幂等矩阵的性质及其应用
幂等矩阵的最小多项式_概述及解释说明
幂等矩阵的最小多项式概述及解释说明1. 引言1.1 概述幂等矩阵是线性代数中的一个重要概念，其最小多项式是对于一个给定的矩阵，满足多项式在这个矩阵上取值为零的最低次数的多项式。
在实际应用中，幂等矩阵在线性变换、图论、密码学等领域发挥着关键作用。
因此，对于幂等矩阵及其最小多项式的深入理解和求解方法的探究具有重要意义。
1.2 文章结构本文分为五个部分进行讨论。
首先，在引言部分，我们将对文章主题进行概述，并介绍文章的结构与目标。
接下来，在“幂等矩阵的最小多项式概述”部分，我们将详细介绍幂等矩阵和最小多项式的定义，并引入幂等矩阵的最小多项式概念。
然后，在“幂等矩阵的性质与特征”部分，我们将讨论幂等矩阵的一些特点和性质，并探讨特征值和特征向量与幂等矩阵之间的关系，以及在线性变换中幂等矩阵的应用举例。
接着，在“幂等矩阵的求解方法”部分，我们将总结一般情况下求解幂等矩阵最小多项式的方法，并专门介绍方阵和非方阵情况下求解幂等矩阵最小多项式的方法。
最后，在“结论及展望”部分，我们将对本文的研究成果进行总结，并提出存在的问题与未来的展望。
1.3 目的本文旨在全面概述和解释幂等矩阵的最小多项式相关内容，探讨幂等矩阵的性质与特征，介绍不同情况下求解幂等矩阵最小多项式的方法，并对研究成果进行总结。
通过本文的学习和理解，读者可以对幂等矩阵及其最小多项式有更深刻的认识，并能够应用所学知识解决实际问题。
此外，文章还将指出一些存在的问题，并提出未来进一步研究和探索的方向，为相关领域中进一步深入研究奠定基础。
2. 幂等矩阵的最小多项式概述2.1 幂等矩阵定义幂等矩阵是指满足AA=A的方阵。
换句话说，幂等矩阵乘以自己得到的结果与原矩阵相等。
幂等矩阵在线性代数和矩阵理论中有着重要的应用。
2.2 最小多项式定义对于一个方阵A，其最小多项式可以通过以下方式定义：首先找到所有使得p(A)=0成立的次数最低的多项式p(x)，其中p(x)≠0是一个非零多项式。
幂等矩阵的性质及其应用
幂等矩阵的性质及其应用0 引言幂等矩阵是一类性质特殊的矩阵，不仅在高等代数中有着重要的应用，在其它课程中，如计量经济学、统计学课程中也有着重要应用。
在代数学中，线性变换的许多问题都可以转化为幂等矩阵来解决。
但是在通常的高等代数的教材中关于幂等矩阵的讨论是比较少的。
因此本文对幂等矩阵的性质做出相关讨论。
本文主要给出幂等矩阵特征值、特征子空间和Jordan标准型的基本性质，同时给出了一些相关的应用。
1 主要结果首先给出幂等矩阵的定义和基本性质。
定义1：若n阶方阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵。
下面给出关于幂等矩阵的一些简单的性质。
定理1：幂等矩阵A的特征值只能是0或者1。
证明：设A为任意一个幂等矩阵。
由A2=A，可得λ2=λ其中λ为A的特征值。
于是有λ=1或0，命题得证。
推论：可逆的幂等矩阵的特征值均为1。
证明：设A为一可逆的幂等矩阵。
由A2=A可得A2A-1=AA-1即A=E。
此时有λE-E=0即λ=1其中，λ为A的特征值。
命题得证。
定理2：任意的幂等矩阵A都相似于对角阵，即存在可逆阵P，使得：P-1AP=E■ 00 0，其中r=R（A）。
证明：A为任意幂等矩阵，J为其Jordan标准型，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=J=■，其中Ji=■。
由此可得J 2=J。
于是有，Ji 2=Ji。
此时，Ji只能为数量矩阵λ■E。
又因为A2=A，所以λ■=0或1，且r=R（A）。
命题得证。
定理3：幂等矩阵的特征值为1的特征子空间为其值域，特征值为0的特征子空间为其零（核）空间。
证明：（i）A为一n阶幂等矩阵。
？琢为其特征值1对应的特征向量。
则有，A？琢=？琢。
由此可得？琢属于A的值域。
反之，对于任意一个A的值域中的向量？琢，总能找到一个向量β，使得Aβ=？琢，于是有A？琢=A2β=β，即？琢=β。
综上可知，幂等矩阵的特征值为1的特征子空间与其值域等价。
（ii）A为一n阶幂等矩阵。
x为其特征值0对应的特征向量，则有Ax=0，即A特征值0对应的特征向量都属于A的核。
幂等矩阵的性质及应用(定稿)
JIU JIANG UNIVERSITY毕业论文（设计）题目幂等矩阵的性质及应用英文题目Properties and Applicationof Idempotent Matrix院系理学院专业数学与应用数学姓名邱望华年级A0411指导教师王侃民二零零八年五月幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。
本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。
首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质。
[关键词] 幂等矩阵，性质，幂等性，线性组合The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix . This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix . Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices.[Key Words] the idempotent, the nature, the idempotence,linear combination符号表R 实数域n R 实数域n 维列向量空间 n n R ⨯ 实数域上的n ×n 阶矩阵C 复数域n C 复数域n 维列向量空间 n n C ⨯ 复数域上的n ×n 阶矩阵A ' 矩阵A 的转置*A 矩阵A 的伴随1A - 矩阵A 的逆det()A 矩阵A 的行列式 rank()A 矩阵A 的秩()N A 矩阵A 的核空间，即}{()0,n N A x P Ax P =∈=是一个数域()R A 矩阵A 的值域，即}{(),n R A Ax x P P =∈是一个数域dim V 线性空间V 的维数 1T - 线性变换T 的逆变换TV T 的值域,即TV ={}T V ξξ∈1(0)T - T 的核,即{}1(0)0,T T V ξξξ-==∈目录第一章预备知识 (1)1.1幂等矩阵的概念及刻划 (1)1.2幂等矩阵的一些简单性质 (3)第二章相关的重要结论 (7)2.1幂等矩阵的等价条件 (7)2.2幂等变换 (14)2.3幂等矩阵线性组合的幂等性 (17)2.4幂等矩阵线性组合的可逆性 (23)2.5幂等矩阵的秩方面的有关性质 (26)结束语 (29)参考文献 (30)第一章 预备知识1.1 幂等矩阵的概念及刻划定义1[1].对n 阶方阵A ,若2A A =,则称A 为幂等矩阵.为了对一般幂等矩阵作出刻划,下面先对二阶幂等矩阵讨论,再推广到一般幂等矩阵.命题1.若A 是幂等矩阵,则与A 相似的任意矩阵是幂等矩阵. 证明：若A 相似于B (记作~A B ),则有同阶可逆矩阵P ,使B =1p -A P [1],从而2B =1p -A P ·1p -A P =1p -2A P =1p -A P =B . ▌命题2.若A 是对角分块矩阵，设A =12r A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 则A 是幂等矩阵⇔i A (1,2,,)i r =均是幂等矩阵.由于每个n 级复数域矩阵A 都与一个若尔当矩阵相似[1]，据命题1和命题2知， 我们只需要讨论若尔当块的幂等性.若A 是一个2阶复数域矩阵,则A 的若尔当标准型有两种可能的形式:第一种: 10λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭,但它不是幂等矩阵.否则有210λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭=10λ⎛⎫⎪λ⎝⎭,有,212λ=λλ=.矛盾.第二种: 0012λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭,由200001122λλ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪λλ⎝⎭⎝⎭ ,有221122,λ=λλ=λ,从而有01λ=或1,20λ=或 1.于是该情况有四种可能的形式:0000⎛⎫ ⎪⎝⎭,1000⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,1001⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,0001⎛⎫⎪⎝⎭(1)据命题1,于是得到:定理1[19]. A 是二阶幂等矩阵,则A 是零矩阵或单位矩阵或形如1ab c a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭.证明: 由以上讨论知A 相似于(1)式中的四个矩阵之一1若A ～0000⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,显然有 A =0000⎛⎫⎪⎝⎭02若A ～1001⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,显然有 A =1001⎛⎫⎪⎝⎭3若A ～1000⎛⎫⎪⎝⎭ ,则有可逆矩阵P =1234λλλλ⎛⎫⎪⎝⎭，1423(,P )λλλλ≠因为可逆 使A =14121423142313423142314231000a b P P c d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-⎛⎫-⎪--⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪--⎝⎭则有 1d a =- .即 A 1ab c a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ .对剩余的一种与此有同样的结果. ▌设112,1n n J λλλλ⎛⎫⎪⎪⎪≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，由2n n J J = ，有2,21,λλλ==这是不可能的.于是有:命题3.当2n ≥时,n 阶若尔当块n J 不具有幂等性.即2n n J J ≠. 因此,若A 是幂等矩阵，则A 的若尔当标准型如下：12000000n r J λλλ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭据命题1即有2n n J J =⇒2,1,2,,i i i r λλ== .于是0i λ= 或1.于是我们得到如下定理:定理2. A 是n 阶幂等矩阵，当且仅当存在n 阶可逆矩阵P ，使 得1A PJP -=.其中J 是主对角线上元素为0或1的对角矩阵. ▌1.2 幂等矩阵的一些简单性质性质1.方阵零矩阵和单位矩阵E 是幂等矩阵. 性质2.方阵A 是幂等矩阵，且A 可逆，则A E =. 因为2A A =,则121A A A A A E --===. ▌据此易知:可逆幂等矩阵的逆矩阵是幂等矩阵.即1A -(如果存在的话)是幂等 矩阵.因为1A E A E -=⇒=.性质3.若A 是实幂等矩阵，则*,,A E A A '-都是幂等矩阵. 证明: 对A ',22()()A A A '''==. 对E A -,有22()22E A E A A E A A E A -=-+=-+=-.对*A ,先证明对任意两个幂等矩阵,A B ,有关系式***[2]()AB B A=.由Cauchy binet -公式有:*(,)()A i j AB B i j =矩阵的第行第列代数余子式=(1)det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})i j AB j j n i i n +--+-+=1(1){det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})ni jk A j j n k k n +=--+-+∑det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})}B k k n i i n ⋅-+-+=**({},{})11.nnjk ki ki jk i j k k A B B A B A ====∑∑于是，*2*****2()()()A A AA A A A ====. ▌性质4.若A 是复数域上的幂等矩阵,则,A E A '-也是幂等矩阵. 证明:222()()()()A A AA A A '''''====.22()22E A E A A E A A E A -=-+=-+=-. ▌ 性质5.若A 是幂等矩阵,则A 的特征值只能是1或0. 即知幂等矩阵是半正定矩阵.证明:由2A A = 知2λλ= (A λ是的特征值)01λ⇒=或. ▌ 由此易知:幂等矩阵是半正定矩阵.性质6.若A 是幂等矩阵,设()ϕλ是A 的最小多项式,则()ϕλ=1λλλλ-或或（-1）从而A 可对角化,且其若尔当标准型为000rE ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 其中r E 是r 阶单位矩阵, r 是A 的秩.证明:由于矩阵的最小多项式是该矩阵特征多项式的因式, 据性质5知()ϕλ=1λλλλ-或或（-1）.又最小多项式是互素的一次因式的乘积,故可对角化. ▌性质7[17].若A 是幂等矩阵，则()()N A R E A =-，其中}{()0n N A x C Ax =∈=}{()(),n nR E A x C x E A y y C -=∈=-∈.证明：由2A A = 有()0A E A -=，立即知E A -的n 阶列向量都是0AX =的解故有()()R E A N A -⊂又对()a N A ∀∈,有0()()Aa a Aa E A a E A a =⇒=+-=-()a R E A ⇒∈-由a 的任意性知 ()()N A R E A ⊂-. 于是有 ()()N A R E A =- . ▌ 同样地,有结论 ()()N E A R A -=.性质8.若A 是幂等矩阵,对任意实数(0,1)a a ≠,则A aE +是可逆矩阵. 证明:由2A A =有2(1)(1)A A a a E a a E --+=-+()[(1)](1)A aE A a E a a E +-+=-+.又由0,1a ≠ 有1(){[(1)]}(1)A aE A a E E a a +-+=-+故A aE +可逆,且11()[(1)](1)A aE A a E a a -+=-+-+. ▌性质9.任一秩为r 的n n ⨯幂等矩阵A 可分解成A CB =,其中C 是秩为r 的n r ⨯矩阵,且r BC E = .(其中r E 是r 阶单位矩阵)证明:由性质6知, 存在n 阶可逆矩阵P 使1000rEP AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭.则()100000rr r E E A P P P E P -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 记(),00r r E C P B E ⎛⎫== ⎪⎝⎭.显然,B C 满足要求. ▌性质10.任一幂等矩阵可写成两个实对称矩阵之积.证明:因为1100()0000rr E E A P P P P --⎛⎫⎛⎫''=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故结论成立 ▌ 性质11.若,A B 均为n n ⨯阶幂等矩阵,且AB BA =,则AB 与A B ''均为幂等矩阵.证明:据题意有：222()AB ABAB AABB A B AB ====.2222()[()]()()()()()A B BA BA BA BABA B A BA A B ''''''''''======. ▌第二章 相关的重要结论本章按节来逐次讨论和探索幂等矩阵的多个等价条件、幂等变换、线性组合的幂等性、线性组合的可逆性、秩方面的有关性质等有关问题.2.1 幂等矩阵的等价条件经过参考多篇文献，并进行归纳和推理可以得出以下定理.定理1:设A 是n n ⨯的实矩阵,则下列命题是互相等价的:1)A 是幂等矩阵.2)A '是幂等矩阵.3)E A -是幂等矩阵.4)对任意的可逆矩阵P ,1P AP -是幂等矩阵.5)2B A E =-是对合矩阵.(满足2B E =的矩阵B 称为对合矩阵) 6)()()N A R E A =-.7)()()R A N E A =-.8)rank rank()A E A n +-=.9){}()()0R A R E A -=.10){}()()0N A N E A -=.11)()()n R R A R E A =⊕-.12)()()n R N A N E A =⊕-以上给出了实幂等矩阵的几个等价条件,经过研究和分析知:对复幂等矩阵也有平行的结论.定理2:设A 是n n ⨯的复矩阵,则下列命题是互相等价的:1)A 是幂等矩阵.2)A '是幂等矩阵.3)E A -是幂等矩阵.4)对任意的可逆矩阵P ,1P AP -是幂等矩阵.5)2B A E =-是对合矩阵.(满足2B E =的矩阵B 称为对合矩阵) 6)()()N A R E A =-.7)()()R A N E A =-.8)rank rank()A E A n +-=.9){}()()0R A R E A -=.10){}()()0N A N E A -=.11)()()n C R A R E A =⊕-.12)()()n C N A N E A =⊕-证明:1)⇔2) 由2A A =知22()()A A A '''==.反过来,222[()][()]()A A A A A ''''''====.1)⇔3)必要性: 在1.2节性质3中已经给出了证明.充分性:2()()E A E A -=- ⇒222E A A E A A A -+=-⇒=.1)⇔4)由2A A = 知1211121()P AP P AP P AP P A P P AP -----=⋅==.反过来,12111121()P AP P AP P AP P AP P A P P AP ------=⇒⋅==⇒ 2A A =.1)⇔5)由2A A =,有2B =2(2)A E -=244A A E E -+=.反过来,22244B E A A E E A A =⇒-+=⇒=.1)⇔6)必要性: 在1.2节性质7中已经给出了详细证明.充分性: 对,n a R ∀∈有()()()E A a R E A N A -∈-=，故()()E A a N A -∈于是有2[()]0()0A E A a A A a -=⇒-=.由a 的任意性得2A A =.1)⇔7)必要性: 由2A A =知()Aa R A ∀∈,有()0()E A Aa Aa N E A -=⇒∈-()()R A N E A ⇒⊂-.又()a N E A ∀∈-,有()0E A a -=.于是()a Aa E A a =+-()()()Aa R A N E A R A =∈⇒-⊂故有()()R A N E A =-.充分性: 对n a R ∀∈,有()()()Aa R A N E A Aa N E A ∈=-⇒∈-于是有2()()0()0E A Aa A A a -=⇒-=.由a 的任意性得 2A A =.1)⇔8)必要性: 由2A A =知 ()()N A R E A =-.于是有 dim ()dim ()N A R E A =-即有 rank rank()n A E A -=-亦即 rank rank()A E A n +-=.充分性: 由rank rank()A E A n +-= 易知:dim ()dim ()N A R E A =- (*) 又对()a N A ∀∈,有0Aa =则有()E A a a Aa a -=-=.由()()E A a R E A -∈-知()a R E A ∈-即有 ()()N A R E A ⊂-.据(*)式知()()N A R E A =-.再由6)得2A A =.8)⇔9)必要性: 由rank rank()A E A n +-=.即知:dim ()dim ()R A R E A n +-=.又对n a R ∀∈,有()a Aa E A a =+-,而(),Aa R A ∈()()E A a R E A -∈-.故 ()()n C R A R E A =+-.又dim dim ()dim ()dim[()()]n C R A R E A R A R E A =+---n =.故有dim[()()]0R A R E A -=. 于是, {}()()0R A R E A -=.充分性: 由{}()()0R A R E A -= 有dim ()dim ()R A R E A n +-=.即有rank rank()A E A n +-=.9)⇔10)必要性: 由上面的证明知由9)有6)和7),再把6)和7)代入到9),立即得到10).充分性：同理可证.9)⇔11) 这是显然的[1].10)⇔12) 这是显然的[1]. ▌定理3.设A 是秩为r 的n n ⨯矩阵.则A 是幂等矩阵⇔存在n 阶可逆矩阵P ,使1000rE P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 证明: 必要性: 在1.2节性质6中已给出了证明.充分性: 由1000rE P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭,有 1000r E A P P -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 则2111000000000rr r E E E A P P P P P P A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ▌ 以上是对二次幂等矩阵进行了一定的讨论.下面来对高次幂等矩阵进行有关的讨论.定理4.设,A B 是三次幂等矩阵,即33,A A B B ==,且满足AB BA =,A B ≠, 记C A B =+.则3()0C C AB A B =⇔+=.证明:由矩阵,A B 是幂等可交换的，于是可同时对角化[6]. 即存在可逆矩阵 P ,使得1112,P AP P BP --Λ=Λ=均为对角矩阵,而且它们对角元素分别是,A B 的特征值.从而有1112,.A P P B P P --=Λ=Λ进而112()C P P -=Λ+Λ.于是3C C =可以等价为322333,1,2,,i i i i i i i i i n λλμλμμλμ+++=+=.其中,i i λμ分别是12,ΛΛ的对角元.又由30,1,1x x x =⇒=-知,A B 的特征值只有0,-1,1.即333,,(1,2,,)i i i i i r λλμμ===于是3C C =等价为220,(1,2,,)i i i i i r λμλμ+==.即221212O ΛΛ+ΛΛ=. 因此3C C =等价为()0AB A B +=. ▌注:当2A A =,立即有32A A A ==,同样地,对k ∀,(2k ≥为正整数) k A A = 即任意的二次幂等矩阵均为k 次幂等矩阵.因此可得以下推论.推论: 设,A B 是二次幂等矩阵,且满足AB BA =,A B ≠,记C A B =+.则 2()0C C AB A B =⇒+=. ▌引理1[1].对任意两个同阶矩阵,A B ,有rank()rank()rank()A B A B +≤+. 引理2[1].设,A B 为n n ⨯矩阵,满足AB O =,则有rank rank A B n +≤. 定理5.设矩阵A 满足3,A A =且A 可逆.则2A E =且rank rank()rank()2A A E A E n +++-=.证明: 由3,A A =A 可逆,有-13-12A A A A A E ⋅=⋅⇒=()()A E A E O ⇒+-=.于是据引理2有rank()rank()A E A E n ++-≤ (1)又2()()E E A E A =++-据引理1有rank(2)rank[()()]n E E A E A ==++-rank()rank()E A E A ≤++-rank()rank()A E A E =++-. (2)有(1)式和(2)式有rank()rank()A E A E n ++-=.由于A 可逆知rank A n =.因此有rank rank()rank()2A A E A E n +++-=. ▌定理6.设矩阵A 满足,(2)k A A k =≥.则*,,A A A ''都是k 此幂等矩阵.证明:对A ',()()k k A A A '''==.对*,A*****()()k k k A A A A A =⋅⋅==个. 对,A '()()()k k k A A A A ''''===. ▌定理7. 设矩阵A 满足,(2)k A A k =≥.则A 的特征值为0和22cossin ,(0,1,,2)11m m m i m k k k ππε=+=---.证明: 由k A A =,有 k λλ=,其中λ是矩阵A 的特征值.解方程k λλ=可得220cossin ,(0,1,,2)11m m i m k k k ππλ=+=---以及. ▌2.2 幂等变换数域F 上n 维线性空间V 的全部线性变换组成的集合()L V 对于线性变换的加法与数量乘法构成F 上的一个线性空间，与数域F 上n 阶方阵构成的线性空间n n F ⨯同构.特别地，与幂等矩阵对应的是幂等变换.因此为了讨论和探索幂等矩阵的性质时很有必要去探索幂等变换的相关性质.定义1.设T 是线性空间V 的一个线性变换,若2T T =,则称T 是幂等变换. 由于矩阵与变换间存在一一对应的关系,因此前面所提到的性质和结论可以平 移到幂等变换上来.限于篇幅,下面只举几个例子.性质1.可逆的幂等变换是恒等变换.证明:恒等变换与单位矩阵相对应.因此该性质与“可逆的幂等矩阵为单位矩 阵”一致. ▌性质2.若T 是幂等变换,则T τ-也是幂等变换.(其中τ是恒等变换) 性质3.T 是幂等变换⇔2T τ-为对合变换. 其中线性变换T 满足2T τ=,则称T 是对合变换. 性质4.T 是线性空间V 上的幂等变换,则1(0)V TV T -=⊕.▌ 我们知道:对于一般的线性变换来说,虽然1dim dim (0)dim TV T V -+=,但未必 有1(0)V TV T -=⊕.这样的例子很多. 例如:在线性空间[]n P x 中令 (())()f x f x ϕ'=.则微分变换是一线性变换[1],其 值域为1[]n P x -,其核是子空间P .它们的维数分别是1,1n -.但显然1[]n P x -+P ≠[]n P x .性质5.设T 和U 是n 维线性空间V 上的线性变换,且22,T T U U ==. 如果2()T U T U +=+,则0TU UT ==. 证明:由2()T U T U +=+,可得0TU UT +=……………………………………①对①式左乘T 得0TU TUT +=…………………………………②对①式右乘T 得0TUT UT +=……………………………………③比较②和③得 TU UT =.代入到①式得到 20TU =.于是就有 0TU UT ==. ▌ 性质6.设T ,U 是n 维线性空间上的线性变换,且22,T T U U ==. 则 1) ,TV UV TU U UT T =⇔==.2) 11(0)(0),T U TU T UT U --=⇔==.证明:1)""⇒ 对,a V ∀∈有Ua UV TV ∈=.故,V β∃∈使Ua T β=. 从而2TUa T T Ua ββ===.因此有TU U =.同样可证得UT T =.""⇐ 据,TU U UT T ==可知, 对Ta TV V ∀∈⊂,有()Ta UTa U Ta UV ==∈,故TV UV ⊂.同样可证得UV TV ⊂.于是TV UV =. 2)""⇒ 对a V ∀∈,作向量a Ta -.据11(0)(0)T U --=,有()T a Ta -20Ta T a Ta Ta =-=-=.故11(0)(0)a Ta T U ---∈=.从而有()0U a Ta -=⇒Ua UTa =⇒UT U = 同理有TU T =.""⇐ 对1(0)a T -∀∈,有0Ta =. 据,TU T UT U ==,有10(0)Ua UTa a U -==⇒∈.即有11(0)(0)T U --⊂.同理可得11(0)(0)U T --⊂. 故有11(0)(0)T U --=. ▌2.3 幂等矩阵线性组合的幂等性在本节中,我们将给出两个幂等矩阵线性组合12P c A c B =+仍是幂等矩阵的一 些充分条件.引理1[15].设2,,0,0n n l A B C A A B B ⨯∈=≠=≠,l 为2≥的整数,且AB BA =. 则存在{}12,0c c C ∈-,使12P c A c B =+为幂等矩阵的充要条件是:22111211(2),c c A E B B B c c c λλ--=-+=. 证明:221212()P P c A c B c A c B =⇔+=+22222111212()c B c B c c A c c AB c c BA ⇔-=-++(令121c c λ-=) 221112(2)c B B A AB A E B c c λλ⇔-+=-=-.▌ 据引理1,下面将给出12P c A c B =+是幂等矩阵的十组充分条件.为了简化过程,先令{}00,s = {}111,l s x x x C -==∈,{}21,,s x x y z y z s ==+∈, 012s s s s =.定理1[8].设2,,0,0(2,)n n l A B C A A B B l l Z ⨯∈=≠=≠≥∈，AB BA =，{}12,0,c c C ∈-13121,,,,,ic u v s u v e a s c πλε-=∈≠=∈若12(,)c c 及,A B 满足下列任意一个条件，则12P c A c B =+必为幂等矩阵.(Ⅰ) ,0s λλ∈=.①.121(,)(1,)c c u =且0,()0AB B uE B =-=.证明:由0,()0AB B uE B =-=易知12()AB B uE B u-=--,又由121(,)(1,)c c u=和0λ=知(2)A E B λ-22111c B B c c =-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.②.121(,)(1,)c c u=-且()0,()0E A B B uE B -=-=.证明: 由()0,()0E A B B uE B -=-=易知2122,0AB B B B u-=-=-.将它们相加得212AB B B u-=--.又由121(,)(1,)c c u=-,0λ=可得22111(2)c A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.③.121(,)(1,)c c u=且()()0,()0E A B uE B AB uE B --=--=.证明: 由条件易知()(),()0B uE B AB uE B AB uE B -=--+=.将它们相加后,再乘以1u-可得212AB B B u-=-+. 又由121(,)(1,),0c c uλ==知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅱ) ,1s λλ∈=.④.121(,)(,(1)),0,1c c a a a u =-≠且()0,()0E A B A uE B -=-=.证明: 由条件易知,B AB AB uA ==.从而有22,()()B uA B uA u uA uB ====.即2B uB =.故有1121(1)1(1)a u a u B B B uB B a a a a-----+=-+=-. 结合上式有(2)22A uE B uA AB AB AB AB B -=-=-=-=- 121(1)(2)a u A uE B B B a a--⇒-=-+.从而可得(2)A E B λ-22111c B B c c =-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑤.121(,)(1,)u c c v v =-,且()0,()()0A uE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A uE B -=知uA AB =,从而(2)2A uE B uA AB -=-2uA uA uA =-=-.即(2)A uE B uA -=-.又由()()0E A B vE B --=可得2()()B vE B AB vE B vAB AB -=-=-.又因为22,()AB uA AB AB B uAB u A ====.代入上式可得:2()B vE B uvA u A -=-.即有2()B vE B A uv u-=-. 结合(2)A uE B uA -=-有()(2)B vE B A uE B u v--=-.即有12111(2)11v A uE B B B uv uv----=-+--. 又由121(,)(1,)u c c v v=-知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+, 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. ⑥. 121(,)(,)v c c u v u v=---且()0,()()0E A B A uE B vE B -=--=. 证明: 由()0E A B -=知AB B =,从而(2)22A uE B uA AB uA B -=-=-又由()()0A uE B vE B --=展开得2()0AB u v AB uvA -++=. 又22,()AB B AB AB B B ===,结合上式可得2()0B u v B uvA -++=.故2()u v B B A uv+-=.代入到(2)2A uE B uA B -=-得(2)A uE B -=2()2u v B B B v+--. 即21(2)u v A uE B B B v v --=-. 又由121(,)(,)v c c u v u v =--- 可得2211(2)A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑦. 121(,)(,),1u c c u v v v=-+=且()0,()()0A vE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A vE B -=知()AB u v A =+.从而(()2)A u v E B +-()2()u v A AB u v A =+-=-+.又先把()()0E A B vE B --=展开可得2()0B vE B vAB AB --+=.又将()AB u v A =+及22()()()AB AB B u v AB u v A ==+=+.代入到上式可得2()()()0B vE B v u v A u v A --+++=.即有()()B vE B A u v u-=-+.代入到(()2)A u v E B +-()u v A =-+,可得21(()2)v A u v E B B B u u+-=-. 从而由121(,)(,),u c c u v v vλ=-+=知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+满足引理1故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑧.12(,)(,)c c u εε=-,且2()()0,()()0.A uE B uE B E A B uE B εε--=--=证明: 由()()0A uE B uE B ε--=知 22(())0A u E u u B B εε-++=. 由2()()0E A B uE B ε--=知 222()()A uB B B uE B εε-=-. 将上面两式相加并乘以1u可得 22((1))()A uE B B uE B εεεε+--=-.又3ieπε=满足22112,εεεε--=-=-,结合上式可得(2)A uE B ε-211B B uε=--.从而由12(,)(,)c c uεε=-,u λε=知2211(2)A E B B B c c λ-=-+ 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅲ) 2,2s λλ∈=.⑨.1,21()(1,)c c u =-,且()0,()0A uE B B uE B -=-=.证明: 由()0,()0A uE B B uE B -=-=知1(22)0()A uE B B uE B u-==-, 即21(22)()A uE B B B u -=---从而由1,21()(1,)c c u=-,2u λ=知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+ 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅳ) 2,0,1,2.s λλ∈≠⑩.1,21()(,)u c c v v =-且()0,()()0A uE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A uE B -=知AB uA = 从而22AB uAB u A ==,(()2)A u v E B +-()2()u v A AB u v A =+-=--.又由()()0E A B vE B --=展开得()()B vE B AB vE B -=-. 据22AB uAB u A ==知22()()AB vE B vAB AB uv u A -=-=-.结合上式可得2()()uv u A B vE B -=-()()B vE B A u v u-⇒=--.代入到(()2)A u v E B +-()u v A =--可得2()1(()2)B vE B v A u v E B B B u u u-+-==-. 又由1,21()(,)u c c v v=-,u v λ=+知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. ▌2.4 幂等矩阵线性组合的可逆性在本节中,我们将给出两个幂等矩阵的线性组合矩阵12c A c B +可逆的一些条件,并给出一些相关的结论.引理1[3].设矩阵A 是n n ⨯阶方阵,则A 可逆{}()0N A ⇔=. ▌定理1.设矩阵,A B 均是幂等矩阵，即22,A A B B ==.若存在两个非零复数1,2k k , 且120k k +≠使得12k A k B +可逆,则对所有的复数1,2c c ,满足120c c +≠,则线性组合12c A c B +都是可逆的.证明:设1212,,0,0c c C c c ∈≠≠且120c c +≠. 对12()x N c A c B ∀∈+,有12()0c A c B x += 即有 12c Ax c Bx =- ……………① 将上式两边依次左乘,A B ,可得:12c Ax c ABx =-,12c BAx c Bx =-. ……②比较上面三个式子可得:,Bx ABx Ax BAx ==. …………………………③又由于22212112122()k A k B k A k k AB k k BA k B +=+++,故22212112122()k A k B x k Ax k k ABx k k BAx k Bx +=+++.将,Bx ABx Ax BAx ==代入上式可得212()k A k B x +22112122k Ax k k ABx k k BAx k Bx =+++112212()()k k k Ax k k k Bx =+++ 1212()()k k k A k B x =++.由于12k A k B +可逆,,将上式两边左乘112()k A k B -+得121212()()k k x k A k B k Ax k Bx +=+=+, …………………④再左乘A 得:1212k Ax k Bx k Ax k ABx +=+即有Ax ABx =.代入12c Ax c ABx =-可得12()00c c Ax Ax ABx +=⇒==.注意到③式有0Bx =,因此由④式可得12()0k k x +=但120k k +≠,所以0x =因此{}12()0N c A c B +=.由引理1知12c A c B +是可逆的. ▌在定理1中令121c c ==,立即有:推论1.设矩阵,A B 均是幂等矩阵，即22,A A B B ==.若A B +可逆,则 对所有的复数1,2c c ,满足120c c +≠,线性组合12c A c B +都是可逆的. ▌ 定理2[18].设矩阵,A B 均是幂等矩阵,对任意的复数1,2c c ,下列命题等价: ⑴ A B -可逆.⑵ 12c A c B +及E AB -可逆. 证明:⑴⇒⑵对12()x N c A c B ∀∈+,由定理1的证明过程知,Bx ABx Ax BAx ==. 故22222()()0A B x A AB BA B x A x ABx BAx B x -=--+=--+=.又由A B -可逆,故0x =.因此 {}12()0N c A c B +=.由引理1知 12c A c B +可逆. 同样地,对()()0x N E AB E AB x x ABx ∀∈-⇒-=⇒=.两边左乘A ,得Ax ABx x BAx Bx ==⇒=.所以 2()0A B x Ax ABx BAx Bx -=--+=. 又由A B -可逆知0x =. 所以{}()0N E AB -=. 由引理1知E AB -可逆. ⑴⇐⑵对()x N A B ∀∈-,有()0A B x -=Ax Bx ⇒= 则 ,Ax ABx BAx Bx ==. 所以121212()()()c A c B E AB x c A c B c AB c BAB x +-=+-+220c Bx c BAx =-=.0x ⇒=.由12c A c B +及E AB -可逆,知{}()0N A B -=. 由引理1知A B -可逆. ▌ 在定理2中令121c c ==,立即有:推论2.设矩阵,A B 均是幂等矩阵,下列命题等价: ⑴ A B -可逆.⑵ A B +及E AB -可逆.定理3[18]. 设矩阵,A B 均是幂等矩阵，1212,,0,0c c C c c ∈≠≠,满足120c c +≠. 则12c AB c BA +可逆12c A c B ⇔+及E A B --可逆. 证明:由2212121212()()c A c B E A B c A c B c A c BA c AB c B +--=+----12()c AB c BA =-+.可见12c AB c BA +可逆12c A c B ⇔+及E A B --可逆. ▌2.5 幂等矩阵的秩方面的有关性质定理1[5]. 设,A B 是n n ⨯的复幂等矩阵,则1 rank()rank rank rank rank 00A B B A A B B A B A ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2 rank()rank()rank A B A AB BA BAB B +=--++.3 rank()rank()rank A B B AB BA ABA A +=--++. ▌定理2.设n n A C ⨯∈为Hermite 矩阵,即A A '=.且对某个,k N ∈有2k A A =, 则 rank()()A tr A =.证明:设rank A r =,,x λ分别是矩阵A 的特征值和相应的特征向量. 则λ是实数[1].且2212k k k Ax x A x A x x λλλ-====. 从而有21(1)0k x λλ--=.又0x ≠.于是21(1)0k λλ--=.由λ是实数, 所以111,0r r n λλλλ+======,故结论成立. ▌推论1. 设n n A C ⨯∈,且2A A =,则rank()()A tr A =. 其实,该结论在1.2节中已经很明朗了. 定理2[10]. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈使2ik ii A A =,又对某个正整数 t 有211tmmii i i A A ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.证明:由定理1可知rank()()i i A tr A =,11rank mmiii i AtrA===∑∑于是有1111rank()rank()mm mmiiiii i i i AtrA tr A A =======∑∑∑∑. ▌推论2. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈使2ik ii A A =,又1mi i A =∑为幂等矩阵.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.推论3. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥为幂等矩阵,且1mi i A =∑为幂等矩阵.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.推论4. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈使2ik ii A A =,又1mi i A E ==∑.则 11rank rank()mmi i i i A A n ====∑∑.推论5. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥为Hermite 矩阵,且1mi i A E ==∑.则 11rankrank()mmii i i AA n ====∑∑.定理3[10].设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥及1mi i A =∑的特征值均为实数,且存在,i k N ∈使2ik ii A A =,又对某个正整数 t 有211tmmii i i A A ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.定理4[20]. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥及1mi i A =∑的特征值均为非负实数,且存在,(2)i i k N k ∈≥使ik i i A A =,又对某个正整数 t 有11t mmii i i AA ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑. ▌结束语本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。
幂等矩阵的性质及应用(定稿)
幂等矩阵的性质及应用(定稿)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：JIU JIANG UNIVERSITY毕业论文（设计）题目幂等矩阵的性质及应用英文题目Properties and Applicationof IdempotentMatrix院系理学院专业数学与应用数学姓名邱望华年级A0411指导教师王侃民二零零八年五月幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。
本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广.首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质.[关键词］幂等矩阵，性质,幂等性，线性组合The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix 。
This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix 。
幂等矩阵的性质及其应用
0引言幂等矩阵是一类性质特殊的矩阵,不仅在高等代数中有着重要的应用,在其它课程中,如计量经济学、统计学课程中也有着重要应用。
在代数学中,线性变换的许多问题都可以转化为幂等矩阵来解决。
但是在通常的高等代数的教材中关于幂等矩阵的讨论是比较少的。
因此本文对幂等矩阵的性质做出相关讨论。
本文主要给出幂等矩阵特征值、特征子空间和Jordan标准型的基本性质,同时给出了一些相关的应用。
1主要结果首先给出幂等矩阵的定义和基本性质。
定义1:若n阶方阵A满足A2=A,则称A为幂等矩阵。
下面给出关于幂等矩阵的一些简单的性质。
定理1:幂等矩阵A的特征值只能是0或者1。
证明:设A为任意一个幂等矩阵。
由A2=A,可得λ2=λ其中λ为A的特征值。
于是有λ=1或0,命题得证。
推论:可逆的幂等矩阵的特征值均为1。
证明:设A为一可逆的幂等矩阵。
由A2=A可得A2A-1=AA-1即A=E。
此时有λE-E=0即λ=1其中,λ为A的特征值。
命题得证。
定理2:任意的幂等矩阵A都相似于对角阵,即存在可逆阵P,使得:P-1AP=Er0 00 (),其中r=R(A)。
证明:A为任意幂等矩阵,J为其Jordan标准型,即存在可逆矩阵P,使得P-1AP=J=J10⋱0J s (),其中J i=λi1…0⋱┋⋱1 0λi ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟。
由此可得J2=J。
于是有,J i2=J i。
此时,J i只能为数量矩阵λi E。
又因为A2=A,所以λi=0或1,且r=R(A)。
命题得证。
定理3:幂等矩阵的特征值为1的特征子空间为其值域,特征值为0的特征子空间为其零(核)空间。
证明:(i)A为一n阶幂等矩阵。
α为其特征值1对应的特征向量。
则有,Aα=α。
由此可得α属于A的值域。
反之,对于任意一个A的值域中的向量α,总能找到一个向量β,使得Aβ=α,于是有Aα=A2β=β,即α=β。
综上可知,幂等矩阵的特征值为1的特征子空间与其值域等价。
(ii)A为一n阶幂等矩阵。
线性代数中的幂等矩阵与幂等算子
线性代数中的幂等矩阵与幂等算子线性代数是研究向量空间与线性变换的数学分支。
在线性代数中，存在一类特殊的矩阵和算子，称为幂等矩阵和幂等算子。
本文将介绍幂等矩阵和幂等算子的定义、性质以及应用。
一、幂等矩阵的定义和性质在线性代数中，幂等矩阵是指矩阵和自身相乘后仍然保持不变的矩阵。
具体地，对于一个n×n的矩阵A，如果满足A^2=A，那么A就是一个幂等矩阵。
幂等矩阵有以下性质：1. 幂等矩阵的特征值只能是0或1。
设A是一个幂等矩阵，λ是A 的特征值，那么有A^2x=Ax=λx。
将A^2x=Ax代入到Ax=λx中可得A(Ax)=λ(Ax)，即A^2x=λ^2x，由于A是幂等矩阵，即A^2=A，所以有λ^2x=λx，即(λ^2-λ)x=0。
因为x不为0，所以必然有(λ^2-λ)=0，即特征值λ满足λ(λ-1)=0，所以λ=0或λ=1。
2. 幂等矩阵的秩等于其迹。
设A是一个幂等矩阵，根据特征值的性质，A的特征值只能是0或1。
设A的特征值1的个数为r，那么0的个数为n-r，由于特征值的个数等于矩阵的秩，所以A的秩为r。
又因为迹等于特征值之和，所以A的迹为r×1+(n-r)×0=r。
3. 幂等矩阵具有不变子空间。
设A是一个幂等矩阵，对于任意非零向量x，由A^2x=Ax可知Ax在不变子空间中。
不变子空间是线性代数中一个重要的概念，表示矩阵作用下保持不变的向量组成的空间。
幂等矩阵的不变子空间是其所有特征值为1对应的特征向量张成的空间。
二、幂等算子的定义和性质幂等算子是指线性变换与自身复合后仍然保持不变的线性变换。
可以看出，幂等算子的定义与幂等矩阵的定义是相似的。
幂等算子的定义如下：对于一个向量空间V上的线性变换T，如果满足T^2=T，那么T就是一个幂等算子。
幂等算子也有一些类似于幂等矩阵的性质：1. 幂等算子的特征值只能是0或1。
与幂等矩阵类似，设T是一个幂等算子，λ是T的特征值，那么有T^2v=Tv=λv。
正交、正定、幂等矩阵
x ( x1 , x2 , , xn ) T R n ，均有 x T Ax 0
则称对称方阵 A 是正定的.[9] 正定的实对称矩阵简称为正定矩阵. 由定义 2.1 以及二次型的有关概念我们立即得到判定正定矩阵的几个充要条件， 并以定 理的形式给出来： 定理 2.1 设 n 级实对称矩阵 A 是正定的当且仅当下列任何一个结论成立： （1） A 的正惯性指数等于 n ； （2） A 合同于单位矩阵； （3） A 的合同标准型中主对角线元素全大于 0 ； （4） A 的特征值全大于 0 ； （5） A 的所有顺序主子式全大于 0 ； （6） A 的所有主子式全大于 0 .
AAT I
那么称 A 是正交矩阵. 从定义 1.1 立即得出： 定理 1.1 实数域上的 n 级矩阵 A 是正交矩阵等价于下面的三条结论中的任意一条： （1） AAT I （2） A 非奇异，并且 A1 AT ； （3） AT A I . 同时，正交矩阵还有如下的性质： （1） I 是正交矩阵； （2）如果 A 和 B 都是正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵； （3）如果 A 是正交矩阵，则 A （即 A ）也是正交矩阵；
（1） A 为正交矩阵当且仅当 A 的行向量组满足
1 , as i j , γi γT j 0 , as i j ;
（2） A 为正交矩阵当且仅当 A 的列向量组满足
1 , as i j , αiT αj 0 , as i j ;
定理 1.3 设实数域上的 n 级矩阵 A 是对称阵， T 是 n 级正交矩阵，那么 T AT 是实
正交、正定、幂等矩阵性质总结——马 鹏
正交、正定、幂等矩阵
矩阵理论在现代统计分析中有着广泛的应用， 成为统计学中不可或缺的工具， 同时统计 学中又提出了许多新的有关矩阵论的课题， 刺激了矩阵论的发展。 本文将对统计学中最常见 的三种特殊矩阵——正交矩阵、正定矩阵、幂等矩阵的性质及其应用进行总结[1]。
幂等矩阵的概念及性质
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收稿日期： %&&’ 0&" 0!$ 作者简介： 肖润梅 （!">’—） ， 女， 山西怀仁人， 讲师# 研究
向： 高等
幂等变换和幂等矩阵的性质
幂等变换和幂等矩阵的性质中文摘要:本文在已有文献资料的基础上，对幂等变换和幂等矩阵的性质作了归纳。
关键词:幂等变换，幂等矩阵，性质正文:（一）定义及说明定义1.设σ是数域P 上线性空间V 上的线性变换，且2σσ=，则称σ为V 上的幂等变换。
定义2.设A 是数域P 上的n 级方阵，若2A A =，则称A 为V 上的幂等矩阵。
因为数域P 上n 维线性空间V 的全部线性变换组成的集合()()n L V P 对于线性变换的加法和数量乘法构成的P 上的线性空间与数域P 上的n 级方阵构成的线性空间n n P ⨯同构，即()()n n n L V P P ⨯≅。
所以幂等变换σ对应于幂等矩阵A ,2A A =.（二）幂等变换的一个性质及其推广[1]定理1.设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换，且2σσ=，则有（1）()Ker σ={}()|V ξσξξ-∈,Im()σ={}()|V ξσξξ=∈（2）()Im()V Ker σσ=⊕（3）若τ是V 的一个线性变换，则()Ker σ和Im()σ都在τ之下不变的充要条件是σττσ=将幂等变换的定义加以推广：设σ是数域P 上线性空间V 上的线性变换，且n σσ=，则称σ为V 上的幂等变换。
对于满足n σσ=的线性变换有类似性质定理2. 设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换，且n σσ=（2n ≥），则有（1）()Ker σ={}1()|n V ξσξξ--∈，Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈（2）()Im()V Ker σσ=⊕（3）若τ是V 的一个线性变换，则()Ker σ和Im()σ都在τ之下不变的充要条件是11n n σττσ--=证明：已知n σσ=（1）：(),()0Ker ασσα∀∈=即122()(())(0)0n n n σσσσασ---⇒===1()n αααα-∴=-∈{}1()|n V ξσξξ--∈因此()Ker σ⊆{}1()|n V ξσξξ--∈反之，1()n ασα-∀-∈{}1()|n V ξσξξ--∈， 由1(())()()()()0n n σασασασασασα--=-=-=⇒1()n ασα--∈()Ker σ因此{}1()|n V ξσξξ--∈⊆()Ker σ从而()Ker σ={}1()|n V ξσξξ--∈Im(),,V ασβασβ∀∈∃∈=使得（）11,()(())()()n n n n σσσασσβσβσβα--=∴====α∴∈{}1()|n V ξσξξ-=∈因此Im()σ⊆{}1()|n V ξσξξ-=∈反之，{}11()()|,n n V V ασαξσξξα--∀=∈=∈∈，有 2(())Im()n ασσασ-=∈因此{}1()|n V ξσξξ-=∈⊆Im()σ从而Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈（2）：由（1），,V ααασασα∀∈∈n-1n-1有=(-())+()()Ker σ+Im()σV ∴⊆()Ker σ+Im()σ从而V =()Ker σ+Im()σ又设β∀∈()Ker σIm()σ由β∈()Ker σ()0σβ⇒=又由β∈Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈122()(())(0)0n n n βσβσσβσ---⇒====即()Ker σIm()σ={}0∴()Im()V Ker σσ=⊕（3）：""⇒假设()Ker σ，Im()σ都在τ之下不变V α∀∈，由（2），存在唯一的β∈()Ker σ，唯一的γ∈Im()σ，使得αβγ=+ 则由假设，()τβ∈()Ker σ，()τγ∈Im()σ122()((()))(0)0n n n στβσστβσ---∴===，11()(())()n n στγστγτγ--==（由（1）） 111()()()0()()n n n σταστβστγτγτγ---⇒=+=+=又122()(())(0)0n n n σβσσβσ---===，1()n σγγ-=（由（1））1111()()(())(())n n n n τσατσβγτσβτσγ----⇒=+=+(0)()()ττγτγ=+=11()()n n στατσα--∴=由α的任意性，11n n σττσ--=""⇐若11n n σττσ--=，α∀∈()Ker σ即()0σα=，且由（1），V β∃∈使得1()n αβσβ-=- 1(())(())n σταστβσβ-⇒=- =11()()()()()()n n n στβστσβστβσστβστβστβ---=-=-=()()στβστβ-=0 ∴()τα∈()Ker σ即()Ker σ在τ之下保持不变Im()ασ∀∈，由（1），1()n ασα-= 11(())(())()n n στατσατα--∴==即1(())()n στατα-=由（1），Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈ ∴()τα∈Im()σ即Im()σ也在τ之下保持不变 证毕定理1是定理2当n=2时的情形，当然也成立。
幂等矩阵的性质及其推广
㊀[收稿日期]２０１９Ｇ０５Ｇ２１;㊀[修改日期]２０１９Ｇ１０Ｇ１５㊀[基金项目]国家自然科学基金项目(１１７０１３０６);宁夏高等学校科学技术研究项目(N G Y ２０１８Ｇ１０９);宁夏师范学院本科教学项目(N J ２０１９３９)㊀[作者简介]冯福存(１９７７－),女,硕士,副教授,从事矩阵理论及其应用研究．E m a i l :n x f f c ＠１６３．c o m第３６卷第１期大㊀学㊀数㊀学V o l ．３６,ɴ．１２０２０年２月C O L L E G E MA T H E MA T I C S F e b ．２０２０幂等矩阵的性质及其推广冯福存,㊀常莉红(宁夏师范学院数学与计算机科学学院,宁夏固原７５６０００)㊀㊀[摘㊀要]首先对幂等矩阵的简单性质进行了归纳总结,接着论证了幂等矩阵的等价条件及其特征值的取值范围,并讨论了幂等矩阵与实对称矩阵的关系㊁幂等矩阵与其伴随矩阵的特征值和特征向量的对应关系及幂等矩阵在群逆中的一个性质．最后讨论了幂等矩阵的两种分解形式．[关键词]幂等矩阵;特征值;实对称矩阵;矩阵分解[中图分类号]O １５１．２１㊀㊀[文献标识码]C ㊀㊀[文章编号]１６７２Ｇ１４５４(２０２０)０１Ｇ００９０Ｇ０５１㊀引㊀㊀言幂等矩阵是一类常见的比较特殊的矩阵,在矩阵理论中具有重要的地位和作用,它的很多优良的性质,对解决矩阵问题大有益处．幂等矩阵及其相关性质具有鲜明的背景㊁丰富的理论,在概率统计㊁模糊数学及信息与计算科学等领域都有重要应用．由于幂等矩阵自身的特殊性,其相关性质和内容的讨论至今仍然是一个热点．但是在通常的高等代数的教材中关于幂等矩阵的讨论是比较少的,因此,在前人已有的研究基础[１－３]上对幂等矩阵的性质做了一些有益的补充和推广．２㊀基本性质定义１[１]㊀设A 是n 阶矩阵,如果A ２＝A ,则称A 为幂等矩阵．由定义１和文献[４]可知λ２－λ＝０为幂等矩阵的一个零化多项式,从而幂等矩阵的最小多项式m λ＝λ或m λ＝λ－１或m λ＝λ(λ－１),由最小多项式和特征值的关系可得:性质１[３]㊀幂等矩阵的特征值只能为０或１．由幂等矩阵的定义简单验证可得:性质２[３]㊀如果A 是幂等矩阵,则A T ,A k ,E －A 均为幂等矩阵．性质３㊀如果A 为可逆的幂等矩阵,则A －１也为可逆的幂等矩阵．证㊀由A 可逆,可得A ʂ０,A －１＝１Aʂ０,即A －１也可逆．由幂等矩阵的定义得(A －１)２＝(A２)－１＝A －１．其实,不妨设A 的逆矩阵为A －１,对A ２＝A 的两边同时左乘A －１,可得A ＝E ．即可逆的幂等矩阵是单位矩阵．性质４㊀A 和B 是幂等矩阵的充要条件是T ＝A O O B æèççöø÷÷是幂等矩阵．证T ２＝A O O B æèççöø÷÷A O O B æèççöø÷÷＝A ２O O B ２æèççöø÷÷．则T ２＝T 当且仅当A ２＝A ,B ２＝B ．性质２和性质３从矩阵的运算出发推出幂等矩阵的一些简单性质．可以类似的推理,易证如果A ,B 是幂等矩阵,但λA (λʂ０,１),A ＋B ,A B 一般不再是幂等矩阵．幂等矩阵还具有那些重要性质和特征呢?幂等矩阵A 的伴随矩阵A ∗是否也是幂等矩阵?下文做一些推导．３㊀幂等矩阵性质的拓广幂等矩阵的特征值只能是０或１,不能由此认为特征值皆是０或１的矩阵是幂等矩阵,可见下例．例１A ＝１１１０１１０００æèççççöø÷÷÷÷,求A 的特征值,并判断A 是否为幂等矩阵．解㊀λE －A ＝(λ－１)２λ,得A 的特征值为λ１＝１,λ２＝０,但是A ２＝１２２０１１０００æèççççöø÷÷÷÷ʂA ．为了让特征值皆为０或１的矩阵是幂等矩阵,需加强条件,可得如下结论:定理１㊀特征值皆为０或１的矩阵A 是幂等矩阵的充分必要条件是A 可对角化．证㊀充分性．A 可对角化,则存在可逆矩阵P ,使得P －１A P ＝B ,其中B 为主对角线元素皆为０或１的对角阵,故B ２＝B ,且A ２＝(P B P －１)２＝P B ２P －１＝P B P －１＝A ．即A 是幂等矩阵．必要性．A 是幂等矩阵,则A 的特征多项式为f (λ)＝λ(λ－１),又m λf (λ),说明A 的初等因子都是一次的,所以A 的J o r d a n 标准形为对角矩阵,从而A 可对角化．由定理１的证明可知幂等矩阵相似于对角矩阵,而相似矩阵有相同的秩和迹,又幂等矩阵特征值只能为０或１,则对角阵中１的个数就等于所有１的和．另外实对称矩阵一定能对角化,从而可进一步得如下结论:推论１㊀若A 是n 阶幂等矩阵,则r (A )＝t r (A )．推论２㊀特征值皆为０或１的实对称矩阵是幂等矩阵．推论３㊀n 阶幂等矩阵按相似关系分类只需按其特征值１的个数r (０ɤr ɤn )分类．共有n ＋１类．注㊀由定理１及其推论,需要注意的是幂等矩阵不一定是对称矩阵．例如,不妨设a ＝a １,a ２, ,a n ()T ,b ＝b １,b ２, ,b n ()T ,则当b T a ＝１时,A ＝a b T 是幂等矩阵,这是因为A ２＝(a b T )(a b T )＝a (b T a )b T ＝a b T ＝A ,但是A T ＝(a b T )T ＝b a T ʂa b T ＝A ．只有当a ＝b 时或a ,b 中有一个是零向量时A T ＝A 才成立．定理２㊀n 阶矩阵A 是幂等矩阵的充要条件是r (A )＋r (E －A )＝n ．证㊀必要性．如果A 是幂等矩阵,则E －A 也是幂等矩阵,由推论１可知r (A )＋r (E －A )＝t r (A )＋t r (E －A )＝t r (A ＋E －A )＝t r (E )＝n ．充分性．设A 有r 个非零特征值,由A 的J o r d a n 矩阵知r (A )ȡr ．因为E －A 有n －r 个特征值为１和r 个其它特征值,故E －A 至少有n －r 个非零特征值,所以r (E －A )ȡn －r ．又因为r (A )＋r (E －A )＝n ,１９第１期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀冯福存,等:幂等矩阵的性质及其推广故有r (A )＝r ,r (E －A )＝n －r ．设A 的J o r d a n 矩阵为T －１A T ＝J １O O J ０æèççöø÷÷(１)其中J １的主对角线元素恰好是A 的r 个非零特征值,J ０有n －r 个特征值为０．因为r (J １)＝r ,r (J １)＋r (J ０)＝r (A )＝r ,所以r (J ０)＝０,因此J ０＝O ．由(１)式可得E －A 的J o r d a n 矩阵为T －１(E －A )T ＝E r －J １O O E n －r －J ０æèççöø÷÷＝E r －J １O O E n －r æèççöø÷÷．因为r (E －A )＝n －r ,所以r (E r －J １)＝０,因此J １＝E r ．于是A (E －A )＝T E r O O O æèççöø÷÷T －１T O O O E n －r æèççöø÷÷T －１＝O ．即A ２＝A ．定理３㊀设A 为n 阶幂等矩阵,则其伴随矩阵A ∗也是幂等矩阵．证㊀因为A ∗依据A 的秩,分３种情况讨论．(i )A 为n 阶可逆矩阵．由性质２可知A ∗＝E ,显然为幂等矩阵．(i i )r (A )＝n －１．此时A ＝０,㊀A A ∗＝A ∗A ＝A E ＝O ,将A 按列分块,不妨设A ＝(α１,α２, ,αn ),则α１,α２, ,αn 是矩阵方程A ∗X ＝O 的解,不妨设αi １,αi ２, ,αi n －１是α１,α２, ,αn 的极大线性无关组,则A ∗αi k ＝０αi k (k ＝１,２, ．n －１),说明０是A ∗的n －１重特征根．又r (A ∗)＝１,则A ∗存在一个非零特征值,不妨设为λ,设该特征值所对应的特征向量为β,即A ∗(β)＝λβ,(２)又A ∗２(β)＝A ∗(λβ)＝λ２β,(３)(３)式减去(２)式,可得(A ∗２－A ∗)(β)＝λ(λ－１)β,(４)将(４)式两边左乘A 得A (A ∗２－A ∗)(β)＝０＝０β．可知A ∗的特征值只能为０或１,故λ＝１．则αi １,αi ２, ,αi n －１,β线性无关,且是对应于特征值０和１的特征向量,令P ＝(αi １,αi ２, ,αi n －１,β),则P －１A ∗P ＝O n －１００１æèççöø÷÷．得A ∗＝P O n －１００１æèççöø÷÷P －１,易得A ∗２＝A ∗,故A ∗是幂等矩阵．(Ⅲ)r (A )ɤn －２．由文献[５]可知此时A ∗＝O ,显然为幂等矩阵．在定理３第(i i )部分证明的过程中,(２)式两边左乘A 可得λA β＝０,因为λʂ０,所以A β＝０＝０β,说明β是A 的属于特征值０的特征向量．由此可得:推论４㊀若n 阶幂等矩阵A 的秩为n －１,则A 的属于特征值０的特征向量是其伴随矩阵A ∗的属于特征值１的特征向量;A 的属于特征值１的特征向量是其伴随矩阵A ∗的属于特征值０的特征向量．定义２[６]㊀设A ɪℂn ˑn ,若存在矩阵X ɪℂn ˑn ,使得A X A ＝A ,㊀X A X ＝X ,㊀A X ＝X A 成立,则称A 群可逆,X 为A 的群逆,记为A g ．定理４[７]㊀方阵A 是群逆阵的充分必要条件是r (A ２)＝r (A )．２９大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３６卷定理５㊀幂等矩阵的群逆是存在的,并且等于它本身．证㊀设幂等矩阵为A ,则A ２＝A ,由定理４可知A 的群逆存在．利用群逆定义A X ＝X A 和A X A ＝A 可得A X ＝A ,又X A X ＝X ,可得X A ＝X ,故X ＝A ．４㊀幂等矩阵的分解矩阵的分解是矩阵理论中的一个重要课题,文[８]中总结了在向量组的正交化过程中,可得任意可逆的n 阶实矩阵M 都可以分解为一个正交矩阵Q 和一个上三角矩阵R 的乘积:M ＝Q R ．文[９]中得出任意n 阶矩阵A 都可以分解成一个可逆阵与一个幂等矩阵的乘积．受此启发,给出了幂等矩阵的两种分解形式,进一步加强了幂等矩阵与实对称矩阵及满秩矩阵的联系,增强了幂等矩阵的应用背景．定理６㊀设A 是实幂等矩阵,则A 可分解为两个实对称矩阵的乘积．证㊀由性质１和定理１可知,存在可逆矩阵T ,使得T －１A T ＝E r O O O æèççöø÷÷,故A ＝T E r O O O æèççöø÷÷T －１＝T E r O O O æèççöø÷÷T T (T T )－１T －１＝S １S ２,(５)其中S １＝T E r O O O æèççöø÷÷T T ,㊀S ２＝(T T )－１T －１＝(T －１)T T －１．显然,S １和S ２都是实对称矩阵．如果将(５)式如下分解A ＝T E r O O O æèççöø÷÷T －１＝T E r O æèççöø÷÷E r O ()T －１＝B C ．其中B ＝T E r O æèççöø÷÷,㊀C ＝E r O ()T －１．则可得幂等矩阵的满秩分解的结论:定理７㊀任一秩为r 的n 阶幂等矩阵A 可分解成A ＝B C ,其中B 为秩为r 的列满秩矩阵,C 为秩为r 的行满秩矩阵,且C B ＝E r ．一般的,对秩为r 的n 阶低秩矩阵A 进行满秩分解A ＝H L ,可得L H 是满秩矩阵,当r 较小时,利用特征多项式的降阶公式[１０]能给计算带来很大的方便．定理７告诉我们对与低秩的幂等矩阵A 进行满秩分解A ＝B C ,则C B ＝E r ,由降阶公式可得幂等矩阵的特征值只能为０或１．另外,结合定理１的推论２可得,对秩为r 的n 阶低秩矩阵A 进行满秩分解A ＝H L ,若L H ＝E r ,且A 为对称矩阵,则A 为幂等矩阵．５结㊀㊀论主要论证了幂等矩阵的等价条件及其特征值的取值范围,并讨论了幂等矩阵与实对称矩阵的关系,得到了秩为n －１的n 阶幂等矩阵与其伴随矩阵的特征值和特征向量的对应关系及幂等矩阵在群逆中的一个性质．最后给出了将幂等矩阵分解为两个对称矩阵的乘积及将幂等矩阵进行满秩分解的方法．[参㊀考㊀文㊀献][１]㊀龚和林,舒情．关于幂等矩阵秩的一个命题的证明和推广[J ]．大学数学,２００９,２５(６):１２６－１２９．３９第１期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀冯福存,等:幂等矩阵的性质及其推广４９大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３６卷[２]㊀左可正．每个矩阵都能表成两个秩幂等矩阵之和[J]．湖北师范学院学报(自然科学版),２００８,２８(４):１９－２１．[３]㊀张慧．对幂等矩阵的研究[J]．陕西科技大学学报,２０１２,３０(６):１３９－１４２．[４]㊀冯福存．矩阵的最小多项式的求解及其应用[J]．宁夏师范学院学报,２０１７,３８(６):２８－３２．[５]㊀北京大学数学系代数与几何教研室前代数小组．高等代数[M]．３版．北京:高等教育出版社,２００５:１７３－２０３．[６]㊀武玲玲．幂等矩阵线性组合群逆的研究[D]．南宁:广西民族大学,２０１１:２－３．[７]㊀M e y e rC D．M a t r i xa n a l y s i sa n da p p l i e dl i n e a ra l g e b r a[M]．P h i l a d e l p h i a:S o c i e t y f o rI n d u s t r i a la n d A p p l i e d M a t h e m a t i c s(S I AM)２０００．[８]㊀董庆华,王成伟．幂等矩阵的相似标准型与分解形式[J]．大庆师范学院学报,２０１０,３０(６):４３－４５．[９]㊀刘小川,何美．幂等矩阵与秩幂等矩阵的充要条件[J]．山西大同大学学报,２０１１,２７(１):９－１１．[１０]㊀张跃辉．矩阵理论与应用[M]．北京:科学出版社,２０１１:８９－９３．P r o p e r t i e s a n dG e n e r a l i z a t i o no f I d e m p o t e n tM a t r i xF E N GF uＧc u n,㊀C HA N GL iＧh o n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n dC o m p u t e r S c i e n c e,N i n g x i aN o r m a lU n i v e r s i t y,G u y u a nN i n g x i a７５６０００,C h i n a)A b s t r a c t:F i r s t l y,t h e s i m p l e p r o p e r t i e so f i d e m p o t e n tm a t r i c e sa r es u m m a r i z e d,t h e nt h ee q u i v a l e n c ec o n d i t i o n so f i d e m p o t e n tm a t r i c e s a n d t h e r a n g e o f t h e i r e i g e n v a l u e s a r e p r o v e d,a n d t h e r e l a t i o n s b e t w e e n i d e m p o t e n tm a t r i c e s a n d r e a l s y m m e t r i cm a t r i c e s,t h e c o r r e s p o n d i n g r e l a t i o n sb e t w e e n i d e m p o t e n tm a t r i c e s a n de i g e n v e c t o r so f t h e i r a d j o i n tm a t r i c e s, a n dt h e p r o p e r t i e s o fi d e m p o t e n t m a t r i c e si n g r o u p i n v e r s e s a r e d i s c u s s e d．F i n a l l y,t w o d e c o m p o s i t i o n f o r m s o f i d e m p o t e n tm a t r i c e s a r e d i s c u s s e d．K e y w o r d s:i d e m p o t e n tm a t r i x;e i g e n v a l u e s;r e a l s y m m e t r i cm a t r i x;m a t r i xd e c o m p o s i t i o n。
幂等矩阵、对角矩阵与正交矩阵性质
幂等矩阵、对角矩阵与正交矩阵性质引言矩阵理论在数学和应用领域中扮演着重要角色。
在矩阵理论中，幂等矩阵、对角矩阵和正交矩阵是三个重要的矩阵类型，它们具有独特的性质和应用。
本文将详细介绍这三个类型矩阵的性质，并举例说明它们在实际问题中的应用。
幂等矩阵幂等矩阵是指一个矩阵与自身相乘等于其自身的矩阵。
具体而言，对于一个 nx n 的矩阵 A，如果 A^2 = A，则称 A 为幂等矩阵。
幂等矩阵有几个重要的性质：1.幂等矩阵的平方等于它本身：A^2 = A2.幂等矩阵的特征值只能是 0 或 1。
假设 A 是幂等矩阵，它对应的特征值λ 满足方程Av = λv，其中 v 是 A 的特征向量。
将该方程代入定义式 A^2 = A，可以得到 (A - λI)A = A(A - λI) = 0，其中 I 是单位矩阵。
由于 A^2 = A，所以A(A - λI) = 0，进一步可以推出 A(A - λI)v = 0，即 (A - λI)v = 0，也就是说特征值λ 对应的特征向量 v 是 A - λI 的零空间中的向量。
因此，A 的特征值只能是0 或 1。
幂等矩阵在实际问题中有许多应用。
例如，在图论中，邻接矩阵的幂等性被用于描述图的可达性。
在线性代数中，幂等矩阵可以用于描述投影变换。
此外，在编程中，幂等性被广泛应用于设计具有幂等性质的算法和系统，以确保操作的一致性和可重复性。
对角矩阵对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其余元素都为零的矩阵。
具体而言，对于一个 n x n 的矩阵 A，如果当i ≠ j 时 Aij = 0，则称 A 为对角矩阵。
对角矩阵有几个重要的性质：1.对角矩阵的逆矩阵存在当且仅当主对角线上的元素都非零。
如果对角矩阵的主对角线上存在零元素，则对角矩阵是奇异的，无法求逆。
2.对角矩阵的特征值就是其主对角线上的元素。
对角矩阵在线性代数和应用数学中具有广泛的应用。
在求解线性方程组时，对角矩阵具有良好的性质，可以简化计算过程。
矩阵幂次方计算
矩阵幂次方计算矩阵幂次方计算是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将从定义、性质、计算方法等方面进行介绍。
一、定义矩阵幂次方是指将一个矩阵连乘多次的结果，其中幂次方为正整数。
设矩阵A为n阶方阵，则A的k次幂为A的k-1次幂与A的乘积，即A^k=A^(k-1)×A，其中A^0为单位矩阵。
二、性质1. 矩阵幂次方具有结合律，即(A^k)^m=A^(k×m)。
2. 矩阵幂次方不满足交换律，即A^k×A^m≠A^m×A^k。
3. 矩阵幂次方具有分配律，即(A+B)^k=Σ(C(k,i)×A^i×B^(k-i))，其中C(k,i)为组合数。
4. 矩阵幂次方具有幂等性，即A^k×A^k=A^(2k)。
三、计算方法1. 直接计算法直接计算法是指按照定义进行计算，即将矩阵连乘k次。
这种方法的时间复杂度为O(n^3×k)，效率较低，适用于矩阵较小的情况。
2. 分治法分治法是指将矩阵分成若干个子矩阵，然后对子矩阵进行幂次方计算，最后将子矩阵的结果合并得到原矩阵的幂次方。
这种方法的时间复杂度为O(n^3×logk)，效率较高，适用于矩阵较大的情况。
3. 矩阵快速幂法矩阵快速幂法是指将幂次方k转化为二进制形式，然后按照二进制位进行计算。
具体地，设矩阵A为n阶方阵，k的二进制表示为b1b2...bm，则A^k=A^(b1×2^0+b2×2^1+...+bm×2^(m-1))=A^(2^0×b1)×A^(2^1×b2)×...×A^(2^(m-1)×bm)。
这种方法的时间复杂度为O(n^3×logk)，效率最高，适用于矩阵较大的情况。
四、应用矩阵幂次方计算在许多领域中都有广泛的应用，如图像处理、信号处理、机器学习等。
幂等矩阵的行列式
幂等矩阵的行列式什么是幂等矩阵？在线性代数中，幂等矩阵是指满足以下条件的方阵：1.矩阵的平方等于它自身，即 A^2 = A；2.矩阵的行列式为 0 或 1。
简单来说，幂等矩阵就是一个方阵，它自己乘以自己得到的结果还是它自己，并且其行列式值为 0 或 1。
幂等矩阵的性质幂等矩阵具有一些特殊的性质和特点，下面我们将介绍其中一些重要的性质。
性质一：幂等矩阵的特征值对于任意一个幂等矩阵 A，其特征值只能为 0 或 1。
这是因为根据定义可知，A自己乘以自己得到 A，即有 A^2 = A。
假设λ 是 A 的一个特征值，则存在非零向量 x 使得Ax = λx。
将这个式子两边同时乘以 A，则有：A(Ax) = λ(Ax) A^2x = λAx Ax = λAx由于 x 非零，所以Ax ≠ 0。
而根据定义可知Ax = λx。
因此，λ 只能等于 0 或 1。
性质二：幂等矩阵的秩幂等矩阵的秩等于其迹（trace）的值。
迹是指矩阵主对角线上元素的和。
证明如下：设 A 是一个 n 阶幂等矩阵，其迹为 tr(A)。
我们知道，一个方阵的迹等于其特征值之和。
根据性质一可知，A 的特征值只能为 0 或 1。
假设 A 中特征值为 1 的个数为 r，则特征值为 0 的个数为 n-r。
因此，tr(A) = r * 1 + (n-r) * 0 = r又因为 A 是幂等矩阵，所以 A^2 = A。
对两边同时取迹，则有 tr(A^2) = tr(A)。
由于 A^2 = A，则有 (A2)T = A^T。
其中 ^T 表示转置操作。
再次利用迹的性质 tr(AB) = tr(BA)，可得 tr(A^TA) = tr((A T)TA^T)由于 (A T)TA^T = AA，则有 tr(AA) = tr(A)综上所述，tr(AA) = tr(A)，即幂等矩阵的秩等于其迹的值。
性质三：幂等矩阵的幂等分解任意一个幂等矩阵 A 都可以进行幂等分解，即可以表示为两个幂等矩阵的乘积。
幂等矩阵的性质及应用
幂等矩阵的性质及应用
任芳国;和嘉琪
【期刊名称】《数学学习与研究》
【年(卷),期】2022()22
【摘要】幂等矩阵是高等(线性)代数中的一类重要的特殊矩阵,它具有良好的性质,
在高等(线性)代数中占有非常重要的地位.本文利用矩阵的值域、矩阵的秩、矩阵相似关系及线性空间理论,讨论了幂等矩阵基本性质及等价刻画,给出了幂等矩阵的和、差、积仍为幂等矩阵的充分必要条件,旨在促进学生提高学习高等(线性)代数的能力.【总页数】3页(P143-145)
【作者】任芳国;和嘉琪
【作者单位】陕西师范大学数学与统计学院
【正文语种】中文
【中图分类】O15
【相关文献】
1.幂等矩阵与幂等变换性质的探讨
2.幂等矩阵的性质及应用
3.数量三幂等矩阵与广义二次矩阵的相关性质
4.幂等矩阵的性质及其应用
5.实幂等矩阵的和矩阵性质
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幂等矩阵的性质及应用
JIU JIANG UNIVERSITY毕业论文（设计）题目幂等矩阵的性质及应用英文题目Properties and Applicationof Idempotent Matrix 院系理学院专业数学与应用数学姓名邱望华年级 A0411指导教师王侃民二零零八年五月幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。
本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。
首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质。
[关键词] 幂等矩阵，性质，幂等性，线性组合The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix . This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix . Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices.[Key Words] the idempotent, the nature, the idempotence,linear combination符号表R 实数域n R 实数域n 维列向量空间 n n R ⨯ 实数域上的n ×n 阶矩阵 C 复数域n C 复数域n 维列向量空间 n n C ⨯ 复数域上的n ×n 阶矩阵 A ' 矩阵A 的转置*A 矩阵A 的伴随1A - 矩阵A 的逆det()A 矩阵A 的行列式 rank()A 矩阵A 的秩()N A 矩阵A 的核空间，即}{()0,n N A x P Ax P =∈=是一个数域()R A 矩阵A 的值域，即}{(),n R A Ax x P P =∈是一个数域 dim V 线性空间V 的维数1T - 线性变换T 的逆变换 TV T 的值域,即TV ={}T V ξξ∈1(0)T - T 的核,即{}1(0)0,T T V ξξξ-==∈目录第一章预备知识 (1)1.1幂等矩阵的概念及刻划 (1)1.2幂等矩阵的一些简单性质 (3)第二章相关的重要结论 (7)2.1幂等矩阵的等价条件 (7)2.2幂等变换 (14)2.3幂等矩阵线性组合的幂等性 (17)2.4幂等矩阵线性组合的可逆性 (23)2.5幂等矩阵的秩方面的有关性质 (26)结束语 (29)参考文献 (30)第一章 预备知识1.1 幂等矩阵的概念及刻划定义1[1].对n 阶方阵A ,若2A A =,则称A 为幂等矩阵.为了对一般幂等矩阵作出刻划,下面先对二阶幂等矩阵讨论,再推广到一般幂等矩阵.命题1.若A 是幂等矩阵,则与A 相似的任意矩阵是幂等矩阵. 证明：若A 相似于B (记作~A B ),则有同阶可逆矩阵P ,使B =1p -A P [1],从而2B =1p -A P ·1p -A P =1p -2A P =1p -A P =B . ▌命题2.若A 是对角分块矩阵，设A =12r A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 则A 是幂等矩阵⇔i A (1,2,,)i r = 均是幂等矩阵.由于每个n 级复数域矩阵A 都与一个若尔当矩阵相似[1]，据命题1和命题2知， 我们只需要讨论若尔当块的幂等性.若A 是一个2阶复数域矩阵,则A 的若尔当标准型有两种可能的形式:第一种: 10λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭,但它不是幂等矩阵.否则有210λ⎛⎫ ⎪λ⎝⎭=10λ⎛⎫⎪λ⎝⎭,有,212λ=λλ=.矛盾.第二种: 0012λ⎛⎫⎪λ⎝⎭ ,由20001122λλ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪λλ⎝⎭⎝⎭,有221122,λ=λλ=λ,从而有01λ=或1,20λ=或 1.于是该情况有四种可能的形式:0000⎛⎫ ⎪⎝⎭,1000⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,1001⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,0001⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)据命题1,于是得到:定理1[19]. A 是二阶幂等矩阵,则A 是零矩阵或单位矩阵或形如1ab c a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭.证明: 由以上讨论知A 相似于(1)式中的四个矩阵之一1若A ～0000⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,显然有 A =0000⎛⎫ ⎪⎝⎭02若A ～1001⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,显然有 A =1001⎛⎫⎪⎝⎭3若A ～1000⎛⎫⎪⎝⎭ ,则有可逆矩阵P =1234λλλλ⎛⎫⎪⎝⎭，1423(,P )λλλλ≠因为可逆 使A =14121423142313423142314231000a b P P c d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-⎛⎫-⎪--⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-⎪--⎝⎭则有 1d a =- .即 A 1ab c a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ .对剩余的一种与此有同样的结果. ▌设112,1n n J λλλλ⎛⎫⎪⎪⎪≥= ⎪ ⎪⎪⎝⎭，由2n n J J = ，有2,21,λλλ==这是不可能的.于是有:命题3.当2n ≥时,n 阶若尔当块n J 不具有幂等性.即2n n J J ≠.因此,若A 是幂等矩阵，则A 的若尔当标准型如下：1200000n r J λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭据命题1即有2n n J J =⇒2,1,2,,i i i r λλ== .于是0i λ= 或1.于是我们得到如下定理:定理2. A 是n 阶幂等矩阵，当且仅当存在n 阶可逆矩阵P ，使 得1A PJP -=.其中J 是主对角线上元素为0或1的对角矩阵. ▌1.2 幂等矩阵的一些简单性质性质1.方阵零矩阵和单位矩阵E 是幂等矩阵. 性质2.方阵A 是幂等矩阵，且A 可逆，则A E =. 因为2A A =,则121A A A A A E --===. ▌据此易知:可逆幂等矩阵的逆矩阵是幂等矩阵.即1A -(如果存在的话)是幂等 矩阵.因为1A E A E -=⇒=.性质3.若A 是实幂等矩阵，则*,,A E A A '-都是幂等矩阵. 证明: 对A ',22()()A A A '''==. 对E A -,有22()22E A E A A E A A E A -=-+=-+=-.对*A ,先证明对任意两个幂等矩阵,A B ,有关系式 ***[2]()AB B A =.由Cauchy binet -公式有:*(,)()A i j AB B i j =矩阵的第行第列代数余子式=(1)det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})i j AB j j n i i n +--+-+=1(1){det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})ni jk A j j n k k n +=--+-+∑det()({1,,1,1,,},{1,,1,1,,})}B k k n i i n ⋅-+-+=**({},{})11.nnjk ki ki jk i j k k A B B A B A ====∑∑于是，*2*****2()()()A A AA A A A ====. ▌性质4.若A 是复数域上的幂等矩阵,则,A E A '-也是幂等矩阵. 证明:222()()()()A A AA A A '''''====.22()22E A E A A E A A E A -=-+=-+=-. ▌ 性质5.若A 是幂等矩阵,则A 的特征值只能是1或0. 即知幂等矩阵是半正定矩阵.证明:由2A A = 知2λλ= (A λ是的特征值)01λ⇒=或. ▌ 由此易知:幂等矩阵是半正定矩阵.性质6.若A 是幂等矩阵,设()ϕλ是A 的最小多项式,则()ϕλ=1λλλλ-或或（-1）从而A 可对角化,且其若尔当标准型为 000rE ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 其中r E 是r 阶单位矩阵, r 是A 的秩.证明:由于矩阵的最小多项式是该矩阵特征多项式的因式, 据性质5知()ϕλ=1λλλλ-或或（-1）.又最小多项式是互素的一次因式的乘积,故可对角化. ▌性质7[17].若A 是幂等矩阵，则()()N A R E A =-，其中}{()0n N A x C Ax =∈=}{()(),n nR E A x C x E A y y C -=∈=-∈.证明：由2A A = 有()0A E A -=，立即知E A -的n 阶列向量都是0AX =的解故有()()R E A N A -⊂又对()a N A ∀∈,有0()()Aa a Aa E A a E A a =⇒=+-=-()a R E A ⇒∈-由a 的任意性知 ()()N A R E A ⊂-. 于是有 ()()N A R E A =- . ▌ 同样地,有结论 ()()N E A R A -=.性质8.若A 是幂等矩阵,对任意实数(0,1)a a ≠,则A aE +是可逆矩阵. 证明:由2A A =有2(1)(1)A A a a E a a E --+=-+()[(1)](1)A aE A a E a a E +-+=-+.又由0,1a ≠ 有1(){[(1)]}(1)A aE A a E E a a +-+=-+故A aE +可逆,且11()[(1)](1)A aE A a E a a -+=-+-+. ▌性质9.任一秩为r 的n n ⨯幂等矩阵A 可分解成A CB =,其中C 是秩为r 的n r ⨯矩阵,且r BC E = .(其中r E 是r 阶单位矩阵)证明:由性质6知, 存在n 阶可逆矩阵P 使1000rEP AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭.则()100000r r rE E A P P P E P -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.记(),00r r E C P B E ⎛⎫== ⎪⎝⎭.显然,B C 满足要求. ▌性质10.任一幂等矩阵可写成两个实对称矩阵之积.证明:因为1100()0000r r E E A P P P P --⎛⎫⎛⎫''=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故结论成立 ▌性质11.若,A B 均为n n ⨯阶幂等矩阵,且AB BA =,则AB 与A B ''均为幂等矩阵.证明:据题意有：222()AB ABAB AABB A B AB ====.2222()[()]()()()()()A B BA BA BA BABA B A BA A B ''''''''''======.▌第二章 相关的重要结论本章按节来逐次讨论和探索幂等矩阵的多个等价条件、幂等变换、线性组合的幂等性、线性组合的可逆性、秩方面的有关性质等有关问题.2.1 幂等矩阵的等价条件经过参考多篇文献，并进行归纳和推理可以得出以下定理.定理1:设A 是n n ⨯的实矩阵,则下列命题是互相等价的:1)A 是幂等矩阵.2)A '是幂等矩阵.3)E A -是幂等矩阵.4)对任意的可逆矩阵P ,1P AP -是幂等矩阵.5)2B A E =-是对合矩阵.(满足2B E =的矩阵B 称为对合矩阵)6)()()N A R E A =-.7)()()R A N E A =-.8)rank rank()A E A n +-=.9){}()()0R A R E A -= .10){}()()0N A N E A -= .11)()()n R R A R E A =⊕-.12)()()n R N A N E A =⊕-以上给出了实幂等矩阵的几个等价条件,经过研究和分析知:对复幂等矩阵也有平行的结论.定理2:设A 是n n ⨯的复矩阵,则下列命题是互相等价的:1)A 是幂等矩阵.2)A '是幂等矩阵.3)E A -是幂等矩阵.4)对任意的可逆矩阵P ,1P AP -是幂等矩阵.5)2B A E =-是对合矩阵.(满足2B E =的矩阵B 称为对合矩阵)6)()()N A R E A =-.7)()()R A N E A =-.8)rank rank()A E A n +-=.9){}()()0R A R E A -= .10){}()()0N A N E A -= .11)()()n C R A R E A =⊕-.12)()()n C N A N E A =⊕-证明:1)⇔2) 由2A A =知22()()A A A '''==.反过来,222[()][()]()A A A A A ''''''====.1)⇔3)必要性: 在1.2节性质3中已经给出了证明.充分性:2()()E A E A -=- ⇒222E A A E A A A -+=-⇒=.1)⇔4)由2A A = 知1211121()P AP P AP P AP P A P P AP -----=⋅==.反过来,12111121()P AP P AP P AP P AP P A P P AP ------=⇒⋅==⇒ 2A A =.1)⇔5)由2A A =,有2B =2(2)A E -=244A A E E -+=.反过来,22244B E A A E E A A =⇒-+=⇒=.1)⇔6)必要性: 在1.2节性质7中已经给出了详细证明.充分性: 对,n a R ∀∈有()()()E A a R E A N A -∈-=，故()()E A a N A -∈于是有2[()]0()0A E A a A A a -=⇒-=.由a 的任意性得2A A =.1)⇔7)必要性: 由2A A =知()Aa R A ∀∈,有()0()E A Aa Aa N E A -=⇒∈-()()R A N E A ⇒⊂-.又()a N E A ∀∈-,有()0E A a -=.于是()a Aa E A a =+-()()()Aa R A N E A R A =∈⇒-⊂故有()()R A N E A =-.充分性: 对n a R ∀∈,有()()()Aa R A N E A Aa N E A ∈=-⇒∈-于是有2-=⇒-=.E A Aa A A a()()0()0由a的任意性得2A A=.1)⇔8)必要性: 由2A A=知()()=-.N A R E A于是有dim()dim()=-N A R E A即有rank rank()n A E A-=-亦即rank rank()+-=.A E A n充分性: 由rank rank()+-=易知:A E A ndim()dim()=- (*)N A R E A又对()∀∈,有a N AAa=则有-=-=.E A a a Aa a()由()()a R E A∈--∈-知()E A a R E A即有()()⊂-.N A R E A据(*)式知=-.N A R E A()()=.再由6)得2A A8)⇔9)必要性: 由rank rank()+-=.即知:A E A n+-=.dim()dim()R A R E A n又对n∀∈,有a R=+-,()a Aa E A a而(),Aa R A ∈()()E A a R E A -∈-.故 ()()n C R A R E A =+-.又dim dim ()dim ()dim[()()]n C R A R E A R A R E A =+--- n =.故有dim[()()]0R A R E A -= .于是, {}()()0R A R E A -= .充分性: 由{}()()0R A R E A -= 有dim ()dim ()R A R E A n +-=.即有rank rank()A E A n +-=.9)⇔10)必要性: 由上面的证明知由9)有6)和7),再把6)和7)代入到9),立即得到10).充分性：同理可证.9)⇔11) 这是显然的[1].10)⇔12) 这是显然的[1]. ▌定理3.设A 是秩为r 的n n ⨯矩阵.则A 是幂等矩阵⇔存在n 阶可逆矩阵P ,使1000rE P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 证明: 必要性: 在1.2节性质6中已给出了证明.充分性: 由1000rE P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭,有 1000r E A P P -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 则2111000000000rr r E E E A P P P P P P A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ▌ 以上是对二次幂等矩阵进行了一定的讨论.下面来对高次幂等矩阵进行有关的讨论.定理4.设,A B 是三次幂等矩阵,即33,A A B B ==,且满足AB BA =,A B ≠, 记C A B =+.则3()0C C AB A B =⇔+=.证明:由矩阵,A B 是幂等可交换的，于是可同时对角化[6]. 即存在可逆矩阵 P ,使得1112,P AP P BP --Λ=Λ=均为对角矩阵,而且它们对角元素分别是,A B 的特征值.从而有1112,.A P P B P P --=Λ=Λ进而112()C P P -=Λ+Λ.于是3C C =可以等价为322333,1,2,,i i i i i i i i i n λλμλμμλμ+++=+= . 其中,i i λμ分别是12,ΛΛ的对角元.又由30,1,1x x x =⇒=-知,A B 的特征值只有0,-1,1.即333,,(1,2,,)i i i i i r λλμμ===于是3C C =等价为220,(1,2,,)i i i i i r λμλμ+== .即221212O ΛΛ+ΛΛ=.因此3C C =等价为()0AB A B +=. ▌注:当2A A =,立即有32A A A ==,同样地,对k ∀,(2k ≥为正整数) k A A = 即任意的二次幂等矩阵均为k 次幂等矩阵.因此可得以下推论.推论: 设,A B 是二次幂等矩阵,且满足AB BA =,A B ≠,记C A B =+.则 2()0C C AB A B =⇒+=. ▌引理1[1].对任意两个同阶矩阵,A B ,有rank()rank()rank()A B A B +≤+. 引理2[1].设,A B 为n n ⨯矩阵,满足AB O =,则有rank rank A B n +≤. 定理5.设矩阵A 满足3,A A =且A 可逆.则2A E =且rank rank()rank()2A A E A E n +++-=.证明: 由3,A A =A 可逆,有-13-12A A A A A E ⋅=⋅⇒=()()A E A E O ⇒+-=.于是据引理2有r a n k ()r a n k ()A E A E n ++-≤ (1)又2()()E E A E A =++-据引理1有rank(2)rank[()()]n E E A E A ==++-rank()rank()E A E A ≤++-rank()rank()A E A E =++-. (2)有(1)式和(2)式有rank()rank()A E A E n ++-=.由于A 可逆知rank A n =.因此有rank rank()rank()2A A E A E n +++-=. ▌定理6.设矩阵A 满足,(2)k A A k =≥.则*,,A A A ''都是k 此幂等矩阵.证明:对A ',()()k k A A A '''==.对*,A*****()()k k k A A A A A =⋅⋅==个. 对,A '()()()k k k A A A A ''''===. ▌定理7. 设矩阵A 满足,(2)k A A k =≥.则A 的特征值为0和22cossin ,(0,1,,2)11m m m i m k k k ππε=+=--- . 证明: 由k A A =,有 k λλ=,其中λ是矩阵A 的特征值.解方程k λλ=可得220cossin ,(0,1,,2)11m m i m k k k ππλ=+=--- 以及. ▌2.2 幂等变换数域F 上n 维线性空间V 的全部线性变换组成的集合()L V 对于线性变换的加法与数量乘法构成F 上的一个线性空间，与数域F 上n 阶方阵构成的线性空间n n F ⨯同构.特别地，与幂等矩阵对应的是幂等变换.因此为了讨论和探索幂等矩阵的性质时很有必要去探索幂等变换的相关性质.定义1.设T 是线性空间V 的一个线性变换,若2T T =,则称T 是幂等变换.由于矩阵与变换间存在一一对应的关系,因此前面所提到的性质和结论可以平 移到幂等变换上来.限于篇幅,下面只举几个例子.性质1.可逆的幂等变换是恒等变换.证明:恒等变换与单位矩阵相对应.因此该性质与“可逆的幂等矩阵为单位矩 阵”一致. ▌性质2.若T 是幂等变换,则T τ-也是幂等变换.(其中τ是恒等变换) 性质3.T 是幂等变换⇔2T τ-为对合变换. 其中线性变换T 满足2T τ=,则称T 是对合变换. 性质4.T 是线性空间V 上的幂等变换,则1(0)V TV T -=⊕.▌ 我们知道:对于一般的线性变换来说,虽然1dim dim (0)dim TV T V -+=,但未必 有1(0)V TV T -=⊕.这样的例子很多. 例如:在线性空间[]n P x 中令 (())()f x f x ϕ'=.则微分变换是一线性变换[1],其 值域为1[]n P x -,其核是子空间P .它们的维数分别是1,1n -.但显然1[]n P x -+P ≠[]n P x .性质5.设T 和U 是n 维线性空间V 上的线性变换,且22,T T U U ==. 如果2()T U T U +=+,则0TU UT ==. 证明:由2()T U T U +=+,可得0TU UT +=……………………………………①对①式左乘T 得0TU TUT +=…………………………………②对①式右乘T 得0TUT UT +=……………………………………③比较②和③得 TU UT =.代入到①式得到 20TU =.于是就有 0TU UT ==. ▌ 性质6.设T ,U 是n 维线性空间上的线性变换,且22,T T U U ==. 则 1) ,TV UV TU U UT T =⇔==. 2) 11(0)(0),T U TU T UT U --=⇔==.证明:1)""⇒ 对,a V ∀∈有Ua UV TV ∈=.故,V β∃∈使Ua T β=. 从而2TUa T T Ua ββ===.因此有TU U =.同样可证得UT T =.""⇐ 据,TU U UT T ==可知,对Ta TV V ∀∈⊂,有()Ta UTa U Ta UV ==∈,故TV UV ⊂.同样可证得UV TV ⊂.于是TV UV =. 2)""⇒ 对a V ∀∈,作向量a Ta -.据11(0)(0)T U --=,有()T a Ta -20Ta T a Ta Ta =-=-=.故11(0)(0)a Ta T U ---∈=.从而有()0U a Ta -=⇒Ua UTa =⇒UT U = 同理有TU T =.""⇐ 对1(0)a T -∀∈,有0Ta =.据,TU T UT U ==,有10(0)Ua UTa a U -==⇒∈.即有11(0)(0)T U --⊂.同理可得11(0)(0)U T --⊂. 故有11(0)(0)T U --=. ▌2.3 幂等矩阵线性组合的幂等性在本节中,我们将给出两个幂等矩阵线性组合12P c A c B =+仍是幂等矩阵的一 些充分条件.引理1[15].设2,,0,0n n l A B C A A B B ⨯∈=≠=≠,l 为2≥的整数,且AB BA =. 则存在{}12,0c c C ∈-,使12P c A c B =+为幂等矩阵的充要条件是:22111211(2),c c A E B B B c c c λλ--=-+=. 证明:221212()P P c A c B c A c B =⇔+=+22222111212()c B c B c c A c c AB c c BA ⇔-=-++(令121c c λ-=) 221112(2)c B B A AB A E B c c λλ⇔-+=-=-.▌ 据引理1,下面将给出12P c A c B =+是幂等矩阵的十组充分条件.为了简化过程,先令{}00,s = {}111,l s x x x C -==∈,{}21,,s x x y z y z s ==+∈, 012s s s s = .定理1[8].设2,,0,0(2,)n n l A B C A A B B l l Z ⨯∈=≠=≠≥∈，AB BA =，{}12,0,c c C ∈-13121,,,,,i c u v s u v e a s c πλε-=∈≠=∈ 若12(,)c c 及,A B 满足下列任意一个条件，则12P c A c B =+必为幂等矩阵.(Ⅰ) ,0s λλ∈=.①.121(,)(1,)c c u=且0,()0AB B uE B =-=.证明:由0,()0AB B uE B =-=易知12()AB B uE B u-=--,又由121(,)(1,)c c u=和0λ=知(2)A E B λ-22111c B B c c =-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.②.121(,)(1,)c c u=-且()0,()0E A B B uE B -=-=.证明: 由()0,()0E A B B uE B -=-=易知2122,0AB B B B u-=-=-. 将它们相加得212AB B B u-=--. 又由121(,)(1,)c c u=-,0λ=可得22111(2)c A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.③.121(,)(1,)c c u=且()()0,()0E A B uE B AB uE B --=--=.证明: 由条件易知()(),()0B uE B AB uE B AB uE B -=--+=.将它们相加后,再乘以1u-可得212AB B B u-=-+. 又由121(,)(1,),0c c uλ==知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅱ) ,1s λλ∈=.④.121(,)(,(1)),0,1c c a a a u=-≠且()0,()0E A B A uE B -=-=.证明: 由条件易知,B AB AB uA ==.从而有22,()()B uA B uA u uA uB ====.即2B uB =.故有1121(1)1(1)a u a u B B B uB B a a a a-----+=-+=-. 结合上式有(2)22A uE B uA AB AB AB AB B -=-=-=-=-121(1)(2)a u A uE B B B a a--⇒-=-+.从而可得(2)A E B λ-22111c B B c c =-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑤.121(,)(1,)u c c v v=-,且()0,()()0A uE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A uE B -=知uA AB =,从而(2)2A uE B uA AB -=-2uA uA uA =-=-.即(2)A uE B uA -=-. 又由()()0E A B vE B --=可得2()()B vE B AB vE B vAB AB -=-=-.又因为22,()AB uA AB AB B uAB u A ====.代入上式可得:2()B vE B uvA u A -=-.即有2()B vE B A uv u -=-.结合(2)A uE B uA -=-有()(2)B vE B A uE B u v--=-.即有12111(2)11v A uE B B B uv uv----=-+--. 又由121(,)(1,)u c c v v=-知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+, 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. ⑥. 121(,)(,)v c c u v u v=---且()0,()()0E A B A uE B vE B -=--=. 证明: 由()0E A B -=知AB B =,从而(2)22A uE B uA AB uA B -=-=-又由()()0A uE B vE B --=展开得2()0AB u v AB uvA -++=. 又22,()AB B AB AB B B ===,结合上式可得2()0B u v B uvA -++=.故2()u v B B A uv+-=.代入到(2)2A uE B uA B -=-得(2)A uE B -=2()2u v B B B v+--. 即21(2)u v A uE B B B v v --=-. 又由121(,)(,)v c c u v u v=--- 可得2211(2)A E B B B c c λ-=-+. 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑦. 121(,)(,),1u c c u v v v=-+=且()0,()()0A vE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A vE B -=知()AB u v A =+.从而(()2)A u v E B +-()2()u v A AB u v A =+-=-+.又先把()()0E A B vE B --=展开可得2()0B vE B vAB AB --+=.又将()AB u v A =+及22()()()AB AB B u v AB u v A ==+=+.代入到上式可得2()()()0B vE B v u v A u v A --+++=.即有()()B vE B A u v u-=-+.代入到(()2)A u v E B +-()u v A =-+,可得21(()2)v A u v E B B B u u+-=-. 从而由121(,)(,),u c c u v v v λ=-+=知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+满足引理1故12P c A c B =+此时为幂等矩阵.⑧.12(,)(,)c c u εε=-,且2()()0,()()0.A uE B uE B E A B uE B εε--=--=证明: 由()()0A uE B uE B ε--=知 22(())0A u E u u B B εε-++=. 由2()()0E A B uE B ε--=知 222()()A uB B B uE B εε-=-. 将上面两式相加并乘以1u可得 22((1))()A uE B B uE B εεεε+--=-.又3i eπε= 满足22112,εεεε--=-=-,结合上式可得(2)A uE B ε-211B B uε=--. 从而由12(,)(,)c c uεε=-,u λε=知2211(2)A E B B B c c λ-=-+ 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅲ) 2,2s λλ∈=.⑨.1,21()(1,)c c u=-,且()0,()0A uE B B uE B -=-=.证明: 由()0,()0A uE B B uE B -=-=知1(22)0()A uE B B uE B u-==-, 即21(22)()A uE B B B u -=---从而由1,21()(1,)c c u=-,2u λ=知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+ 满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. (Ⅳ) 2,0,1,2.s λλ∈≠⑩.1,21()(,)u c c v v=-且()0,()()0A uE B E A B vE B -=--=.证明: 由()0A uE B -=知AB uA = 从而22AB uAB u A ==,(()2)A u v E B +-()2()u v A AB u v A =+-=--.又由()()0E A B vE B --=展开得()()B vE B AB vE B -=-. 据22AB uAB u A ==知22()()AB vE B vAB AB uv u A -=-=-.结合上式可得2()()uv u A B vE B -=-()()B vE B A u v u-⇒=--.代入到(()2)A u v E B +-()u v A =--可得2()1(()2)B vE B v A u v E B B B u u u-+-==-. 又由1,21()(,)u c c v v =-,u v λ=+知22111(2)c A E B B B c c λ-=-+满足引理1.故12P c A c B =+此时为幂等矩阵. ▌2.4 幂等矩阵线性组合的可逆性在本节中,我们将给出两个幂等矩阵的线性组合矩阵12c A c B +可逆的一些条件,并给出一些相关的结论.引理1[3].设矩阵A 是n n ⨯阶方阵,则A 可逆{}()0N A ⇔=. ▌定理1.设矩阵,A B 均是幂等矩阵，即22,A A B B ==.若存在两个非零复数1,2k k , 且120k k +≠使得12k A k B +可逆,则对所有的复数1,2c c ,满足120c c +≠,则线性组合12c A c B +都是可逆的.证明:设1212,,0,0c c C c c ∈≠≠且120c c +≠. 对12()x N c A c B ∀∈+,有12()0c A c B x += 即有 12c Ax c Bx =- ……………① 将上式两边依次左乘,A B ,可得:12c Ax c ABx =-,12c BAx c Bx =-. ……②比较上面三个式子可得:,Bx ABx Ax BAx ==. …………………………③又由于22212112122()k A k B k A k k AB k k BA k B +=+++,故22212112122()k A k B x k Ax k k ABx k k BAx k Bx +=+++.将,Bx ABx Ax BAx ==代入上式可得212()k A k B x +22112122k Ax k k ABx k k BAx k Bx =+++ 112212()()k k k Ax k k k Bx =+++ 1212()()k k k A k B x =++.由于12k A k B +可逆,,将上式两边左乘112()k A k B -+得121212()()k k x k A k B k Ax k Bx +=+=+, …………………④再左乘A 得:1212k Ax k Bx k Ax k ABx +=+即有Ax ABx =.代入12c Ax c ABx =-可得12()00c c Ax Ax ABx +=⇒==.注意到③式有0Bx =,因此由④式可得12()0k k x +=但120k k +≠,所以0x =因此{}12()0N c A c B +=.由引理1知12c A c B +是可逆的. ▌在定理1中令121c c ==,立即有:推论1.设矩阵,A B 均是幂等矩阵，即22,A A B B ==.若A B +可逆,则 对所有的复数1,2c c ,满足120c c +≠,线性组合12c A c B +都是可逆的. ▌ 定理2[18].设矩阵,A B 均是幂等矩阵,对任意的复数1,2c c ,下列命题等价: ⑪ A B -可逆.⑫ 12c A c B +及E AB -可逆. 证明:⑪⇒⑫对12()x N c A c B ∀∈+,由定理1的证明过程知,Bx ABx Ax BAx ==. 故22222()()0A B x A AB BA B x A x ABx BAx B x -=--+=--+=.又由A B -可逆,故0x =.因此 {}12()0N c A c B +=.由引理1知 12c A c B +可逆. 同样地,对()()0x N E AB E AB x x ABx ∀∈-⇒-=⇒=.两边左乘A ,得Ax ABx x BAx Bx ==⇒=.所以 2()0A B x Ax ABx BAx Bx -=--+=. 又由A B -可逆知0x =. 所以{}()0N E AB -=. 由引理1知E AB -可逆. ⑪⇐⑫对()x N A B ∀∈-,有()0A B x -=Ax Bx ⇒= 则 ,Ax ABx BAx Bx ==. 所以121212()()()c A c B E AB x c A c B c AB c BAB x +-=+-+ 220c Bx c BAx =-=.0x ⇒=.由12c A c B +及E AB -可逆,知{}()0N A B -=. 由引理1知A B -可逆. ▌ 在定理2中令121c c ==,立即有:推论2.设矩阵,A B 均是幂等矩阵,下列命题等价: ⑪ A B -可逆.⑫ A B +及E AB -可逆.定理3[18]. 设矩阵,A B 均是幂等矩阵，1212,,0,0c c C c c ∈≠≠,满足120c c +≠. 则12c AB c BA +可逆12c A c B ⇔+及E A B --可逆. 证明:由2212121212()()c A c B E A B c A c B c A c BA c AB c B +--=+----12()c AB c BA =-+.可见12c AB c BA +可逆12c A c B ⇔+及E A B --可逆. ▌2.5 幂等矩阵的秩方面的有关性质定理1[5]. 设,A B 是n n ⨯的复幂等矩阵,则1rank()rank rank rank rank 00A B B A A B B A B A ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2 rank()rank()rank A B A AB BA BAB B +=--++.3 rank()rank()rank A B B AB BA ABA A +=--++. ▌定理2.设n n A C ⨯∈为Hermite 矩阵,即A A '=.且对某个,k N ∈有2k A A =, 则 rank()()A tr A =.证明:设rank A r =,,x λ分别是矩阵A 的特征值和相应的特征向量. 则λ是实数[1].且2212k k k Ax x A x A x x λλλ-====. 从而有21(1)0k x λλ--=.又0x ≠.于是21(1)0k λλ--=.由λ是实数,所以111,0r r n λλλλ+====== ,故结论成立. ▌ 推论1. 设n n A C ⨯∈,且2A A =,则rank()()A tr A =. 其实,该结论在1.2节中已经很明朗了.定理2[10]. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥ 为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈ 使2ik ii A A =,又对某个正整数 t 有211tmmii i i A A ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.证明:由定理1可知rank()()i i A tr A =,11rank mmiii i AtrA===∑∑于是有1111rank()rank()mm mmiiiii i i i AtrA tr A A =======∑∑∑∑. ▌推论2. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥ 为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈ 使2ik ii A A =,又1mi i A =∑为幂等矩阵.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.推论3. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥ 为幂等矩阵,且1mi i A =∑为幂等矩阵.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.推论4. 设(1,2,,,2)n n i A C i m m ⨯∈=≥ 为Hermite 矩阵,且存在某个,i k N ∈ 使2ik ii A A =,又1m i i A E ==∑.则 11rank rank()m mi i i i A A n ====∑∑.推论5. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥ 为Hermite 矩阵,且1mi i A E ==∑.则 11rankrank()mmii i i AA n ====∑∑.定理3[10].设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥ 及1mi i A =∑的特征值均为实数,且存在,i k N ∈使2ik ii A A =,又对某个正整数 t 有211tmmii i i A A ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑.定理4[20]. 设(1,2,,,2)n ni A Ci m m ⨯∈=≥ 及1mi i A =∑的特征值均为非负实数,且存在,(2)i i k N k ∈≥使ik i i A A =,又对某个正整数 t 有11t mmii i i AA ===∑∑.则 111rankrank()mmmii ii i i AA trA=====∑∑∑. ▌结束语本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。
幂零矩阵性质及应用
幂零矩阵性质及应用性质1：A 为幂零矩阵的充要条件是A 的特征值全为0。
证明：⇒A 为幂零矩阵 k Z +∴∃∈ .0k s tA =令0λ为A 任意一个特征值，则00,.s t A ααλα∃≠= 由引理7知，0kλ为k A 的特征值 00.k k s t A ββλβ∴∃≠= 从而有0k λ=0即有00λ=又有0kA =，知00kkA A A ==⇒= 00λ∴=为A 的特征值。
由0λ的任意性知，A 的特征值为0。
⇐A 的特征值全为0A ∴的特征多项式为()nf E A λλλ=-=由引理2知，()0nf A A == 所以A 为幂零矩阵。
得证 性质2：A 为幂零矩阵的充要条件为0k k Z trA +∀∈=。
证明：⇒A 为幂零矩阵，由性质1，知：A 的特征值全为0 即120n λλλ====由引理7，知 kA 的特征值为120k k k n λλλ====从而有 120k k kk n trA λλλ=+++=⇐由已知，120k k k k n k Z trA λλλ+∀∈=+++=(1.1)令12,,,t λλλ为A 的不为0的特征值且i λ互不相同重数为(1,2,,)in i t =由（1.1）式及引理7，得方程组11222221122333112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩(1.2)由于方程组（1.2）的系数行列式为又(1,2,)ii t λ=互不相同且不为0，0B ∴≠从而知，方程（1.2）只有0解，即0(1,2,,)i n i t ==即A 没有非零的特征值A ∴的特征值全为0， 由性质1，得 A 为幂零矩阵 得证性质3：若A 为幂零矩阵则A 的若当标准形J 的若当块为幂零若当块，且J 和主对角线上的元素为0 证明：A 为幂零矩阵， 由性质1，知 A 的特征值全为0 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得其中11i i i J λλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =由引理4，知(1,2,,)i i s λ=为J 和特征值又A 与J 相似，由引理6，知A 与J 有相同的特征值 所以0(1,2,,)i i s λ== 即J 的主对角线上的元素全为0由引理8，知 (0)()0(1,2,,)i i nni i J E J i s -===12,,,s J J J 为幂零矩阵 得证性质4：若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有1,1A E E A +=-= 证明：A 为幂零矩阵，k Z +∴∃∈ .0k s tA =00kk A A A ∴==⇒= A 一定不可逆由性质1，得 A 的特征值为120n λλλ====由引理7，得,A E E A +-的特征值分别为且有1211n n A E λλλ'''+===即1,1A E E A +=-= 得证性质5：若A E +为幂零矩阵，则A 非退化 证明：令12,,,n λλλ为A 的特征值若A 退化，则有 0A = 由引理7，得 120n A λλλ==∴至少存在0i λ=0为A 的特征值又由引理7，得110i λ+=≠为A E +的一特征值这与A E +为幂零矩阵矛盾 得证A 为非退化性质6：若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零矩阵。
矩阵的幂运算及其应用
矩阵的幂运算及其应用引言：矩阵是线性代数中重要的概念之一，它在各个领域具有广泛的应用。
本文将详细介绍矩阵的幂运算，并探讨其在实际问题中的应用。
第一部分：矩阵的基本概念和表示方法1.1 矩阵的定义在数学中，矩阵是由m行n列元素按特定顺序排列而成的一个矩形数组。
其中每个元素可以是实数、复数或其他可代数运算的对象。
1.2 矩阵的形式化表示通常，我们用大写字母A、B、C等来表示矩阵。
例如，一个3x4的矩阵A可以表示为:A = [a11 a12 a13 a14][a21 a22 a23 a24][a31 a32 a33 a34]其中aij表示位于第i行第j列的元素。
1.3 矩阵的元素和维度矩阵的元素即矩阵中的各个值，根据位置可以用aij来表示。
矩阵的维度指的是矩阵的行数m和列数n，也可以用m x n来表示。
第二部分：矩阵的乘法规则2.1 矩阵乘法的定义矩阵乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵的运算。
两个矩阵相乘的前提是第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等。
2.2 矩阵乘法的性质矩阵乘法具有结合律和分配律，但不满足交换律。
即对于任意矩阵A、B、C以及标量k，满足以下性质：-结合律：(AB)C = A(BC)-分配律：A(B + C) = AB + AC 和(A + B)C = AC + BC-乘法单位元：存在单位矩阵I，使得AI = IA = A2.3 矩阵乘法的计算示例假设有两个矩阵A和B，它们的维度分别为m x p和p x n。
那么这两个矩阵的乘积C的维度为m x n，其中C的每个元素由以下方式计算得到：cij = a1i * b1j + a2i * b2j + ... + api * bpj第三部分：矩阵的幂运算3.1 幂运算的定义对于一个n阶方阵A，其m次幂表示将该矩阵连续乘以自身m次的结果。
即A^m = A * A * ... * A （共m个A）。
3.2 幂运算的性质矩阵的幂运算具有以下性质：-幂运算的零次方：A^0 = I，其中I为单位矩阵。
幂等矩阵的行列式
幂等矩阵的行列式在线性代数中，幂等矩阵是指一个方阵，其自乘结果等于其本身。
幂等矩阵在多个领域中具有广泛的应用，如图像处理、网络通信等。
本文将介绍幂等矩阵的定义、性质以及一些实际应用。
一、定义幂等矩阵的定义很简单：一个方阵A是幂等的，如果满足A^2=A。
也就是说，将矩阵A乘以自身得到的结果仍然等于A。
幂等矩阵通常用I表示，即幂等矩阵是单位矩阵的一种特殊情况。
二、性质1. 幂等矩阵的行列式为0或1由于幂等矩阵A满足A^2=A，因此可以通过计算A^2-A=0来求解幂等矩阵的行列式。
根据行列式的性质，可以得出幂等矩阵的行列式只能是0或1。
2. 幂等矩阵的特征值为0或1设A是一个n阶幂等矩阵，λ是A的特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。
则有Ax=λx。
将幂等矩阵的定义代入，可以得到A^2x=Ax=A。
即λ^2x=λx，进一步可得λ^2=λ。
由此可知，幂等矩阵的特征值只能是0或1。
3. 幂等矩阵的秩等于其迹矩阵的迹定义为主对角线上元素的和。
对于幂等矩阵A，由于A^2=A，可以得到A^2的迹等于A的迹。
进一步推导可知，幂等矩阵的秩等于其迹。
三、应用1. 图像处理中的二值化在图像处理中，二值化是将灰度图像转化为黑白图像的过程。
幂等矩阵可以用来实现二值化操作。
通过将灰度图像乘以幂等矩阵，可以将所有大于阈值的像素值设为1，小于等于阈值的像素值设为0，从而实现图像的二值化。
2. 网络通信中的数据校验在网络通信中，为了确保数据的完整性和正确性，常常需要对数据进行校验。
幂等矩阵可以用来生成校验码。
通过将数据矩阵与幂等矩阵进行矩阵乘法运算，得到的结果作为校验码发送给接收端。
接收端将接收到的数据矩阵与幂等矩阵进行矩阵乘法运算，如果结果与接收到的校验码相等，则说明数据没有被篡改。
3. 数据库中的数据操作在数据库中，幂等矩阵可以用来实现幂等性操作。
幂等性操作是指多次执行操作所产生的结果与执行一次操作所产生的结果相同。
通过将操作矩阵与幂等矩阵进行矩阵乘法运算，可以确保多次执行操作不会对数据库中的数据产生重复的影响。
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幂等矩阵的性质及其应用
0 引言
幂等矩阵是一类性质特殊的矩阵，不仅在高等代数中有着重要的应用，在其它课程中，如计量经济学、统计学课程中也有着重要应用。
在代数学中，线性变换的许多问题都可以转化为幂等矩阵来解决。
但是在通常的高等代数的教材中关于幂等矩阵的讨论是比较少的。
因此本文对幂等矩阵的性质做出相关讨论。
本文主要给出幂等矩阵特征值、特征子空间和Jordan标准型的基本性质，同时给出了一些相关的应用。
1 主要结果
首先给出幂等矩阵的定义和基本性质。
定义1：若n阶方阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵。
下面给出关于幂等矩阵的一些简单的性质。
定理1：幂等矩阵A的特征值只能是0或者1。
证明：设A为任意一个幂等矩阵。
由A2=A，可得
λ2=λ
其中λ为A的特征值。
于是有
λ=1或0，
命题得证。
推论：可逆的幂等矩阵的特征值均为1。
证明：设A为一可逆的幂等矩阵。
由A2=A可得
A2A-1=AA-1
即
A=E。
此时有
λE-E=0
即
λ=1
其中，λ为A的特征值。
命题得证。
定理2：任意的幂等矩阵A都相似于对角阵，即存在可逆阵P，使得：
P-1AP=E■ 00 0，
其中r=R（A）。
证明：A为任意幂等矩阵，J为其Jordan标准型，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=J=■，
其中Ji=■。
由此可得J 2=J。
于是有，Ji 2=Ji。
此时，Ji只能为数量矩阵λ■E。
又因为A2=A，所以λ■=0或1，且r=R（A）。
命题得证。
定理3：幂等矩阵的特征值为1的特征子空间为其值域，特征值为0的特征子空间为其零（核）空间。
证明：（i）A为一n阶幂等矩阵。
？琢为其特征值1对应的特征向量。
则有，A？琢=？琢。
由此可得？琢属于A的值域。
反之，对于任意一个A的值域中的向量？琢，总能找到一个向量β，使得Aβ=？琢，
于是有A？琢=A2β=β，即？琢=β。
综上可知，幂等矩阵的特征值为1的特征子空间与其值域等价。
（ii）A为一n阶幂等矩阵。
x为其特征值0对应的特征向量，则有
Ax=0，
即A特征值0对应的特征向量都属于A的核。
反之，对于任意的A的核中的向量y，也都满足Ay=0。
综上可知，幂等矩阵的特征值为0的特征子空间与其核等价。
由定理3我们可以得到一个有用的推论。
推论：若A为n维线性空间V上一n阶幂等矩阵，其秩为r，则有dimV0=n-r，dimV1=r，其中V0为A特征值0对应的特征子空间，V1为A特征值1对应的特征子空间。
证明：由定理3可得，
dimV0=dimA V=R（A）=r，dimV1=dimA-1（0）。
又因为
R（A）+R（A-1（0））=n，
所以可得dimA-1（0）=n-r。
命题得证。
下面给出两个例子说明幂等矩阵的应用。
例1：任意n阶矩阵A都可以分解成一个可逆阵与一个幂等矩阵的乘积。
证明：设R（A）=r，存在n阶可逆矩阵P，Q，使得
A=PEr 00 0Q
所以有
A=（PQ）（Q-1Er 00 0Q），
其中，PQ为可逆阵
而C2=Q-1Er 00 0QQ-1Er 00 0Q=Q-1Er 00 0Q=C
所以C为幂等矩阵。
例2：设A为n阶矩阵，且R（A）=r，证明：A2=A当且仅当A=CB，其中C为n×r矩阵，秩为r，B为r×n矩阵，秩也为r，且有BC=E。
证明：必要性：由于A2=A，由定理2可得，A相似于
Er 00 0，
即存在可逆矩阵P，使得
A=P-1Er 00 0P=P-1Er 00 0（Er 0）P。
记
C=P-1Er0B=（Er 0）P，
则R（C）=r，R（B）=r，并且A=CB，也有
BC=（Er 0）PP-1Er0=E。
充分性：设A=CB，且BC=E，那么
A2=（CB）（CB）=C（BC）=CEB=CB=A。
2 结论（下转第79页）
（上接第73页）综上，我们可以看出，幂等矩阵不仅在可对角化矩阵的分解中具有重要的作用，在线性变换的问题的解决上也有着广泛的应用。
【参考文献】
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[3]朱军辉，程春蕊.幂等矩阵的性质[J].宜宾学院学报，2008（6）：26-27.。