高考数学导数题型归纳文科

高考数学导数题型归纳文

科

Newly compiled on November 23, 2020

2、不等式恒成立常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）

第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为

主元）；

（请同学们参看2010省统测2）

例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为

()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已

知实数m 是常数，432

3()1262

x mx x f x =--

（1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；

（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.

例2：设函数),10(323

1

)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-=

（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.

（二次函数区间最值的例子）

第三种：构造函数求最值

题型特征：)()(x g x f >恒成立0)()()(>-=⇔x g x f x h 恒成立；从而转化为第一、二种题型

例3；已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 处的切线斜率为3-， （Ⅰ）求,a b 的值；

（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；

（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。

二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立， 回归基础题型

解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；

做题时一定要看清楚“在（m,n ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b ）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集 例4：已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(2

1121)(2

3++++=

． （Ⅰ）如果函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值； （Ⅱ）如果函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，求a 的取值范围．

例5、已知函数3211

()(2)(1)(0).32

f x x a x a x a =

+-+-≥ （I ）求()f x 的单调区间；

（II ）若()f x 在[0，1]上单调递增，求a 的取值范围。子集思想

三、题型二：根的个数问题

题1函数f(x)与g(x)（或与x 轴）的交点======即方程根的个数问题 解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小

值与0的关系；

第三步：解不等式（组）即可；

例6、已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=3

1

)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函

数．

（1） 求实数k 的取值范围；

（2） 若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围． 根的个数知道，部分根可求或已知。

例7、已知函数321

()22

f x ax x x c =+-+

（1）若1x =-是()f x 的极值点且()f x 的图像过原点，求()f x 的极值；

（2）若21

()2

g x bx x d =-+，在（1）的条件下，是否存在实数b ，使得函数()g x 的图像

与函数()f x 的图像恒有含1x =-的三个不同交点若存在，求出实数b 的取值范围；否则说明理由。

题2：切线的条数问题====以切点0x 为未知数的方程的根的个数

例7、已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的取值范围为(1,3)，求：（1）()f x 的解析式；（2）若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．

题3：已知()f x 在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数

解法：根分布或判别式法 例8、

例9、已知函数2

32

13)(x x a x f +=

，)0,(≠∈a R a （1）求)(x f 的单调区间；（2）令()g x ＝

14

x 4

＋f （x ）（x ∈R ）有且仅有3个极值点，求a 的取值范围． 其它例题：

1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在R 上的函数

32()2f x ax ax b =-+）

（0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；

（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 2、（根分布与线性规划例子）

（1）已知函数322

()3

f x x ax bx c =+++

(Ⅰ) 若函数()f x 在1=x 时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线

30x y +=平行, 求)(x f 的解析式；

(Ⅱ) 当()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,2)x ∈取得极小值时, 设点

(2,1)M b a -+所在平面区域为S, 经过原点的直线L 将S 分为面积比为1:3的两部分,

求直线L 的方程.

解： (Ⅰ). 由2()22f x x ax b '=++, 函数()f x 在1=x 时有极值 ,

∴ 220a b ++= ∵ (0)1f = ∴ 1c =

又∵ ()f x 在(0,1)处的切线与直线30x y +=平行, ∴ (0)3f b '==- 故 1

2

a = ∴ 32

21()3132

f x x x x =

+-+ ……………………. 7分 (Ⅱ) 解法一: 由2()22f x x ax b '=++ 及()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,2)x ∈取得极小值,

∴ (0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩ 即 0

220480b a b a b >⎧⎪

++<⎨⎪++>⎩

令(,)M x y , 则 2

1x b y a =-⎧⎨=+⎩