CDA;
【答案】∵AB=AC,∴∠B=∠ACB
又∵∠FAC是△ABC的一个外角,
21第21页共25页
∴∠FAC=∠B+∠ACB
∴∠FAC=2∠ACB2分
又∵AD是∠FAC的角平分线,∴∠FAC=2∠CAD,
∴∠ACB=∠CAD3分
又∵AC=CA,∠BAC=∠DCA
∴△ABC≌△CDA4分
(2)若∠ACB=60°,求证:四边形ABCD是菱形.
【答案】∵∠BAC=∠ACD
∴AB∥CD5分
又∵∠ACB=∠CAD,
∴AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.6分
∵AB=AC,∠ACB=60°,
∴等腰三角形ABC是等边三角形.7分
∴AB=BC.
∴四边形ABCD是菱形.8分
22. [2011•宁波中考,23](本小题满分8分)
如图13,在ABCD中,E,F分别为边AB,CD的中点,BD是对角线,过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G.
22第22页共25页
v1.0 可编辑可修改
(1)求证：DE∥BF；
【答案】在ABCD中,AB∥CD,AB＝CD
∵E,F分别为边AB,CD的中点
∴DF＝DC,BE＝AB
∴DF∥BE,DF＝BE(2分)
∴四边形DEBF为平行四边形(3分)
∴DE∥BF(4分)
(2)若∠G＝90°,求证：四边形DEBF是菱形.
【答案】∵AG∥BD
∴∠G＝∠DBC＝90°
∴△DBC为直角三角形(5分)
又∵F为边CD的中点
∴BF＝DC＝DF.(7分)
23第23页共25页
v1.0 可编辑可修改
又∵四边形DEBF为平行四边形
∴四边形DEBF是菱形(8分)
23. [2013·黄冈中考，17]如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB 于H，连接OH，求证：∠DHO＝∠DCO.
【答案】四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，∠COD＝90°，
∵DH⊥AB于H，∴∠DHB＝90°，
∴∠OHB＝∠OBH，
又∵AB∥CD.∴∠OBH＝∠ODC，
∴∠OHB＝∠ODC.
在Rt△COD中，∠ODC＋∠OCD＝90°，
在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，
∴∠DHO＝∠DCO.
24. [2013·锦州中考,20]如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.
求证:OE=BC.
【答案】∵DE∥AC,CE∥BD
∴四边形OCED是平行四边形2分
又∵AC,BD是菱形ABCD的对角线
24第24页共25页
∴AC⊥BD,即∠COD=90°4分
∴平行四边形OCED是矩形6分
∴OE=CD8分
又∵BC=CD9分
∴OE=BC10分
(学生用其他方法证明,请参照评分标准酌情给分)
25第25页共25页。