(整理)一阶线性偏微分方程.

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第七章一阶线性偏微分方程

第七章一阶线性偏微分方程7-1求下列方程组的通积分及满足指定条件的解。

1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=t y x dtdy y x dt dx 2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y x dtdy y x dt dx 2 ，当0=t 时，1==y x 3）xy dz z x dy y z dx -=-=- 解 1）方程组的两式相加，得t y x dt y x d ++=+)(2)(。

令 y x z +=，上方程化为一阶线性方程t z dtdz +=2，解之得412121--=t e C z t 即得一个首次积分为121)4121(),,(C e t y x y x t t =+++=Φ-。

方程组的两式相减，得t dty x d -=-)(，解之得另一个首次积分为 22221),,(C t y x y x t =+-=Φ。

易验证 021111det det 2211≠-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂x x y x 。

因此，11),,(C y x t =Φ和22),,(C y x t =Φ是两个独立的首次积分，所以，方程组的通积分为121)4121(),,(C e t y x y x t t =+++=Φ-， 22221),,(C t y x y x t =+-=Φ。

从中可解得通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+'-'=---'+'=81414181414122212221t t C e C y t t C e C x t t 。

2）方程组的两式相比，得 yx y x dy dx --=2，变形得恰当方程 02=--+x d y y d x y d y x d x ，解之得一个首次积分为 12222C xy y x =-+，即 =Φ),,(1y x t 2122)(C y y x =+-。

给方程组第一式乘以y ，第二式乘以x ，再相减得])[()22(2222y y x xy y x y x x y +--=-+-='-'，1)(22-=+-'+'-'-'yy x y y y x y y x y ， 1)(22=+-'+'-'-'-y y x y y y x y y x y 两边积分，得另一个首次积分为=Φ),,(2y x t 2arctanC t y x y =--，易验证 211),,(C y x t =Φ和22),,(C y x t =Φ是两个独立的首次积分，所以，方程组的通积分为2122)(C y y x =+-，2arctan C t yx y =--，通解为 ⎩⎨⎧'+'='-'+'+'=t C tC y t C C t C C x s i n c o s s i n )(c o s )(211212，其中211sin C C C ='，212cos C C C ='。

一阶线性偏微分方程的特征线解法

2
该方程称为Poisson方程或位势方程
第18页
3. 定解条件：＝初始条件＋边界条件
①. 初始条件：
u t =0 = ϕ ( x, y, z ), ( x, y, z ) ∈ Ω, ut
注意：
t =0
= ψ ( x, y, z ), ( x, y, z ) ∈ Ω,
弦振动方程定解问题需要上述两个初始条件；热传导方程定解问题只要上述第一个初始条件；位势方程定解问题不需要初始条件。
这里 n 为 ∂Ω 的单位外法向， g为已知函数。
第20页
注意：
上述三类方程中，对物体 Ω 的边界 ∂Ω 上每一点都要施加一个边界条件。对于不同的问题，相应的边界条件有不同的实际意义。
第21页
叙述一个定解问题时，要标明方程和定解条件成立的范围。
例如：一维热传导方程的第一边值问题：
如果配合画图则更清楚。
T u = g1
ut − a 2u xx = f
u = g2
注意：t=T时不能施加条件！！
0
u ( x , 0) = ϕ ( x )
l
第22页
x
位势方程边值问题：
位势方程的第一边值(Dirchlet)问题：
－Δu ( x) = f ( x), x = ( x1 , L , xn ) ∈ Ω,
第14页
热传导方程的混合问题：
热传导方程的第一边值(Dirchlet)问题：
∂u − a 2 Δu ( x, y, z , t ) = f ( x, y, z , t ), ∂t ( x, y, z ) ∈ Ω, t > 0,
u ( x, y, z , 0) = ϕ ( x, y, z ),

一阶偏微分方程教程

N (t) 0 p(a,t)da
18
若不考虑死亡，则在时刻 t+t，年龄在[a, a+a] 中的人口数量 p(a, t+t)a，应等于在时刻 t，年龄在区间[a−t, a+a−t]中的人口数量p(a−t, t)a，即
p(a,t t) p(a t,t)
因此 p(a, t)应满足
dx
dy du
1 u x y 1 2
首次积分为 u 2 y, 2 u x y y
于是原方程的隐式通解为
u 2y, 2 u x y y 0
其中为任意二元连续可微函数。
16
例5. 求解hy问题
u
u x

xz u y

xy u z
0

u yy0 f (x, z)
11
解：特征方程组为 dx dy dz yz xz xy
首次积分为 x2 y2, x2 z2
于是原方程的通解为 u x2 y2, x2 z2 ，其中
为任意二元连续可微函数。
研究的数据包括50根圆柱组织样本中每一根所含药物的测量值(见表1、表2及图1)。每一圆柱的长度为0.76mm，直径为0.66mm。这些平行圆柱的中心位于1mm×0.76mm×1mm的网格点上。因此，圆

a 0, t 0

p(a,
0)

p0 (a),
a0
(4)

p(0,
t
)

(a,t, N (t)) p(a,t)da,
0
t 0

N (t) 0 p(a,t)da, t 0

一阶偏微分方程

个独立的首次积分.
定理6.2 如果已知方程组(6.1)的一个首次积分,则可将方
程组(6.1)降低一维; 如果已知方程组(6.1)的 k 2 k n 1
个独立的首次积分,则可将方程组(6.1)降低 k 维.
应用定理6.2到例6.1, 因为
u1
(u1, u2 )
det
应用定理6.1到例6.1, 容易验证 u1(t, x, y) (x y)et 和
u2 (t, x, y) (x y)et 都是方程组的首次积分,并且根据定
义6.1,(u1,u2)也是方程组的首次积分, 其中是任意关于其
变量连续可微的函数.那么 u1 和 u2为什么能够构成方程组
(u1,u2, , un ) 0 , (x1, x2 , , xn ) G
因此方程组(6.9)在区域 G内只有零解,即
x1 f1, x2 f2, , xn fn.
所以由(6.6)定义的函数是方程组(6.1)的解, 即(6.5)式 u j (t, x1, x2, , xn ) cj ( j 1, 2, , n)
定义6.1 设 u(t, x1, x2,, xn ) 是区域 G Rn1 内连续可
微,且不恒等于常数的函数, 如果方程组(6.1)的任一组解
x1(t), x2 (t), , xn (t), t I, 使得
u t, x1 t, x2 t, , xn t 某常数， 6.2
x
(x, y)
u2

x
u1
y u2

det

et et
y

et et

2

0,
(t,

一阶偏微分方程基本知识

一阶偏微分方程基本知识这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法,因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题,所以我们先来介绍常微分方程的首次积分;1一阶常微分方程组的首次积分首次积分的定义从第三章我们知道,n 阶常微分方程()()()1,,'',',-=n n y y y x f y ,在变换()1'12,,,,n n y y y y y y -===之下,等价于下面的一阶微分方程组()()()1112221212,,,,,,,,,,,,,,.n nn n n dy f x y y y dx dy f x y y y dxdy f x y y y dx⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=⎪⎩ 在第三章中,已经介绍过方程组通解的概念和求法;但是除了常系数线性方程组外,求一般的的解是极其困难的;然而在某些情况下,可以使用所谓“可积组合”法求通积分,下面先通过例子说明“可积组合”法,然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念和性质,以及用首次积分方法来求解方程组的问题;先看几个例子;例1 求解微分方程组()()22221,1.dx dy y x x y x y x y dt dt=-+-=--+- 解：将第一式的两端同乘x ,第二式的两端同乘y ,然后相加,得到 ()()12222-++-=+y x y x dtdyy dt dx x ,()()()222222112d x y x y x y dt +=-++-; 这个微分方程关于变量t 和()22x y +是可以分离,因此不难求得其解为1222221C e y x y x t=+-+,1C 为积分常数; 叫做的首次积分;注意首次积分的左端(),,V x y t 作为x,y ,和t 的函数并不等于常数；从上面的推导可见,当(),()x x t y y t ==时微分方程组的解时,(),,V x y t 才等于常数1C ,这里的常数1C 应随解而异;因为式是一个二阶方程组,一个首次积分不足以确定它的解;为了确定的解,还需要找到另外一个首次积分;将第一式两端同乘y ,第二式两端同乘x ,然后用第一式减去第二式,得到22y x dt dyx dt dx y+=-, 即()22y x dtdx y dt dy x+-=-, 亦即1arctan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛dtx y d ; 积分得2arctan C t xy=+,其中2C 为积分常数;利用首次积分和可以确定的通解;为此,采用极坐标cos ,sin x r y r θθ==,这样由和推得212211,.t e C t C r θ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭或 t C eC r t-=-=-221,11θ.因此我们得到方程组的通解为 ()teC t C x 2121cos ---=,()teC t C y 2121sin ---=.例2 求解微分方程组 ()()(),,.duvw dt dvwu dt dwuv dt αβγβγαγαβ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩其中0αβγ>>>是给定的常数;解利用方程组的对称性,可得0du dv dwu v w dt dt dtαβγ++=,从而得到首次积分2221u v w C αβγ++=, 其中积分常数10C ≥;同样我们有 2220du dv dwu v w dt dt dtαβγ++=, 由此又得另一个首次积分2222222u v w C αβγ++=, 其中积分常数20C ≥;有了首次积分和 ,我们就可以将u 和v 用w 表示,代入原方程组的第三式,得到dw dt =,其中常数a ,b 依赖于常数12C C 和,而常数 ()()()()0,0.A B γβγγαγααββαβ--=>=>--注意是变量可分离方程,分离变量并积分得到第三个首次积分3t C αβγ--=, 其中3C 是积分常数;因为方程组是三阶的,所以三个首次积分、和在理论上足以确定它的通解()()()123123123,,,,,,,,,,,.u t C C C v t C C C w t C C C ϕψχ=== 但是由于在式中出现了椭圆积分,因此不能写出上述通解的具体表达式;现在我们考虑一般的n 阶常微分方程()n i iy y y x f dxdy ,,,,21 =,()n i ,2,1=, 其中右端函数()n i y y y x f ,,,,21 在1+⊂n R D 内对()12,,,,n x y y y 连续,而且对n y y y ,,,21 是连续可微的;定义1设函数()12,,,,n V V x y y y =在D 的某个子域G 内连续,而且对12,,,,n x y y y 是连续可微的;又设()12,,,,n V x y y y 不为常数,但沿着微分方程在区域G 内的任意积分曲线()()()()1122:,,,n n y y x y y x y y x x J Γ===∈函数V 取常值；亦即()()()()()()12,,,n V x y x y x y x C x J =∈常数,或当12(,,,,)n x y y y ∈Γ时,有()12,,,,n V x y y y =常数, 这里的常数随积分曲线Γ而定,则称()12,,,,n V x y y y =C为微分方程在区域G 内的首次积分;其中C 是一个任意常数,有时也称这里的函数()12,,,,n V x y y y 为的首次积分;例如和都是微分方程在某个区域内的首次积分;这里对区域G 有限制,是要求首次积分和必须是单值的连续可微函数;因此区域G 内不能包括原点,而且也不能有包含原点的回路;同理,式、和都是方程的首次积分;对于高阶微分方程 ,只要做变换 ,就可以把它化成一个与其等价的微分方程组;因此,首次积分的定义可以自然地移植到n 阶方程 ;而其首次积分的一般形式可以写为()()1',,,,n V x y y y C -=;例如,设二阶微分方程组()222sin 00d xa x a dt+=>为常数,用dxdt乘方程的两端,可得222sin 0dx d x dx a x dt dt dt+=, 然后积分,得到一个首次积分221cos 2dx a x C dt ⎛⎫-= ⎪⎝⎭;一般的,n 阶常微分方程有n 个独立的首次积分,如果求得n 阶常微分方程组的n 个独立的首次积分,则可求n 阶常微分方程组的通解; 首次积分的性质和存在性关于首次积分的性质,我们不加证明地列出下面的定理; 定理1设函数()12,,,,n x y y y Φ 在区域G 内是连续可微的,而且它不是常数,则()12,,,,n x y y y C Φ=是微分方程在区域G 内的首次积分的充分必要条件是 110n nf f x y y ∂Φ∂Φ∂Φ+++=∂∂∂ 是关于变量()12,,,,n x y y y G ∈的一个恒等式;这个定理实际上为我们提供了一个判别一个函数是否是微分方程首次积分的有效方法;因为根据首次积分的定义,为了判别函数()12,,,,n V x y y y 是否是微分方程在G 内的首次积分,我们需要知道在G 内的所有积分曲线;这在实际上是由困难的;而定理1避免了这一缺点;定理2 若已知微分方程的一个首次积分 ,则可以把微分方程降低一阶; 设微分方程组有n 个首次积分()()12,,,,1,2,,i n i x y y y C i n Φ==,如果在某个区域G 内它们的Jacobi 行列式()()1212,,,0,,,n n D D y y y ΦΦΦ≠,则称它们在区域G 内是相互独立的;定理3设已知微分方程的n 个相互独立的首次积分 ,则可由它们得到在区域G 内的通解()()12,,,,1,2,,i i n y x C C C i n ϕ==,其中12,,,n C C C 为n 个任意常数在允许范围内,而且上述通解表示了微分方程在G 内的所有解;关于首次积分的存在性,我们有定理 4 设()00001,,,n p x y y G =∈,则存在0p 的一个邻域0G G ⊂,使得微分方程在区域0G 内有n 个相互独立的首次积分;定理5 微分方程最多只有n 个相互独立的首次积分;定理6 设是微分方程在区域G 内的n 个相互独立的首次积分,则在区域G 内微分方程的任何首次积分()12,,,,n V x y y y =C ,可以用来表达,亦即()()()1211212,,,,,,,,,,,,,,n n n n V x y y y h x y y y x y y y =ΦΦ⎡⎤⎣⎦,其中[]*,,*h 是某个连续可微的函数;为了求首次积分,也为了下一节的应用,人们常把方程组改写成对称的形式12121n n dy dy dy dxf f f ===, 这时自变量和未知函数的地位是完全平等的;更一般地,人们常把上述对称式写成()()()1211221212,,,,,,,,,,nn n n n dy dy dy Y y y y Y y y y Y y y y ==并设12,,,n n Y Y Y G R ⊂在区域内部不同时为零,例如如果设0,n Y ≠ 则等价于()()()1212,,,1,2,,1,,,i n i n n n Y y y y dy i n dy Y y y y ==-;请注意,式中的n y 相当于自变量,()1,2,,1i x i n =-相当于未知函数,所以在方程组中只有n--1个未知函数,连同自变量一起,共有n 个变元;不难验证,对于系统 ,定理1相应地改写为：设函数()12,,,n y y y ϕ连续可微,并且不恒等于常数,则()12,,,n y y y ϕ=C 是的首次积分的充分必要条件是关系式()()()()1121212121,,,,,,,,,,,,0n n n n n nY y y y y y y Y y y y y y y y y ϕϕ∂∂++=∂∂在G 内成为恒等式;如果能得到的n -1个独立的首次积分,则将它们联立,就得到的通积分;方程写成对称的形式后,可以利用比例的性质,给求首次积分带来方便;例3 求dx dy dz y x z==的通积分; 解将前两个式子分离变量并积分,得到方程组的一个首次积分 221x y C -= 其中1C 是任意常数,再用比例的性质,得()()d x y dzx y z+=+,两边积分,又得到一个首次积分2x yC z +=,其中2C 是任意常数; 和是相互独立的,将它们联立,便得到原方程组得通积分 221x y C -=,2x y C z +=.例4 求dx dy dzcy bz az cx bx ay==---的通积分;解利用比例的性质,可以得到 .00dx dy dz xdx ydy zdz adx bdy cdzcy bz az cx bx ay ++++====---于是有0,0.xdx ydy zdz adx bdy cdz ++=++=分别积分,就得到两个首次积分22212,.x y z C ax by cz C ++=++= 将它们联立,就得到原系统的通积分,其中12C C 和为任意常数; 例5 求解二体问题,即求解方程组()()()2322222232222223222220,0,0.d x xdt x y z d y ydt x y z d z zdt x y z ααα+=+++=+++=++ 其中常数,GM G M α=是引力常数，是相对静止的这个天体的质量;现在求二体问题的运动轨线;以x 乘第二式两边,以y 乘第三式两边,然后相减,得22220,d y d zz y dt dt-=即0d dz dy y z dt dt dt ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,积分便得到1,dz dy yz C dt dt-= 这里1C 是任意常数,用类似的方法,可以得到23,.dx dzzx C dt dtdy dx x y C dt dt-=-= ()()4.1.274.1.28其中23,C C 都是任意常数;分别用x 、y 、z 乘 , 和的两边,然后三式相加,得到 1230.C x C y C z ++= 这时一个平面方程;说明二体问题的运动轨迹()()(),,x x t y y t z z t ===位于所表示的平面内;因此二体问题的轨迹是一条平面曲线;重新选取坐标平面,不妨将轨迹线所在的平面选为x ,y 平面,于是二体问题的运动方程是()()2322222322220,0.d x xdt x y d y y dt x y αα⎧+=⎪+⎪⎨⎪+=⎪+⎩()()4.1.304.1.31由这两式可以看到()22322220dx d x dy d y dx dy x y x y dt dt dt dt dt dt α-⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 上式可以写成()2212220,d dx dy dx y dt dt dt dt α-⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦两边积分,得到一个首次积分()221222.dx dy x y A dt dt α-⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中A 为积分常数;引入极坐标cos ,sin x r y r θθ==,经过简单的运算,上式可以写成2222.dr d r A dt dt r θα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 另一方面,以y 乘 ,以x 乘 ,然后两式相减,得22220d x d yy x dt dt-=,即0d dy dx x y dt dt dt ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 积分后得到另一个首次积分 dy dx x y B dt dt-=, 化成极坐标,便得2d r B dtθ=; 设0B ≠,则由和解得dr d θ=,不妨把“±”与B 合并,仍记为B ,则上式可以写成B d d θ⎛⎫ ⎪=,记2,0A B α⎛⎫∆=+∆≤ ⎪⎝⎭若,则上式没有意义,故总设0∆>;将积分,得到0arccos .B αθθ⎛⎫- ⎪=-这里0θ又是一个积分常数;从上式得到二体问题轨迹线的极坐标方程()201B r Bαθθ=+-;由平面几何知道,这是一条二次曲线;它的离心率是0ε=>;当1ε<时,轨迹为一个椭圆；当1ε=时,轨迹为一个抛物线；当1ε>时,轨迹为一双曲线;由可知,r 依赖于常数,A B α和,其中GM α=是系统常数；A 和B 由初始条件00,,t t t dr d r dtdt θ===和确定;如果00(0)t d B dtθ===即,则由知()0,d t dtθθ=等于常数,这表示运动的轨迹是一条射线,这是显然的事;这个例子说明,虽然二体问题的解x=xt 和y=yt 没有求出来,但是利用首次积分,却完整地求出了运动的轨迹方程;2 一阶齐次线性偏微分方程下面我们讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法; 一阶线性偏微分方程一阶线性偏微分方程的一般形式为()()()0,,,,,,,,2122121211=∂∂++∂∂+∂∂nn n n n x u x x x A x u x x x A x u x x x A , 或简记为()0,,,121=∂∂∑=ini n i x ux x x A , 其中u 为n x x x ,,,21 的未知函数()2n ≥;假定系数函数12,,,n A A A()1,,n x x D ∈对是连续可微的,而且它们不同时为零,即在区域D 上有()121,,,0nin i A x x x =>∑;注意微分方程组是线性齐次的;对于偏微分方程组 , 我们考虑一个对称形式的常微分方程组()()()n n n n n x x x A dx x x x A dx x x x A dx ,,,,,,,,,2121222111 ===,它叫做的特征方程,注意特征方程是一个n -1阶常微分方程组,所以它有n -1个首次积分()()12,,,1,2,,1i n i x x x C i n ϕ==-;我们的目的是通过求的首次积分来求的解; 的解与的首次积分之间的关系有如下的定理定理1 假设已经得到特征方程组的1-n 个首次积分 ()i n i C x x x =,,,21 ϕ, ()1,,2,1-=n i 则一阶偏微分方程的通解为()()()()()12112212112,,,,,,,,,,,,,,n n n n n u x x x x x x x x x x x x ϕϕϕ-=Φ其中Φ为一任意1-n 元连续可微函数; 证明设()12,,,n x x x C ϕ=是方程的一个首次积分;因为函数12,,,n A A A 不同时为零,所以在局部邻域内不妨设()12,,,0n n A x x x ≠,这样特征方程等价于下面标准形式的微分方程组()()()()11111111,,,,,,,.,,n n n n n n n nn n A x x dx dx A x x A x x dx dx A x x --⎧=⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩因此也是的一个首次积分,从而有恒等式110n i i n n iA x A x ϕϕ-=∂∂+=∂∂∑, 亦即恒有()11,,0ni n i iA x x x ϕ=∂=∂∑; 这就证明了非常数函数()12,,,n x x x ϕ为方程的一个首次积分的充要条件为恒等式成立;换言之,()12,,,n x x x ϕ为方程的一个首次积分的充要条件是()12,,,n u x x x ϕ=为偏微分方程的一个非常数解;因为是微分方程的n -1个独立的首次积分,所以根据首次积分的理论得知,对于任意连续可微的非常数n -1元函数Φ,()()112112,,,,,,,,n n n x x x x x x C ϕϕ-Φ=⎡⎤⎣⎦就是的一个首次积分;因此,相应的函数是偏微分方程的一个解;反之,设()12,,,n u u x x x =是偏微分方程的一个非常数解,则()12,,,n u x x x C =是特征方程的一个首次积分,因此,根据首次积分的理论得知,存在连续可微函数()11,,n ϕϕ-Φ,使恒等式()()()12112112,,,,,,,,,,,n n n n u x x x x x x x x x ϕϕ-≡Φ⎡⎤⎣⎦成立,即偏微分方程的任何非常数解可以表示成的形式;另外,如果允许Φ是常数,则显然包括了方程的常数解; 因此,公式表达了偏微分方程组的所有解,也就是它的通解; 例1 求解偏微分方程()()0=∂∂--∂∂+xzy x x z y x 022>+y x .解原偏微分方程的特征方程为yx dyy x dx --=+ 它是一阶常微分方程组,求得其一个首次积分为C ey x xy=+arctan22,由定理1知,原偏微分方程的通解为()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+Φ=x y e y x y x z arctan 22,,其中Φ为任意可微的函数;例2 求解边值为题()0,0,0,01,.f z x y z z z f xy ∂=>>>∂⎪==⎩解原偏微分方程的特征方程为zdz ydy xdx ==, 由1C ==; 再由2,ln dzz C z ==得. 故方程的通解为()()z y y x z y x f ln 2,,,--Φ=其中Φ为任意二元可微的函数,可由边值条件确定, 因为()()1ln 2,1,,--Φ=y y x y x f ()xy y y x =-Φ=2,,令y y x 2,=-=ηξ,则2ηξ+=x ,4,222ηηξ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x ,()=Φηξ,4222ηηξ⎪⎭⎫ ⎝⎛+;代入式,得到()()z y y x z y x f ln 2,,,--Φ=()()()222ln 24ln 2⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--=z y y x z y()()16ln 2ln 222zx zy --=.一阶拟线性非齐次偏微分方程下面讨论一阶拟线性非齐次偏微分方程()()()()u x x x B x u u x x x A x u u x x x A x u u x x x A n n n n n n ,,,,,,,,,,,,,,212122121211 =∂∂++∂∂+∂∂的求解方法;式中函数()11,,,,,n n A A B x x u G ∈和关于变元是连续可微的;这里所说的“拟线性”是指方程关于未知函数的偏导数都是一次的,各个系数()u x x x A n i ,,,21 ,()n i ,,2,1 =中可能含有未知函数u ,而“非齐次”是指存在不含未知函数偏导数的自由项()u x x x B n ,,,,21 ;和一阶线性偏微分方程()()()120121121,,,,,,,,,ni n n n i iuA x x xB x x x B x x x u x =∂=+∂∑相比较,显然式拟线性方程比线性方程更广泛;我们将求解的问题化成求解线性齐次方程的问题,设()C u x x x V n =,,,,21是的隐函数形式的解,且0≠∂∂uV,则根据隐函数微分法得uV x V x ui i∂∂∂∂-=∂∂, ()n i ,,2,1 = 将代入中,经过整理得()()()()112212121212,,,,,,,,,,,,,,0.n n n n n nVVA x x x u A x x x u x x VVA x x x uB x x x u x u∂∂++∂∂∂∂++=∂∂由此,可以将V 视为关于u x x x n ,,,,21 的函数, 变成了关于未知函数()u x x x V n ,,,,21 的一阶线性齐次偏微分方程;于是函数()u x x x V n ,,,,21 应是方程的解;反过来,假设函数()u x x x V n ,,,,21 是的解,且0≠∂∂uV,则由和可以推出由方程()u x x x V n ,,,,21 =0 所确定的隐函数()12,,,n u u x x x =是方程的解;这样求解方程的问题就化成了求解的问题;为了求解 ,先写出其特征方程组为()()()()u x x x B du u x x x A dx u x x x A dx u x x x A dx n n n n n n ,,,,,,,,,,,,,,,,212121222111 ====. 式可化为n 个常微分方程,求得它的n 个首次积分为()i n i C u x x x =,,,,21 ϕ, ()1,2,,i n =就得到的通解为()()()()()u x x x u x x x u x x x u x x x V n n n n ,,,,,,,,,,,,,,,,,,2121221121 ϕϕϕΦ=其中Φ是所有变元的连续可微函数;我们将称为方程的特征方程组;上述过程写成定理就是定理设函数()()12,,;1,2,i n A x x x u i n =和()12,,;n B x x x u 在区域1n G R +⊂ 内连续可微,12,,,n A A A 在G 内不同时为零,设()012,,,;n V V x x x u =是的一个解,且()00120,,,,;0n V V x x x u u∂≠=∂则必是方程的一个隐式解;反之()12,,,;n x x x u ϕ是的一个隐式解,并且0,uϕ∂≠∂ 则从它确定的函数 ()12,,,n u u x x x =,必是的某个解()012,,,;n V V x x x u =,使()()01212,,,;,,,0.n n V x x x u x x x ≡一阶线性非齐次偏微分方程为一阶拟线性非齐次偏微分方程的特殊情况,其解法完全与求解方程的解法相同;例4 求解()21=∂∂+∂∂--+yz x z yx z . 解原一阶拟线性非齐次偏微分方程()18.1.5的特征方程为211dz dy yx z dx ==--+, 故由21dzdy =,积分后得12C z y =-,求得一个首次积分z y -=21ϕ,再利用合比定理,有1dy yx z dy dx dz =-----, 积分后得22C y x z y =--+,故求得另一个首次积分为 y x z y --+=22ϕ, 所以的通解为()02,2=--+-Φy x z y y z .例5 求解 ()1212,0nnu u ux x x mu m x x x ∂∂∂+++=≠∂∂∂.解式为线性非齐次偏微分方程,是拟线性非齐次偏微分方程的特例,其特征方程为mudux dx x dx x dx n n ==== 2211, 分别积分,得n 个首次积分m n n n x u x x x x x x 111132121,,,,====-ϕϕϕϕ . 故原线性非齐次偏微分方程的隐式通解为0,,,,111312=⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φm n x u x x x x x x , 其中Φ是各个自变量的连续可微函数,解出u 得显式通解()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11312121,,,,,,x x x x x x F x x x x u n m n . 习题四1 求解下列偏微分方程1()12120,0.kky y yx x x k x x x ∂∂∂+++=≥∂∂∂2()()()0,u u u y z z x x y x y z∂∂∂+++++=∂∂∂ 3()()()2222220.h h ha b c b c a c b a ab c∂∂∂++++-=∂∂∂ 2 求解下列初值问题 10,1,x u y z =⎪==-⎩当时。

1.3一阶线性偏微分方程的通解法

1.3 一阶线性偏微分方程的通解法1.3.1 (3)，1.3.2 (3)，1.3.3(2)通解法：对某些偏微分方程，通过积分先求出通解，再由定解条件定出特解的解法。

1.3.1 两个自变量的一阶线性偏微分方程(,)(,)(,)(,)0.1(,),(,),(,),(,)D (,),(,)u ua x yb x yc x y u f x y x y a x y b x y c x y f x y a x y b x y ∂∂++=∂∂（）其中，为平面区域上的连续函数，且不同时为0.1D (,)0,(,)0,(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)=exp -exp ()0.3(,)(,)(,)()a x y b x y u c x y f x y u y b x y b x y x c x y c x y f x y u x y dy dy dy g x b x y b x y b x y g x C ≡≠∂+=∂⎡⎤⎛⎞⎛⎞+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎣⎦∫∫∫若在上，则（0.2）可看做含参数的常微，其通解.（其中，为任意函数。

）D (,)(,)0,=,)(,)(,)(,)0(,)a x y b x y x y x y xyJ x y xyξϕηψϕϕϕψϕψψψ≠⎧⎨=⎩∂∂∂∂∂==≠∂∂∂∂∂若在上，则方程（0.2）不能直接积分求解。

试作变量代换（（0.4）要求其雅可比行列式（保证新变量的独立性）利用链式法则++(,)=((,,(,)(,.=,)(,)(,)=0u u u u u ux x x y y y u x y u u x y u u u a b a b cu f xy x y x y a x y b x y x y ϕψϕψξηξηξηξηξηϕϕψψξηξϕϕϕ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂∂∂++++=⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂+∂∂，的方程（0.1）变成)))的新方程（0.5）若取（是一阶齐次线性偏微分方程（0.6）的解，则新(,(,)u a b cu f xy u u ψψηηξη⎛⎞∂∂∂++=⎜⎟∂∂∂⎝⎠方程（0.5）成为（0.2）型的方程，（0.7）对积分即可求出其通解)，代回原自变量即得通解。

高数-一阶线性微分方程

(x
1) 2
2 3
(x
1)
3 2
C
注意：找正确P(x)和 Q(x).
例2. 求方程 (x2 1) y'2xy cos x 0, y(0) 1 特解。
解一: 整理方程得
y'
2x x2 1
y
cos x x2 1
对应的齐次方程
y'
x
2
2
x
1
y
0的通解为
y
C x2 1
(齐通)
(常数变易法) 令
dx
(2)
dy 3y 8 , dx
y |x0 2
(3)
( y2 6x) dy 2 y 0 dx
(4)
dy dx
2x
y
y3
,
y
x1
1
答案： (1) y (x 2)3 C(x 2)
(2)
y
2 3
(4
e3x )
(3) x Cy3 1 y2
2
(4) x y3
*二、伯努利 ( Bernoulli )方程
令 P(x) x, Q(x) 2x
方程的通解
y
e P( x)d x
Q(
x)
e
P
(
x
)
d
xd
x
C
e
x
d
x
2
x
e
x
d
x
d
x
C
1 x2
e2
2
x
e
1 2
x2
d
x
C
2
C
1 x2
e2
1 x2
由y(0) 2 得 C 4. 即 y 2 4 e2

2. 一阶偏微分方程

§2 一阶偏微分方程一、柯西-柯娃列夫斯卡娅定理[一阶偏微分方程的通解] 一阶偏微分方程的一般形式是0),,,,,,,,(2121=∂∂∂∂∂∂nn x ux u x u u x x x F或()0,,,,,,,211=n n p p p u x x F ，其中()n i x up ii ,,2,1 =∂∂=如解出p 1，可得：p 1 = f (x 1 , x 2 ,…, x n , u , p 2 ,…, p n )当方程的解包含某些“任意元素”(指函数)，如果适当选取“任意元素”时，可得方程的任意解(某些“奇异解”除外)，则称这样的解为通解.在偏微分方程的研究中，重点在于确定方程在一些附加条件(即定解条件)下的解，而不在于求通解.[一阶方程的柯西问题]()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂=n x x n n x x u p p u x x x f x u,,|,,,,,,,22211011 ϕ 称为柯西问题，式中),,(2n x x ϕ为已知函数，对柯西问题有如下的存在惟一性定理.[柯西－柯娃列夫斯卡娅定理] 设 f ( x 1 , x 2 ,, x n , u , p 2 ,, p n ) 在点 ( x 10 , x 20 ,, x n 0 , u 0 , p 20 ,, p n 0 ) 的某一邻域内解析，而),,(2n x x ϕ在点( x 20 ,, x n 0 ) 的某邻域内解析，则柯西问题在点 ( x 10 ,, x n 0 ) 的某一邻域内存在着惟一的解析解.这个定理应用的局限性较大，因它要求f 及初始条件都是解析函数，一般的定解问题未必能满足这种条件.对高阶方程也有类似定理.二、一阶线性方程1．一阶齐次线性方程[特征方程∙特征曲线∙初积分(首次积分)] 给定一阶齐次线性方程()()0,,,,,,211211=∂∂++∂∂n n n n x ux x x a x u x x x a (1)式中a i 为连续可微函数，在所考虑的区域内的每一点不同时为零(下同).方程组在有些书中写作0),,,,,,,,,(121=∂∂∂∂∂∂nn x ux u t u u x x x t F()n i ix x x a tx ,,,d d 21 = ( i = 1,2,, n ) 或()()()n n n n n x x x a x x x x a x x x x a x ,,,d ,,,d ,,,d 2121222111 === (2) 称为一阶齐次线性偏微分方程的特征方程.如果曲线l : x i = x i (t ) ( i =1,2,, n )满足特征方程(2)，就称曲线l 为一阶齐次线性方程的特征曲线.如果函数ψ ( x 1 , x 2 ,, x n )在特征曲线),,2,1()(n i t x x i i ==上等于常数，即ψ ( x 1(t ) , x 2(t ) ,, x n (t ) ) = c 就称函数ψ ( x 1, x 2,, x n )为特征方程(2)的初积分(首次积分). [齐次方程的通解]1o 连续可微函数u = ψ ( x 1, x 2,, x n ) 是齐次线性方程(1)的解的充分必要条件是： ψ ( x 1, x 2,, x n )是这个方程的特征方程的初积分.2o 设ψi ( x 1 , x 2 ,, x n ) ( i = 1,2,, n 1-) 是特征方程(2)在区域D 上连续可微而且相互独立的初积分(因此在D 内的每一点，矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂---n n n n n n x x x x x x x x x 121112221212111ψψψψψψψψψ的秩为n 1-) ，则u = ω ( ψ1 ( x 1 , x 2 ,, x n ) ,, ψn -1 ( x 1 , x 2 ,, x n ) ) 是一阶齐次线性方程(1)的通解，其中ω为n 1-个变量的任意连续可微函数. [柯西问题] 考虑方程的柯西问题()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂==∑n x x ni ini x x u x u x x x a ,,|0,,,2121011 ϕ 式中ϕ ( x2 ,, x n )为已知的连续可微函数.设ψi ( x 1 , x 2 ,, x n ) ( i = 1,2,, n 1-) 为特征方程的任意n 1-个相互独立的初积分，引入参变量 i ψ (1,,2,1-=n i )，从方程组()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===--120112201212011,,,,,,,,,n n n n n x x x x x x x x x ψψψψψψ解出x 2 ,, x n 得()()⎪⎩⎪⎨⎧==--12112122,,,,,,n n nn x x ψψψωψψψω 则柯西问题的解为u = ϕ ( ω2 ( ψ1 , ψ2 ,, ψn -1 ) ,, ωn ( ψ1 , ψ2 ,, ψn -1 ) )2．非齐次线性方程它的求解方法与拟线性方程相同.三、一阶拟线性方程一阶拟线性方程为()()∑==∂∂ni n in i u x x x R x uu x x x a 12121,,,,,,,, 其中a i 及R 为x 1 , x 2 ,, x n , u 的连续可微函数且不同时为零. [一阶拟线性方程的求解和它的特征方程]()()⎪⎩⎪⎨⎧===u x x x R tun i u x x x a t x n n i i,,,,d d ),,2,1(,,,,d d 2121 或()()()ux x R uu x x a x u x x a x n n n n n ,,,d ,,,d ,,,d 11111 === 为原拟线性方程的特征方程.如果曲线l : x i = x i (t ) ( i =1,2,, n ) , u = u (t ) 满足特征方程，则称它为拟线性方程的特征曲线.设 ψi ( x 1 ,, x n ,u ) ( i = 1,2,, n ) 为特征方程的n 个相互独立的初积分，那末对于任何连续可微函数ω，ω ( ψ1 ( x 1,, x n , u ) , ψ2 ( x 1,, x n , u ) ,, ψn ( x 1,, x n , u ) ) = 0 都是拟线性方程的隐式解.[柯西问题] 考虑方程的柯西问题()()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂==∑n x x ni n i ni x x u u x x x R x u u x x x a ,,|,,,,,,,,212121011 ϕ ϕ为已知的连续可微函数.设 ψ1 ( x 1 , x 2 ,, x n , u ) ,, ψn ( x 1 , x 2 ,, x n , u ) 为特征方程的n 个相互独立的初积分，引入参变量 n ψψψ,,,21 , 从()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===nn n n n u x x x u x x x u x x x ψψψψψψ,,,,,,,,,,,,2012201212011解出 x 2 ,, x n , u()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===n n n n n u x x ψψψωψψψωψψψω,,,,,,,,,21212122 则由()()()()()()()0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2121221221121=-≡n n n n n n u x x x u x x x u x x x V ψψψωψψψωϕψψω给出柯西问题的隐式解.四、一阶非线性方程[完全解·通解·奇异解] 一阶非线性方程的一般形式为()()n i x u p p p p u x x x F ii n n ,,2,10,,,,,,,,2121 =∂∂==若一阶偏微分方程的解包含任意n 个独立的常数，则称这样的解为完全解(全积分). 若V ( x 1, x 2 ,, x n , u , c 1 , c 2,, c n ) = 0为方程的完全解，从()n i c VV i ,,2,10,0 ==∂∂= 消去c i ，若得一个解，则称它为方程的奇异解(奇积分).以两个独立变量为例说明完全解与通解、奇异解的关系，设方程()yzq x z p q p z y x F ∂∂=∂∂==,,0,,,,有完全解V (x ,y ,z ,a ,b )=0 ( a ,b 为任意常数),则方程等价于从方程组()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=0,00,,,,q z Vy V p z V x V b a z y x V 消去a ,b 所得的方程.利用常数变易法把a ,b 看作x , y 的函数，将V (x ,y ,z ,a ,b )=0求关于x , y 的偏导数，得00=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂+∂∂ybb V y a a V q z V y V xbb V x a a V p z V x V那末0,0=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂y b b V y a a V x b b V x a a V 与V=0联立可确定a ,b .有三种情况：1︒ 0≡∂∂≡∂∂bV a V ，将其与V (x ,y ,z ,a ,b )=0联立可确定不含任意常数的奇异解.2︒ 如0=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂y bx b y a x a ，即回到完全解.3︒ 当0/,0/≡∂∂≡∂∂b V a V 时，必有()()0,,=∂∂y x b a ，这时，如果不属于情形2︒ ，则a 与b 存在函数关系：b=ω(a )，这里ω为任意可微函数，并从方程V (x ,y ,z ,a ,b )=0和()∂∂∂∂ωV a Vba +'=0消去a ,b ，可确定方程的通解.定理偏微分方程的任何解包含在完全解内或通解内或奇异解内. [特征方程·特征带·特征曲线·初积分] 在一阶非线性方程：()F x x x u p p p n n 12120,,,,,,,, =中，设F 对所有变量的二阶偏导数存在且连续，称()n i uF p x F t p p Fp t u p F t x i i i ni ii i i ,,2,1)(d d d d ,1 =∂∂+∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂∑=或up x p up x p p Fp up x p xp x n n n ni iinn ∂+∂-==∂+∂-=∂∂=∂==∂=∂∑=d d d d d d 11112211为非线性方程的特征方程.设特征方程的解为x i =x i (t ), u=u (t ), p i =p i (t ) (i =1,2,…,n )称它为非线性方程的特征带.在x 1,x 2,, x n ,u 空间的曲线x i =x i (t ), u=u (t ) (i=1,2,…,n )称为非线性方程的特征曲线.如果函数()n n p p p u x x x G ,,,,,,,,2121 在特征方程的任一解x i =x i (t ) (i =1,2,, n ), u=u (t ), p i =p i (t ) (i =1,2,, n )上等于常数，即()()()()()()()()G x t x t x t u t p t p t p t C n n 1212,,,,,,,, =那末函数()n n p p p u x x x G ,,,,,,,,2121 称为特征方程的初积分.[求完全解的拉格朗日－恰比方法] 考虑两个变量的情况.对于方程F (x ,y ,z ,p ,q )=0，选择使雅可比式()()0,,≠∂∂q p G F 的一个初积分G (x ,y ,z ,p ,q ).解方程组 ()()F x y z p q G x y z p q a ,,,,,,,,==⎧⎨⎪⎩⎪0(a 为任意常数) 得p (x ,y ,z ,a )及q (x ,y ,z ,a ).则方程d z=p d x+q d y的通解V (x ,y ,z ,a ,b )=0(b 是积分d z=p d x+q d y 出现的任意常数)就是方程F (x ,y ,z ,p ,q )=0的完全解. 例求方程()z p q x y 22222+=+的完全解.解方程的特征方程为()()()qy x z y qp q p z x p q p z z q z y p z x 22222222222d 22d 2d 2d 2d +-=+-=+== 这里成立zpxx p z z p d d d =+ 所以特征方程的一个初积分为z 2p 2 －x 2 .解方程组 ()()z p q x y z p x a22222222+-+=-=⎧⎨⎪⎩⎪ (a 为任意常数) 得 p a x zq y az=+=-22, 积分微分方程得完全解z x x a y y a a x x a y y ab 22222=++-++++-+ln(b 为任意常数)[某些容易求完全解的方程] 1︒ 仅含p ,q 的方程F (p ,q )=0G =p 是特征方程的一个初积分.从F (p ,q )=0与p=a (a 为任意常数)得q=ψ(a )，积分d z=a d x+ψ(a )d y得完全解z=ax+ψ(a )y+b (b 为任意常数)2︒ 不显含x ,y 的方程F (z ,p ,q )=0 特征方程为z Fqqz F p p q F q p F p z q F y p F x ∂∂-=∂∂-=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂d d d d d 因此q d p-p d q =0，显然G qp=为一个初积分，由F (z ,p ,q )=0，q=pa (a 为任意常数)解得p=ψ(z ,a ).于是由d z=ψ(z ,a )d x+a ψ(z ,a )d y得()⎰++=b ay x a z z,d ψ (b 为任意常数) 可确定完全解.3︒ 变量分离形式的方程()f x p i i i i n,=∑=10特征方程为nn n ni iiinn n x f p x f p p f p zp f x p f x ∂∂-==∂∂-=∂∂=∂∂==∂∂∑=d d d d d 1111111可取初积分G i =f i (x i ,p i ) , (i =1,2,, n ).从f i (x i ,p i )=a i (i =1,2,, n )解出p i =ϕi (x i ,a i )得完全解()∑⎰=+=ni i i i i b x a x z 1d ,ϕ式中a i ,b 为任意常数，且a i i n=∑=10.[克莱罗方程] 方程()z p x f p p p i i n i n=+=∑121,,,称为克莱罗方程，其完全解为()z c x f c c c i i n i n=+=∑121,,,对c i 微分得x fc i i=-∂∂ (i =1,2,…,n ) 与完全解的表达式联立消去c i 即得奇异解.例求方程z －xp －yq －pq =0的完全解和奇异解. 解这是克莱罗方程，它的完全解是z=ax+by+ab对a,b 微分，得x=－b,y=－a ，消去a ,b 得奇异解z=－xy[发甫方程] 方程P (x,y,z )d x+Q (x,y,z )d y+R (x,y,z )d z=0 (1) 称为发甫方程，如果P,Q,R 二次连续可微并满足适当条件，那末方程可积分.如果可积分成一关系式时，则称它为完全可积.1︒ 方程完全可积的充分必要条件当且仅当P,Q,R 满足条件0)()()(=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂yP x Q R x R z P Q z Q y R P (2) 时，存在一个积分因子μ(x,y,z )，使d U 1=μ(P d x+Q d y+R d z )从而方程的通解为U 1(x,y,z )=c特别，当0,0,0=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂yPx Q x R z P z Q y R 时，存在一个函数U (x,y,z )满足zUR y U Q x U P ∂∂=∂∂=∂∂=,, 从而 d U=P d x+Q d y+R d z 所以方程的通解为U (x,y,z )=c 所以完全可积的发甫方程的通解是一单参数的曲面族.定理设对于发甫方程(1)在某区域D 上的完全可积条件(2)成立，则对D 内任一点M (x,y,z )一定有方程的积分曲面通过，而且只有一个这样的积分曲面通过. 2︒ 方程积分曲面的求法设完全可积条件(2)成立.为了构造积分曲面，把z 看成x,y 的函数(设R (x,y,z )≠0)，于是原方程化为y RQ x R P z d d d --=由此得方程组()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡-=∂∂≡-=∂∂4,,3,,11z y x Q R Q y z z y x P R P x z发甫方程(1)与此方程组等价.把方程(3)中的y 看成参变量，积分后得一个含有常数 c 的通解()cy x z ~;,ϕ= 然后用未知函数()~cy 代替常数 c ，将()()z x y c y =ϕ,;~代入方程(4)，在完全可积的条件下，可得()~cy 的一个常微分方程，其通解为 ()()~,cy y c =ψ c 为任意常数，代回()()z x y cy =ϕ,;~中即得发甫方程的积分曲面 z=ϕ(x,y,ψ(y,c ))由于发甫方程关于x,y,z 的对称性，在上面的讨论中，也可把x 或y 看成未知函数，得到同样的结果.例求方程yz d x+2xz d y+xy d z=0的积分曲面族.解容易验证完全可积条件成立，显然存在一个积分因子μ=1xyz，用它乘原方程得 0d d 2d =++zz y y x x 积分后得积分曲面族xy 2z=c也可把方程化为等价的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂-=∂∂y z yz x z xz 2 把y 看成参变量，积分xzx z -=∂∂得通解 zx c= 用未知函数()~cy 代替 c ，将()y c zx ~=代入方程y z y z 2-=∂∂得 ()()yy cy y c ~2d ~d -= 积分后有()~cy c y =2所以原方程的积分曲面族是xy 2z=c五、一阶线性微分方程组[一阶线性偏微分方程组的一般形式] 两个自变量的一阶线性方程组的形式是()n i F u C x u B t u A i n j j ij n j n j jij j ij ,,2,10111 ==++∂∂+∂∂∑∑∑=== 或()n i f u b x u a t u i n j j ij n j j ij i,,2,1011 ==++∂∂+∂∂∑∑== (1) 其中A ij ,B ij ,C ij ,F i ,a ij ,b ij ,f i 是(x,t )的充分光滑函数.[特征方程·特征方向·特征曲线]⎩⎨⎧=≠==-ji ji txa ij ij ij ,1,0,0)d d det(δδ称为方程组(1)的特征方程.在点(x,t )满足特征方程的方向txd d 称为该点的特征方向.如果一条曲线l ，它上面的每一点的切线方向都和这点的特征方向一致，那末称曲线l 为特征曲线.[狭义双曲型方程与椭圆型方程] 如果区域D 内的每一点都存在n 个不同的实的特征方向，那末称方程组在D 内为狭义双曲型的.如果区域D 内的每一点没有一个实的特征方向，那末称方程组在D 内为椭圆型的. [狭义双曲型方程组的柯西问题] 1︒ 化方程组为标准形式——对角型因为det(a ij -δij λ)=0有n 个不同的实根λ1(x,t ) ,, λn (x,t )，不妨设),(),(),(21t x t x t x n λλλ<<<那末常微分方程()()n i t x txi ,,2,1,d d ==λ的积分曲线l i (i =1,2,…,n )就是方程组(1)的特征曲线. 方程()()aijk ij k i i n-==∑λδλ1的非零解(λk (1) ,, λk (n ))称为对应于特征方向λk 的特征矢量.作变换()()n i u v nj jj i i ,,2,11==∑=λ可将方程组化为标准形式——对角型()()()()n i t x v t x a x v t x t v i nj j ij ii i ,,2,1,,,1=+=∂∂+∂∂∑=βλ 所以狭义双曲型方程组可化为对角型，而一般的线性微分方程组(1)如在区域D 内通过未知函数的实系数可逆线性变换可化为对角型的话，(此时不一定要求 λi 都不相同)，就称这样的微分方程组在D 内为双曲型的. 2︒ 对角型方程组的柯西问题考虑对角型方程组的柯西问题()()()()()()n i x x v t x v t x a x v t x tv i inj i j ij i i i,,2,10,,,,1 =⎪⎩⎪⎨⎧=+=∂∂+∂∂∑=ϕβλϕi (x )是[a,b ]上的连续可微函数.设αij ,βi ,λi 在区域D 内连续可微，在D 内可得相应的积分方程组()()()n i tv x t x v il i n j j ij i i i ,,2,1d ,~1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰∑=βαϕ 式中 l i 为第i 条特征曲线l i 上点(x,t )与点(x i ,0)之间的一段，(x i ,0)为l i与x 轴上[a,b ]的交点.上式可以更确切地写为()()[]()[]()[]()[]⎰∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅+==t n j i i i j i ij i i i t x x t x x v t x x a t x x t x v 01d ,,,,,,,,,0,,,τττβττττϕ(i =1,2,, n )式中x i =x i (x ︒,t ︒,t )为过点(x ︒,t ︒)的第i 条特征曲线，利用逐次逼近法可解此积分方程.为此令()()()[]()()()()[]()[]()()[]()[]()()()()[]()[]()()[]()[]()n i t x x t x x v t x x a t x x t x v n i t x x t x x v t x x a t x x t x v n i t x x t x v i i tnj i k j i ij i i k ii i tn j i j i ij i i ii i i ,,2,1d ,,,,,,,,,0,,,,,2,1d ,,,,,,,,,0,,,,,2,10,,,}{}{01101010=+⋅+==+⋅+===⎰∑⎰∑=-=τττβττττϕτττβττττϕϕ序列{v i(k )} (k =0,1,2 ,)一致收敛于积分方程的连续可微解v i (x,t ) (i =1,2,, n )，这个v i (x,t )也就是对角型方程组的柯西问题的解.设在区域D 内对角型方程组的柯西问题的解存在，那末解与初值有下面的关系：(i) 依赖区间：过D 中任意点M (x,t )作特征曲线l 1,l n ，交x 轴于B,A ，称区间[A,B ]为M 点的依赖区间(图14.1(a ))，解在M 点的值由区间[A,B ]的初值确定而与[A,B ]外的初值无关.(ii) 决定区域：过点A,B 分别作特征曲线l n ,l 1,称l n ,l 1 与区间[A,B ]围成的区域D 1为区间[A,B ]的决定区域(图14.1(b ))，在区域D 1中解的值完全由[A,B ]上的初值决定.(iii) 影响区域：过点A,B 分别作特征曲线l 1,l n ，称l 1,l n 与[A,B ]围成的区域D 2为区间[A,B ]的影响区域(图14.1(c )).特别当区间[A,B ]缩为一点A 时，A 点的影响区域为D 3(图14.1(d )).在区域D 2中解的值受[A,B ]上的初值影响，而在区域D 2外的解的值则不受[A,B ]上的初值影响.图14.1[线性双曲型方程组的边值问题] 以下列线性方程组来说明：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++=∂∂+∂∂++=∂∂+∂∂2122221111λλλλc v b u a x v t v c v b u a xu t u (1) 1︒ 第一边值问题(广义柯西问题) 设在平面(x,t )上给定曲线段⋂AB ，它处处不与特征方向相切.过A,B 分别引最左和最右的特征曲线l 1及l 2.要求函数u (x,t ),v (x,t )在⋂AB ，l 1及l 2围成的闭区域D 上满足方程组，且在⋂AB 上取给定的函数值(图14.2(a )).2︒ 第二边值问题(古沙问题) 设l 1是过P 点的第一族特征线，l 2是第二族特征线，在l 1的一段PA 上给定v (x,t )的数值，在l 2的一段PB 上给定u (x,t )的数值，过A 点作第二族特征线，过B 点作第一族特征线相交于Q .求在闭区域PAQB 上方程组的解(图14.2(b )).3︒ 第三边值问题设AB 为非特征曲线的曲线弧，AC 为一特征线弧，且在AB 与AC 之间不存在过A 点的另外特征曲线,过C 点作第二族特征线与过B 点的第一族特征线交于E 点，在AC 上给定v (x,t )的数值，在AB 上给定u (x,t )的数值，求ACEBA 所围成的闭区域D 上的方程组的解(图14.2(c )).图14.2[边值问题的近似解——特征线法] 以上定解问题，可用逐步逼近法求解，也可用特征线法求解的近似值.以第一边值问题为例说明.在曲线AB 上取n 个分点A 1,A 2,, A n ，并记A 为A 0，B 为A n +1，过A 0按A 0的第二特征方向作直线与过A 1按A 1的第一特征方向作直线相交于B 0；过A 1按A 1第二特征方向作直线与过A 2按A 2的第一特征方向作直线相交于B 1,最后得到B n (图14.3).用如下的近似公式来确定方程组(1)的解u (x,t ),v (x,t )在B i (i =0,1,2,…,n )的数值：()()()()()()(){}()[]()()()()()()(){}()[]u B u A B A a A u A b A v A c A A v B v A B A a A u A b A v A c A A i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i -=++⨯+-=++⨯+⎧⎨⎪⎩⎪+++++++--11111111112122212121211λλ于是在一个三角形网格的节点上得到u,v 的数值.再经过适当的插值，当n 相当大，A i 、A i +1的距离相当小时，就得到所提问题的足够近似的解.[特殊形式的拟线性方程组——可化约系统] 一般的拟线性方程组的问题比较复杂，目前研究的结果不多，下面介绍一类特殊形式的拟线性方程组——可化约系统.如果方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂0022221111x v D t v C x u B t u A x v D t v C x u B t uA 中所有的系数只是u,v 的函数，称它为可化约系统.考虑满足条件()()0,,≠∂∂t x v u 的方程组的解u=u (x,t ),v=v (x,t ).x,t 可以表示成u,v 的函数，且图14.3()()()()()()()()v u t x u tx vv u t x u x t v v u t x v tx u v u t x v xtu,,,,,,,,,,∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂ 原方程化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂-∂∂-∂∂=∂∂+∂∂-∂∂-∂∂0022221111u t D u x C v t B vx A u t D u x C v t B v xA 这是关于自变量u,v 的线性方程组.这样就把求拟线性方程组满足()()0,,≠∂∂tx v u 的解，化为解线性方程组的问题.而此线性方程组满足条件()()0,,≠∂∂v u t x 的解，在(x,t )平面上的象即为原来拟线性方程组的解.。

第七章-7.2一阶线性偏微分方程

xi' fi (t, x1,, xn ) i 1,2,, n
D Rn1
其中 fi (t, x1,, xn ) 对 x1, x2 ,, xn 是连续可微的.
设 (t, x1, x2 ,, xn ) 连续可微，且不是常数，把方程组任一解 xi xi (t)代入使 (t, x1, x2 ,, xn ) 成为与t 无关的常数,
dx1 = dx2 = ... = dxn
X1
X2
Xn
则 (x1, x2, , xn) c 是方程组的首次积分的充要条件为：
x1 X1 x2 X 2 xn X n 0
10 2021/5/7
定理7.1 设已知微分方程组（7.1）的 n个独立的首次积分
i (t, x1, x2, , xn ) Ci , (i 1, 2, , n)
n
的解，则 ciu i也为此方程的解。（ci为任意常数） i 1
定理2：若ui是L[u] fi (i 1, 2,...)的解，且 ciui收敛， i 1
则u ciui是L[u] ci fi的解。
i 1
i 1
定理3：一个给定的线性偏微分方程的解能够表示为它的一个特解和它所对应的齐次方程的解的和。
c2
1 1
D( 1, 2 )
D(x, y)
x
2
y 2( x y)2 0
2
x y
故首次积分 1 c1, 2 c2是相互独立的，
所以原方程组通解为
x2 y2 c1
1 2
(
x
y)2
t
c2
13 2021/5/7
小结：寻找首次积分的方法（技巧性强）
为了求得首次积分，通常把如下方程组
如果在某区域内它们的Jacobi行列式

一阶线性偏微分方程

第七章一阶线性偏微分方程研究对象一阶线性齐次偏微分方程0),,,(),,,(),,,(2122121211=∂∂++∂∂+∂∂nn n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X 1基本概念 1）一阶线性齐次偏微分方程形如0),,,(),,,(),,,(2122121211=∂∂++∂∂+∂∂nn n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X （7.1）的方程，称为一阶线性齐次偏微分方程，其中n x x x ,,,21 是自变量，u 是n x x x ,,,21 的未知函数，n X X X ,,,21 是域nR D ⊂内的已知函数，并设n X X X ,,,21 在域D 内不同时为零。

2）一阶拟线性偏微分方程形如 );,,,();,,,();,,,(21211211z x x x Z x z z x x x Y x z z x x x Y n nn n n =∂∂++∂∂（7.2）的方程，称为一阶拟线性偏微分方程，其中Z Y Y Y n ;,,,21 是1+n 个变元z x x x n ;,,,21 的已知函数。

n Y Y Y ,,,21 在其定义域1+⊂'n R D 内不同时为零。

所谓“拟线性”是指方程仅对未知函数的各个一阶偏导数是线性的，以下总设n Y Y Y ,,,21 和Z 在域D '内连续可微。

3）特征方程组常微分方程组nn X dx X dx X dx === 2211（7.3）称为一阶线性齐次偏微分方程（7.1）的特征方程组。

常微分方程组Zdz Y dx Y dx Y dx n n ==== 2211（7.4）称为一阶拟线性偏微分方程（7.2）的特征方程组。

4）首次积分对一般的常微分方程组),,2,1)(,,,(1n i y y x f dxdy n i i ==（7.5）其中，右端函数n f f f ,,,21 都在某个域1+⊂'n RD 内连续，设),,,,(21n y y y x Φ=Φ在域D 内连续可微，并且不是常数。

7. 一阶线性偏微分方程

∂ϕ1

∂y1 ∂ϕ1 ∂y2
···
∂ϕ2 ∂y1 ∂ϕ2 ∂y2
···
··· ··· ···
∂ϕn
∂y1 ∂ϕn ∂y2
···

· · · ∂ϕ1 ∂ϕ2
∂yn ∂yn
∂ϕn ∂yn
的秩为n来定义ϕj(j = 1, 2, · · · , n)的独立性。
(7.7)
7.2.2 常微分方程组与一阶线性偏微分方程
Ψ ϕ1(x1, · · · , xn), · · · , ϕn−1(x1, · · · , xn)
= 常数
xj =ψj (xn)
定义 7.3 形如
n i=1
Xi(x1,
x2,
·
·
·
,
xn
)
∂u ∂xi
=
0
(7.13)
的一阶齐次线性偏微分方程，假定其系数Xi(x1, x2, · · · , xn)在给定点(x(10), x(20) · · · , x(n0))的
某个邻域D中连续可微且不同时为零。构造如下形式的一阶常微分方程组：
入方程(7.1)中得到恒等式
F
x1,
x2,
·
·
·
,
xn;
ϕ,
∂ϕ ∂x1
,
∂ϕ ∂x2
,
·
·
·
,
∂ϕ ∂xn
≡0
则称u = ϕ(x1, x2, · · · , xn)是偏微分方程(7.1)的一个解，而D是该解的定义域。偏微分方程解的几何意义对于一阶偏微分方程(7.1)，当n = 2时，其一般形式可以
x2,
·
·
·
,

第七章一阶线性偏微分方程常微分方程课件高教社ppt 王高雄教材配套课件

第七章一阶线性偏微分方程§7.1 首次积分和求解常微分方程组基本概念(,,)ni 1n i 1i u X x x 0x =∂=∂∑(,,)(,,)ni1n1ni 1iuX x x Z x x x =∂=∂∑(,,,)(,,,)ni 1n 1n i 1i uY x x u Z x x u x =∂=∂∑例丨例1解x yu uc0u cu0 x y∂∂+=+=∂∂即例2例2 解(,,)(,,)x y y x u g x y u u g x y u 0-=(,)()()(,)xy x y y x x y u y y x u x x y y u xyu u u v u v u v u g g u u g g u u g u g 0v v x y ∂==-=-⋅--⋅=-⋅=∂(,(,,))((,,))u g x y u 0u g x y u ϕΦ==或特征方程定义•齐次线性偏微分方程特征方程•拟线性偏微分方程特征方程(,,)ni1n i 1iu X x x 0x =∂=∂∑(,,,)(,,,)ni 1n 1n i 1iu Y x x u Z x x u x =∂=∂∑d d d n1212nx x x X X X ===d d d d n 1212n x x x uY Y Y Z====首次积分定义首次积分d (,,,),(),,,6d 0ii 1n i 0i y f x y y y x y i 1nx===（）首次积分彼此独立彼此独立(,,)(,,)n 1111n 1n n 1nny y D D y y y y ψψψψψψ∂∂∂∂=∂∂∂∂n 1111n 11nn x x x x ϕϕϕϕ--∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系d (,)d yf x y 8x=（）d (,)d y f x y 0x y x x yψψψψ∂∂∂∂+=+=∂∂∂∂(,)u u f x y 09x y∂∂+=∂∂（）d d (,)d d u u u y u uf x y 0x x y x x y ∂∂∂∂=+=+=∂∂∂∂定理1定理112n 12nf f f 010x y y y ψψψψ∂∂∂∂++++=∂∂∂∂（）d (,,,),(),,,d 0ii 1n i 0i y f x y y y x y i 1n 6x===（）证(,,,)0001n x y y G∈()(,,,)i i 0y x i 12n ϕ==(,(),,())1n x x x const ψϕϕ=d(,(),,())d 1n x x x 0x ψϕϕ=(,,,)(,,,)(,,,)n00000001n i 01n 01n i 1i x y y f x y y x y y 0x y ψψ=∂∂+=∂∂∑(,,,)0001n x y y G ∈12n 12nf f f 010x y y y ψψψψ∂∂∂∂++++=∂∂∂∂（）(),,,d(,(),,())d i i 1n 12n y x 12n i 12nx x x f f f 0xxy y y ϕψψψψψϕϕ==⎛⎫∂∂∂∂=++++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭(,(),,())1n x x x constψϕϕ=d (,,,),(),,,d 0ii 1n i 0i y f x y y y x y i 1n 6x===（）§7.3 利用首次积分求解常微分方程组定理2d(,,,),,,dii1nyf x y y i1n11x==（）(,,,),,,i1n ix y y c i1n12ψ==（），证(,,,)(,,,)12n 12n 0y y y ψψψ∂≠∂(,,,),,,i 1n i x y y c i 1n 12ψ==（）(,,,),,,i 1n i x y y c i 1n 13ϕ==（）(,(,,,),,(,,,)),,,j 11n n 1n j x x c c x c c c j 12n ψϕϕ==d (,,,)(,,,),,,d n i j 1n j 1n i 1ix x 0j 12nxy xϕψϕϕψϕϕ=∂∂+⋅==∂∂∑,,,,j j j1n 1nf f 0j 12n 14x y y ψψψ∂∂∂+++==∂∂∂（）(,,,),,,nj ii 1n d f x 0j 12ny dxψϕϕϕ∂⎡⎤-==⎢⎥∂⎣⎦∑(,,,)(,,,)(,,,),,,nj 1n i 1n j 1n i 1i x f x x 0j 12n x y ψϕϕϕϕψϕϕ=∂∂+⋅==∂∂∑d (,,,),,,d ii 1n y f x y y i 1n 11x==（）(,,,),,,i 1n i x y y c i 1n 12ψ==（）(,,,)(,,,)12n 12n 0y y y ψψψ∂≠∂d (,,,),,,d ii 1n f x j 12nx ϕϕϕ==(,,,),,,,i i 1n y x c c i 12nϕ==(,,,,),,,,i i 01n y x x y y i 12nϕ==(,,,)(,,,)i i 01n c x y y i 12n ψ==(,,,)(,,,)i i 1n y x c c i 12n ϕ==(,,,,)(,,,)(,,,)i 001n i i 01n x x y y y x c c i 12n ϕϕ===(,,,)(,,,,),,,,i 1n i 01n x c c x x y y i 12n ϕϕ==(,,,,)(,,,)i i 01n y x x y y i 12n ϕ==(,,,)(,,,)i i i 01n c c x y y i 12n ψ===，d (,,,),,,d ii 1n y f x y y i 1n 11x==（）求首次积分方法(,)(,,)x c y x c 00c cϕψ∂∂≠≠∂∂或d d d d n12012ny y y x g g g g ====(,,)i 0i g g f i 1n ==,,,01nμμμ,d d d d 0011n n 011n n g g g 0x y y μμμμμμϕ+++=+++=d (,,,),,,d ii 1n y f x y y i 1n 11x==（）例1 求解方程组d d d d 222222y2xy x x y z z 2xz x x y z ⎧=⎪--⎪⎨⎪=⎪--⎩d d d 222x y zx y z 2xy 2xz==--d d y z yz=1y c z=d d d d ()222x x y y z z yx x y z 2xy++=++2222x y zc y++=12222yc z x y z c y ⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩例2 求方程组的通积分d d d x y z xz yz xy==,,012g xz g yz g xy===,,012y x 2z μμμ===-001122g g g 0μμμ++=()2012dx dy dz d xy z μμμ++=-21xy z c -=2xc y=212xy z c x cy ⎧-=⎪⎨=⎪⎩。

2一阶偏微分方程的求解方法

1)
(6.23)
由假设(6.18), f j (x1, x2,, xn) 在某区域 D 内处处不同时为零, 这意
味着上述以 f j (x1, x2,, xn) ( j 1, 2,, n )为变量的线性方程组在区域 D 内有非零解, 所以其系数行列式在区域 D 内必为零, 即
u x1
(u, u1 ,, un 1 ) (x1, x2,, xn )
(6.20 )
通过这 n 1个独立的首次积分, 我们可以获得偏微分方程(6.17)
的通解结构.
.
例6.6 试求偏微分方程 u u 0 的通解.
x y
解: 作自变量变换
x
y
1 (t 2 1 (t
s) s)
Байду номын сангаас
2
则
u u x u y 1 (u u ) 0 s x s y s 2 x y
6.24
其中 (,) 是任意的二元连续可微函数. 确定某函数关系 0 使得(6.24)满足初始条件 u |z1 xy, 我们有
0 ( x y , 2 y ) xy.
令 x y, 2 y. 解之得
x ( 1)2, y 12.
2
4
故可确定
0 为
0 (
,)
xy
1 (
4
1)2 2.
2
回代通解内可得满足满足初始条件的解:
例6.7 求解偏微分方程
(x y) u (x y) u 0,
x
y
其中 x2 y2 0.
解: 特征方程为
dx dy , xy xy
它有一个首次积分:
x2
y2
arctan y
ex
C.

6.2一阶偏微分方程的求解方法

可得原方程通解 u ( x y.)
注意: 其特征方程为 dx dy 0 ,它有首次积分 u x y .
定理6.6 设 u j ( x1 , x2 ,, xn ) 是特征方程(6.19)的 n 1 个独立的首次积分, 则一阶齐次偏微分方程(6.17)的通解为
u (u1 ( x1, x2 ,, xn ),, un 1 ( x1, x2 ,, xn )) , (6.21)
其中 ()是任意的连续可微函数. 进而可推出
u e 2
y ( x y )
e2 y ( x y ),
6.33
其中 () 是任意的连续可微函数.
确定某函数关系 0使得(6.25)满足初始条件 u |x 1 sin 2 y, 为此代入初始条件 u |x 1 sin 2 y 后我们有
一阶齐次线性偏微分方程的一般形式为
n
f j ( x1, x2 ,, xn )
j 1
u 0 x j
(6.17)
其中 u u( x1, x2 ,, xn ) 是未知函数( n 2 ). 假设系数 f j ( x1, x2 ,, xn ) ( j 1, 2,, n ) 在某区域 D R n 上连续可微, 并满足条件
dx1 dx2 du f1 ( x1 , x2 , u ) f 2 ( x1 , x2 , u ) g ( x1 , x2 , u )
6.30
的两个独立的首次积分, 而是任意二元连续可微函数, 满足
0, 则一阶拟线性偏微分方程(6.27)的隐式通解为 u (1 ( x1 , x2 , u), 2 ( x1 , x2 , u)) 0. 6.31
x y c1 , 2 y ln z c2 .

一阶偏微分方程的解法

一阶偏微分方程的解法偏微分方程是数学里一个广泛应用的领域。

其中，一阶偏微分方程是最为基础的一类，也是最常见的一类偏微分方程。

本文将介绍一阶偏微分方程的解法，希望能够对学习和应用偏微分方程的人们提供一定的帮助。

一、基础概念在介绍一阶偏微分方程的解法之前，我们需要先了解一些基础概念。

偏微分方程中的“偏”表示该方程与多个变量有关，微分方程表示该方程中包含有未知函数的导数项，即该方程描述了一个函数在不同变量下的变化。

一阶偏微分方程中，未知函数的偏导数项最高只有一次，且只涉及到一个变量。

方程中的未知函数只依赖于某一个变量，它的解也只涉及到一个变量。

因此，一阶偏微分方程通常可以写成以下的形式：$$ F(u_x, u_y, u_{xx}, u_{yy}, u_{xy}, x, y) = 0 $$其中，$u_x, u_y, u_{xx}, u_{yy}, u_{xy}$分别表示未知函数在不同变量下的偏导数，$x, y$是独立变量。

为了解决该方程，需要找到一个函数 $u(x,y)$，使得它满足该方程。

二、解法分析接下来，我们将介绍一阶偏微分方程的解法。

我们将着重介绍三种解法，分别是：特征线法、变换法和分离变量法。

1. 特征线法特征线法是一种经典的解法，适用于一些特殊的偏微分方程。

特征线法的基本思路是寻找一些特殊的曲线，这些曲线上的函数值保持不变，可以将函数沿这些曲线推进求解。

以以下方程为例：$$ u_x + u_y = x $$我们可以通过特征线法求解。

我们先假设存在某个变换，将$x,y$变为$\xi,\eta$，使得方程能够写成：$$ u_\xi + u_\eta = 1 $$这时，可以通过对$\xi, \eta$求偏导数，得到：$$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial \xi} +\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x} $$$$ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial \eta} $$接着，我们可以找到一条特殊的曲线$\xi = \eta$，使得沿着该曲线推进方程不变：$$ \frac{du}{d\xi} = \frac{\partial u}{\partial \xi} + \frac{\partial u}{\partial \eta} = 1 $$在这个方程中，$u$ 只与$\xi$有关，因此可以直接求解得到：$$ u = \frac{1}{2}\xi^2 + C $$将$\xi,\eta$变回$x,y$，得到：$$ u = \frac{1}{2}(x-y)^2 + C $$2. 变换法变换法是一种寻求自变量的新变换，使得原方程可以转化为一些已知的方程的方法。

一阶线性偏微分方程与解法

一阶线性偏微分方程与解法一阶线性偏微分方程是微分方程中的一类重要方程，它具有广泛的应用领域和解法。

本文将介绍一阶线性偏微分方程的基本形式、解法和具体应用。

一、基本形式一阶线性偏微分方程的一般形式可以表示为：\[ a(x,t)\frac{\partial u}{\partial x} + b(x,t)\frac{\partial u}{\partial t} = c(x,t,u) \]其中，$ u = u(x,t) $ 是未知函数， $ a(x,t), b(x,t), c(x,t,u) $ 是给定函数。

二、解法（1）变量可分离法如果方程可以表示为 $ f(x)dx + g(t)dt = 0 $，其中 $ f(x) $ 和 $ g(t) $ 是关于 $ x $ 和 $ t $ 的函数，那么方程可以通过变量可分离法解析地求解。

具体求解方法是分离变量并进行积分：\[ \int f(x)dx + \int g(t)dt = \int 0 \]求出积分后的结果，并将 $ u(x,t) $ 表示出来。

（2）特征线法特征线法适用于方程为线性齐次的情况，即 $ c(x,t,u) = 0 $。

使用特征线法可以将一阶线性偏微分方程转化为一阶常微分方程。

求解一阶常微分方程后，再通过特征线反解得到原方程的解。

具体求解步骤如下：1. 确定特征曲线的参数方程，通过 $ \frac{dx}{a(x,t)} =\frac{dt}{b(x,t)} $ 可以得到参数方程。

2. 将未知函数按照参数方程表示，得到 $ u = u(\phi) $，其中 $ \phi $ 是参数。

3. 对上式两边求导，得到 $ \frac{du}{d\phi} = \frac{\partialu}{\partial x}\frac{dx}{d\phi} + \frac{\partial u}{\partial t}\frac{dt}{d\phi} $。

常微分方程一阶线性偏微分方程

常微分方程一阶线性偏微分方程7.1基本概念对于自变量 x_1、x_2、…x_n（n\geq2）与未知函数 u 的一阶偏导数 \frac{\alpha u}{\alpha x_1}、\frac{\alpha u}{\alpha x_2}、…\frac{\alpha u}{\alpha x_n}一阶偏微分方程：F(x_1,x_2,…x_n;u,\frac{\alphau}{\alpha x_1},\frac{\alpha u}{\alphax_2},…\frac{\alpha u}{\alpha x_n})=0 （7.1）一阶线性偏微分方程：\sum_{i=1}^{n}{X_i(x_1,x_2,…x_n)\frac{\alphau}{\alpha x_i}}=X(x_1,x_2,…x_n)（7.2）a一阶齐次线性偏微分方程：\sum_{i=1}^{n}{X_i(x_1,x_2,…x_n)\frac{\alphau}{\alpha x_i}}=0 （7.2）b一阶拟线性偏微分方程：\sum_{j=1}^{n}{Y_j(x_1,x_2,…x_n;z)\frac{\alphaz}{\alpha x_j}}=Z(x_1,x_2,…x_n;z)（7.3）解 u=\varphi(x_1,x_2,…x_n)可以想象为在空间(x_1,x_2,…x_n,u)中的一张n维曲面，通常称为偏微分方程（7.1）的积分曲面。

称\frac{dx_1}{X_1}=\frac{dx_2}{X_2}=…=\frac{dx_n}{X_n} （7.5）为（7.2）b的特征方程。

（7.3）的求解问题则可化为（7.2）b的方程类型来处理。

7.2 一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系考虑初值问题（p344）首次积分：n个首次积分称为彼此独立的：常微分方程组与一阶线性偏微分方程之间的关系：7.3 利用首次积分求解常微分方程组考虑方程组通积分：方程组（7.11）的n个彼此独立的首次积分的全体（7.12）称为（7.11）的通积分。