高等代数-高代矩阵

解法2
1
( AB)T
BT AT
7
4 2 2 2 0 0
1 0 17 3 14 13 .
1 3 1 1 2 3 10
48
四、对称矩阵和反对称矩阵
设 A为n阶方阵
A为对称矩阵
AT A
A为反对称矩阵 AT A
aii 0
aij a ji aij a ji
49
? 注：A, B是对称矩阵，AB是对称矩阵
(A
B)k
Ak
C
1 k
Ak
1
B
Ck2 Ak2B2
...
Bk
AB BA .
35
例5
设
A
0
1
0 1 ,
求 Ak .
0 0
解
A2
0
1
0
10
1
0 1
0 0 0 0
2 2 1 0 2 2 .
0
0
2
36
2
A3 A2 A 0
2 2
1 1 2 0
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1, x2,, xn 到变量 y1, y2,, ym的 线性替换. 其中aij为常数.
16
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
a12 a22
a1n a2n
ann
a11
a21 a22
.
an1 an2 ann
i j, aij 0
i j, aij 0
14
三、矩阵与线性变换
Y P1 x1, y1
x1 r cos( ) r cos cos r sin sin y1 r sin( ) r cos sin r sin cos
O
Px, y
X
x1 y1
x cos x sin
y sin , y cos .
对应
cos sin sin cos
这是一个以原点为中心
旋转 角的旋转变换.
x1 y1
cos sin
sin cos
x y
15
例1 n个变量x1, x2,, xn与m个变量y1, y2,, ym之 间的关系式
... a2n
as1 as2 ... asn
x1
X＝
x2
xn
AX B
b1
B＝
b2
bs
28
二、运算律
加法满足:
设 A、B、C 都是 m n矩阵
1 A B B A 2 ( A B) C A (B C)
(3) A O A (4) A ( A) O
0 0 0 0
例如
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0.
0 0 0 0
12
(6)单位 矩阵 :
(7)数量矩阵：A
பைடு நூலகம்
1
E
0
0 1
0
0
,
0 0 1
其中
为常数.
a1
(8)对角矩阵：
a2
an
13
(9) 主对角线上(下)方元素全为零的方阵称为 上(下) 三角矩阵.
a11
0 0
0 0
k
(k 1)
2 0
k
2
0
0
k
0
0
0
0
0
0
k
0
0
kk 1 k
0
kk 1k2
2
kk 1
k
k 2
41
例6 已知 (1,2,3), (1, 1 , 1 ),设A T，
23
则An ?
42
5 矩阵多项式
设 f ( x) ak xk ak1 xk1 ... a1 x a0 A是n阶矩阵，
（iv）（AB）T BT AT .
46
例6
已知 A 2 1
0 3
1 2
，B
1 4 2
7 2 0
1 3
，求(
AB
)T
.
1
解法1
因为
AB 2 1
0 3
21
1 4 2
7 2 0
1 3 1
0 17
14 13
3 ， 10
所以（AB）T
0 14
3
17 13 . 10
47
0 1 ,
0
0
n
0
0
38
例5
设
A
0
1
0 1 ,
求 Ak .
0 0
B
解
A
0
1
0
1 0
0
0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0
Ak
(E
B)k
(E )k
C
1 k
(E
)k
1
B
...
Ckk
Bk
39
0 1 0 0 1 0 0 0 1
B2
0
★ 对于数量矩阵 E， (E)A A(E) A.
33
4.矩阵的幂运算
设 A是n 阶方阵， k
定义 Ak AA A, Ak1 Ak A，其中k为正整数，
34
矩阵的幂满足： Ak Al Akl，（Ak）l Akl， (其中k、l为正整数).
一般（AB）k Ak Bk .
( A B)2 A2 2AB B2 AB BA .
c
a b
a b
a b
s
ab
ij
i1 1j
i2 2j
is sj
k1 ik kj
注：只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个 矩阵(右矩阵)的行数时，两个矩阵才能相乘.
24
例2：求矩阵
4 1 0
A 1 2
0 1
3 0
1与 2
B
1 2 1
1 0 3
3 1
的乘积
AB.
4
25
4 1 0
52
定义6：称A为非退化的，如果 | A | 0. 也称A为满秩矩阵, 非奇异矩阵
26
例3：证明上（下）三角矩阵的乘积仍是上（下） 三角矩阵
27
例4：
11 x1 12 x2 ... 1n xn b1
21
x1
22 x2 ... 2n xn
.......
b2
sn x1 sn x2 ... sn xn bs
a11 a12 a1n
A＝
a 21
a 22
0
1 0
0
1 0
0
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0 0
B3
0
0
0 0
0
1 0
0
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
Ak (E B)k
k E
C
1 k
k
1
B
Ck2k 2 B2
40
k 0 0 k
0 0 0 0
kk 1
0
0
kk
1
（iii）A（B C） AB AC， （B C）A BA CA.
31
注1：一般AB BA 注2：AB 0未必A 0或B 0
若 A O而 A（X Y） O， 也不能得出X Y 的结论.
注3：AB AC未必B C ......
32
★ 对于单位矩阵 E Em Amn Amn，Amn En Amn . EA AE A.
数乘与加法运算满足:
（设 A、B 为m n矩阵，、 为数）： （i）（）A （A）；
（ii）1A A
（iii）（ ）A A A； （iv）（A B） A B.
矩阵相加与数乘矩阵合 起来，统称为矩阵的线性 运算.
矩阵的乘法满足 : （i）（AB）C A（BC）；
（ii）（AB）（A）B A（B），（其中 为数）
a 2
,又称列向量.
an
(4)同型矩阵 :两个矩阵的行数相等,列数也相等
矩阵相等A B：A (a )与B (b )是同型矩阵，
ij
ij
且对应元素相等，
即 aij bij (i 1，2，，m；j 1，2，，n)，
11
(5) 元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O .
注意 : 不同型的零矩阵是不同的.
的解取决于
系数 aij i 1,2,, m; j 1,2,..., n,
常数项 bj j 1,2,, m
4
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
a11
a21
am1
a12 a22
am2
a1n a2n
amn
b1
b2
bm
对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.
B
2.
a22
am2
...
...
a2n amn mn
AT
a12 a1n
a22
a2n
...
...
am2
amn nm
例如 A 1 2 0 3 1 1
AT
1 2
0
3 1 . 1
45
矩阵转置满足： （i）（AT）T A；
（ii）（A B）T AT BT；
（iii）（A）T AT；
AB BA 例7 设B是一个m n矩阵，则BT B和BBT是对称矩阵 例8 设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，
则AB BA是n阶反对称矩阵.
50
§3 矩阵乘积的行列式与秩
51
定理1：设A, B是数域P上的两个n n矩阵，则 | A B || A | | B |
推论1 | A1 A2 Am || A1 | | A2 | | Am |
yn xn
y1 x1,
y2 x2 ,
yn xn
称之为恒等变换.
对应
1 0
0 1
0
0
单位阵.
0 0 1
18
§2 矩阵的运算
19
矩阵的运算
➢加法 ➢数量乘法(数乘) ➢乘法 ➢转置…对称矩阵和反对称矩阵 ➢行列式 ➢求逆
20
一、矩阵的运算
1. 两个同型矩阵相加
A B (a b )
ij
ij
负矩阵： A (a ) ij
A B A (B) (a b )
ij
ij
21
例1
12 3 5 1 8 9
1 9 0 6 5 4
3 6 8 3 2 1
12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4.
3 3 6 2 8 1 6 8 9
22
2. 数与矩阵的数量乘法(数乘) 数 ( P)与矩阵A的乘积:
a11
A
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
(aij
)
am1 am2 amn
23
3. 矩阵乘法
相等
设 A (a ) ，B (b ) ，
ij sn
ij nm
A B C (c ) ， ij sm
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
a11
A
a21
a12 a22
a1n a2n 系数矩阵
am1 am1 amn
17
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.
若线性变换为
y1 x1,
y2 x2 ,
0 1
0
0
2
0
0
3
0
0
k
Ak
0
0
32 3 3 32
0
3
由此归纳出
kk 1 k
0
k
k 1k
2
kk 1
2
k
k 2
37
用数学归纳法证明
当k 2时, 显然成立.
假设 k n时成立, 则k n 1时,
n
An1
An A
0
nn1 n
nn 1n2
2
nn1
0
1
f ( A) ak Ak ak1Ak1 ... a1A a0E
43
注1 f ( A)g( A) g( A) f ( A) 注2 f ( A)g(B) g(B) f ( A)
44
三、矩阵的转置
定义
a11 a12 ... a1n
a11 a21 ... am1
A
a21
am1
A
C
D
5
四城市间的航班图情况常用表格来表示: 到站
A
B
C
D
A
发站 B C
D
其中 表示有航班.
为了便于计算,把表中的 0,就得到一个数表:
改成1,空白地方填上
6
A
B
C
D
A B
C D
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
这个数表反映了四城市间交通联接情况.
7
定义 1
由 m n 个数aij P(i 1，2，m；j 1，2，，n) 排成的m 行 n 列的数表
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
a
m
1
am2
...
a mn
称为m行 n列矩阵，简称m n 矩阵
8
大写黑体字母表示A, B,....
记作
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am2 amn
(aij ) 或(aij )mn .
Ch4 矩阵
1
矩阵
➢矩阵的概念 ➢矩阵的运算 ➢矩阵的逆 ➢矩阵的分块 ➢初等矩阵 ➢（分块）矩阵的初等变换
2
§1 矩 阵 的 概 念
3
一、矩阵概念的引入
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
1. 线性方程组
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
C AB 1 2
0 1
3 0
21
1 2 1
1 0 3
3 1 4
1 4 0 （ 1） 1 1 0 1 1 0 0 3
32
30
31
（ 1） 1 （ 1） 3
2
4
1
（
1）
21 11
（ 1） 4 2 0 1
3
9 9
2 9
1 11
0 2 21
00 23
01 24
m n 矩阵 A也记作 Amn .
9
二、常用的特殊矩阵
(1) 行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵(方阵).
0 1 1 1
n
阶矩阵 A也记作An
.
例如
1 0
0 1
0 0
00是 4阶方阵.
1 0 1 0
(2) 行矩阵 A (a ,a ,,a ),又称行向量.
1
2
n
10
a
1
(3)