有限元杆单元
有限元 1-2-杆单元
第2章杆系单元和杆系结构整体分析2.1杆系单元2.2杆系结构整体分析第2章杆系单元和杆系结构整体分析2.1杆系单元2.2杆系结构整体分析对象、任务对象任务对象：研究有限大小的个体(element)对象研究有限大小的个体任务：1. 建立应变与结点位移分量之间的关系;2. 建立应力与结点位移分量之间的关系;33. 建立结点力与结点位移分量之间的关系;4. 把作用在单元内的外载转化成结点荷载，即单元等效节点力。
一、分离单元1 结构离散取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承的交点为节点。
相邻两节点间的杆件段是单元。
节点编号时力求单元两端点号差最小。
YX2 坐标系有限元中的标系有体标系和局部标系有限元中的坐标系有整体坐标系和局部坐标系。
对于一个结构，整体坐标系一般只有一个；而局部坐标系有很多个，一个单元就有一个局部坐标。
并标系有很多个个单元就有个局部标并且局部坐标系每一个单元的规定都是相同的，这样，同类型单元刚度矩阵相同。
YX杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种类型。
它们都只有2个节点i 、j 。
¾约定：单元坐标系的原点置于节点i ；节点i 到j 的杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中x 轴的正向。
y 轴、z 轴都与x 轴垂直，并符合右手螺旋法则。
¾对于梁单元，y 轴和z 轴分别为横截面上的两个惯性主轴惯性主轴。
·x yj·z i土木工程学院有限单元法二、杆单元单元分析维杆单元下图示出了一维铰接杆单元，横截面积为A ，长1、一维杆单元度为l ，弹性模量为E ，轴向分布载荷为p x 。
单元有2，单元坐标为一维坐标轴个结点i ，j ，单元坐标为维坐标轴x 。
··i j x p x u ju i l LINK土木工程学院有限单元法P-8··i x p x j l u ju i LINK⎫⎧=i e u ⎧单元结点位移向量{}⎭⎬⎩⎨j u δ单元结点力向量：⎬⎫⎨=j i e F F F }{⎭⎩（1）位移模式和形函数①位移模式因为只有2个结点，每个结点位移只有1个自由度，因此单元的位移模式可设为：12u a a x =+（3）式中a 1、a 2为待定常数，可由结点位移条件时x =x i 时，u =u ix =x j 时，u =u j确定。
有限元单元的选择
单元类型的选择单元类型的选择，跟你要解决的问题本身密切相关。
在选择单元类型前，首先你要对问题本身有非常明确的认识，然后，对于每一种单元类型，每个节点有多少个自由度，它包含哪些特性，能够在哪些条件下使用，在ANSYS的帮助文档中都有非常详细的描述，要结合自己的问题，对照帮助文档里面的单元描述来选择恰当的单元类型。
1.该选杆单元（Link）还是梁单元(Beam)？这个比较容易理解。
杆单元只能承受沿着杆件方向的拉力或者压力，杆单元不能承受弯矩，这是杆单元的基本特点。
梁单元则既可以承受拉，压，还可以承受弯矩。
如果你的结构中要承受弯矩，肯定不能选杆单元。
对于梁单元，常用的有beam3,beam4,beam188这三种，他们的区别在于：1)beam3是2D的梁单元，只能解决2维的问题。
2)beam4是3D的梁单元，可以解决3维的空间梁问题。
3)beam188是3D梁单元，可以根据需要自定义梁的截面形状。
2.对于薄壁结构，是选实体单元还是壳单元？对于薄壁结构，最好是选用shell单元，shell单元可以减少计算量，如果你非要用实体单元，也是可以的，但是这样计算量就大大增加了。
而且，如果选实体单元，薄壁结构承受弯矩的时候，如果在厚度方向的单元层数太少，有时候计算结果误差比较大，反而不如shell 单元计算准确。
实际工程中常用的shell单元有shell63,shell93。
shell63是四节点的shell单元(可以退化为三角形)，shell93是带中间节点的四边形shell单元(可以退化为三角形),shell93单元由于带有中间节点，计算精度比shell63更高，但是由于节点数目比shell63多，计算量会增大。
对于一般的问题，选用shell63就足够了。
除了shell63,shell93之外，还有很多其他的shell单元，譬如shell91,shell131，shell163等等，这些单元有的是用于多层铺层材料的，有的是用于结构显示动力学分析的，一般新手很少涉及到。
杆件结构的有限元法
第一篇 有限元法
第二章 杆件结构的有限元法
当结构长度尺寸比两个截面方向的尺 寸大得多时，这类结构称为杆件。工程中 常见得轴、支柱、螺栓、加强肋以及各类 型钢等都属于杆件。
杆件结构可分为珩杆和梁两种。
和其他结构采用铰连接的杆称为珩杆。珩杆的连接处可以自由转动， 因此这类结构只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。影响应力的 几何因素主要是截面面积，与截面形状无关。 和其他结构采用固定连接的杆称为梁。链的连接处不能自由转动， 因此梁不仅能够承受拉压，而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件 的内部应力状态比较复杂，应力大小和分布不仅与截面大小有关， 而且与截面形状和方位有很大关系。 建立有限元模型时，这两类杆件结构可用相应的杆单元和梁单元离散。
Ke 1 kkaa
ka
ka
中的元素在总刚度矩阵中应在位置第1行、第2行的第1列，第2列
k k
1 11
1 21
k
1 12
k
1 22
0
0
0 0 0
第2个单元的节点号为2和3，则单元刚度矩阵叠加到总刚度矩阵 的第2行、第3行的第2列、第3列元素上
0 0 0
0
k
2 22
k
2 23
0
k
2－3 杆件系统的有限元法
一、铰支杆系统的有限元计算格式 上面求解弹簧系统的有限元方法可以直接用力求解受轴向力的杆件系统。 均质等截面铰支杆，刚度值可由材料力学中力与变形的关系中获得
AE F1 L u1
k AE L
均质等截面铰支杆的力－位移方程可写为
F F12ALE11 11uu12
坐标变换
由杆件组成的机构体系称为杆系，如起重机、桥梁等。 由珩杆组成的杆系称为珩架，由梁组成的杆系称为刚架。
结构分析的有限元法-第三章
式中
H 1 u B A yH v
(3.32)
而
H 0 u H 0 v 0 0 0 0 1 0 0 2 0 6x
(3.33)
单元刚度矩阵
再次应用式(2.70)，并进行一系列的积分运算，可以得出单元刚度矩阵的显式如下：
l
K
e
E d A B B d x
0 1 l
Av
1
2 l
0 0 1 l 2 1 l
(3.21)
MATLAB不仅可以进行数值运算，也能进行符号运算。如式(3.20)中的矩 阵Au和Av的求逆运算，我们可以在MATLAB的命令窗口下输入 >> syms L >> Au = [ 1 0 1 L ] ; >> Av = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 1 L L^2 L^3 0 1 2*L 3*L^2] ; 第一句是定义符号变量L，后面定义两个矩阵Au和Av。然后我们再输入下 面求逆的命令 >> inv(Au) ans = 0 1 1 [ 1, 0] Au [ -1/L, 1/L] 1 l 1 l >> inv(Av) ans = 0 0 1 [ 1, 0, 0, 0] 0 1 0 1 [ 0, 1, 0, 0] A v 2 2 3 l 2 l 3 l [ -3/L^2, -2/L, 3/L^2, -1/L] 3 2 3 1 l 2 l [ 2/L^3, 1/L^2, -2/L^3, 1/L^2] 2 l
根据材料力学的有关知识，我们可以立刻写出杆单元的结点位移与结点力 之间的关系为
FNi EA l (u i u j ) FNj EA l (u j u i )
有限元法(杆系)
Fjy
FFji Fj
s in cos s in
s in
0 0
0 0 0
0
cos s in
或 F(e) T F (e) （1）
Fiy
i
Fi i
Fix
拉压杆单元
0 Fi e
0 0 0
0 Fj 0
F jy
j
j
uiy ui
uix
u jy
y
Fj
F jx uj
u jx
2)
叠加形成总刚度矩阵,求位移
2sin2
0
sin2 EA sin cos
l
0
0
sin2
sin cos
0 2 cos2 1 sin cos
cos2 0 1
sin cos cos2
sin2 sin cos
sin2 sin cos
0 0 0 0
sin cos cos2 sin cos cos2
• 用单元节点位移表示单元内部位移
第 i 个单元中的位移用所包含的结点位移来表示：
u(x)
ui
ui1 ui Li
(x
xi )
（1- 1）
其中 u i 为第 i 结点的位移， xi 为第 i 结点的坐标。
第 i 个单元的应变为 i ，应力为 i ，内力为 N i ：
i
du dx
ui1 ui Li
x
在局部坐标下，轴向力与轴向位移的关系：
(e)
Fi
1 0 1 0ui e
0
Fj
0
EA
0
0
l 1 0
0
0
0 1 0
0 0 0
有限元(第二章-杆单元部分)tg
−
1 2 1 2 1 2 1 − 2
−
1 2 1 2 1 2 1 − 2
1 2 1 − 2 1 − 2 1 2
按节点号叠加得6×6阶总刚度矩阵
−1 1 0 0 1 0 1 − 1 0 1 + 2 2 [K ] = 0 0 − 1 2 2 0 0 − 1 2 2 1 0 −1 2 2 0 0 1 − 2 2 1 2 2 1 2 2 1 − 2 2 0 0 0 −1 1 1 − 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 − 2 2 2 2 1 1 − 1+ 2 2 2 2
2-10 刚度矩阵元素的带状分布
【例】对图（a）中结构分别采用图（b）、图 （c）两种编号方式以观察其刚度矩阵的带宽。
对于图(b)、(c) 编号方式的结构，总刚度矩阵 的非零元素分布分别如下图(a)、(b) 所示。
[K ]
e
λ2 AE λµ = L − λ2 − λµ
λµ µ2 − λµ − µ2
Fx1 1 Fy1 AE 0 = L − 1 F x2 Fy 2 0
即：
0 − 1 0 u1 0 0 0 v1 0 1 0 u 2 0 0 0 v 2
{F }= [K e ]{δ }
求各杆单元的λ和μ的值。Φ角是按 逆时针从x轴正向转到单元ij方向的
三杆受力桁架
单元⑴ 单元⑵ 单元⑶
ϕ = 0 o , λ = 1, µ = 0 ϕ = 90 o , λ = 0 , µ = 1 ϕ = 135 o , λ = −
1 1 ,µ = 2 2
单元刚度矩阵分别为
有限元应用—杆单元问题
《有限元应用实训》实验报告（1）杆单元问题一、实训问题介绍：如图3-4所示三杆组合，三个杆的长度均相等为30in(762m m)，在2节点施加水平向右大小为3000l b(13344.6N)的力，杆件1和杆件2的弹性模量为E=30×106ps i(206880N/m m2)，横截面面积为1in2(645.16m m2)，杆件3的弹性模量为E=15×106ps i(103440N/m m2)，横截面面积为2in2(1290.32m m2)，节点1和节点4为固定约束。
在有限元软件中对模型进行有限元分析，回答下面两个问题：(1)确定节点2和节点3的位移；(2)节点1和节点4的反作用力。
二、方法与材料本次练习的研究对象为桁架结构，桁架结构由杆件组成，杆件受轴向力作用，其有限元基本模型为杆，可通过杆单元建立结构的有限元分析模型。
So l id Works有限元软件建模与求解步骤：2.1创建杆横截面草图，保存在weldment profi l es目录下，另存为.s ld l fp格式根据杆1、2和杆3规定的横截面，分别建立相应的截面文件。
2.2创建杆件草图2.3创建结构焊件，结构构件分别为三个杆件赋予截面2.4建立有限元s imulat i on新算例（1）定义材料（2）将焊件定义为桁架杆件（3）施加边界条件，节点1和节点4施加固定铰链约束（4）施加载荷条件，节点2施加水平向右的集中力（5）生成杆件网格并计算三、计算结果与讨论3.1节点2、3的位移节点2、3沿x方向（轴向）的位移分别为0.04597m m,0.0160m m计算结果与原题公式计算结果相同，说明本模型正确。
节点沿y和z向的位移为零，符合杆轴线承载条件。
3.2节点1、4的约束反力杆的约束反力为8010N,-5340N3.3杆件的轴向力3.4杆件的轴向应力3.5杆件的安全系数，当乘数为0.5时最小安全系数是8.8873.6应力准则应用最大Von Mises应力准则四、结论：通过软件建模，成功计算了结构构件的位移、应力、内力，确定了危险截面，出现在第一个杆件左端点处，构件满足最大Von M i ses应力准则，结构符合强度要求。
杆单元定义
杆单元定义
杆单元指的是在有限元分析中用来模拟某个结构或系统中的杆件的基本单元。
由于杆件在实际结构中的作用非常广泛，如桥梁、塔架、建筑结构等，因此杆单元是有限元法中最常用的基本元素。
杆单元一般由两个节点和一个杆单元的特征长度组成。
杆单元是结构体系中最基本的单元，它的内部并不包含热、电、磁等其他物理量，只考虑其中的变形、应力和应变等力学变量。
因此，在进行有限元分析之前，必须先将杆件离散化成为若干个杆单元，并对每个杆单元进行分析求解，以得到有效的杆件响应和力学性质。
在杆单元的分析过程中，需要考虑很多因素。
首先是单元内外受力平衡，即受力部分应该满足初步假设下的力学平衡条件并修正。
其次是应力、应变关系以及应力应变曲线的确定，这些需要对材料的性质进行分析，获得被称为“本构方程”的关系式。
最后是单元的刚性矩阵和质量矩阵的计算，这些矩阵是计算分析的基础，并且极大地影响了分析结果。
杆单元还有许多种类，根据其被忽略或者保留的实际结构特征和应力情况，可以分为细杆单元、柱形单元、混合单元、等效杆单元等等。
每种单元之间有各自的优势和限制，并在不同的应用场景下具有
不同的适用性。
总之，杆单元是有限元分析中最常见的基本元素之一，用于模拟结构中的杆件，并对应力和应变等力学变量进行分析求解。
在进行有限元分析之前，必须先对结构进行若干个杆单元的离散化，才能得到有效的响应和力学性质。
有限元分析是建筑设计和工程科学领域中重要的数值分析手段之一，杆单元也在这个过程中扮演着重要的角色。
有限元实验1-杆单元有限元分析
1、各单元的单元刚度矩阵 ;
2、用集成法求总体刚度矩阵[K];
3、建立节点位移和节点力的平衡方程 ，利用边界条件求出节点位移
4、由节点位移可求出各单元的应变、应力以及节点1处的支反力R1。
实验三：杆单元的有限元分析
一、实验目的
1、加深对有限元法中单元和节点等相关概念的理解；
2、掌握位移法求解杆单元有限元问题的基步骤。
二、实验要求
1、明确单元刚度矩阵、整体刚度矩阵的含义和求法；
2、根据题目要求，给出具体的计算过程；
3、编制相应的matlab计算程序并调试运行。
三、实验内容
用有限元法求图示受拉阶梯杆的位移和应力。已知杆截面面积A(1)=4×10-4m2，A(2)=2×10-4m2，，A(3)=1×10-4m2各段杆长l(1)=l(2)=l(3)=0.1m；材料弹性模量E(1)=E(2)=E(3)=2×107Pa，作用于杆端的拉力F4=10N。试建立图示结构的有限元方程，并基于matlab平台求解该结构的节点位移、单元应力和应变以及支反力R1。
杆件系统有限单元法
（3）单元应力场的表达 由弹性力学中物理方程有：
σ e ( x ) = E eε e ( x ) = E e B e ( x ) ⋅ δ e = S e ( x ) ⋅ δ e
其中Se为单元的应力函数矩阵：
⎡ E S ( x) = E B ( x) = ⎢ − ⎣ l
e e e
e
E ⎤ ⎥ l ⎦
平面梁单元的节点位移δe和节点力Fe为：
δ =⎡ ⎣ui vi θi u j v j θ j ⎤ ⎦
e e
T
F =⎡ ⎣ FNi FQi M i FNj FQj M j ⎤ ⎦
相应的刚度方程为：
T
K e ⋅δ e = F e
将杆单元刚度矩阵与纯弯梁单元刚度矩阵进行组 合，可得到平面梁单元的刚度矩阵：
可以写出节点位移向量和节点力向量：
δ =⎡ ⎣ui u j ⎤ ⎦
e
e
T
T ⎡ ⎤ F = ⎣ FNi FNj ⎦
（1）单元位移模式的表达 由于每个节点只有一个轴向位移，即一个单元共有 两个自由度，因此可假设该单元的位移模式为具有 两个待定系数的函数模式：
u ( x ) = a 0 + a1 x
e
第三章
杆件结构的有限元分析 (FEA)
在杆件系统中根据单元受力的特点，我们可以 把它们分成两大类：杆和梁。为了以后描述的 方便，我们把两端铰接，只受轴向力的基本结 构称为杆单元，而受轴向力和弯矩、扭矩、剪 力共同作用的基本结构称为梁单元。
3.1 平面杆单元
局部坐标系中的杆单元描述
设有一任意的杆单元如图所示，i 和j 为单元的两 个结点，x 为该单元的局部坐标，其原点设在单 元的i 结点。设两个结点在x 方向的位移为 u i 和 u j ，它们的正方向如图3-1 所示，与它们相应的 结点力 FN δ e
有限单元法课件第四章 杆件系统的有限元法
(a)
(b)
由杆件组成的结构体系称为杆系,如起重机,桥梁等。
由桁杆组成的杆系称为桁架。
由梁组成的杆系成为刚架。
若杆系和作用力均位于同一平面内,则称为平面桁架 或平面刚架,否则称为空间桁架或空间刚架。
由于杆件结构采用一维单元进行离散,所以杆系的网 格划分容易用半自动方法实现。当采用自动网格划 分方法时,杆系的几何模型是由杆件轴线构成的线框 模型。
R
e P
RiP R jP
R
lP
R
R
e F
RiF R jF
Rlx Rly NlT l R l
lF T l
Px dx (l i, j ) Py
e T
Bj dx
kii k ji
kij k jj
其中矩阵元素为
kst D Bt dx B as 0 EA 0 at 0 0 0 bs dx 0 EI 0 bt ct 0 cs 0 0 EAas at dx 0 EIb b EIb c s t s t EIcs bt EIcs ct 0
e
du dx e x 2 B Bi q x d v dx 2
Bj q
e
其中
ai 0 0 Bi 0 b c i i a j 0 0 Bj 0 b c j j 1 12 6 ai a j bi b j 3 x 2 l l l 4 6 2 6 ci 2 x cj 2 x l l l l
有限元第三章杆系结构单元分析
对应的虚应变为：
B δe
根据虚位移原理虚功方程，有：
W外 FdeT δ e
l 0
q(
x)
N
δ
edx
W变
l
0 Adx
l δ eT BT EAB δ edx 0
将上式整理得：
（3-23）
Fde
dx
（3-5）
虚曲率
k d 2 v
dx2
（3-6）
若又设单元任一截面实际的水平和竖向位移为 u (x)、v (x)，
则由材料力学可得与位移对应的截面内力为
FN
EA du dx
（3-7）
M
EI
d 2v dx2
（3-8）
式中EA,EI分别为单元的抗拉（压）、抗弯曲刚度。
有限单元法
在图3-3和上述矩阵说明的情况下，将虚位移原理用于单元， 则单元的虚功方程为
类型单元刚度矩阵相同。
Y
x
y
局部坐标
○
○
X
○○
○
整体坐标
P
大家要熟悉知道单元编号，节点编号，位移编号，以及整体 坐标和局部坐标。
有限单元法
2 1
3
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
6
图2.1 弯曲杆件系统
1
有限单元法
2
3
4
5
图2.2 截面连续变化杆件系统
结点编号
单元编号
5 (8 9 10) 6
4
3
(2 3 4)
3
1
1 (0 0 0)
设平面杆系结构用结点分成等直杆（单元）集合，其 中某单元e隔离体如图3-3所示，如果建立了单元e的虚位移 原理虚功方程，则整个杆系结构的虚功方程可由对各杆求 和获得。为用矩阵形式写出杆件及杆系结构虚位移原理的 虚功方程，以便于今后推导使用，特引入一下矩阵（向 量）：
有限元分析第二讲杆单元分析
引入边界位移约束和载荷：
则系统平衡方程化为：
2 2 0 0 F1 EA 2 3 1 u P 2 L 0 F 0 1 1 3
上述方程组中删除第１，３个方程，得到：
解得：
（四）举例
例1 求图示２段杆中的应力。
解：分２个杆单元，单元之间在节点２连接。 各单元的刚度矩阵分别为：
参考前面弹簧系统的方法，装配２杆系统的有限元方 程（平衡方程）如下：
2 2 0 u1 F1 EA 2 3 1 u 2 F2 L u F 0 1 1 3 3
2 杆单元
一、一维等截面杆单元及其刚度矩阵
考虑一个2节点一维等截面杆单元： L— 杆长 A— 截面积
E— 弹性模量
ui 单元节点位移：d u j
fi 单元节点力：f fj
u u ( x)
——杆单元位移
——杆单元应变 ——杆单元应力
du dx
( x) ( x)
应变—位移关系： 应力—应变关系：
E
（一）直接法导出单元特性 杆单元伸长量：
u j ui
应变：
应力：
L E E L
EA EA k 杆内力： F A L L
EA 杆的轴向刚度： k L
轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同， 因此杆单元的刚度矩阵为：
EA k L
比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：
f i k k ui EA 1 1 ui f j k k u j L 1 1 u j
杆系结构的有限元法分析
杆系结构的有限元法分析有限元法是一种结构分析方法，常用于分析各种不同类型的结构系统，其中包括杆系结构。
杆系结构是由杆件连接而成的桁架结构，常见于桥梁、塔架和支撑结构等。
利用有限元法进行杆系结构的分析，可以得到结构的位移、应力、应变和刚度等信息，帮助工程师评估结构的稳定性和安全性。
下面将介绍杆系结构的有限元法分析的步骤。
首先，进行前期准备工作。
这包括收集与结构相关的几何信息（如杆件长度、截面形状等）、边界条件（如固定支座、外载荷等）和材料性质（如材料的弹性模量、密度等）。
这些信息将是有限元模型建立所需要的输入参数。
接下来，建立有限元模型。
将杆系结构离散化为一个个的杆单元，采用有限元方法对每个杆单元进行离散近似。
常用的杆单元包括横截面线性杆单元、三节点弯曲杆单元和非线性杆单元等。
然后，确定单元刚度矩阵。
对于横截面线性杆单元，其刚度矩阵可以根据材料性质和几何信息计算得到。
对于弯曲杆单元和非线性杆单元，则需要考虑附加的几何和材料非线性效应。
接着，组装全局刚度矩阵。
将所有杆单元的刚度矩阵按照其关联的节点自由度进行组装。
在组装过程中，需要考虑杆单元之间的关联关系，确保刚度矩阵的正确性和完整性。
然后，应用边界条件。
根据实际情况，将已知的边界条件（如固定支座、已知位移等）施加到全局刚度矩阵中。
这将改变全局刚度矩阵的特征值和特征向量，从而影响结构的响应。
接下来，求解结构的位移和应力。
通过求解结构的整体刚度方程以及施加的边界条件，可以得到结构的位移解向量和应力解向量。
位移解向量描述了结构的变形情况，而应力解向量体现了结构的应力分布情况。
最后，进行后处理。
在得到位移和应力解后，可以计算结构的应变分布、变形形态以及额外的设计指标。
通过这些结果，可以对结构的性能进行评估，以便优化设计。
综上所述，杆系结构的有限元法分析包括前期准备、建立有限元模型、确定单元刚度矩阵、组装全局刚度矩阵、应用边界条件、求解结构的位移和应力以及后处理等步骤。
有限元分析杆单元
V
考虑到d 旳任意性，立即得到：
f
V
BT EBdV
d
kd
k BTEBdV ——杆单元刚度矩阵
V
这就是刚度矩阵旳一般形式，可推广到其他类型旳单元。
对于上面旳杆单元： 与前面直接法得到旳公式相同！
（三）有关杆单元旳讨论
1）在单元坐标系下，每个节点一种未知位移分量，单元 共有2个自由度。
2）单元刚度矩阵元素旳物理意义： 单元刚度方程
1 1 1
1
单元2：2-3
135，l 2 ，m 2
2
2
k 2 T2Tk2T2
1 1
0
0
T
1
0 1 01
1
0
0
EA 2 2 1 1 0
0
0
0
0
01 1
0
0
L 2 2 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1
0
0
1
1
0
0
0
0 0
0 1 1
u2 v2 u3 v3
1 1 1 1
——平衡条件
对于杆单元，定义虚位移如下：
节点虚位移：
d
ui u j
单元虚位移： u Nd
则单元虚应变： d (u) Bd
dx
节点力（外力）虚功： dTf
单元虚应变能：
TdV
V
dTBT EBddV
V
dT V
BT EBdV
d
对杆单元应用虚位移原理，得：
dTf dT BTEBdV d
引入边界位移约束和载荷： 则系统平衡方程化为：
2
EA L
2 0
2 3 1
0 1 1
有限单元法 第2章 杆系结构的有限元法分析
义 & 可以进一步求得单元刚度矩阵为 )
( & # 0# ( $’ $ % 8 . ! 1 # $ ’ 0# # 同时 & 我们可以根据式 $ % 求出等 效 结 点 荷 载 矩 阵 ’ 这 里 要 指 出 的 是 ) 分 布 荷 载 ! .$
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! 第 ! 章 ! 杆系结构的有限元法分析 # #! ! """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
不适定的 " 第九步 # 求解方程组 " 计算结构的整体结点位移列阵 ## 并 进一步 计算各 单元 的应力 分量及主应力 $ 主向 " 第十步 # 求单元内力 # 对计算成果进行整理 $ 分析 # 用表格 $ 图线标示出所需的位移 及应力 " 大型商业软件 % 如 )* + , + 等 & 一般都具有强大的后处理功能 # 能够 由计算 机自 动绘制彩色云图 # 制作图线 $ 表格乃至动画显示 "
矩阵 ’ $ %进行应力 ( 应变分析 ’ 根据材料力学中应变的定义 & 有 ) ! # # $’ 2 + 2 $ ( ( ( ( $’ $’ $’ . 0 ! ! . " 3 3 .% ". . ! ! ! !! "# ’ ’ 2 # 2 #
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X ,Y
u i , vi
每节点2个dof
第 2 章
杆单元与梁单元
§2.1.2 二维空间中的杆单元
节点位移向量的坐标变换：
~ d i Tdi
第 2 章
杆单元与梁单元
§2.1.2 二维空间中的杆单元
m ~ l 向量的坐标变换矩阵为： T m l
~ 1 ~ T T T 显然是正交阵，即：
引入边界位移约束和载荷：
系统方程化为：
2 2 0 0 F1 EA 2 3 1 u 2 P L 0 F 0 1 1 3
第 2 章 杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
d B N i ( x) N j ( x) 1/ L 1/ L dx
ui N j Nd u j
单元应力： E EBd
应用弹性体虚功原理导出单元刚度方程。
虚功原理
第 2 章
杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
弹性体受力平衡时，若发生虚位移，则外力虚功等 于弹性体内的虚应变能。 ——平衡条件
第 2 章 杆单元与梁单元
单元1：1-2
2 45 ，l m 2
k1 T1 k 1T 1
T
1 EA 2 2 1 L 2 2 0 0
0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0
T
1 0 1 0
0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
上述方程组中删除第１，３个方程，得到：
2 2 0 0 F1 EA 2 3 1 u 2 P L 0 F 0 1 1 3
解得：
u1 0 PL 位移解： u 2 1 u 3EA 0 3
u2
v2 u3 v3
1 1 1 1 EA 1 1 1 1 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1
第 2 章 杆单元与梁单元
§2.1.2 二维空间中的杆单元
将单元1，2的刚度方程扩张到系统规模（6阶）， 相加后引入节点平衡条件：
第 2 章 杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元 对于上面的杆单元：
与前面直接法得到的公式相同！
第 2 章
杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
（三）关于杆单元的讨论 1）在单元坐标系下，每个节点一个未知位移分量，单元共有 2个自由度。 2）单元刚度矩阵元素的物理意义：
刚度方程中令：
ui 1 u j 0
单元刚度方程
f i k11 则： f j k21
f i k11 f j k 21
k12 ui k 22 u j
第 2 章
杆单元与梁单元
对于杆单元，定义虚位移如下：
ui 节点虚位移： d u j
单元虚位移： u Nd
d 则单元虚应变： (u ) Bd dx
节点力（外力）虚功： d T f
第 2 章 杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
单元虚应变能：
T
T dV d B EBddV d B EBdV d V V V
应力： E
第 2 章 杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同，因 此杆单元的刚度矩阵为：
EA k L
比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：
f i k k ui EA 1 1 ui f j k k u j L 1 1 u j
0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0
u1 v1 u2
v2
1 1 1 1 EA 1 1 1 1 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1
第 2 章 杆单元与梁单元
§2.1.2 二维空间中的杆单元
上式中：
x x N i ( x) 1 , N j ( x) L L N i , N j 是插值基函数，有限元中称为形状函数，简称形函数。
第 2 章 杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
单元位移模式写成矩阵形式：
u Ni
ui N j Nd u j
u( x ) N i ( x )ui N j ( x )u j
第 2 章 杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
（二）公式法导出杆单元特性 单元上假设近似位移函数——位移模式
单元上位移假设为简单多项式函数： u a0 a1 x 用插值法把多项式中的待定系数
a0 , a1 转化为节点位移,
从而得到插值形式的假设位移函数——单元位移模式如下：
u( x ) N i ( x )ui N j ( x )u j
§2.1.1 一维等截面杆单元
考虑一个2节点一维等截面杆单元： L— 杆长
A— 截面积
E— 弹性模量
ui 单元节点位移：d u j
fi 单元节点力：f fj
第 2 章 杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
u u ( x)
——杆单元位移
第 2 章
杆单元与梁单元
§2.1.2 二维空间中的杆单元
再引入边界约束和载荷：
则上面6阶有限元方程凝聚为：
EA 2 0 u2 P 1 2 L 0 2 v2 P2
解出未知位移得：
u2 L P 1 v2 EA P2
§2.1.1 一维等截面杆单元
所以，单元刚度矩阵的第i（i=1,2)列元素表示当维持单 元的第i个自由度位移为１，其它自由度位移为０时，施加在 单元上的节点力分量。
３）单元刚度矩阵对称、奇异、主对角元素恒正。
第 2 章
杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
（四）举例 求图示２段杆中的应力。
式中N N i
N j , 称为单元形函数矩阵。
注意：采用一次多项式是因为单元只有2个轴向位 移分量，对应2个多项式系数。
第 2 章
杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
d 单元应变： du Nd B d dx dx
B ——单元应变矩阵
u Ni
第 2 章 杆单元与梁单元
§2.1.2 二维空间中的杆单元
单元应力：
即：
第 2 章
杆单元与梁单元
§2.1.2 二维空间中的杆单元
（二）例题
平面桁架由2根相同的杆组 成（E，A，L）。求： 1）节点2位移； 2）每根杆应力。
解：
求出每个单元在总体坐标下的刚度矩阵：
第 2 章
杆单元与梁单元
§2.1.2 二维空间中的杆单元
第2章 杆单元与梁单元
第 2 章
杆单元与梁单元
§ 2.1 等截面杆单元
杆单元
2.1.1 一维等截面杆单元
2.1.2 二维空间杆单元
•如何用直接法求杆单元特性？ •如何用公式法导出杆单元特性？ •什么是虚功原理？ •杆单元刚度矩阵的特点？
第 2 章 杆单元与梁单元
•什么叫坐标变换？ •如何对节点位移向量进行坐标变换？ •如何对刚度矩阵进行坐标变换？ •应用举例
( x) ——杆单元应变 ( x)——杆单元应力
du 应变—位移关系： dx 应力—应变关系： E
第 2 章
杆单元与梁单元
பைடு நூலகம்
§2.1.1 一维等截面杆单元
（一）直接法导出单元特性 杆单元伸长量： u j ui
应变： L
E L EA EA 杆内力：F A k L L EA 杆的轴向刚度： k L
T T T
对杆单元应用虚位移原理，得：
T d f d B EBdV d V
T T
考虑到 d 的任意性，立刻得到：
T f B EBdV d k d V
k B T EBdV
V
——杆单元刚度矩阵
这就是刚度矩阵的一般形式，可推广到其他类型的单元。
单元2：2-3
135，l
T
2 2 ，m 2 2
k 2 T2 k 2T 2
1 1 0 0 EA 2 2 1 1 0 0 L 2 2 0 0 1 1 0 0 1 1
T
1 0 1 0
0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1
提示： 1）本例中单元应力的计算采用了材料力学中的方法,与采 用有限元单元应力公式 E EBd 的结果相同。 2）对锥形杆，单元截面积可用平均值。 3）求应力之前需要求出节点位移——有限元位移法。
第 2 章 杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
习题2：
已知：
求：杆两端的支反力 解
单元1应力：
1 u 2 u1 E PL P 1 E 1 E E 0 L L L 3EA 3A
第 2 章 杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
单元2应力：
u3 u2 E 2 PL P 2 E 2 E E 0 L L L 3EA 3A