高等代数-高代矩阵
高等代数第二版课件§4[1].6_初等矩阵
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矩阵等价的有关结论
1) 定理5 任一 s n 矩阵 A 都与一形式为
0 1 0 0 0 0 0 0 0 Er 0 0 0 0 0
1 0 0
的矩阵等价，称之为 A 的标准形, 且主对角线上1 的个数 r 等于R(A)(1的个数可以是零).
三、利用初等变换求逆阵
原理: 当 A 0时，由 A P1 P2 Pl，有
Pl 1 Pl 1 P11 A E , 及 1 Pl 1 Pl 1 P11 A E 1 Pl 1 Pl 1 P11 E A1 , 1
Pl 1 Pl 1 P11 A Pl 1 Pl 1 P11 E 1 1
一、初等矩阵 二、等价矩阵 三、用初等变换求矩阵的逆
一、初等矩阵
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵，称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵:
1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
1、 对调两行或两列
E A 1
即对 n 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1 .
1 例１ 设 A 2 3 1 解 A E 2 3
2 3 2 1 , 求 A 1 . 4 3 2 3 1 0 0 2 1 0 1 0 4 3 0 0 1
推论1 两个 s n 矩阵A、B等价 存在 s 级可逆矩阵P及 n 级可逆矩阵Q, 使 B PAQ.
由此得定理5的另一种叙述： 对任一 s n 矩阵A，存在可逆矩阵 Pss , Qnn , 使
高等代数3.4 矩阵的秩
由引理，这个方程的系数矩阵
a11 a21 ar1
a12
a1n
a22 a2n
ar 2 arn
,
的行秩 r . 因此在它的行向量中可以找到 r 个是
线性无关的，不妨设为
(a11, a21,, arபைடு நூலகம்) , (a12 , a22 ,, ar2 ) ,
x11 + x22 + … xrr = 0
只有零解，这也就是说，齐次线性方程组
a11x1 a21x2 ar1xr 0 ,
a12
x1
a22 x2 ar2 xr
0
,
a1n x1 a2n x2 arn xr 0 ,
只有零解.
ain
)
i
ai1 a11
1
,
i 2,, n .
由 | A | = 0 可知 n - 1 级矩阵
a22 a2n
an 2 ann
的行列式为零. 根据归纳法假定，这个矩阵的行向
量组线性相关. 因而向量组
2
a21 a11
1
,
3
a31 a11
1
, ,n
an1 a11
1
线性相关，这就是说，有不全为零的数 k2 , … , kn
使
k2
( 2
a21 a11
1)
kn
( n
an1 a11
1)
0
.
改写一下，有
高等代数 (11)
0 0
a11 a21
a12 a11
a22
a12
a21
a22Biblioteka a121 a122a21a11 a22a12
a11a21 a12a22
a221 a222
a121 a122 0, a221 a222 0 a11 a12 a21 a22 0 A O
a11
A AT
T
AT
AT
T
AT A
A AT
A AT对称
思考: 设A 与 B 同阶反称, 则A+B ( A B, AB ) 对称, 反称?
例6. 若实矩阵(元均为实数) A 满足 AAT = O, 证明 A = O. 2阶矩阵赋予灵感:
设
A
a11
a21
a12 a22
0
0
同阶对称矩阵之和是否仍为对称矩阵？ 同阶对称矩阵的乘积是否仍为对称矩阵？ 解: 设 A, B 对称, 则
AT A
kAT kAT kA
AT A, BT B A BT AT BT A B
kA 对称 A B 对称
1
A
2
2 1
0
,
B
1
1 1
1
AB
2
21
0
1
1 3
反对称矩阵 AT A
反对称(反称) 矩阵:
AT A 即aii 0, aij a ji , i j
1 方阵
2 沿着对角线, 对称位置上的元相反 : aij a ji
例1. 下列矩阵是否为对称矩阵, 反称矩阵?
2 1 1
A
1 1
0 0
0 5
,
A 对称
0 3 1
高等代数-矩阵
• 列向量 n=1的特殊矩
阵
a1
a2
M
am
• 行向量 m=1的特殊矩阵
a1 a2 L an
特殊矩阵及其元素表示_5
• n维标准单位向量
1 0
0
e1
0
M
,
e2
1
M
,L
, en
0
M
0
0
1
特殊矩阵及其元素表示_6
• n阶基础矩阵Eij
0
O
Eij
0 O
a11 b11 a12 b12 a11 b11 a12 b12 a11 b11
a21 b21 a22 b22
a21
a22
b21
a12 b12 b22
矩阵的加减法2_运算规则
• 运算规则
✓交换律： A+B = B+A ✓结合律： (A+B)+C = A+(B+C) ✓0+A=A+0 = A ✓A+ (－A) = 0 ✓A+(－B) = A－B
产品 产量 产品1
分厂1 20 分厂2 30
产品2
17 20
产品3
12 10
3200
17 20
1102
这里2×3个数排成2行3列，成为一个整体，抛 去它所包含的实际意义，构成了高等代数中的 一个2×3阶矩阵。
关于矩阵_1
• 矩阵这个词是由西尔维斯特（Sylvester, 18141897）于1850年首先提出。他是犹太人，故他 在取得剑桥大学数学荣誉会考第二名的优异成 绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从1841年起 他接受过一些较低的教授职位，也担任过书记 官和律师。经过一些年的努力，他终于成为霍 布金斯大学的教授，并于1884年70岁时重返英 格兰成为牛津大学的教授。他开创了美国纯数 学研究，并创办了《美国数学杂志》。在长达 50多年的时间内，他是行列式和矩阵论始终不 渝的作者之一。
高等代数第9章入-矩阵
§3 不变因子
• 一.行列式因子 • 定义 设-矩阵A()的秩为r, 对于正整数 k,1kr,A()中必有非零的k阶子式. A() 中全部k阶子式的首项系数为1的最大公 • 由定义可知, 对于秩为r的-矩阵, 行列式 因子一共有r个. • 行列式因子的意义就在于, 它在初等变换 下是不变的. 因式Dk()称为A()的k级行列式因子.
如此继续,A()便可化成所要求的形式.
• 例 用初等变换化-矩阵为标准形
1 A( ) 1 2
2 3 2 1
2 1
• 解
1 A( ) 1 2
1 1 2 1 1 2 0 0 2 3 2 3 1 1 1 1 1
0 d 1 ( ) 0 d 2 ( ) 0 0 0 0
0 A2 ( )
其中d1()与d2()都是首项系数为1的多
项式(d1()与bs()只差一个常数倍数),而
且d1()d2(). d2()能除尽A2()的全部 元素.
A( ) 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2
三. -矩阵的逆矩阵 • 定义 设A()是一个n×n的-矩阵,如果有 一个n×n的 -矩阵B()使 A()B()=B()A()=E 则称A()是可逆的,称B()为A()的逆矩
• 推论 如果A()可逆,则
A*() 其中d=|A()|是数域中P一个非零常数. • 例2 设
d
-1()= 1 A
因为|A()|=0, 所以A()不可逆.
2 1 B ( ) 1 2 2 3 2 2
2 1 A( ) 1 2 2
高等代数课件北大版第四章矩阵
高等代数课件(北大版)第四章矩阵第一节：矩阵的概念及基本运算矩阵是现代数学的重要基础，是线性代数理论的核心概念之一。
在数学和应用领域有着重要的应用价值。
1.1 矩阵的定义定义1.1：矩阵是一个有规律的数表，其中的每一个数称为矩阵的一个元素，通常用一个大写字母表示。
例如:$$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$$其中 $a_{ij}$ 称为矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素。
1.2 矩阵的基本运算1.2.1 矩阵的加法定义1.2：设 $A=(a_{ij})_{m \times n},B=(b_{ij})_{m \times n}$，则其和 $C=A+B$ 定义为矩阵 $C$ 的元素为 $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$。
例如：$$A=\begin{pmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\7 & 8 & 9\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}-1 & -2 & -3 \\-4 & -5 & -6 \\-7 & -8 & -9\end{pmatrix},$$则 $C=A+B$ 得：$$C=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$1.2.2 矩阵的数乘定义1.3：设 $A=(a_{ij})_{m \times n}$，$k \in K$，则矩阵 $kA$ 定义为矩阵 $kA$ 的元素为 $ka_{ij}$。
《高等代数》知识点梳理
高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a a a a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。
（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ij b a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。
（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。
2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。
运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。
运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B = ③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。
高等代数教学笔记4：矩阵 I
高等代数教学笔记4：矩阵 I对于一般的线性方程组 (行列式为零或方程与未知量不一样多), Cramer 法则不能 (直接) 应用, 于是需要新的方法, 对方程组的系数进行处理. 代数学处理问题的方式一般是整体考虑, 记为数域上的m×n 矩阵的全体,先研究这个集合的整体性质, 然后再分别考虑特殊的矩阵. 而在代数层面上,集合的整体性质是通过其中的运算关系来展示的, 所以我们需要研究矩阵集合上的运算.矩阵的运算在上有自然定义的加法运算并且满足如下性质.问题4.1(1) 交换律: A + B = B + A;(2) 结合律: (A + B) + C = A + (B + C);(3) 零矩阵: 0 + A = A, 这里的 0 是所有元素都是 0 的矩阵;(4) 负元 (可以定义减法): 存在 B 使得 B + A = 0. (唯一的! 记为 -A.)这些性质的验证非常简单, 不过有必要提醒一下: 从现在开始, 我们会慢慢走进抽象的数学领域, 当然, 这个抽象的过程是一步步实现的, 不能一蹴而就.最自然的抽象过程是在很多数学对象中寻找共性, 提炼出来就是一个抽象的数学概念. 比如, 上述的四个性质是代数学中所讨论的加法的共性, 这一类对象以后会有一个共同的名字——Abel 群; 更一般地, 只满足~(2)-(4), 不满足交换律的对象就是今后需要研究的群.在上可以定义数乘运算◦ (通常省略):数乘运算不再是矩阵内部的运算, 而是常数与矩阵之间的运算. 而上有加法和乘法运算, 上有刚刚定义的加法运算, 因此我们需要考虑所有这些运算之间的关系. 另外, 数域中有一个特殊元素 1, 它在数乘中的地位也是比较特殊的. 这些结合起来就自然有如下问题.问题4.2 (5) 单位 1: 1 ◦ A = A;(6) (结合律) (kl) ◦ A = k ◦ (l ◦ A);(7) (分配律一) k ◦ (A + B) = k ◦ A + k ◦ B;(8) (分配律二) (k + l) ◦ A = k ◦ A +l ◦ A.我们将会发现, 满足加法和数乘运算及如上性质 (1) − (8) 的研究对象越来越多, 比如前面提到的数域、多项式、平面向量、空间向量等, 它们最终融汇成一个抽象的概念——线性空间, 这将把高等代数的研究提到一个新的高度.矩阵中更重要的运算自然是 Cayley 利用变量替换方式引入的矩阵乘法. 按照惯例, 我在上课时让学生们计算了两三个变量时的替换, 并且要求他们在课堂上计算出结果. 这不是一个困难的过程, 学生们基本能得到结果, 如下图所示.由此得到一般矩阵的乘法规则. 不过, 奇怪的是, 即使用上面这个比较直观的图来表示矩阵乘法, 学生们还是能够很快忘掉矩阵乘法怎么作, 其中的原因耐人寻味.定义了矩阵乘法, 首先考虑一下其自身性质.问题 4.3 (1) 矩阵乘法没有交换律, 举例有三个层次的原因: 交换了不能相乘、交换顺序能相乘但结果的阶数不同、方阵相乘也不一定可换.(2) 矩阵乘法满足结合律 (两种观点: 直接验证或从变量替换两次的角度看).(3) 单位矩阵: , 其中.(4) 逆矩阵 (类似于倒数) 不一定存在.问题4.4如果对任意, 都有 BA = A, 是否一定有?矩阵乘积中的每一个元素都是一个求和, 这样的求和用行矩阵与列矩阵相乘更为简洁直观, 应用起来也会方便很多.问题4.5 (1) A,B 的乘积 AB 的第 i 行第 j 列元素是用矩阵乘法表示(实际上, 以后看到求和号都可以转换为矩阵乘法!).(2) A,B,C 的乘积 ABC 的第 i 行第 j 列元素如何用矩阵表示?问题4.6 (1) 矩阵乘法与加法有分配律.(2) 矩阵乘法与数乘有结合律.(3) 矩阵乘法与转置: (AB)′= B′A′.矩阵与线性方程组利用矩阵运算, 我们可以重新理解线性方程组.问题4.7 (1) 方程组的形式:(2) 矩阵乘法: 记 A 为其系数矩阵,则有矩阵乘法形式(3) 列向量的加法与数乘: 记 A 的列向量为则有这里蕴含着列向量之间的关系——线性相关性.(4) 行向量: 记为 A 的行向量, 则第 i 个方程可以简单记为方阵与多项式矩阵中最值得研究的是方阵, 数域上 n 阶方阵的全体记为, 它将成为高等代数课程的主要研究对象. 在深入研究之前, 我们需要与前面学过的多项式和行列式理论联系一下. 中有加法、数乘和乘法等三种运算, 这与多项式理论有相通之处.问题4.8对任意, 我们定义:(1) 证明:(2) 对任意我们记称为A 的多项式. 证明:(3) 对任意, 有. 其中的问题 (3) 是矩阵多项式的既简单又重要的性质. 首先, 矩阵乘法的麻烦之处是交换律的缺失, 而矩阵的多项式却具有交换性; 其次, 我们将会发现,对于给定矩阵 A, 很多与 A 有关的重要矩阵都是 A 的多项式, 这将是矩阵研究中的一个重要突破口! 我们可以用如下问题来表述.问题4.9设, 定义映射证明: 对任意, 有对于上述映射, 如下问题对以后会很有用.问题4.10 (1) 是单射吗? 或者, 集合有什么特点? 这与我们前文研究多项式的因式分解时考虑的一些集合很相似!(2) 的像是什么? 是满射吗?剧透一下: 前面我们多次提到了更一般地, 对于n 阶方阵,是一个神奇的多项式, 因为它满足 f(A) = 0! 不信就去验证 (超级大坑!).最后举一个我们熟悉的例子: Fibonacci 数列这个递推关系可以用矩阵乘法来表达这似乎没什么. 我们再增加一项有问题4.11 证明:由 (1) 或 (2), 求 Fibonacci 数列的通项公式就转化成求矩阵于是就要发展矩阵理论求这样的矩阵的 n 次幂, 这是后话.方阵与行列式前面考虑广义 Laplace 展开的时候, 就得到了所谓的行列式的乘积公式.问题4.12设, 则|AB| = |A||B|.广义 Laplace 展开实际上是把两个 n 阶行列式的乘积转化成一个 2n 阶的行列式. 这个想法非常有用. 我们今后会处理各种矩阵问题, 有时需要同时处理好几个矩阵, 如果能用一种合理的方式把这些矩阵放到同一个大的矩阵里, 我们就只需要处理一个矩阵即可, 这就是分块矩阵的思想. 还有另一个简单粗暴的想法: 把 |AB| 按列展开为很多行列式的和, 仔细观察这些行列式的特点!上述问题其实还可以推广.问题4.13设. 若 m > n, 则 |AB| = 0; 麻烦在于 A,B 都不是方阵, 那就把它们补充成方阵但不能改变它们的乘积, A 要添加一些列, B 要添加一些行, 怎么添加?有了这个结论, 我们就可以计算一些特殊的行列式.问题4.14 计算行列式:这个行列式当然可以用行列式技巧计算 (比如拆项、镶边等), 不过, 用矩阵乘法的观点来看会容易的多. 类似的有问题4.15计算行列式:上式中的矩阵实际上是A′A, 其中不过, 如果换一下顺序就不一样了:问题4.16 (Cauchy 不等式) 设, 证明:Cauchy 不等式可能在中学就遇到过, 证明方法也不难: 配成平方和! 不过, 观察一下这些平方和, 它们与行列式有关系吗? 实际上关系很紧密. 我们有如下更一般的情形.问题 4.14 (Binet-Cauchy 公式) 设证明: 当m < n 时,注意到再用广义Laplace 展开即可. 这样就把A,B 的乘积问题转化成一个矩阵去研究, 这种方法在矩阵理论中是常用的. 特别地, 上式的右边我们有了一个简单的表达式, 把复杂矩阵分解为四块, 这样的形式简单且容易操作, 这是我们今后要经常使用的矩阵分块技巧.特别地, 我们有问题4.18设, 则. 当 m = 2 时就是 Cauchy 不等式.。
高等代数课件(北大版)第四章 矩阵§4-4
立即可得,
a11 a 21 * AA a n1 a12 a 22 an2 a1n a2n a nn A1 1 A 2 1 A1 2 A 2 2 A1 n A 2 n
d 0 0 0 d 0 dE . 0 0 d数学与计算科学学院 2012-9-22 §4.4 矩阵的逆
AB A 2B
求矩阵B．
解：由
，得 ( A
2 E ) B A ，又
2 3 3 A 2 E 1 1 0 2 0 1 2 1
A 2E
可逆，且
(A 2E )
1
1 1 3 3 1 1 3 2 1 1 1
0 3 3 1 B ( A 2 E ) A 1 2 3 1 1 0
数学与计算科学学院
1 1 E 1
A
1
§4.4 矩阵的逆
2012-9-22
三、逆矩阵的运算规律
1 若 A 可逆 , 则 A 亦可逆 , 且 A
1 1 1
A.
2 若 A 可逆 , 数 0 , 则 A 可逆 , 且
§4.4 矩阵的逆
2012-9-22
X A CB
1
1
.
数学与计算科学学院
3. 矩阵积的秩
定理4
A s n ,
若 Ps s , Q n n 可逆，则
R( A) R( PA) R( AQ ) R( PAQ )
证： 令
B PA,
由定理2， R ( B ) R ( A ),
数学与计算科学学院
高等代数-矩阵方法
a1 a2 A1 = b1 b2 5c 5c 2 1
4 鞍山师范学院数学系
高等代数方法技巧——小胡糊工作室
E − BD −1 A B E −1 E C D −D C 0
0 A − BD −1C = E 0
0 D
类似地，若 A 可逆， D 是否可逆未知或不可逆，只能得到前者；若 D 可逆， A 是 否可逆未知或不可逆，只能得到后者. 二、连续性理论 例如东北大学 2002 年真题的最后一题中的方法就是连续性理论： 设 A, B, C , D 均为 n 阶方阵，且 AC = CA . 求证： A B = AD − CB . C D 证明：若 A 可逆，则 E −1 −CA
第五步： A4 的第二行加上第一行的 3 倍，得
4b3 5c3 + 2b3 + a3
a3
a1 a2 A5 = 4b1 + 3a1 4b2 + 3a2 5c + 2b + a 5c + 2b + a 1 1 2 2 2 1
第六步： A5 的第一行乘以 2，得
4b3 + 3a3 5c3 + 2b3 + a3
A 0 B D − CA−1 B = A ⋅ D − CA−1 B = A( D − CA−1 B) = AD − ACA−1 B = AD − CAA−1 B = AD − CB
高等代数 -矩阵
高等代数-矩阵矩阵（matrix）是一种代数对象，它是由元素排列成矩形形式的矩阵，通常用方括号括起来。
例如，一个3×3的矩阵A可以表示为：A = [a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33]其中，a11, a12, ..., a33是矩阵A的元素。
一个m×n的矩阵可以表示成一个m 行n列的矩形矩阵，其中第i行第j列的元素记作aij。
这样，一个矩阵可以用一个二维数组表示。
矩阵加法运算：设A和B是两个m×n的矩阵，它们的和A+B定义为一个m×n的矩阵C，其中C中每个元素都等于对应的A和B矩阵中相应元素之和，即Cij = Aij + Bij矩阵数乘运算：设A是一个m×n的矩阵，k是一个实数或复数，则kA定义为一个m×n的矩阵B，其中B中每个元素都等于对应的A中相应元素乘以k，即Bij = kAij矩阵乘法运算：设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积AB定义为一个m×p的矩阵C，其中C中第i行第j列的元素为Cij = ∑AikBkj (k=1,2,...,n)其中，∑表示对k从1到n的求和。
矩阵的逆：设A是一个n×n的方阵，若存在另一个n×n的方阵B，使得AB=BA=I，其中I是n×n的单位矩阵，则称B是A的逆矩阵，记作B=A-1。
只有可逆矩阵才有逆矩阵，而且逆矩阵是唯一的。
矩阵的转置：设A是一个m×n的矩阵，它的转置AT是一个n×m的矩阵，其中AT中第i 行第j列的元素等于A中第j行第i列的元素，即ATij = Aji矩阵的秩：一个矩阵的秩指的是它的行向量组或列向量组张成的线性空间的维数。
即一个矩阵的秩指的是它的非零行向量或非零列向量的极大线性无关组数。
代数方法 第四章__高等代数选讲之矩阵
分析 因为可逆矩阵的定义式是矩阵相乘可交换次序 的等式，所以可将等式进行恒等变形，变成 CD E（或
DC E ）的形式，此时有 DC E（或 CD E ）。利用 此可证明矩阵乘积可交换的命题。
由 AB A B 得 AB A B O ，即 AB A B E E 于是有 A E B E E 证 因为 A E 与 B E 为 n 阶方阵，则由上式知 A E 可逆 且 B E 为 A E 的逆矩阵，从而有 B E A E E 即 BA A B E E 故
A
k T
k
T
k 1
T T
k 1
A
注
当 A 可分解为 A T 时，可知 r A 1.
方法4 分块对角矩阵求方幂：对于分块对角矩阵
A1 A AN A1k 有 Ak
A' A, AA' A2 0
2 2 a11 a12 a12n 0 2 2 2 a21 a22 a2 n 0 则有 2 2 2 an1 an 2 ann 0
又 aij R 则有 aij 0， i, j 1,2,n
xy y2 yz
xz 1 1 1 yz 1 1 1 z 2 1 1 1 1，于是 T x2 y 2 z 2 3.
例2.
12
13
14
15
AB 例3、设 A, B 为 n 阶方阵，且 AB A B ，证明： BA.
3
T 例3、设 A 是 n 阶矩阵，满足 AA E，且 A 0 ，
高等代数提高(矩阵)
1 1 , , , 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 , 1 0 , 1 , 1 15
kn k1 k2 aii ai1 ai 2 ain k k k
50
第三章：矩阵
37.
38.
51
第三章：矩阵
39. 40.
52
第三章：矩阵
41.
此
53
第三章：矩阵
42.
|x trA 0 n 1 ... (1) n | A | | EAx A nx m nA) x a A n x ... a Ax a Ex f ( m 1) ... 1 0 (1) | A | (
... a1n 1 a11 2 a ... a2 n 21 ij ... ... ... ... ia ... ann n an1
i j aij 0
... na1n 2a22 ... na2 n jaij (i ) aij ... ... ...j 2an 2 ... nann
R( B) R{b1 , b2 , , bn } n R( A) R( A) R( B) n
34
第三章：矩阵
19.
35
第三章：矩阵
20.
36
第三章：矩阵
21.
37
第三章：矩阵
22.
38
第三章：矩阵
23.
39
第三章：矩阵
24.
40
高等代数第四章矩阵知识点复习与相关练习
6. 证明关于秩的不等式： 1) r(A) + r(B) − n ≤ r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}, r(A + B) ≤ r(A) + r(B); 2) 设 A, B ∈ P n×n, 且 AB = 0, 证明：r(A) + r(B) ≤ n;
()
(
)
对方程 Y C = B, C −初−等−−列−变−换→
E
.
B
Y = BC−1
4.2 相关练习
一. 填空题
1．设 A ∈ P n×m, B ∈ P m×s，则 r(AB) ≤
。
2
2．对一个 s × n 矩阵 A 作一次初等列变换就相当于在 A 的
边乘上一个相应的
初等矩阵。
3．设 A ∈ P n×n，写出 A 可逆的充要条件：
14. 设 A, B 是 n 级可逆方阵， A 0
=
0A
,
=
.
0 B
B0
k111
15.
设矩阵 A =
1 1
k 1
1 k
1 1
,
且
r(A) = 3，则 k =
.
111k
16. 设 A 为 3 级方阵，若 |A| = 2, 则 |2A| =
.
17. 设 A 是实对称矩阵，若 A2 = 0, 则 A =
7. 证明：若 A, B 分别为 n × m, m × n 矩阵，则 |λEn − AB| = λn−m|λEm − BA|.
高等代数教案-第5章矩阵
第五章 矩 阵教学目的：1. 掌握矩阵的加法，乘法及数与矩阵的乘法运算法则。
及其基本性质，并熟练地对矩阵进行运算。
2. 了解几种特殊矩阵的性质。
教学内容：矩阵的运算1 矩阵相等我们将在一个数域上来讨论。
令F 是一个数域。
用F 的元素a ij 作成的一个m 行n 列矩阵A= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a aa aa a a a a mn m m n nΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 叫做F 上一个矩阵。
A 也简记作（a ij ）。
为了指明 A 的行数和列数，有时也把它记作A mn 或 （a ij ）mn 。
一个 m 行n 列矩阵简称为一个m*n 矩阵。
特别，把一个n*n 矩阵叫做一个 n 阶正方阵，或n 阶矩阵。
F 上两个矩阵，只有在它们有相同的行数和列数，并且对应位置上的 元素都相等时，才认为上相等的。
以下提到矩阵时，都指的是数域F 上的矩阵。
我们将引进三种运算：数与矩阵的乘法，矩阵的加法以及矩阵的乘法。
先引入前两种运算。
2 矩阵的线性运算定义 1 数域F 的数 a 与F 上一个m*n 矩阵A=(a ij ) 的乘法aA 指的是m*n 矩阵（aa ij ） 定义 2 两个m*n 矩阵A=(a ij )，B=(b ij ) 的和A+B 指的是m*n 矩阵（a ij +b ij ）。
注意 ，我们只能把行数相同，列数相同的两个矩阵相加。
以上两种运算的一个重要特例是数列的运算。
现在回到一般的矩阵。
我们把元素全是零的矩阵叫做零矩阵，记作0。
如果矩阵 A=(a ij )， 我们就把矩阵（- a ij ），叫做A 的负矩阵，记作—A 。
3 矩阵线性运输的规律A+B=B+A ；(A+B)+C=A+(B+C)； 0+A=A ； A+(-A)=0；a(A+B)=Aa+Ab ； (a+b)A=Aa+Ba ； a(bA)=(ab)A ；这里A,B 和 C 表示任意m*n 矩阵，而a 和 b 表示 F 中的任意数。
高等代数 矩阵的运算
b1m
b2m
,
bnm
A 的第 j 列元素为 a j1,a j2 , ,a jn ,
n
n
BA 中的 (i, j)元素为 bkia jk a jkbki .
k 1
k 1
3．对称矩阵 反对称矩阵
定义 设 n 级方阵 A aij ,
(1) 若 A 满足 A A, 即 a ji aij , i, j 1, 2, , n
3
32
0 0 2 0 0 0 0 3
由此归纳出
k
Ak
0
0
kk 1 k
0
kk 1k2
2
kk 1
k
k 2
用数学归纳法证明之.
当 k 2 时，显然成立. 假设 k n 时成立，则 k n 1时，
n
An1
An A
0
nn1 n
nn 1n2
2
nn1
0
1
0 1 ,
乘B 的第 j 列相应元素相加得到．
如
1 3 5
2 2 8
3 1 9
1 6
6 0
8 不存在. 1
例１
C 2 1
4 2
222 3
4
622
16 8
?
32 16 22
例2 设
1 A 1
0
0 1 5
1 3 1
2 0 4
B
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
ka1n
即
kA
ka21
ka22
ka2
n
.
kas1 kas2
kasn
2．性质
(1) ()A ( A) ; (2) ( )A A A ; (3) ( A B) A B ;
高等代数 矩阵
19
例4计算下列乘积：
1
2 2 1 2 3
2 解 1 2 1 2 3
1 2 2 2 4 2 2 1 2 2 2 4 . 1 3 2 3 6 3
21
２、矩阵乘法的运算规律
1 AB C A BC ; 2 A B C AB AC ,
B C A BA CA;
（其中 为数）;
3 AB AB AB
4 AE EA A;
AO OA O;
(2)行矩阵,列矩阵 只有一行的矩阵
A a1 , a2 ,, an ,
4
称为行矩阵(或行向量).
a1 只有一列的矩阵 B a2 , 称为列矩阵(或列向量). a n (3)零矩阵
元素全为零的矩阵称为零矩阵， m n零 矩阵记作 omn 或 o . 注意 不同阶数的零矩阵是不相等的.
11
2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A; 2 A B C A B C .
a11 a 21 3 A a m1 a12 a 22 am1 a1 n a2n aij , a mn
0 1 B 3 1
4 2 1 1 1 2 1 3
17
解
A aij 34 , C cij 33 .
B bij 43,
0 1 0 1 2 1 C AB 1 1 3 0 0 5 1 4 3 1
高代矩阵分类
高代矩阵分类
高等代数中的矩阵可以根据不同的特征或性质进行分类。
以下是几种常见的矩阵分类：
1. 零矩阵：所有元素都为0的矩阵。
2. 对角矩阵：只有主对角线上有非零元素的矩阵。
3. 上三角矩阵：主对角线及以上的元素都不为零。
4. 下三角矩阵：主对角线及以下的元素都不为零。
5. 反对称矩阵：满足A^T = -A的矩阵。
6. 对称矩阵：满足A^T = A的矩阵。
7. 单位矩阵：主对角线上的元素都为1，其余元素为0的矩阵。
8. 正交矩阵：满足A^T * A = I的矩阵。
9. 奇异矩阵：行列式为0的矩阵。
10. 非奇异矩阵：行列式不为0的矩阵。
这些分类仅覆盖了矩阵的一部分，实际上还有其他的矩阵分类方法和特殊类型的矩阵。
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解法2
1
( AB)T
BT AT
7
4 2 2 2 0 0
1 0 17 3 14 13 .
1 3 1 1 2 3 10
48
四、对称矩阵和反对称矩阵
设 A为n阶方阵
A为对称矩阵
AT A
A为反对称矩阵 AT A
aii 0
aij a ji aij a ji
49
? 注：A, B是对称矩阵，AB是对称矩阵
(A
B)k
Ak
C
1 k
Ak
1
B
Ck2 Ak2B2
...
Bk
AB BA .
35
例5
设
A
0
1
0 1 ,
求 Ak .
0 0
解
A2
0
1
0
10
1
0 1
0 0 0 0
2 2 1 0 2 2 .
0
0
2
36
2
A3 A2 A 0
2 2
1 1 2 0
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1, x2,, xn 到变量 y1, y2,, ym的 线性替换. 其中aij为常数.
16
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
a12 a22
a1n a2n
ann
a11
a21 a22
.
an1 an2 ann
i j, aij 0
i j, aij 0
14
三、矩阵与线性变换
Y P1 x1, y1
x1 r cos( ) r cos cos r sin sin y1 r sin( ) r cos sin r sin cos
O
Px, y
X
x1 y1
x cos x sin
y sin , y cos .
对应
cos sin sin cos
这是一个以原点为中心
旋转 角的旋转变换.
x1 y1
cos sin
sin cos
x y
15
例1 n个变量x1, x2,, xn与m个变量y1, y2,, ym之 间的关系式
... a2n
as1 as2 ... asn
x1
X＝
x2
xn
AX B
b1
B＝
b2
bs
28
二、运算律
加法满足:
设 A、B、C 都是 m n矩阵
1 A B B A 2 ( A B) C A (B C)
(3) A O A (4) A ( A) O
0 0 0 0
例如
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0.
0 0 0 0
12
(6)单位 矩阵 :
(7)数量矩阵：A
பைடு நூலகம்
1
E
0
0 1
0
0
,
0 0 1
其中
为常数.
a1
(8)对角矩阵：
a2
an
13
(9) 主对角线上(下)方元素全为零的方阵称为 上(下) 三角矩阵.
a11
0 0
0 0
k
(k 1)
2 0
k
2
0
0
k
0
0
0
0
0
0
k
0
0
kk 1 k
0
kk 1k2
2
kk 1
k
k 2
41
例6 已知 (1,2,3), (1, 1 , 1 ),设A T，
23
则An ?
42
5 矩阵多项式
设 f ( x) ak xk ak1 xk1 ... a1 x a0 A是n阶矩阵，
（iv）（AB）T BT AT .
46
例6
已知 A 2 1
0 3
1 2
，B
1 4 2
7 2 0
1 3
，求(
AB
)T
.
1
解法1
因为
AB 2 1
0 3
21
1 4 2
7 2 0
1 3 1
0 17
14 13
3 ， 10
所以（AB）T
0 14
3
17 13 . 10
47
0 1 ,
0
0
n
0
0
38
例5
设
A
0
1
0 1 ,
求 Ak .
0 0
B
解
A
0
1
0
1 0
0
0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0
Ak
(E
B)k
(E )k
C
1 k
(E
)k
1
B
...
Ckk
Bk
39
0 1 0 0 1 0 0 0 1
B2
0
★ 对于数量矩阵 E， (E)A A(E) A.
33
4.矩阵的幂运算
设 A是n 阶方阵， k
定义 Ak AA A, Ak1 Ak A，其中k为正整数，
34
矩阵的幂满足： Ak Al Akl，（Ak）l Akl， (其中k、l为正整数).
一般（AB）k Ak Bk .
( A B)2 A2 2AB B2 AB BA .
c
a b
a b
a b
s
ab
ij
i1 1j
i2 2j
is sj
k1 ik kj
注：只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个 矩阵(右矩阵)的行数时，两个矩阵才能相乘.
24
例2：求矩阵
4 1 0
A 1 2
0 1
3 0
1与 2
B
1 2 1
1 0 3
3 1
的乘积
AB.
4
25
4 1 0
52
定义6：称A为非退化的，如果 | A | 0. 也称A为满秩矩阵, 非奇异矩阵
26
例3：证明上（下）三角矩阵的乘积仍是上（下） 三角矩阵
27
例4：
11 x1 12 x2 ... 1n xn b1
21
x1
22 x2 ... 2n xn
.......
b2
sn x1 sn x2 ... sn xn bs
a11 a12 a1n
A＝
a 21
a 22
0
1 0
0
1 0
0
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0 0
B3
0
0
0 0
0
1 0
0
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
Ak (E B)k
k E
C
1 k
k
1
B
Ck2k 2 B2
40
k 0 0 k
0 0 0 0
kk 1
0
0
kk
1
（iii）A（B C） AB AC， （B C）A BA CA.
31
注1：一般AB BA 注2：AB 0未必A 0或B 0
若 A O而 A（X Y） O， 也不能得出X Y 的结论.
注3：AB AC未必B C ......
32
★ 对于单位矩阵 E Em Amn Amn，Amn En Amn . EA AE A.
数乘与加法运算满足:
（设 A、B 为m n矩阵，、 为数）： （i）（）A （A）；
（ii）1A A
（iii）（ ）A A A； （iv）（A B） A B.
矩阵相加与数乘矩阵合 起来，统称为矩阵的线性 运算.
矩阵的乘法满足 : （i）（AB）C A（BC）；
（ii）（AB）（A）B A（B），（其中 为数）
a 2
,又称列向量.
an
(4)同型矩阵 :两个矩阵的行数相等,列数也相等
矩阵相等A B：A (a )与B (b )是同型矩阵，
ij
ij
且对应元素相等，
即 aij bij (i 1，2，，m；j 1，2，，n)，
11
(5) 元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O .
注意 : 不同型的零矩阵是不同的.
的解取决于
系数 aij i 1,2,, m; j 1,2,..., n,
常数项 bj j 1,2,, m
4
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
a11
a21
am1
a12 a22
am2
a1n a2n
amn
b1
b2
bm
对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.
B
2.
a22
am2
...
...
a2n amn mn
AT
a12 a1n
a22
a2n
...
...
am2
amn nm
例如 A 1 2 0 3 1 1
AT
1 2
0
3 1 . 1
45
矩阵转置满足： （i）（AT）T A；
（ii）（A B）T AT BT；
（iii）（A）T AT；
AB BA 例7 设B是一个m n矩阵，则BT B和BBT是对称矩阵 例8 设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，