第八章 组合变形(修)

(3) 当F1 和F2共同作用时，应用叠加法
note: 应根据弯距在该点造成的应力方向,再叠
加
F 2单独作用时 '
F 1 单独作用时
My
''
F 2和 F1 共同作用时
z
F B
＋
＝
D
Mz
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y
中性轴
所以,C点的x方向正应力为压
'" M y z M z y
Iy
Iz
危险点：m-m截面上
角点 B 有最大拉应力，D 有最大压应力；
2、圆截面
例8-2 图示简支梁。工字钢型号为No.32a，F=60kN, [σ]=170MPa，φ=5o。试校核梁的强度。
F 2m 2m
解：（1）
Fy 59.77kN, Fz 5.23kN
（2） M zmax 59.77 kN.m, M ymax 5.23kN.m
（3） Wz 692.2cm3, Wy 70.758cm3
按叠加法，在xoz主轴平面内、 xoy主轴平面内的弯 曲正应力，在x方向叠加
截面A :
( max) A
M yA Wy
M zA Wz
(21.5103 m1)q
截面B :
( max)B
M yD Wy
M zD Wz
(16.02103 m1)q
可见，梁的危险点在截面A的棱角处。危险点处是 单轴应力状态，强度条件为
F2 a m
z
C (y ,z) my
x
z
O
y
m z
O Mz
My m y
在集中力F1 、 F2 作用下（双对称截面梁在水平和
垂直两纵向对称平面内同时受横向外力作用），梁
将分别在水平纵对称面(Oxz)和铅垂纵对称面(Oxy)
内发生对称弯曲。
在梁的任意横截面m-m上，F1 、 F2引起的弯矩为
M y F1x, M z F2 (x a)
形心的直线, E、F点的正应力为零， EF线即是中性轴。其与y轴的夹角为
tan z0 M z I y I y tan
y0 M y I z I z 是横截面上合成弯矩 M 矢
量与 y 轴间的夹角。
O
z
y
M
M
2 y
M
2 z
一般，截面IyIz，即，因而中性轴与合成弯矩
M所在的平面并不相互垂直。所以挠曲线将不在合
E、F点的正应力为零，EF线即是中性轴。
可见B、D点就是危险点，离中性轴最远
强度条件：B、D角点处的切应力为零，按单向应力
状态来建立强度条件。设材料的抗拉和抗压强度相 同，则斜弯曲时的强度条件为
max [ ]
中性轴：正应力为零处，即求得中性轴方程
My z Mz y 0
Iy
Iz
上式可见，中性轴是一条通过横截面
§8.l概 述
1 组合变形
❖ 构件在拉伸(压缩)、剪切、扭转及弯曲等基本 变形形式下的应力和位移
❖ 构件往往同时发生两种或两种以上的基本变形， 如几种变形所对应的应力（或变形）属同一量 级，称为组合变形
❖ 斜弯曲, 拉弯组合, 弯扭组合
❖ 工程实用:烟囱，传动轴，吊车梁的立柱
• 烟囱：自重引起轴向压缩 + 水平方向的风力而 引起弯曲，
成弯矩所在的平面内，即是斜弯曲。
对圆形、正方形等Iy=Iz的截面，得= ，即是平
面弯曲
例8-1 图示悬臂梁，承受载荷F1与F2作用，已知
F1=800N，F2=1.6kN，l=1m，许用应力[σ]=160MPa。
试分别按下列要求确定截面尺寸：(1) 截面为矩形，
h=2b；(2) 截面为圆形。
解：(1) 矩形截面：
max [ ]
即
( max) A (21.5103 m1)q 160 106 Pa
解得
[q] 7.44 103 N/m 7.44kN/m
§8-3 拉伸(压缩)与弯曲
包括： 轴向拉伸(压缩)和弯曲 偏心拉（压）,截面核心
1. 横向力与轴向力共同作用 对于EI较大的杆，横向力引起的挠度与横截面的
• 传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲 + 扭转
• 立柱：荷载不过轴线，为偏心压缩 = 轴向压缩 + 纯弯曲
2、组合变形的研究方法 —— 叠加原理
①外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴 分解
②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力 图，确定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险 点的强度条件。
在F2 单独作用下，梁在竖直平面内发生平面弯曲， z轴为中性轴
在F1 单独作用下，梁在水平平面内发生平面弯曲， y轴为中性轴。
斜弯曲是两个互相垂直方向的平面弯曲的组合。
求应力：m-m截面上某点C(y，z)
(1) F2单独作用下
" MZ y
IZ
(2) F1单独作用下
' My z
Iy
M z F2 (x a) M y F1x
q F 40°
z
O
解：作计算简图,将自由
A xA
C
B
a
a
Fyy q
D C Fz
a
a
0.444qa2 0.321qa2
z B
y
0.642qa2
A
DC
0.617a
A
DC
My 图(N m) B B Mz 图(N m)
0.266qa 2
0.456qa2 0.383qa2
端截面B上的集中力沿两 主轴分解为
Fy F cos40o 0.383qa
§8-2 两相互垂直平面内的弯曲
❖ 平面弯曲：在前面曾指出只要作用在杆件上的横向 力通过弯曲中心，并与一个形心主惯性轴方向平行， 杆件将只发生平面弯曲。
❖ 对称弯曲：平面弯曲的一种。
❖ 斜弯曲：挠曲线不位于外力所在的纵向平面内。 -----横向力通过弯曲中心，但不与形心主惯性轴平 行
斜弯曲时的应力与位移计算
Fz F sin 40o 0.321qa
在xoz主轴平面内的 弯矩图(y轴为中性轴)
在xoy主轴平面内的 弯矩图 (z轴为中性轴)
危险截面：由弯矩图 ，可确定A、D两截面为危险截面
A、D截面在xoz、 xoy平面的弯曲截面系数，
可查表得
Wz 237106 m3, Wy 31.5106 m3
尺寸相比很小，因此，由轴向力引起的弯矩可以略 去不计。
可分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上 的正应力，按叠加原理求其代数和，即得在拉伸 (压缩)和弯曲组合变形下，杆横截面上的正应力。
（4） max
M zmax Wz
M ymax Wy
59.77 106 692.2 103
5.23106 70.758103
86.35 73.91 160.3MPa [ ]
例8-3 20a号工字钢悬臂梁承受均布荷载 q 和集中力
F=qa/2 如图。已知钢的许用弯曲正应力[]=160MPa,
a=1m。试求梁的许可荷载集度[q]