空间曲线及其方程笔记
空间曲线(4-5)(2012)
空间曲线在坐标面上的投影． 空间曲线在坐标面上的投影．
H( x, y) = 0 R( y, z) = 0 z = 0 x = 0 T( x, z) = 0 y = 0
思考题
求椭圆抛物面 2 y + x = z 与抛物柱面 2 2 − x = z 的交线关于 xoy 面的投影柱面和 面上的投影曲线方程. 在 xoy 面上的投影曲线方程
解 设平面为 Ax + By + Cz + D = 0, 由平面过原点知 D = 0,
由平面过点( 6,−3, 2) 知 6 A − 3 B + 2C = 0
r Q n⊥{4,−1,2},
∴ 4 A − B + 2C = 0
2 ⇒ A = B = − C, 3 所求平面方程为 2 x + 2 y − 3 z = 0.
ωt
o
x A
M
•
x = a cos ω t y = a sin ω t z = vt
y
M′
螺旋线的参数方程
螺旋线的参数方程还可以写为
x = a cosθ y = a sinθ v z = bθ (θ = ω t , b = )
ω
螺旋线的重要性质： 螺旋线的重要性质： 性质 上升的高度与转过的角度成正比． 上升的高度与转过的角度成正比． 即 z : bθ 0 → bθ 0 + bα , θ : θ0 → θ0 + α ,
x − x1 x2 − x1 x3 − x1
y − y1 z − z1 y2 − y1 z2 − z1 = 0 y3 − y1 z3 − z1
空间曲面与曲线方程例题和知识点总结
空间曲面与曲线方程例题和知识点总结在数学的广袤领域中，空间曲面与曲线方程是一个充满魅力且具有重要意义的部分。
它不仅在理论研究中占据关键地位，也在实际应用中发挥着巨大作用，如工程设计、计算机图形学等。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解空间曲面与曲线方程的相关知识。
一、空间曲面方程的类型空间曲面方程主要有以下几种常见类型：1、球面方程以点$（a,b,c)＄为球心，＄r$为半径的球面方程为$（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＋（z c)＾2 ＝ r^2$。
2、柱面方程母线平行于＄z$ 轴，准线为＄xOy$ 平面上的曲线＄f(x,y) ＝0$ 的柱面方程为＄f(x,y) ＝ 0$ 。
3、旋转曲面方程曲线＄y ＝ f(z)＄绕＄z$ 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为＄x^2 ＋ y^2 ＝ f^2(z)＄。
二、空间曲线方程的表示空间曲线可以用一般式方程和参数方程来表示。
1、一般式方程由两个曲面方程联立而成，例如＄＼begin{cases}F(x,y,z) ＝ 0 ＼＼G(x,y,z) ＝ 0\end{cases}＄。
2、参数方程设空间曲线的参数方程为＄＼begin{cases}x ＝ x(t) ＼＼ y ＝ y(t) ＼＼ z ＝ z(t)＼end{cases}＄，其中＄t$ 为参数。
三、例题解析例 1：求以点$（1,2,3)＄为球心，半径为 4 的球面方程。
解：根据球面方程的公式，可得$（x 1)＾2 ＋（y 2)＾2 ＋（z 3)＾2 ＝ 16$ 。
例 2：已知圆柱面的母线平行于＄z$ 轴，准线是＄xOy$ 平面上以原点为圆心，半径为 2 的圆，求该圆柱面的方程。
解：准线方程为＄x^2 ＋ y^2 ＝ 4$，因为母线平行于＄z$ 轴，所以圆柱面方程为＄x^2 ＋ y^2 ＝ 4$ 。
例 3：曲线＄y ＝＼sqrt{x}＄绕＄x$ 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程是什么？解：将＄y ＝＼sqrt{x}＄改写为＄y^2 ＝ x$ ，绕＄x$ 轴旋转一周得到的旋转曲面方程为＄y^2 ＋ z^2 ＝ x$ 。
25--第四节--空间曲线及其方程
第四节 空间曲线及其方程一 空间曲线的一般方程曲面(), , 0F x y z =和(), , 0G x y z =的交线C 可表示为它称为空间曲线C 的一般方程.例1 方程组221,236x y x z ⎧+=⎨+=⎩表示何曲线?解 221x y +=表示母线平行于z 轴的圆柱面, 其准线是xy 面上的圆221x y +=. 236x z +=表示一个母线平行于y 的柱面, 其准线是xz 面上的直线236x z +=, 因而236x z +=在空间表示一个平面. 221,236x y x z ⎧+=⎨+=⎩是上述圆柱面和平面的交线.例2方程组22222z a a x y ⎧=⎪⎨⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩表示何曲线? 解二 空间曲线的参数方程叫做空间曲线的参数方程，t 称为参数.例3 若空间一点M 在圆柱面222x y a +=上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿着平行于z 轴的正方向上升 (ω和v 均为常数) , 则点M 的轨迹叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解 设t 为时间. 当0t =时, 设M 位于x 轴上的(), 0, 0A a 处. 经过时间t , M 由A 运动到(), , M x y z . 记M 在xy 面上的投影为(), , 0M x y ', 则于是, 螺旋线的参数方程为注 若设t ωθ=, 则该方程变为这里, vb ω=为常数, 而θ是参数. 这说明曲线的参数方程不唯一, 参数的选择也不唯一.曲面的参数方程 (删)三 空间曲线在坐标面上的投影以空间曲线C 为准线且母线垂直于平面α的柱面S 称为曲线C 关于平面α的投影柱面. S 和α的交线C '称为C 在α上的投影曲线或投影.设有空间曲线.由此消去z , 得C 关于xy 面的投影柱面(): , 0S P x y =.于是, C 在xy 面上的投影曲线为同理, 若由()(), , 0,: , , 0F x y z C G x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩消去x , 则得C 关于yz 面的投影柱面 和C 在yz 面上的投影若由()(), , 0,: , , 0F x y z CG x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩消去y , 则得C 关于xz 面的投影柱面 和C 在xz 面上的投影例4 求曲线()()2222221,: 111x y z C x y z ⎧++=⎪⎨+-+-=⎪⎩在xy 面上的投影曲线. 解 用第一式减去第二式, 得1y z +=.于是, 1z y =-. 代入2221x y z ++=, 得 22220+-=x y y ,从而所求的投影方程为注1 ()()2222221,: 111⎧++=⎪⎨+-+-=⎪⎩x y z C x y z 是球面2221++=x y z 和()()222111+-+-=x y z 的交线, 因而C 是一个圆.注2 1+=y z 是曲线C 向yz 面的投影柱面 (平面) , 它是C 所在的平面.注3 22220+-=x y y 是C 向xy 面的投影柱面, 即221211124⎛⎫- ⎪⎝⎭+=y x (椭圆柱面) . 于是, 投影曲线为22121,11240⎧⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎪+=⎨⎪⎪=⎩y x z (椭圆) . 例5设一个立体由上半球面z =和锥面z = 求它在xy 面上的投影.解 z =和z =: z C z ⎧=⎪⎨=⎪⎩消去z , 得221x y +=, 它是从C 向xy 面所作的投影柱面 (圆柱面) .C 在xy 面上的投影曲线为221,: 0.⎧+='⎨=⎩x y C z (xy 面上的单位圆). 所求立体在xy 面上的投影即该圆的内部.作业 P. 324 1 (1) , (2) , 2, 3, 4, 7, 8提示2 (2) 作图后易理解.3 由已知的方程组分别消去x 和y 即可.4 由已知方程消去z .7 参照例2. 0z ≤≤表上半球面z =0z =所围的半球体的内部, 22x y ax +≤表圆柱体220x y ax +-=的内部.。
第04章空间曲线及其方程
y
x2 + y2 1
这是xoy面上的一个圆.
所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x2 + y2 1
§6
二次曲面的标准方程
1.定义 由x, y, z的二次方程: ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0
所表示的曲面, 称为二次曲面.
2 2 z 4 x y 例8: 设一个立体由上半球面 和锥面 2 2 z 3 ( x y )所围成, 求它在xoy面上的投影.
z
解: 半球面与锥面的交线为
2 2 z 4 x y C: 2 2 z 3 ( x y )
O
由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1 ( 圆柱面) x 于是交线C 在xoy面上的投影曲线为 x2 + y2 = 1 z=0
h
t O M
A
M y
x
(1) 动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转, 所以经过时间t, AOM = t. 从而
x = |OM | · cosAOM = acos t
y = |OM点同时以线速度v沿 z 轴向上升. 因而
的变动便可得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做
空间曲线的参数方程.
例6: 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以 角速度 绕 z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿 平行于z 轴的正方向上升(其中,v都是常数), 那末点M 构成的图形叫做螺旋线, 试建立其 z 参数方程. 解: 取时间t为参数, 设当t = 0时, 动点位于x轴上的一点 A(a, 0, 0)处, 经过时间t, 由A 运动到M(x, y, z), M在xOy面 上的投影为M (x, y, 0).
§7.4空间曲线及其方程高数
单叶双曲面: x a sec cos y b sec sin 4 4 z c tan 0 2 圆环面: x ( R r cos ) cos y ( R r cos ) sin 0 2 0 2 z r sin 正螺面:
解: 取时间 t 为参数, 当 t = 0 时, 动点从 x 轴上的 一点A(a, 0, 0)出发, 经过 t 时间, 运动到点M(x, y, z ), M 在xoy面上的投影为M(x, y, 0). z 由于点M在圆柱面 x2 + y2 = a2上以 角速度 绕 z 轴旋转, 所以经过时间 t , AOM= t. 从而: x =| OM |cosAOM= a cos t. y =| OM | sinAOM= a sin t. o M 又由于点M同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升, 所以 x A y M z=vt t x a cos t 因此, 螺旋线的参 y a sin t 数方程为: z v t
x2 y2 1 z 0
x
2
y
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
z 4 x 2 y 2 和锥面 例6: 设一个立体由上半球面 z 3( x 2 y 2 ) 所围成, 求该立体在xoy面上的投影.
解: 半球面和锥面的交线为 z 4 x 2 y2 , C : z 3( x 2 y 2 ) , 消去 z 得投影柱面方程: x2 + y2 = 1. 则交线C在xoy面上 的投影曲线方程为: x 2 y 2 1, z 0. 这是xoy面上的一个圆, 所以, 所求立体在xoy面上的投 影(区域)为: x 2 y 2 1.
大一解析几何知识点笔记
大一解析几何知识点笔记解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究平面和空间中的几何问题，并运用代数方法进行分析。
作为一门基础课程，大一解析几何为后续学习高级数学和工程数学打下了坚实的基础。
以下是大一解析几何的几个重要知识点的笔记：1. 直线的方程：- 点斜式：给定一点P(x₁, y₁)和斜率k，直线的方程可以表示为y - y₁ = k(x - x₁)。
- 两点式：给定两点P₁(x₁, y₁)和P₂(x₂, y₂)，直线的方程可以表示为(y - y₁)/(y₂ - y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁)。
2. 圆的方程：- 标准方程：对于圆心坐标为(h, k)，半径为r的圆，方程可以表示为(x - h)² + (y - k)² = r²。
- 一般方程：对于圆心坐标为(h, k)，半径为r的圆，方程可以表示为x² + y² + Dx + Ey + F = 0。
3. 平面和空间中的直线：- 参数方程：直线上的点可表示为P(x, y, z) = P₀ + tV，其中P₀为直线上一点的坐标，V为方向向量，t为参数。
- 向量方程：直线上的点可表示为r = r₀ + tv，其中r₀为直线上一点的位置向量，v为方向向量，t为参数。
- 两平面交线：两个平面的方程联立，解得交线的参数方程。
4. 平面和空间中的圆：- 参数方程：圆上的点可表示为P(x, y, z) = C + r(cosθu +sinθv)，其中C为圆心坐标，r为半径，θ为参数，u和v为单位向量。
- 一般方程：对于圆心坐标为(h, k, l)，半径为r的圆，方程可以表示为(x - h)² + (y - k)² + (z - l)² = r²。
5. 平面与空间中的曲线：- 抛物线：方程可表示为y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数。
空间曲线
x x0 m t , y y0 n t , z z p t. 0
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例1 设一动点一方面绕一定直线作匀角速度的圆周 运动, 另一方面作平行于该直线的匀速直线运动, 这个 动点的轨迹称为圆柱螺线.试建立其方程. 解 取定直线为z 轴, 动点P 的运动 方向为z轴的正方向. 选取x轴, 使得在t = 0时, P在x轴的正半 轴上. 设此时P的横坐标为a, 角速度为ω, 匀速直线运动的 速率为v. 设在t 时刻, P的坐标 为(x, y, z) . 由P向xoy平面作垂 线,垂足为M (x, y, 0) . 则
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二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数 t 的函数:
x x(t ), y y (t ), z z (t ).
t (, )
称为空间曲线的参数方程. x x0 y y0 z z0 如直线 的参数方程为 m n p
在三坐标面上的射影曲线方程如何？
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F x, y, z 0, 对于 xoy 面的射影柱面 设曲线 ： Gx, y, z 0 则它在 xoy 面上的射影曲线方程 方程为 F1 ( x, y) 0，
为
F1 ( x, y) 0, z 0.
同理可得曲线在另外两个坐标面上的投影曲线方程. 2 设曲线 xoz对于 xoy 面和 xoz面的射影柱面方程
x 2 ( z 2) 2 1, 4 36 x 2 4 y.
这说明曲线对 xOz 平面的射影柱面是一个方程为
x ( z 2) 1 的椭圆柱面； 而曲线对 xoy 面的射影 36 4
2 2
柱面是方程为 x 2 4 y, x 6 的一截抛物柱面(不是 整个抛物柱面),这是因为由该方程组的第一个方程 知 x 6.
7_7空间曲线
四、空间曲线的切线与法平面
点 M 0处的切线为此点处割线的极限位置. 过点 M 0 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面. 求空间曲线的切线与法平面的关键在于
t t0
lim r (t ) r (t0 )
t t0
t t0
t t0
t t0
r ( t ) 在 t 0点连续 x ( t ), y( t ), z ( t ) 都在 t 0 点连续 r ( t ) 在区间 I 连续 x ( t ), y( t ), z ( t ) 都在区间 I 连续
（对应的图形为连续曲线）
导数
r ( t ) t t 0 t t0
r ( t )在I 上可导.
如果 r ( t ) 在区间 I 上每一点都可导， 则称
向量值函数 r ( t ) x( t ), y( t ), z ( t ) 在 t 点可导
证: 先看简单情况， 当A是矩形, 且一边与x轴平行,
则 也是矩形, 且
σ ab | cosγ | A | cosγ |
成立.
b
A
a o y
一般情况，将A分割成 若干个上述类型的小矩形， 然后累加，再取极限即可. 证毕.
.
.
x
三、一元向量值函数
引例: 已知空间曲线 的参数方程:
x x (t ) y y (t ) z z (t )
空 间 立 体
曲 面
例如, 上半球面 和锥面
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 .
05 第五节 空间曲线及其方程
第五节 空间曲线及其方程内容分布图示★ 空间曲线的一般方程★ 例1 ★ 例2★ 空间曲线的参数方程 ★ 例3★ 空间曲线在坐标面上的投影★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 空间立体在坐标平面上的投影区域★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题7-5★ 返回内容要点：一、 空间曲线的一般方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 二、空间曲线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x三、 空间曲线在坐标面上的投影⇒⎩⎨⎧==.0),,(,0),,(z y x G z y x F ⇒=0),(y x H ⎩⎨⎧==00),(z y x H例题选讲：空间曲线的一般方程例1 (讲义例1)方程组 ⎩⎨⎧=+=+632122z x y x 表示怎样的曲线? 例2 (讲义例2) 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛---=42222222a y a x y x a z 表示怎样的曲线? 空间曲线的参数方程例3 (讲义例3) 若空间一点M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升 (其中ω、v 是常数), 则点M 构成的图形叫做螺旋线（图7-5-4）. 试建立其参数方程.空间曲线在坐标面上的投影 例4 (讲义例4) 求曲线⎩⎨⎧==++2/11222z z y x 在坐标面上的投影方程.例5 求抛物面x z y =+22与平面02=-+z y x 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. 例6 (讲义例6) 设一个立体由上半球面224y x z --=和锥面)(322y x z +=所围成（图7-5-5）, 求它在xOy 面上的投影.课堂练习1.指出方程组 ⎩⎨⎧==++12y z y x 表示什么曲线. 2.求椭圆抛物面z x y =+222与抛物柱面z x =-22的交线关于xOy 面的投影柱面和在xOy 面上的投影曲线方程.。
空间曲线与空间曲面学习总结
空间曲线与空间曲面的学习总结王德才201121102340电子商务1133班一、曲面方程1 曲面方程的概念及一般方程如果曲面S与三元方程F(x, y, z)=0 (1)有下述关系：（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程(1)；（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1)，那末，方程(1)就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程(1)的图形。
2. 平面方程的几种形式（1）一般形式：Ax+By+Cy+D=0，其中{A，B，C}是平面法向，。
（2）点法式方程：（3）截距式方程：（4）三点式方程：已知平面过空间三点，，，则平面方程为3.几种特殊的曲面方程（1）球面方程：空间中与一定点的距离为定值的动点的轨迹。
定点称为球心，定距离称为半径。
球面也可以看成是由半圆绕着它的直径旋转一周所形成的曲面。
，0≤θ≤2π，0≤φ≤π（2）旋转曲面方程定义：曲线C绕定直线旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面。
其中C——母线轴，与垂直的任一平面与旋转曲面交成一圆——维圆，过的任一平面与旋转曲面交成一圆——经线（子午线）注：旋转曲面的母线不唯一，它的任一经线均是其母线。
设平面曲线z轴旋转,则旋转曲线方程为角坐标系中，只含两个变量的二次方程一般总表示一个二次柱面或者两个平面。
若一动直线沿已知曲线C移动，且始终与某一定直线平行，则这样形成的曲面称为柱面。
曲线C称为准线。
动直线L称为母线。
F（x，y）=0 表示母线平行于z轴的柱面。
F（y，z）=0 表示母线平行于x轴的柱面。
F（x，z）=0 表示母线平行于y轴的柱面。
母线平行与坐标轴的柱面方程为不完全的三元方程,如F(y, z)=0就表示母线平行与x轴,准线为.二空间曲线的方程1、普通方程（1）定义:设L为空间曲线,空间中建立了坐标系之后,若L上任一点M(x,y,z)的坐标都满足方程组,而且凡坐标满足方程组的点都在曲线L上,L的普通方程,又称一般方程,记作(图2.8)注: 1°在空间坐标系下,任一曲线的方程定是两方程联立而成的方程组; 2°用方程组去表达曲线,其几何意义是将曲线看成了二曲面的交线（如图2.8）;3°空间曲线的方程不唯一(但它们同解),如均表示z轴（2）用曲线的射影柱面的方程来表达曲线以曲线L为准线,母线平行于坐标轴的柱面称为L的射影柱面,若记L的三射影柱面的方程为 (x,y)=0,则便是L的用射影柱面表达的方程若已知曲线只需从L的方程中,分别消去x,y,z便三射影柱面的方程(y,z)=0, (z,x)=0,例:设有曲线试求L的射影柱面,并用射影柱面方程表达曲线.解:从L的方程中分别消去x,y,z得到z²-4y=4z,x²+z²=4z,x²+4z=0它们即为L的射影柱面,而便均是L的用射影柱面表达的方程注:利用方程(2)即可作出L的草图2、参数方程:（1）定义:设L为一空间曲线，r=r(t),t∈A为一元矢函数,在空间坐标系下，∈L，∈A，（t），∈A，必有P∈L，使r（t），则称r=r（t），t∈A为曲线L的矢量式参数方程，记作L=r=r（t），t∈A，t ——参数若点r（t）={x（t），y（t），z（t）}∈A为L的坐标式参数方程注：空间曲线的参数方程中，仅有一个参数，而曲面的参数方程中，有两个参数，所以习惯上，称曲线是单参数的，而曲面是双参数的。
空间曲线理解空间曲线的特征与方程
空间曲线理解空间曲线的特征与方程空间曲线是在三维空间中的曲线形状，它可以是直线、圆、椭圆、双曲线等形式。
要理解空间曲线的特征与方程，我们首先需要了解空间曲线的参数化表示和方程表示。
一、空间曲线的参数化表示空间曲线的参数化表示是通过引入参数来表示曲线上的点的位置。
一般情况下，我们用参数t来描述曲线上的点，根据参数t的变化，曲线上的点也随之变化。
以一个简单的直线为例，我们可以用参数方程表示：x = x₀ + aty = y₀ + btz = z₀ + ct其中，x₀、y₀、z₀分别是直线上的一点的坐标，a、b、c是直线的方向向量。
另外，还可以通过其他参数方程来表示空间曲线的形状，如二次曲线的参数化表示。
这些参数化表示方程可以根据曲线的特征进行选择，有助于准确描述曲线的形状。
二、空间曲线的方程表示除了参数化表示，空间曲线还可以通过方程表示。
方程表示是通过一组方程来描述曲线上的点的位置。
以一个简单的圆为例，我们可以用方程组表示：x² + y² = r²z = z₀其中，r是圆的半径，(x,y)是点在平面上的坐标，z₀表示圆在空间上的位置。
类似地，其他空间曲线也可以通过相应的方程组表示，如椭圆的方程、双曲线的方程等。
这些方程表示可以更直观地展示曲线的形状和特征。
三、空间曲线的特征与方程之间的关系空间曲线的特征与方程之间存在密切的关系，通过方程我们可以了解曲线的特征，而通过特征我们也可以推导出方程。
以圆为例，我们知道圆的特征是在平面上的所有点到圆心的距离都相等。
而通过这个特征，我们可以推导出圆的方程x² + y² = r²。
同样地，通过了解空间曲线的特征，我们可以推导出相应曲线的方程。
例如，椭圆的特征是在平面上的任意点到两个焦点的距离和等于常数，而通过这个特征可以得到椭圆的方程。
在数学中，我们可以通过了解空间曲线的特征来推导其方程，或者通过给定的方程来分析曲线的特征。
第四节 空间曲线及其方程.
2005.5
湖北经济学院数学教研室
因此螺旋线的参数方程为
x a cost,
y
a
sint
,
z vt.
也可以用其他变量作参数; 例如令
t , 则螺旋线的参数方程可写为
x a cos ,
y
a
sin
,
z b .
记M在xOy面上的投影为M, M的坐标为 x, y,0. 由于动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转, 所以经过时间t,
AOM t 从而 x OM cos AOM a cos t,
y OM sinAOM a sint.
由于动点同时以线速度v沿平行于z轴的正方向上升, 所以
y
yt ,
(2)
z zt .
当给定t t1时,就得到C上的一个点x1, y1, z1
随着t的变动便可得曲线C上的全部点.
方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.
2005.5
湖北经济学院数学教研室
例3 如果空间一点M在圆柱面 x2 y2 a2上以角速度
绕z轴旋转, 同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其
绕z轴旋转, 所得旋转曲面的方程为
x y
t2 t2 cos , t2 t2 sin ,
z t.
t 0 2
（4）
这是因为, 固定一个t, 得上一点M1t , t,t , 点 M1
y
t
,
z 2t
绕z轴旋转所得旋转曲面(图7-48)的方程为
微积分中的空间曲线与空间曲面方程
微积分中的空间曲线与空间曲面方程微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是变化与极限。
在微积分中，我们经常会遇到空间曲线和空间曲面方程的问题。
本文将探讨微积分中的空间曲线与空间曲面方程的相关知识。
一、空间曲线空间曲线是指在三维空间中由一系列点组成的曲线。
在微积分中，我们通常使用参数方程来描述空间曲线。
参数方程是通过引入一个或多个参数来表示曲线上的点的坐标。
例如，对于一条空间曲线C，我们可以使用参数t来表示曲线上的点的坐标，即(x(t), y(t), z(t))。
在研究空间曲线时，我们经常需要计算曲线的长度、曲率等属性。
曲线的长度可以通过弧长公式来计算，即L = ∫ds，其中ds表示弧长元素。
曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要指标，可以通过曲线的切线和曲率半径来计算。
曲率半径R可以通过公式R = (1/k)来计算，其中k是曲线的曲率。
二、空间曲面方程空间曲面是指在三维空间中由一系列点组成的曲面。
在微积分中，我们通常使用隐式方程或参数方程来描述空间曲面。
隐式方程是通过将曲面上的点的坐标代入方程得到的等式，例如F(x, y, z) = 0。
参数方程是通过引入一个或多个参数来表示曲面上的点的坐标，例如(x(u, v), y(u, v), z(u, v))。
在研究空间曲面时，我们经常需要计算曲面的切平面、法向量等属性。
曲面的切平面是指与曲面相切且与曲面的法向量垂直的平面。
切平面可以通过曲面上一点的法向量和该点的切向量来确定。
曲面的法向量是指与曲面上任意一点的切平面垂直的向量，可以通过曲面的方程来计算。
三、应用举例现在我们来看一个应用举例，以帮助更好地理解微积分中的空间曲线与空间曲面方程。
假设我们有一个空间曲线C，其参数方程为：x(t) = cos(t)y(t) = sin(t)z(t) = t我们希望计算曲线C在区间[0, 2π]上的长度。
根据弧长公式，曲线C的长度可以表示为：L = ∫ds其中，ds表示弧长元素，可以表示为：ds = √(dx^2 + dy^2 + dz^2)将曲线C的参数方程代入上式，可以得到：ds = √((-sin(t))^2 + (cos(t))^2 + 1^2) dt= √(2) dt因此，曲线C在区间[0, 2π]上的长度可以表示为：L = ∫√(2) dt= √(2) t |[0, 2π]= √(2) (2π - 0)= 2√(2)π通过以上计算，我们得知曲线C在区间[0, 2π]上的长度为2√(2)π。
§8.4空间曲线
§8.4 空间曲线8.4.1空间曲线及其方程1．空间曲线的参数方程在第8.2节中我们学习过的直线是一种最简单的空间曲线，直线可以用参数方程表示．如果把参数t 看作时间，那么直线可以看作空间中作匀速运动的质点的轨迹．一般地，空间运动的质点的轨迹对应一条空间曲线．同样，空间曲线可以由参数方程来刻画．对于空间曲线C 来说，曲线C 上动点M 的坐标,,x y z 也可以用一个参数t 的函数来表达为()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩ （8.4.1） 反之，对于方程组(8.4.1)，当给定t 的一个值1t 时，就得到曲线C 上的对应的一个点()1111(),(),()M x t y t z t ．当t 在某一个区间内变动时，便可得到曲线C 上所有的点．我们称方程组(8.4.1)为空间曲线C 的参数方程，并称t 为参数．例 1 设空间一动点M ，在圆柱面222x y R +=上以等角速度ω绕z 轴旋转，同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正向均匀地上升．动点M 的轨迹称为圆柱螺旋线．试求其参数方程．解 取时间t 为参数．当0t =时（运动开始时刻），动点M 位于点(),0,0A R ，经过时间t 后，动点位于点(),,M x y z ，如图8.4.1所示．点M 在xOy 平面上的投影点为(),,0N x y ．因为动点在圆柱面上以等角速度ω绕z 轴旋转，所以经过时间t 后旋转的角度为AON t ω∠=．于是有cos cos x ON t R t ωω==， sin sin y ON t R t ωω==．由于动点同时又以匀线速度v 沿平行于z 轴的正向上升，因此，z NM vt ==．这样就得圆柱螺旋线的参数方程为cos sin x R ty R t z vt ωω=⎧⎪=⎨⎪=⎩（8.4.2）图8.4.1 圆柱螺旋线也可选用其它参数．例如，令t ωθ=，则圆柱螺旋线的参数方程 (8.4.2)可以写成以θ为参数的方程cos sin x R y R z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩其中，vb ω=为常数．圆柱螺旋线是实际中常用的曲线．例如，平头螺丝钉的外缘曲线就是圆柱螺旋线．当拧紧螺丝时，曲线上任何一点M ，一方面绕螺丝钉轴旋转，另一方面又沿平行于轴线的方向移动．当点M 转过一周时，它上升的高度为2h b π=．称h 为螺距．2．空间曲线的一般方程我们知道，直线可以看作是两平面的交线．同样，任何空间曲线总可以看成是某两个曲面的交线．设两曲面的方程为(),,0F x y z = 及 (),,0G x y z =，它们的交线为曲线C ，因为曲线C 上任何点(),,M x y z 都同时在这两个曲面上，所以曲线C 上任何点M 的坐标,,x y z 都满足这两个方程．反之，同时满足这两个方程的,,x y z 所对应的点M 必定在它们的交线C 上．因此，把这两个曲面的方程联立所得的方程组()(),,0,,0F x y zG x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩ （8.4.3） 称为空间曲线C 的方程．这种形式的空间曲线方程称为空间曲线的一般方程．例2 方程组222222220,0x y z Rz x y z R ⎧++−=⎪⎨++−=⎪⎩ 表示怎样的曲线？解 方程组中的第一个方程表示球心在()0,0,R ，半径为R 的球面；第二个方程表示球心在原点，半径为R 的球面．因此，方程组所表示的是两球面的交线，它是一个圆，如图8.4.2所示．这个圆还可以用方程组222212x y z R z R⎧++=⎪⎨=⎪⎩来表示，也可用方程组2223412x y R z R ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （8.4.4） 来表示．前一个方程组是由球心在原点，半径为R 的球面与平面12z R =的交线来表示圆．后一个方程组是由母线平行于z 轴的圆柱面22234x y R +=与平面12z R =的交线来表示圆．这三个方程组是等价的，因为它们表示同一个圆．由此可知，表示一条空间曲线的方程组不是唯一的．另外，由（8.4.4）式容易得到该曲线的参数方程为1cos ,sin ,222x R y R z R θθ===． 例3 方程组22z x y Rx ⎧=⎪⎨+−=⎪⎩ （8.4.5） 表示什么样的曲线？解 方程组中的第一个方程表示球心在()0,0,R ，半径为R 的上半球面；第二个方程表示准线为xOy 平面上的圆220x y Rx +−=，母线平行于z 轴的圆柱面．因此，方程组表示上半球面与圆柱面的交线，如图8.4.3所示．称该空间曲线为维维安尼曲线．图8.4.3 维维安尼曲线图8.4.2 两球面的交线8.4.2空间曲线在坐标平面上的投影在研究多元函数的积分问题时，我们通常需要知道空间曲线在平面上，特别是坐标面上的投影曲线的方程和形状．下面分别就空间曲线方程为参数形式以及一般形式两种情况进行讨论．设空间曲线C 的参数方程为C ：()()(),,x x t y y t z z t === ()01[,]t t t ∈． （8.4.6）在建立坐标系Oxyz 时，我们就知道了空间一点(),,P x y z 在xOy 、yOz 和xOz 平面中的投影分别为(),,0x y 、()0,,y z 和(),0,x z ．因此，当空间曲线C 由参数方程（8.4.6）表示时，很容易求得曲线在各坐标面上的投影曲线．例如，曲线C 在xOy 平面上的投影曲线为xy C ：()(),,0x x t y y t z === ()01[,]t t t ∈．读者亦不难自己得出曲线C 在其余两坐标平面上的投影曲线的参数表示．例4 求例1中的圆柱螺旋线在三个坐标面上的投影曲线．解 根据上述点在坐标面上投影的关系易知，圆柱螺旋线在xoy 面上的投影曲线的参数方程为cos ,sin ,0x R t y R t z ωω===，即，222x y R +=，0z =，这是xoy 平面上的一个圆．同理，圆柱螺旋线在yoz 平上的投影曲线的参数方程为0,sin ,x y R t z vt ω===，这是yoz 平面上的一条正弦曲线，方程为siny R z vω=，0x =；圆柱螺旋线在xoz 平面上的投影曲线的参数方程为cos ,0,x R t y z vt ω===，这是xoz 平上的一条余弦曲线，方程为cos,0x R z y vω==．接下来，考虑空间曲线由一般方程给出时，它在坐标面上的投影曲线． 设空间曲线C 的一般方程为()()1200F x,y,z ,F x,y,z =⎧⎪⎨=⎪⎩ （8.4.7） 由方程组（8.4.7）消去z ，得方程()0F x,y =． （8.4.8）因为，若x,y,z 满足方程组（8.4.7），则其中的x,y 也满足方程（8.4.8），因此，曲线C 上所有的点都在由方程（8.4.8）所确定的曲面上．由8.3节知道，方程（8.4.8）表示一个母线平行于z 轴的柱面．该曲面包含曲线C ．换言之，柱面的任意一条母线必定过曲线C 上的某一点．这种以空间曲线C 为准线，母线平行于z 轴的柱面称为空间曲线C 关于xOy 平面的投影柱面．投影柱面与xOy 平面的交线Γ为空间曲线C 在xOy 平面上的投影曲线，其方程为(),0,:0.F x y z =⎧⎪Γ⎨=⎪⎩如果把投影柱面理解为经过空间曲线C 且垂直射向xOy 平面的“光柱”，那么，投影曲线Γ就是曲线C 在该光柱下的影子．同理，由方程组（8.4.7）消去x 或y 后，就得到空间曲线C 分别关于yOz 平面及zOx 平面的投影柱面方程分别为()0G y,z = 或 ()0H x,z =，曲线C 在yOz 平面上、zOx 平面上的投影曲线方程为()00G y,z ,x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 或 ()00H x,z ,y .=⎧⎪⎨=⎪⎩ 例5 求空间曲线C ：()()2222221111x y z ,x y z ⎧++=⎪⎨+−+−=⎪⎩在xOy 平面上的投影曲线方程． 解 两方程相减得1y z +=，将1z y =−代入曲线C 的第一个方程，得其在xOy 平面上的投影柱面的方程22220x y y +−=，投影曲线为222200x y y ,z .⎧+−=⎨=⎩图8.4.4 给出了空间曲线C 及其投影的图形．例6 求例3中的维维安尼曲线在各坐标面上的投影曲线，并写出维维安尼曲线的参数方程．解 将曲线C 的方程220z x y Rx ⎧=⎪⎨+−=⎪⎩化为222222,(0).0x y z R z x y Rx ⎧++=⎪≥⎨+−=⎪⎩ （8.4.9） 由于（8.4.9）式的第二个方程不含变量z ，所以曲线C 关于xOy 平面的投影柱面的方程为220x y Rx +−=，曲线C 在xOy 平面上的投影曲线为220,0.x y Rx z ⎧+−=⎨=⎩ （8.4.10）由方程组（8.4.9）消去x ，得曲线C 关于yOz 平面的投影柱面方程为22422224R R R y z ⎛⎞+−=⎜⎟⎝⎠，曲线C 在yOz 平面上的投影曲线方程为 224222,240.R R R y z x ⎧⎛⎞+−=⎪⎜⎟⎨⎝⎠⎪=⎩ 由方程组（8.4.9）消去y ，得曲线C 关于zOx 平面的投影柱面方程为22z Rx R −=，曲线C 在zOx 平面上的投影曲线方程为22,0.z Rx R z ⎧−=⎨=⎩由（8.4.10）式知，曲线C 在xOy 平面上的投影曲线是一个圆，其方程为22222R R x y ⎛⎞⎛⎞−+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，写成参数方程为cos ,sin 222R R Rx y θθ=+= （02θπ≤≤）． 代入（8.4.9）式的第一个方程得 sin2z R θ=，所以，曲线C 的参数方程为cos ,sin ,sin .22222R R R R x y z θθθ=+== 图8.4.5给出了维维安尼曲线在各坐标面上的投影曲线以及其参数方程中参数的几何意义．例7 画出由曲面1S ：2220x y z +−=与曲面2S ：2220x y x +−=以及xOy 平面所围成的立体Ω在xOy 平面上的投影区域．解 曲面1S 是旋转抛物面，曲面2S 是母线平行于z 轴方向的圆柱面，它们的交线C 的方程为222220,20.x y z x y x ⎧+−=⎪⎨+−=⎪⎩ 曲线C 在xOy 平面上的投影曲线是一个圆，其方程为2220,0.x y x z ⎧+−=⎨=⎩从立体Ω的图形（如图8.4.6）看出，立体在xOy 平面上的投影区域就是曲线C 在xOy 平面上的投影曲线所围平面区域D ，用不等式表示为2220x y x +−≤，即 22(1)1x y −+≤．例8 作出由不等式组220,0,0,1,1x y z x z y z ≥≥≥+≤+≤图8.4.4 例5中的曲线C 为阴影部分的边界线，它在xOy 面上的投影曲线为椭圆图8.4.5 维维安尼曲线及其在三个坐标面上的投影图8.4.6 例7中立体及其投影图形图8.4.7 例8中空间立体Ω的图形所确定的立体Ω的图形，并画出它在各坐标面上的投影区域．解 立体Ω由它的五个边界曲面围成，这五个边界面分别为220,0,0,1,1x y z x z y z ===+=+=，把它们及其交线的图形画出来，就得到立体Ω的图形（如图8.4.7），并且，直观上容易得到立体Ω在各坐标面上的投影区域，如图8.4.8所示．8.4.2用截痕法研究曲面在第8.3节，我们介绍了利用伸缩变换将许多二次曲面转换为诸如旋转曲面、圆锥面等熟悉的曲面来想象这些一般二次曲面的图形．我们也发现了这一方法的局限性，如马鞍面图形特征就不能通过这一方法得到．这里，我们将通过例子介绍能较好地考察曲面特征的截痕法．所谓截痕法是用坐标平面及与坐标平面平行的平面来截曲面，考察其交线（截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．例9 试用截痕法考察椭球面的图形特征． 解 椭球面的方程为2222221x y z a b c++= （8.4.11）由方程（8.4.11）知2222221,1,1x y z a b c≤≤≤， 即||,||,||x a y b z c ≤≤≤．这说明椭球面是在以平面,,x a y b z c =±=±=±所围成的长方体内．并且，在方程（8.4.11）中，如果用x −代替的x ，或者用y −代替的y ，或者用z −代替的z ，方程的形式都不变，所以，椭球关于三个坐标平面、三个坐标轴以及坐标原点皆对称．现在用截痕法来研究椭球面的形状．选用三个坐标平面来截它，截痕(交线)分别为22221,0,x y ab z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩22221,0,z y cb x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 22221,0.x z a cy ⎧+=⎪⎨⎪=⎩这三个截痕都是椭圆．图8.4.8 空间立体Ω及其在三个坐标面上的投影区域再用平行于xoy 平面的平面z h =(||h c ≤)来截它，所得截痕为()()22222222221,x y a b c h c h cc z h⎧+=⎪⎪−−⎨⎪⎪=⎩ 这是在平面z h =上的一个椭圆，其长、h 变动时，这些椭圆的中心都在z 轴上．当h 从0逐渐增大到c 时，这些椭圆的半轴逐渐变小，最后缩成一点()0,0,c 或()0,0,c −．用平面y k =()()||,||k b x m m a ≤=≤或去截椭球面时，可得到与上述完全类似的结果． 综合上述讨论，可知椭球面（8.4.11）的形状如图8.4.8所示． 特别地，若a b =时，方程（8.4.11）变为222221x y z a c++=． 这是旋转轴为z 轴的旋转椭球面．它与一般椭球面不同之处在于，用垂直于z 轴的平面z h =()||h c ≤去截旋转椭球面时截痕为圆心在z 轴上的圆()222222,a x y c h cz h ⎧+=−⎪⎨⎪=⎩． 例10试用截痕法考察单叶双曲面的图形特征． 解 单叶双曲面的方程为2222221x y z a b c+−=． （8.4.12） 因为方程（8.4.12）只含,,x y z 的平方项，故曲面关于三个坐标平面、三个坐标轴以及坐标原点皆对称．现在用截痕法来研究曲面的形状．先用xOy 平面来截它，截痕为222210x y a b z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，这是在0z =平面上中心在原点、半轴为a 和b 的椭圆．用平行于xOy 平面的平面z h =来截图8.4.8 椭球面的截痕它得截痕为()()22222222221x y a b c h c h cc z h⎧+=⎪⎪++⎨⎪⎪=⎩ 这是在z h =平面上中心在z和||h 从0逐渐增大时， 这些椭圆的半轴也逐渐增大．用zOx 平面来截曲面（8.4.12），得截痕为双曲线22221,0.x z a c y ⎧−=⎪⎨⎪=⎩它的实轴为x 轴，虚轴为z 轴，两半轴为a 和c ．用平行于zOx 平面的平面y k =()k b ≠±来截时得截痕也是双曲线()()22222222221x z a cb k b k bb y k⎧−=⎪⎪−−⎨⎪⎪=⎩ 当22k b <，且实轴平行于x 轴，虚轴平行于z 轴．当22k b >时，，且实轴平行于z 轴，虚轴平行于x 轴．特别，用y b =±平面来截时得截痕为在平面y b =±上相交于点B ()0,,0b ±图8.4.9 用截痕法研究单叶双曲面(a ) 用平行于xOy 的平面截单叶双曲面的截痕为椭圆(b ) 用平行于xOz 的平面截单叶双曲面的截痕为双曲线的一对直线x z a c =和x z a c=−． 用yOz 平面及与其平行的平面来截曲面（8.4.12）时也得截痕为双曲线．特别地，用平面x a =±来截时，所得截痕为在平面x a =±上相交于点A (),0,0a ±的一对直线y zb c=和y zb c=−． 综合上述讨论，可知单叶双曲面（8.4.12）的形状如图8.4.9所示． 若a b =方程（8.4.12）变为222221x y z a c+−=．这是旋转单叶双曲面．它与单叶双曲面的不同在于，用平行于xOy 平面的平面来截它所得截痕都是圆．例11试用截痕法考察双曲抛物面的图形特征． 解 双曲抛物面的方程为2222x y z a b−+= （8.4.13） 现在用截痕法来研究曲面的形状．用xOy 平面来截曲面时所得截痕是一对相交于坐标原点的直线0000x y x ya b a bz z ⎧⎧+=−=⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎩⎩ 与 用平面z h =来截曲面所得截痕为双曲线22221,x y a h b h z h ⎧−+=⎪⎨⎪=⎩当0h >时， 它的实轴平行于y 轴，虚轴平行于x 轴．当0h <时， 它的实轴平行于x 轴，虚轴平行于y 轴．用xOz 平面来截曲面得截痕为抛物线22,0.x a z y ⎧=−⎨=⎩ 它的对称轴为z 轴，顶点在原点，开口朝z 轴之负方向．用平面y k =来截曲面所得截痕也为抛物线2222,.k x a z b y k ⎧⎛⎞=−−⎪⎜⎟⎨⎝⎠⎪=⎩它的对称轴平行于z 轴，顶点在220,,k k b ⎛⎞⎜⎟⎝⎠，开口朝z 轴的负方向．用yoz 平面及平面x m = 来截曲面所得截痕也都是抛物线，这些抛物线的轴都平行于z 轴．综合上述，双曲抛物面（8.4.13）的形状如图8.4.10所示．习题8.4（A）基础题1．指出下列方程所表示的曲线．(1) ()()2221425,10.x y z y ⎧−+++=⎪⎨+=⎪⎩ (2) 221,9420.y z x ⎧−=⎪⎨⎪−=⎩(3) 22,3320.x y z x y ⎧=+⎪⎨⎪−=⎩(4)22350,0.x y xz z ⎧−+=⎨=⎩ 2．点M 在xOy 平面内，M 到原点O 的距离等于它到点()531A ,,−的距离，求M 的轨迹．3．求曲线29622493630,230y xy xz x y z x y z ⎧−+−+−+−=⎨−+=⎩关于xOy 平面的投影柱面．图8.4.10 用截痕法研究双曲抛物面(a ) 用平行于xoy 平面的平面截双曲抛物面的截痕(b ) 用平行于xoz 平面的平面截双曲抛物面的截痕(c ) 用平行于yoz 平面的平面截双曲抛物面的截痕4．求椭球面2221164x y z ++=与平面410x z +−=的交线在坐标平面上的投影．5．写出空间曲线2224,:x y z y x ⎧++=Γ⎨=⎩的参数方程，并求其在各坐标面上的投影． 6．画出下列不等式所确定的空间立体的图形． （1）22x y z +≤≤（2z ≤≤；（3）220,1,2z x y x z ≥+≤+≤； （4）2224x y z x +≤≤−．（B）综合题7．将曲线方程222224,:3812y z x z y z x z⎧++=⎪Γ⎨+−=⎪⎩换成母线分别平行于x 轴与y 轴的柱面交线的方程来表示．8．设直线L 在yOz 平面以及xOz 平面上的投影曲线的方程分别为231,y z x −=⎧⎨=⎩和2,0,x z y +=⎧⎨=⎩求直线L 在xOy 平面上的投影曲线的方程． 9．试确定λ为何值时，平面10x z λ+−=与单叶双曲面2221x y z +−=的相交成： （1）椭圆； （2）双曲线．10．（1）证明：空间曲线:(),(),()x t y t z t ϕφψΓ===绕z 轴旋转一周所得旋转曲面的参数方程为x θ=，y θ=，()z t ψ=，(02)θπ≤≤；（2）求直线:1,,2L x y t z t ===绕z 轴旋转一周所得旋转曲面方程，并指出其图形为何曲面？（3）求直线:01x y b zL a −==绕z 轴旋转一周所成曲面的方程，并讨论常数,a b 的不同值所对应的图形为何曲面？（C）应用题11．设有一束平行于直线L ：x y z ==−的平行光束照射不透明球面S ：2222x y z z ++=，求球面在xOy 平面上留下的阴影部分的边界线方程．12．一条过原点、且与z 轴正向夹角为α的直线L 以固定的角速度ω绕z 轴匀速旋转，同时动点M 从原点出发以速度v 沿直线L 运动．求下列两种情况下，动点M 的轨迹．（1）v 为常数； （2）v 与OM 成比例．13．工业上一个带圆锥形进料口的圆柱形管（如图）是一个圆锥面224()z x y =+与229x z +=截交而成，试写出截交曲线的参数方程．（D）实验题14．由yOz 平面上的圆C ：222(),0y a z b x ⎧−+=⎨=⎩（0b a <<）绕z 轴旋转所得曲面为环面．（1）写出环面的直角坐标方程； （2）写出环面的参数方程；（3）利用Mathematica 软件参数曲面作图语句画出环面的图形； （4）试用截痕法研究环面的图形特点．15．利用Mathematica 软件参数曲面作图语句画出两圆柱面垂直相贯的图形，并适当调整圆柱面的长度以方便观察其交线．。
第八章 第6节 空间曲线及其方程
z2 2x
投影曲线为
x2
y2
2x，
z 0
此曲线所围区域就是立体的投影区域，即
x
2
y2
2x。
z 0
（2）yoz面上的投影 同上，
由
z
x2 y2
z2 2x
消去 x 得投影柱面： z 4 z2 y2 0. 4
z4
投影曲线为
4
z2
y2
0，
x 0
此曲线所围区域就是立体的投影区域，即
设空间曲线的一般方程：GF((xx,,
y, z) y, z)
0 0
投影曲线:
从曲线C上各点向坐标面作垂线, 垂足所构成的曲线.
z
准线
o x
投影柱面 y
投影曲线 8
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
9
投影曲线方程的求法:
设空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
x y x2 y2 1
z 0
18
例7 曲线的一般方程如何转换成参数方程？
例如
x2 (1)
y2
1
?
2x 3z 6
(2)
z
4 x2 y2 ?
z 3(x2 y2 )
(3)
x 2
x
2
y2 y2
2z2 16 z2 0
?
有方向的量的投影有正负 无方向的量的投影没有正负
四、小结
由
z
a2 x2 y2
消去 x， 得 z4 a2z2 a2 y2 0.
x2 y2 ax
立体投影由 yoz 平面上 z4 a2 z2 a2 y2 0、 y a 、 2
高数08.4+空间曲线及其方程
8.4 空间曲线及其方程 5
例2
2 2 2 z a x y 2 2 x y ax
解 z
a2 x2 y 2
上半球面 圆柱面 维维安尼曲线
Viviani’s_curve
a 2 a 2 2 (x ) y ( ) 2 2
z a2 x2 y 2 a 2 a 2 2 ( x ) y ( ) 2 2
(plovu):R:=1: i fqom 1 vo 60 do:
sivh(plovu):R:=1: n:=6:m:=70:
:m:=70:
foq i fqom 1 vo 60
do:
ian[i]:=plov3d([R*uin(u)*cou(v),R*uin(u)* v),R*cou(u)],u=0..Pi,v=0..2*Pi,coloq llos,uvyle=pavch,oqienvavion=[n*i,m]): Based
WYZ
on X.Z.
rtmian[i]:=plov3d([R*uin(u)*cou(v),R*uin(u)* uin(v),R*cou(u)],u=0..Pi,v=0..2*Pi,coloq =yellos,uvyle=siqefqame,oqienvavion=[n*i,m] Xu, ): College of Mathematics April 1, 2015
WYZ
Based on X.Z. Xu, College of Mathematics
1622-1703 Italian April 1, 2015 Mathematician
8.4 空间曲线及其方程 6
维维安尼曲线 Viviani’s_curve
WYZ
空间曲线与曲面的方程
空间曲线与曲面的方程一、空间曲线的方程空间曲线是在三维空间中的曲线，通常由参数方程给出。
参数方程由参数变量表示曲线上的点的位置，从而描述了曲线的形状。
下面我们来讨论一些常见的空间曲线的方程。
1. 直线的方程直线是最简单的一种空间曲线，可以用一条方程来表示。
直线的方程通常由点斜式或者两点式给出。
- 点斜式：对于一个直线上的点P(x, y, z)，斜率为m，已知直线上另一点Q(x1, y1, z1)，直线方程可以表示为：(x - x1) / (x - x1) = (y - y1) / (y - y1) = (z - z1) / (z - z1)- 两点式：已知直线上两点P(x1, y1, z1)和Q(x2, y2, z2)，直线方程可以表示为：(x - x1) / (x2 - x1) = (y - y1) / (y2 - y1) = (z - z1) / (z2 - z1)2. 圆的方程圆是一个平面上所有到一个固定点距离相等的点的集合，可以通过参数方程或者一般方程来表示。
- 参数方程：对于一个圆的中心点C(x0, y0, z0)，半径r，圆的方程可以表示为：x = x0 + r * cos(t)y = y0 + r * sin(t)z = z0其中t是参数，通常取值范围为[0, 2π]。
- 一般方程：对于一个圆的中心点C(x0, y0, z0)，半径r，圆的方程可以表示为：(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = r^23. 椭圆的方程椭圆是一个平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
椭圆的方程也可以通过参数方程或者一般方程来表示。
- 参数方程：对于一个椭圆的中心点C(x0, y0, z0)，长轴a，短轴b，椭圆的方程可以表示为：x = x0 + a * cos(t)y = y0 + b * sin(t)z = z0其中t是参数，通常取值范围为[0, 2π]。
2.3空间曲线的方程
二、空间曲线的参数方程
x x( t ) y y( t ) 空间曲线的参数方程 z z(t )
当给定 t t1 时，就 得到曲线上的一个点
( x1 , y1 , z1 ) ，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
• 例3 一质点由点A(a,0,0)出发,一方面绕z轴作等角 速度ω的圆周运动,另一方面又沿z轴的方向作等 速v的直线运动பைடு நூலகம்那么质点的轨迹叫做圆柱螺旋线, 试建立圆柱螺旋线的参数方程.
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
空间曲线的一般方程 特点：曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程.
z
S1
S2
o
x
C
y
• 例 写出Oz轴的方程.
• 例 写出在xOy坐标面上,半径为R圆心为原点的 圆的方程.
H ( x, y) 0 z 0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
yoz 面上的投影曲线,
R( y , z ) 0 x 0
xoz 面上的投影曲线,
T ( x , z ) 0 y 0
例4． 求抛物面 y 2 z 2 x 与平面 x 2 y z 0 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z ) 0 设空间曲线的一般方程： G ( x , y , z ) 0
消去变量z后得： H ( x , y ) 0 曲线关于 xoy 的投影柱面 投影柱面的特征： 以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.