高三理科数学第一轮复习§9.3：数学归纳法
最新数学归纳法知识总结
理科数学归纳法知识总结一 基本概念1.运用数学归纳法证明命题要分两步,第一步是归纳奠基(或递推基础),第二步是归纳递推(或归纳假设),两步缺一不可二 易错点1.归纳起点易错 （1）n 未必是从n=1开始例 用数学归纳法证明：凸n 边形的对角线条数为232n n - 点拔：本题的归纳起点n=3（2） n=1时的表达式例 用数学归纳法证明),1(11122*+∈≠--=++++N n a a a a a a n n，在验证n=1时，左边计算所得的式子是（ ）A. 1B.a +1C.21a a ++D. 421a a a +++点拨 n=1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a ，左边是a +1，故选B2.没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法例1 用数学归纳法证明：2243131414141⋅-=+++n 错证：（1）当n=1时，左=右=411，等式成立 （2）假设当n=k 时等式成立，则当n=k+1时，211243131411])41(1[41414141⋅-=--=+++++k k 综合（1）（2），等式对所有正整数都成立点拨：错误原因在于只有数学归纳法的形式，没有数学归纳法的“实质”即在归纳递推中，没有运用归纳假设3 从n=k 到n=k+1增加项错误例1 已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数）时命题为真，，则还需证明（ ）A.n=k+1时命题成立B. n=k+2时命题成立C. n=2k+2时命题成立D. n=2（k+2）时命题成立点拨：因n 是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k 的下一个偶数是k+2，故选 例2 用数学归纳法证明不等式241312111>++++++n n n n 的过程中，由k 推导到k+1时，不等式左边增加的式子是点拨：求)()1(k f k f -+即可当 n=k 时， 左边k k k k ++++++=12111 ， n=k+1时，左边)1()1(13121++++++++=k k k k , 故左边增加的式子是11221121+-+++k k k ，即)22)(12(1++k k 三 知识应用用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等1 用数学归纳法证明等式例1 用数学归纳法证明等式：nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+-例2 用数学归纳法证明： ()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 2 用数学归纳法证明不等式例3用数学归纳法证明不等式2)1(21)1(3221+<+++⋅+⋅n n n 例4．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N )． 3 用数学归纳法证明整除问题例5 求证：)(53*∈+N n n n 能被6 整除.例6 证明：)(,)3(1*∈+-N n x n 能被2+x 整除4 用“归纳——猜想——证明”解决数列问题例7在数列}{n a 中，nn n a a a x a -+==+11,tan 11， （1）写出,,21a a 3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式例8 在数列{}n a 中，)(2)2(,2111*++∈-++==N n a a a n n n n λλλ，其中0>λ，求数列}{n a 的通项公式5用“归纳——猜想——证明”解决几何问题例9．n 个半圆的圆心在同一条直线l 上，这n 个半圆每两个都相交，且都在直线l 的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？四 练习巩固1.用数学归纳法证明：1(n 2-1)+2(n 2-22)+…+n(n 2-n 2)=2n (n-1)(n+1)4(n ∈N*).2.用数学归纳法证明：1·2·3+2·3·4+…+n(n+1)(n+2)=n 4(n+1)·( n+2)·(n+3)(n ∈N*). 3.当n>1，n ∈N*时，求证：111912310n n n ++⋅⋅⋅+>++4.用数学归纳法证明：n n 11111+1++++n 22322≤⋅⋅⋅≤(n ∈N*) 5.用数学归纳法证明 49n +16n-1能被64整除(n ∈N*)6.用数学归纳法证明 m n+2+(m+1)2n+1能被m 2+m+1整除(n ∈N*)7.在数列{}n a 中，a n >0,且S n =1/2(a n +n1a ) (1)求a 1、a 2、a 3；(2)猜测出a n 的关系式并用数学归纳法证明。
高三一轮总复习理科数课件：-数学归纳法 .ppt..
试猜测 S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1 的结果，并用数学归纳法证明．
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【解】 由题意知，当 n＝1 时，S1＝1＝14； 当 n＝2 时，S1＋S3＝16＝24； 当 n＝3 时，S1＋S3＋S5＝81＝34； 当 n＝4 时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44. 猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4. 下面用数学归纳法证明： ①当 n＝1 时，S1＝1＝14，等式成立．
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解：(1)当 n＝1 时，由已知得 a1＝a21＋a11－1， a21＋2a1－2＝0. ∴a1＝ 3－1(a1>0)． 当 n＝2 时，由已知得 a1＋a2＝a22＋a12－1， 将 a1＝ 3－1 代入并整理得 a22＋2 3a2－2＝0. ∴a2＝ 5－ 3(a2>0)．同理可得 a3＝ 7－ 5. 猜想 an＝ 2n＋1－ 2n－1(n∈N*)．
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「基础小题练一练」
1．利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－1－ana＋2(a≠1，n∈N*)”时，在
验证 n＝1 成立时，左边应该是( )
A．1
B．1＋a
C．1＋a＋a2
D．1＋a＋a2＋a3
解析：用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－1－ana＋2(a≠1，n∈N*)”在验证
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用数学归纳法证明等式应注意的 2 个问题 (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成 规律，等式两边各有多少项，以及初始值 n0 的值． (2)由 n＝k 到 n＝k＋1 时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用 n＝k 时的式 子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．
高三数学第一轮的复习方法
高三数学第一轮的复习方法关于高三数学第一轮的复习方法高三数学第一轮复习方法篇1根据数学学科的特点及我校数学知识掌握情况，我将高三整个复习过程分为重基础，回归教材；整合提高，逐次递进的两个阶段，也称作两轮复习。
这两轮数学的复习目的是希望同学能够把基础打的更牢固一些。
重基础；回归教材阶段（即第一轮复习）。
采用分章分节的系统复习，目的是使学生系统掌握基础知识，基本方法及各部分之间的基本联系。
特点是重基础、重细节、重规范。
第一轮复习从今年8月开始到明年3月中旬，大约用时7个月左右，采用的的是地毯式轰炸，章节复习，不留任何知识死角，追求全面性、基础性，是同学们巩固基础，提高认识的重要阶段。
一、第一轮复习的目标第一轮复习是基础，指导思想是全面、扎实、系统、灵活。
全面———即全面覆盖；扎实———抓好单元知识的理解、巩固、深化；系统———前挂后连有机结合，注意知识的完整性、系统性，初步建立明晰的知识网络；灵活———增强小综合训练，克服单向性、定向性，初步培养综合运用知识、灵活解题的能力。
复习的直接目标是解决高考中的基础题，其根本目的是为数学素质的提高作物质准备。
在这一阶段主要抓好对基本概念准确记忆和实质性的理解，抓基本方法、基本技能的熟练应用，抓公式和定理的正用、逆用、变用、巧用，抓基本题型的训练和熟化。
二、第一轮复习的一些具体做法在复习每一章前先利用两天左右的时间把课本上相应章节知识重新研究一遍，并按照自己的理解写出知识总结，可以查阅参考资料。
这是自己对知识的一个再理解过程。
学生通过阅读教材，写出知识总结，预习完成复习资料上的基础训练题，可以了解每一次课的知识系统，知识结构，问题类型及方法、技能，明确本课的重难点，弄清自己的薄弱环节，能带着问题听课，为听好课作好充分准备（即了解自己对本节哪些知识了解，哪些不了解，哪些方法清楚，哪些不清楚）。
然后做一轮复习资料《走向高考》，要把相应的知识点、典型例题、变式题、训练题等认真完成，不需其他的参考资料，你只要把这本《走向高考》一轮复习用书弄熟吃透就足矣。
人教版高中数学高考一轮复习--数学归纳法(课件)
=
+
3+1
=
4
.
13
第三环节
学科素养提升
用数学归纳法证明整除问题
典例
用数学归纳法证明当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除.
证明:(1)当n=1时,xn+yn=x+y,显然能被x+y整除,命题成立.
(2)假设当n=k(k∈N*,且k为奇数)时,命题成立,
即xk+yk能被x+y整除.
那么当n=k+2时,xk+2+yk+2=x2(xk+yk)+yk+2-x2yk=x2(xk+yk)-yk(x+y)(x-y).
时命题也成立”.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立,
这种证明方法称为数学归纳法(mathematical induction).
温馨提示能使多米诺骨牌全部倒下需要以下两个条件:
(1)第一块骨牌倒下;
(2)任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下.
【知识巩固】
又根据假设,xk+yk能被x+y整除,
所以x2(xk+yk)能被x+y整除.
又yk(x+y)(x-y)能被x+y整除,
所以x2(xk+yk)-yk(x+y)(x-y)能被x+y整除,
即当n=k+2时,命题成立.
由(1)(2)可知,当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除.
解题心得用数学归纳法证明整除问题时,第一从要证的n=k+1的式子中拼
2
(1 + )
高考数学一轮复习 第3讲 数学归纳法课件 理 苏教版
单击题号显示结果 答案显示 单击图标显示详解
1
2
3
4
C
C
D
A
1 1 1 ＋ k ＋…＋ k＋1 k 2 ＋1 2 ＋2 2
5
考向一用数学归纳法证明等式
【例 1】►(2012· 天津)已知{an}是等差数列，其前 n 项和为 Sn，{bn}是等比数列，且 a1＝b1＝2，a4＋b4 ＝27，S4－b4＝10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)记 Tn＝ anb1＋ an－ 1b2＋…＋ a1bn， n∈ N*，证明 Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)． (1)解 设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn} 的公比为 q. 由 a1＝b1＝2，得 a4＝2＋3d，b4＝解得 q＝2.
所以 an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*.
考向一用数学归纳法证明等式
(2)证明 法一 ①当 n＝1 时，T1＋12＝a1b1＋12＝ 16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立； ②假设当 n＝k 时等式成立， 即 Tk＋12＝－2ak＋10bk， 则当 n＝k＋1 时有 Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1 ＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk) ＝ak＋1b1＋qTk ＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12) ＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24 ＝－2ak＋1＋10bk＋1－12， 即 Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1. 因此 n＝k＋1 时等式也成立． 由①②可知，对任意 n∈N*，Tn＋12＝－2an＋10bn 成立．
助学微博
一种表示
数学归纳法的框图表示
助学微博
两个防范 数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第 一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据”，两个步骤缺 一不可，在证明过程中要防范以下两点： (1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适 的起始值． (2)第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明 n＝k＋ 1时，命题也成立的过程中一定要用到它，否则就不是数学归纳 法．第二步关键是“一凑假设，二凑结论”． 三个注意 运用数学归纳法应注意以下三点： (1)n＝n0时成立，要弄清楚命题的含义． (2)由假设n＝k成立证n＝k＋1时，要推导详实，并且一定要运用 n＝k成立的结论． (3)要注意n＝k到n＝k＋1时增加的项数．
高考数学一轮复习 数学归纳法(理)课件
(nN*).
求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n·[f(n)－1](n≥2，n∈N*).
按数学归纳法的步骤进行证明即可.
【证明】 (1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1， 右边＝2[1＋ －1]＝1， 左边＝右边，等式成立. (2)假设n＝k时，结论成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，当n＝k＋1时，
利用假设后，要注意不等式的放大和缩小.
【证明】 (1)当n＝1时，左式＝1＋ ，右式 ＝ ＋1，
即命题成立.
(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即 1k 2≤ 11 21 3...2 1 k≤ 1 2k, 则当n＝k＋1时，
又1+
1 2k2k.21k 1 2(k1), 即n＝k＋1时，命题成立. 由(1)(2)可知，命题对所有n∈N*都成立.
22＋42＋…＋(2k)2＋(2k＋2)2 ＝ k(k＋1)(2k＋1)＋4(k＋1)2 ＝ (k＋1)[k(2k＋1)＋6(k＋1)] ＝ (k＋1)(2k2＋7k＋6)＝ (k＋1) (k＋2)(2k＋3)＝
(k＋1)[(k＋1)＋1][2(k＋1)＋1]， 即n＝k＋1时，等式成立. 由(1)、(2)可知，等式对所有的n∈N*都成立.
3.设Sn是数列{ }的前n项的和. 是否存在关于正整数n的函数f(n)，使S1＋S2＋…＋Sn－1＝ f(n)(Sn－1)对于大于1的正整数n都成立？并证明你的结论；
解：假设存在f(n)，使等式成立.
当n＝2时，S1＝f(2)(S2－1)， 即1＝f(2)(1＋ －1)，解得f(2)＝2.
当n＝3时，S1＋S2＝f(3)(S3－1)，
【解】 (1)由已知得 又∵{an}的公差大于0，∴a5＞a2.∴a2＝3，a5＝9.
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第1章 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第2章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示 第二节 函数的单调性与最值 第三节 函数的奇偶性与周期性 第四节 二次函数与幂函数 第五节 指数与指数函数 第六节 对数与对数函数 第七节 函数的图象
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
23 答案
2 ． ( 教 材 改 编 ) 若 集 合 A ＝ D [由题意知 A＝{0,1,2}，由 a＝ {x∈N|x≤2 2}，a＝ 2，则下列结 2，知 a∉A.] 论正确的是( ) A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A
解2析4 答案
22
[基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( ) (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( ) (3)若{x2,1}＝{0,1}，则 x＝0,1.( ) (4)直线 y＝x＋3 与 y＝－2x＋6 的交点组成的集合是{1,4}．( )
第8章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 第二节 两条直线的位置关系 第三节 圆的方程 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 第五节 椭 圆
第1课时 椭圆的定义、标准方程及其性质 第2课时 直线与椭圆的位置关系
第六节 双曲线 第七节 抛物线 第八节 曲线与方程 第九节 圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题 高考大题增分课(五) 平面解析几何中的高考热点问题
第9章 算法初步、统计与统计案例 第一节 算法与程序框图 第二节 随机抽样 第三节 用样本估计总体 第四节 变量间的相关关系与统计案例
高三第一轮数学复习方法
高三第一轮数学复习方法数学教育家傅种孙先生言：“几何之务不在知其然，而在知其所以然;不在知其然，而在知何由以知其所以然。
”实际上也为数学的学习标明了三个递进的境界：一是知其然，二是知其所以然;三是知何由以知其所以然。
数学首轮复习，不能满足于一，应该立足于二而求三。
今天小编给大家带来一些高三第一轮数学复习方法。
高考复习有别于新知识的教学，它是在学生基本掌握了中学数学知识体系，具备了一定的解题经验的基础上的复课数学;也是在学生基本认识了各种数学基本方法、思维方法及数学思想的基础上的复课教学，其目的在于深化学生对基础知识的理解，完善学生的知识结构，在综合性强的练习中进一步形成基本技能，优化思维品质，使学生在多次的练习中充分运用数学思想方法，提高数学能力，高考复习是学生发展数学思想，熟练掌握数学方法理想的难得的教学过程。
实际上，高考这一年数学复习工作概括起来就三句话：澄清概念(思维细胞);归纳方法(何时用，用的要领);学会思考。
为便于同学操作，在此向进入数学第一轮复习的同学提五项建议：一、夯实基础，知识与能力并重。
没有基础谈不上能力;复习要真正地回到重视基础的轨道上来，这里的基础不是指针对考试机械重复的训练，而是指要搞清基本原理、基本方法，体验知识形成过程以及对知识本质意义的理解与感悟，同时，对基础知识进行全面回顾，并形成自己的知识体系。
著名数学家华罗庚先生说：“数学是一个原则，无数内容，一种方法，到处可用。
”华罗庚先生还一再倡导读书要把书读得“由薄到厚”，再“由厚到薄”，如果说我们从小学到中学学年数学的过程是“由薄到厚”的过程，那么高考复习的过程应该是深刻领会数学的内容、意义和方法，认真梳理、归纳、探究、总结、提练，把握规律、灵活运用，把数学学习变成“由厚变薄”的过程，变成我们培养科学精神、掌握科学方法的最有效的工具，成为自己做高素质现代人的重要武器，那时，做高考数学题就会得心应手。
二、复习中要把注意力放在培养自己的思维能力上。
高考一轮复习理科数学课件数学归纳法
不等式证明中的数学归纳法应用
02
选取典型的不等式证明问题，通过数学归纳法简化证明过程，
体现数学归纳法在不等式证明中的有效性。
几何级数求和公式的数学归纳法推导
03
结合几何级数的特点，利用数学归纳法推导其求和公式，展示
数学归纳法在推导公式方面的应用。
解题思路与方法总结
01
明确数学归纳法的使用条件
强调在使用数学归纳法时，必须明确问题的性质，确保问题满足数学归
多样化题型
为了全面提高学生的解题 能力，应设置多样化的题 型，包括选择题、填空题 、解答题等。
答案解析与点评
详细解析
对每道提高训练题目，都应给出详细的答案解析，帮 助学生理解解题思路和方法。
点评到位
在解析过程中，要对学生的解题思路和方法进行点评 ，指出其优点和不足，提出改进建议。
举一反三
通过答案解析和点评，引导学生举一反三，掌握一类 题目的解题方法和技巧。
定义
数学归纳法是一种数学证明方法 ，通常用于证明某个与自然数n有 关的命题P(n)对于所有正整数n都 成立。
作用
通过假设n=k时命题成立，推导 出n=k+1时命题也成立，从而证述与证明过程
原理
数学归纳法基于自然数的序性质，即若P(n)对n成立，则P(n+1)也对n+1成立 。
坚定信心，积极备战
高考是人生的重要转折点，要坚定信 心，积极备战，相信自己一定能够取 得好成绩。
制定计划，合理安排时间
制定合理的复习计划，合理安排时间 ，做到高效复习，避免盲目、无计划 的复习。
注重基础，提高能力
高考数学注重基础知识和能力的考查 ，因此要注重基础知识的学习和掌握 ，提高自己的解题能力。
第39讲数学归纳法
在完成这两个步骤的证明以后， 在完成这两个步骤的证明以后 ， 就可以 断定命题对从n 开始的所有的自然数n都正 断定命题对从 0 开始的所有的自然数 都正 这种证明命题的方法叫做数学归纳法. 确.这种证明命题的方法叫做数学归纳法 这种证明命题的方法叫做数学归纳法 2.用数学归纳法证题时，应注意 用数学归纳法证题时， 用数学归纳法证题时 (1)在用数学归纳法证明与自然数有关的 在用数学归纳法证明与自然数有关的 命题时，第一步是递推的基础，缺少第一步， 命题时，第一步是递推的基础，缺少第一步， 递推就会缺乏正确的基础.一方面 一方面， 递推就会缺乏正确的基础 一方面，第一步再 简单，也不能够省略；另一方面， 简单，也不能够省略；另一方面，第一步只 要考察使结论成立的最小的正整数就足够了， 要考察使结论成立的最小的正整数就足够了， 一般没有必要再去多考察几个正整数. 一般没有必要再去多考察几个正整数
上式表明当n=k+1时命题也成立． 时命题也成立． 上式表明当 时命题也成立
根据(ⅰ)(ⅱ)可知，对任意的n∈N*，等式都 根据 ⅰ ⅱ 可知，对任意的 ∈ ， 可知 成立． 成立．
点评 用数学归纳法证明与自然数有关的
一些命题的关键在于“先看项” 一些命题的关键在于“先看项”，弄清等式 两边的构成规律，等式的两边各有多少项， 两边的构成规律，等式的两边各有多少项， 项的多少与n的取值有关 的取值有关， 项的多少与 的取值有关 ， 当 n=k到n=k+1时， 到 时 等式的两边各会增加多少项， 等式的两边各会增加多少项 ， 增加怎样的 对于证明恒等的问题， 项．对于证明恒等的问题，在由证等式也成 立时，应及时把结论和推导过程对比， 立时，应及时把结论和推导过程对比，也就 是我们通常所说的两边凑的方法， 是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计 算的复杂程度，从而发现所要证明的式子， 算的复杂程度，从而发现所要证明的式子， 使问题的证明有目的性． 使问题的证明有目的性．
2019届高三数学(理科)一轮复习计划表
章（单元）名称
节名称
计划复习时间
课时
第一章集合与常用逻辑用语
第一节集合
9。1-9。6
4
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件
9。7-9。8
4
第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
9。9—9。12
4
第二章函数、导数及其应用
第一节函数及其表示
9。13—15
3。30—3。31
2
第二节排列与组合
4。1—4.2
3
第三节二项式定理
4.3—4.4
3
第四节随机事件的概率
4.5-4.6
3
第五节古典概型
4。7—4.8
3
第六节几何概型
4。9—4.10
3
第七节离散型随机变量及其分布列
4。11—4。12
4
第八节n次独立重复试验与二项分布
4.13—4。15
4
第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布
10。29-10.30
4
第三节三角函数的图像和性质
11.5—11。6
4
第四节函数y=Asin（ωx+φ）的图像及三角函数模型的简单应用
11。7—11。8
4
第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式
11。9—11.10
4
第六节简单的三角恒等变换
11。12—11。14
4
第七节正弦定理和余弦定理
11。15—11.17
5
第四章平面向量、复数
第一节平面向量的概念及其线性运算
11.18—11。20
4
第二节平面向量基本定理及其向量坐标运算
2020年高考数学一轮复习考点 数学归纳法必刷题含解析
考点34 数学归纳法1．（2019·江苏高三高考模拟）已知数列{}n a ，12a =，且211n n n a a a +=-+对任意n N *∈恒成立．（1）求证：112211n n n n a a a a a a +--=+(n N *∈)；（2）求证：11nn a n +>+(n N *∈)． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】（1）①当1n =时，2221112213a a a =-+=-+= 满足211a a =+成立.②假设当n k =时，结论成立.即：112211k k k k a a a a a a +--=+成立下证：当1n k =+时，112211k k k k a a a a a a +-+=+成立。
因为()211211111k k k k k a a a a a +++++=-+-+=()()11221112211111k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +--+--=+=++-即：当1n k =+时，112211k k k k a a a a a a +-+=+成立由①、②可知，112211n n n n a a a a a a +--=+(n *N ∈)成立。
（2）（ⅰ）当1n =时，221221311a >=-=++成立，当2n =时，()2322222172131112a a a a a =-+=-+=>⨯>++成立，（ⅱ）假设n k =时（3k ≥），结论正确，即：11kk a k +>+成立 下证：当1n k =+时，()1211k k a k ++>++成立.因为()()2211112111111kkkk k k k k k a a a a a k k kk +++++-+==-+>++=++要证()1211k k a k ++>++，只需证()12111k k k k k k +++>++只需证：()121k k k k ++>，只需证：()12ln ln 1k k k k ++>即证：()()12l l n n 10k k k k -++>（3k ≥） 记()()()2ln 11ln h x x x x x -++=∴()()()()2ln 1112ln 11ln ln x x x x h x +-++=-++⎡⎤⎦=⎣' 21ln 1ln 12111x x x x ⎛⎫=+=++-+ ⎪++⎝⎭当12x +≥时，1111ln 121ln 221ln 1ln 10122x x e ⎛⎫⎛⎫++-+≥+-+=+>+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭所以()()()2ln 11ln h x x x x x -++=在[)1,+∞上递增， 又()6423ln34ln3ln 34ln729ln2564l 0n h ⨯-=-=->=所以，当3x ≥时，()()30h x h ≥>恒成立。
2014届高三数学理科第一轮复习单元过关自测9--数列、不等式、数学归纳法
2014届高三数学理科单元过关自测(九)（ 数列、不等式、数学归纳法）一、选择题：1、不等式2210x x -->的解集是（ ）A ．），（121- B.），（∞+1 C ．），（），（∞+∞-21 D ．），（），（∞+-∞-121 2.下列命题中正确的是 ( )A.xx y 1+=的最小值是2 B.x x y x sin 2sin ),,0(+=∈π的最小值是22C.4522++=x x y 的最小值是2 D.+∈R x ,x x y 432--=的最大值是342-3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝95，则59S S ＝( )．A ．1B ．－1C ．2D ．21 4.已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<,则k =( )A. 9B. 8C. 7D. 65、 对任何实数x ，若不等式12x x k +-->恒成立，则实数k 的取值范围为 ( )(A)k<3(B)k<-3(C)k ≤3(D) k ≤-36、已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(),M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为()2,1，则z OM OA =⋅的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．32D ．427、已知),2(241321...2111N n n n n n ∈≥>+++++过程中，由"1"""+==k n k n 变到时，不等式左边的变化是（ ）A ．)1(21++k B ．11221121+-++++k k k C ．11221+-++k k D ．)1(21121++++k k 8、如果c bx x x f ++=2)(对于任意实数t 都有)3()3(t f t f -=+，那么（ ）A .)4()1()3(f f f <<B .)4()3()1(f f f <<C .)1()4()3(f f f <<D .)1()3()4(f f f <<班别： 姓名： 学号： 成绩：一、选择题答案1 2 3 4 5 6 7 8二、填空题9. 不等式1|31|≥-+x x 的解集是 . 10. 已知递增的等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-，则_____n a =11、已知变量x ，y 满足约束条件30111x y x y -+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩则z x y =+的最大值是________。
高考数学一轮复习高效作业：《数学归纳法》(理)
时间：45分钟满分：100分班级：________姓名：________ 学号：________ 得分：________一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·白山一模)欲用数学归纳法证明：对于足够大的正整数n，总有2n>n3，那么验证不等式成立所取的第一个n的最小值应该是( )A．1 B．9C．10 D．n>10，且n∈N*解析：210＝1024>103.故应选C.答案：C2．(2014·平顶山一模)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程中，第二步假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到( )A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1－1＋2k＋1C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k解析：由n＝k到n＝k＋1等式的左边增加了一项，故选D.答案：D3．(2014·常州一模)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1(k∈N*)时的情况，只需展开( )A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3解析：假设n＝k(k∈N*)时，k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设证明，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故应选A.答案：A4．(2014·洛阳一模)凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n ＋1)为( )A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2解析：边数增加1，顶点也相应增加1个，它与它不相邻的n－2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n－1条．故选C.答案：C5．(2014·温州一模)数列{a n }中，已知a 1＝1，当n≥2，且n ∈N *时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．3n －2B ．n 2C ．3n －1D ．4n －3解析：计算出a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16.可猜a n ＝n 2(n ∈N *)．故应选B. 答案：B6．(2014·山师附中质检)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k 2成立时，总可推出f(k ＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A ．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k 2成立 B ．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k 2成立 C ．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)<k 2成立 D ．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k 2成立解析：对于A ，若f(3)≥9成立，由题意只可得出当k≥3时，均有f(k)≥k 2成立，故A 错；对于B ，若f(5)≥25成立，则当k≥5时均有f(k)≥k 2成立，故B 错；对于C ，应改为“若f(7)≥49成立，则当k≥7时，均有f(k)≥k 2成立”，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上) 7．(2014·上海调研)观察下式：1＝12；2＋3＋4＝32；3＋4＋5＋6＋7＝52；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72；….则可得出第n 个式子为____________________________．解析：各式的左边是第n 个正整数到第3n －2个连续正整数的和．右边是奇数的平方，故可得出第n 个式子是：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2(n ∈N *)．答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2(n ∈N *)8．(2014·粤西北九校联考)设S 1＝12，S 2＝12＋22＋12，…，S n ＝12＋22＋32＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12，用数学归纳法证明S n ＝n 2n＋13时，第二步从“k”到“k＋1”应添加的项为________．解析：由S 1，S 2，…，S n 可以发现由n ＝k 到n ＝k ＋1时，中间增加了两项(k ＋1)2＋k 2(n ，k ∈N ＋)．答案：(k ＋1)2＋k 29．(2014·江西八校联合模拟)若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k ＋1)与f(k)的递推关系式是________．解析：∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，∴f(k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2， ∴f(k ＋1)＝f(k)＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2. 答案：f(k ＋1)＝f(k)＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)210．(2014·怀化二模)已知数组：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，21，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，22，31，⎝ ⎛⎭⎪⎫14，23，32，41，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，2n －1，3n －2，…，n －12，n 1，….记该数组为：(a 1)，(a 2，a 3)，(a 4，a 5，a 6)，…，则a 200＝________.解析：通过观察数组可以发现，第n 组数中共有n 个数，每个数的分子与分母的和等于n ＋1，又因为1＋2＋…＋19＝190<200，故a 200应是第20组中的第10个数，故应为1011.答案：1011三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．(2014·海口二模)对于n ∈N *，用数学归纳法证明：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n －1)·2＋n·1＝16n(n ＋1)(n ＋2)．证明：设左边＝1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n －1)·2＋n·1. 右边＝16n(n ＋1)(n ＋2)(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；(2)设当n ＝k 时等式成立，即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k －1)·2＋k·1＝16k(k ＋1)(k ＋2)，则当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝1·(k＋1)＋2[(k ＋1)－1]＋3[(k ＋1)－2]＋…＋[(k ＋1)－2]·3＋[(k ＋1)－1]·2＋(k ＋1)·1＝f(k)＋1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1) ＝16k(k ＋1)(k ＋2)＋12(k ＋1)(k ＋1＋1) ＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)． 12．(2014·湘潭二模)求证：12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22(n≥2且n ∈N *)．证明：(1)当n ＝2时，12>0，不等式成立．(2)假设n ＝k(k≥2且k ∈N *)时，原不等式成立． 即12＋13＋14＋15＋…＋12k －1>k －22， 则当n ＝k ＋1时，左边＝12＋13＋14＋…＋12k －1＋12k －1＋1＋12k －1＋2＋…＋12k －1＋2k －1>k －22＋12k －1＋1＋12k －1＋2＋…＋12k －1＋2k －1>k －22＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝k －22＋2k －12k ＝k －12＝k ＋1－22.∴当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．由(1)(2)知，原不等式对n≥2的所有的正整数都成立，即12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22(n≥2且n ∈N *)成立．13．(2014·威海一模)设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ∈N *. (1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式； (2)当a 1≥2时，证明n ∈N *，有a n ≥n＋1. 解：(1)由a 1＝2，得a 2＝a 21－a 1＋1＝3， 由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4， 由a 3＝4，得a 4＝a 23－3a 3＋1＝5. 由此猜想a n 的一个通项公式为： a n ＝n ＋1(n ∈N *)．(2)证明：①当n ＝1时，a 1≥2，不等式成立．②假设当n ＝k(k ∈N *且k≥1)时不等式成立，即a k ≥k＋1， 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k (a k －k)＋1≥(k＋1)(k ＋1－k)＋1＝k ＋2， 也就是说，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥(k＋1)＋1. 根据①和②，对于所有k ∈N *， 都有a n ≥n＋1.。
高考数学一轮复习 134数学归纳法课件 理
证明
(1)当n＝2时，右边＝ttaann2αα
－2＝
1－t2an2α－2＝
2tan2α 1－tan2α
＝tan α·tan 2α＝左边，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥2)时，等式成立，即
tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＝ttaannkαα－k，
则当n＝k＋1时， 1×1 3＋3×1 5＋…＋2k－112k＋1＋2k＋112k＋3 ＝2k＋k 1＋2k＋112k＋3＝2kk＋2k1＋32k＋＋13 ＝22kk＋2＋132kk＋＋13＝2kk＋＋13＝2k＋k＋11＋1， 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．
第4讲 数学归纳法
【2013 年高考会这样考】 1．数学归纳法的原理及其步骤． 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 【复习指导】 复习时要抓住数学归纳法证明命题的原理，明晰其内在的联系， 把握数学归纳法证明命题的一般步骤，熟知每一步之间的区别 联系，熟悉数学归纳法在证明命题中的应用技巧．
基础梳理 1．归纳法 由一系列有限的特殊事例得出一般结论 的推理方法，通常叫做 归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分 可分为 完全 归纳法和 不完全 归纳法．
考向三 用数学归纳法证明不等式
【例 3】►用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数，不等式
1＋131＋15·…·1＋2n1－1> 2n2＋1均成立． [审题视点] 本题用数学归纳法证明不等式，在推理过程中用放 缩法，要注意放缩的“度”．
证明
(1)当
n＝2
时，左边＝1＋13＝43；右边＝
5 2.
高三数学第一轮复习课件(ppt)目录
第一章
集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念与运算 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
目录 CONTENTS
第二章
函数
2.1 函数及其表示 2.2 函数的单调性与最值 2.3 函数的奇偶性与周期性 2.4 一次函数、二次函数 2.5 指数与指数函数 2.6 对数与对数函数 2.7 幂函数 2.8 函数的图象及其变换 2.9 函数与方程 2.10 函数模型及其应用
12.1 算法与程序框图 12.2 基本算法语句 12.3 合情推理与演绎推理 12.4 直接证明与间接证明 12.5 数学归纳法 12.6 数系的扩充与复数的引入
目录 CONTENTS
选修4系列
选修4-1 几何证明选讲(选考) 选修4-4 坐标系与参数方程(选考) 选修4-5 不等式选讲(必考)
目录 CONTENTS
第十一章
概率与统计
11.1 事件与概率 11.2 古典概型与几何概型 11.3 离散型随机变量及其分布列 11.4 二项分布及其应用 11.5 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 11.6 随机抽样与用样本估计总体 11.7 变量间的相关关系
目录 CONTENTS
第十二章 算法初步、推理与证明、复数
目录 CONTENT第S五章
平面向量
5.1 平面向量的概念及其线性运算
5.2 平面向量的基本定理及坐标运算
5.3 平面向量的数量积及其应用
第六章
数列
6.1 数列的概念与简单表示法 6.2 等差数列及其前n项和 6.3 等比数列及其前n项和 6.4 数列的通项与求和 6.5 数列的综合应用
目录 CONTENTS
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第九章：推理与证明 §9.3：数学归纳法
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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