立体几何中的探索性问题精编WORD版

立体几何中的探索性问题精编W O R D版

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立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．这类试题的一般设问方式是“是否存在?存在给出证明，不存在说明理由”．解决这类试题，一般根据探索性问题的设问，首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾就否定假设．

8如图,在四棱锥P–ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=√3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．

(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由．

(2)求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF．

(3)当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45。?

拓展提升

(1)开放性问题是近几年高考的一种常见题型．一般来说，这种题型依据题目特点，充分利用条件不难求解．

(2)对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在．

9如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的√2倍，P 为侧棱SD上的点．

(1)求证：AC⊥SD．

(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小．

(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC?若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．

如图所示，在正方体ABCD—A

l B

l

C

1

D

l

中，M,N分别是AB，BC中点．

(1)求证：平面B

1MN⊥平面BB

1

D

1

D；

(2)在棱DD

1上是否存在点P，使BD

1

∥平面PMN，若有，确定点P

的位置；若没有，说明理由．

如图所示，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=√2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，0为AD中

点．

(1)求证：PO⊥平面ABCD；

(2)求异面直线PB与CD所成角的大小：

(3)线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD3若存在，求出AQ：DQ的值；若不存在，请说明理由．

立体几何中探索性问题的向量解法

高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势.

本节课主要研究：立体几何中的存在判断型和位置探究型问题等探索性问题。

一、存在判断型

1、已知空间三点A（-2，0，2），B（-2，1，2），C（-3，0，3）.设a=AB，

b=AC，是否存在存在实数k，使向量k a+b与k a-2b互相垂直，若存在，求k的值；若不存在，说明理由。

解∵k a+b=k（0，1，0）+（-1，0，1）＝（-1，k，1），k a-2b=（2，k，-2），

且(k a+b)⊥（k a-2b），

∴（-1，k，1）·（2，k，-2）=k2 -4=0.

则k=-2或k=2.

点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做.

(k a+b)(k a-2b)=k2a2-k a·b-2b2= k2 -4=0，解得k=-2或k=2.

2、如图，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，∠PDA为θ，能否确定θ，使直线MN是直线AB与PC的公垂线?若能确定，

求出θ的值；若不能确定，说明理由.

解：以点A为原点建立空间直角坐标系A－xyz.设|AD|=2a，

|AB|=2b，∠PDA=θ.则A(0，0，0)、B(0，2b，0)、C(2a，2b，

0)、D(2a，0，0)、P(0，0，2atanθ)、M(0，b，0)、N(a，b，

atanθ).

∴AB=(0，2b，0)，PC=(2a，2b，-2atanθ)，MN=(a，0，atanθ).

∵AB·MN=(0，2b，0)·(a，0，atanθ)=0，

∴AB⊥MN.即AB⊥MN.

若MN⊥PC，

P

D

A B C

E

则MN ·PC =(a ，0，atan θ)·(2a，2b ，-2atan θ) =2a 2-2a 2tan 2θ=0. ∴tan 2θ=1，而θ是锐角. ∴tan θ=1，θ＝45°.

即当θ=45°时，直线MN 是直线AB 与PC 的公垂线.

【方法归纳】对于存在判断型问题，解题的策略一般为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，若不出现矛盾，则肯定存在；若出现矛盾，则否定存在。这是一种最常用也是最基本的方法. 二、位置探究型

3．如图所示。PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB=2，E 是PB 的中点，DP 与AE 夹角的余弦值为

3

3。 （1）建立适当的空间坐标系，写出点E 的坐标。 （2）在平面PAD 内是否存在一点F ，使EF⊥平面PCB ？

解析：⑴以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设P （0,0,2m ）.

则A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、E(1,1,m)， 从而

AE =(-1,1,m),DP =(0,0,2m).

AE DP =

〉〈,cos 3

32222

2

=

+m

m m ，得

m=1.

所以E 点的坐标为（1,1,1）.

（2）由于点F 在平面PAD 内，故可设F(z x ,0,)，