二次函数与一元二次方程和不等式

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.3 二次函数与一元二次方程、不等式

式对应方程根的情况,利用根与系数的关系进行求解.
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思维辨析
随堂演练
解:(1)由题意知 a>0,且-1 和 2 是关于 x 的方程 ax2+bx+a2-1=0
的两个根,
> 0;

= -1 + 2,
-1
+
2
=
,
所以有
解得
= 1- 2.
2 -1
-1 × 2 =
得n的值;(2)由s≤12.6解出v的取值范围,从而得到行驶的最大速度.
40
1 600
6 < 100 + 400 < 8,
解:(1)由题意得
70 4 900
14 < 100 + 400 < 17,
5 < < 10,
解得 5
95 因为 n∈N,所以 n=6.
<

<
2
14 .
3
2
(2)由于刹车距离不超过 12.6 m,即 s≤12.6,所以 +
≤12.6,因
50
400
此 v2+24v-5 040≤0,解得-84≤v≤60.因为 v≥0,所以 0≤v≤60,即行
驶的最大速度为 60 km/h.
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思维辨析
随堂演练
反思感悟用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤
1.理解题意,搞清量与量之间的关系.
2.建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不
一元二次函数、方程和不等式

2.3二次函数与一元二次方程、不等式

分析：先化左边最高次项系数为正，右边为0
解： 2x³ -x² + 15 x >0
x(2x² -x + 15 ) >0
x(x -1)(2x+3 ) >0
故原不等式的解集为{x| -3/2<x<0或x>1}
例1 解下列不等式：(1)＜0；(2)≥0；(3)＞1.
新知生成分式不等式⇒整式不等式，要注意先移项，使右边化为0，要注意含等号的分式不等式的分母不为0.
2.不等式 <m></m> 的解集是实数集（或恒成立）的条件是：当 <m></m> 时， <m></m> ， <m></m> ；当 <m></m> 时， <m></m>
迁移应用3. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为( )A. B. C. D.
例1
解不等式 x² (x²-9) (2x²+x-3) > 0
分析：先分解因式到最简。不等式左边出现偶数次根，注意奇穿偶回
解：原不等式即x² (x-3)(x+3)(x-1) (2x+3) > 0
故原不等式的解集为{x| x<-3或-3/2<x<0或0<x<1或x>3}
例2
解不等式 2x³ > x² + 15 x
因式分解or求根公式
大于取两边,小于取中间.
②判别:判别△确定有无实数根
⑤写解:由图象写出不等式的解集
例1 x2-5x+6>0的解集.
例2 9x2-6x+1>0的解集.

二次函数与一元二次方程不等式

【练习2】(2017·咸宁)如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A( －1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是 _______x_＜__－__1_或__x_＞__4____．
| 练习 | 1. [2018·自贡]若函数y=x2+2x-m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为
-1 .
2. [2019·泰安]若二次函数y=x2+bx-5图象的对称 [答案] x1=2,x2=4
轴为直线x=2,则关于x的方程x2+bx-5=2x-13的 [解析]∵二次函数 y=x2+bx-5
(2)(2017·天水)如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点是B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0) 与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2＋bx＋c＝3有
两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x＜ 4时，有y2＞y1；⑤x(ax＋b)≤a＋b，其中正确的结论是________②．⑤(只填写序号)
【例2】(1)(2017·泰安)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：
x
－1
0
1
3
y
－3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x＝1；③当x＜1
时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，
其中正确的结论有（） B
A．1个 B．2个 C (2)点C(0，3)，点D(1，4)．
(3)设点P(x，y)(x＞0，y＞0)，S△COE＝12×1×3＝32，S△ABP＝12×4y＝2y，

2.3二次函数与一元二次方程、不等式

8
思考：一元二次函数y=ax2+bx+c<0(a≠ 0)的图像与x轴的相对位置有多少种可能？
a>0
a<0
∆<0
∆=0
∆>x0
∆>0
∆=0
x
∆<0
9
二次函数、方程、不等式之间的关系
ax2+bx+c=0(a>0) 的判别式△
y=ax2+bx+c(a>0) 的图象
△>0 y
x1 O x2 x
三个二次之间的关系 [例 3] [教材 P52 例 1、例 2 的拓展探究] (1)已知解集求函数若不等式 y＝ax2－x－c＞0 的解集为(－2,1)，则函数的图象为( )
[解析] 因为不等式的解集为(－2,1)，所以 a＜0，排除 C，D；又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选 B.
(2)已知方程的根或函数零点求不等式若函数 y＝x2－ax＋1 有负数零点，则 a 的范围为________． [解析] 有零点， ∴Δ＝a2－4≥0， ∴a≥2 或 a≤－2， ∵f(0)＝1，要使 x2－ax＋1＝0 有负根，则对称轴 x＝a2＜0，即 a＜0. ∴a≤－2. [答案] a≤－2
y y=x+1 1
-1 O x
本节我们同样从一元二次函数的观点来研究一元二次不等式，找到一元二次不等式的求解方法.
一元二次方程的有关知识
一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠ 0)
1.一元二次方程是否有解，用根的判别式∆=b2-4ac来判定： ∆>0，方程有2个不等实根； ∆=0，方程有2个相等实根（1个实数根） ∆<0，方程无实根.

二次函数与一元二次方程、不等式

2．3 二次函数与一元二次方程、不等式(一)教材梳理填空(1)一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0，其中a ，b ，c 均为常数，a ≠0.(2)二次函数的零点：一般地，对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，我们把使ax 2＋bx ＋c ＝0的实数x 叫做二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点．(3)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x ＜x 1，或x ＞x 2} ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2}∅∅(二)基本知能小试 1．判断正误(1)mx 2－5x <0是一元二次不等式．( )(2)若a >0，则一元二次不等式ax 2＋1>0无解．( )(3)若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，则一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}．( )(4)不等式x 2－2x ＋3>0的解集为R.( ) 2．不等式2x 2－x －1>0的解集是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <1 B ．{x |x >1} C ．{x |x <1或x >2} D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x >1 3．不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集是( )A ．{x |x <－1}B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >32C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1<x <32D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >32 4．若不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12，则a ，c 的值分别为________，________.题型一一元二次不等式的解法[学透用活][典例1] 解下列不等式：(1)－2x 2＋x －6＜0； (2)－x 2＋6x －9≥0； (3)x 2－2x －3＞0； (4)－4x 2＋4x －1＞0.[对点练清]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}2．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－1或x ≥92B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x ≤92C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－92或x ≥1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－92≤x ≤1 3．解不等式：－2<x 2－3x ≤10.题型二二次函数与一元二次方程、不等式间的关系[学透用活][典例2] 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．[对点练清]1．[变结论]本例中条件不变，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．2．[变条件]若将本例的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}”变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤2”．求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．题型三一元二次不等式的实际应用[学透用活][典例3]某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．[对点练清]1．某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(0<t≤30，t ∈N)；销售量y2与时间t的关系式是y2＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额z不小于500元的t的范围为________．2．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m. 又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x ＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任．[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．下列不等式：①x 2>0；②－x 2－x ≤5；③ax 2>2；④x 3＋5x －6>0；⑤mx 2－5y <0；⑥ax 2＋bx ＋c >0.其中是一元二次不等式的有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个2．不等式－x 2－5x ＋6≥0的解集为( ) A ．{x |x ≥6或x ≤－1} B ．{x |－1≤x ≤6} C ．{x |－6≤x ≤1}D ．{x |x ≤－6或x ≥1}3．二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ>0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0C.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ>0 D.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0 4．若a <0，则关于x 的不等式a (x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋1a <0的解集为________． 5．若关于x 的不等式(k －1)x 2＋(k －1)x －1<0恒成立，则实数k 的取值范围是________．二、创新应用题6．解关于x 的不等式x 2－3ax －18a 2>0.[课下双层级演练过关]A 级——学考水平达标练1．设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( )A ．{x |2≤x ≤3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C ．{x |x ≥3}D ．{x |0<x ≤2或x ≥3} 2．下列四个不等式：①－x 2＋x ＋1≥0；②x 2－25x ＋5>0；③x 2＋6x ＋10>0；④2x 2－3x ＋4<1.其中解集为R 的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④3．若0<t <1，则不等式(x －t )⎝⎛⎭⎫x －1t <0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >1t 或x <t C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1t 或x >t D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪t <x <1t 4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3}D ．{x |－3<x <2}5．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台 6．要使17－6x －x 2有意义，则x 的解集为________．7．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0}，B ＝{x |x －a <0}，且B ⊆A ，则a 的取值范围为________． 8．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的非空解集为{x |1<x <m }，则m ＝________. 9．解下列不等式：(1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)－4x 2＋18x －814≥0; (3)－2x 2＋3x －2<0; (4)－12x 2＋3x －5>0.10．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？B级——高考水平高分练1．设x2－2x＋a－8≤0对于任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立，则a的取值范围是________．2．对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．3．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.4．某小商品在2018年的价格为8元/件，年销量是a件．现经销商计划在2019年将该商品的价格下调至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下调后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k.该商品的成本价为3元/件．(1)写出该商品价格下调后，经销商的年收益y与实际价格x的关系式；(2)设k＝2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2019年的收益比2018年至少增长20%?5．某热带风暴中心B 位于海港城市A 东偏南30°的方向，与A 市相距400 km.该热带风暴中心B 以40 km/h 的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A 市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？习题课(提升关键能力) 一元二次函数、方程和不等式高频考点一|比较大小[例1] (1)已知a, b 满足等式x ＝a 2＋b 2＋20, y ＝4(2b －a ), 则x, y 满足的大小关系是( )A ．x ≤yB ．x ≥yC ．x <yD ．x >y (2)对于a ＞0，b ＞0，下列不等式中不正确的是( ) A.ab 2＜1a ＋1b B ．ab ≤a 2＋b 22 C ．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22D.⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(3)若角α，β满足－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，则2α＋β的取值范围是( )A ．－π<2α＋β<0B ．－π<2α＋β<πC ．－3π2<2α＋β<π2D ．－3π2<2α＋β<3π2[集训冲关]1．若a >b ，x >y ，下列不等式正确的是( )A ．a ＋x <b ＋yB ．ax >byC ．|a |x ≥|a |yD ．(a －b )x <(a －b )y 2．已知a ＋b <0，且a >0，则( )A ．a 2<－ab <b 2B ．b 2<－ab <a 2C ．a 2<b 2<－abD ．－ab <b 2<a 23．若0＜a ＜1,0＜b ＜1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b4．已知a <b <c ，试比较a 2b ＋b 2c ＋c 2a 与ab 2＋bc 2＋ca 2的大小．高频考点二|基本不等式及应用[例2] (1)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝________. (3)某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)为50<x ≤80时，每天售出的件数为P ＝105(x －40)2，若要使每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元？[集训冲关]1.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.3222．设a ＞0，若对于任意的正数m ，n ，都有m ＋n ＝8，则满足1a ≤1m ＋4n ＋1的a 的取值范围是________．3．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位 m/s)、平均车长l (单位：m)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为____辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时． 4．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求2x ＋y 的最小值．高频考点三|一元二次不等式及其应用[例3] (1)解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.(2)甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． ①要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3 000元，求x 的取值范围；②要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．[集训冲关]1．若不等式－x 2＋mx －1＞0有解，则m 的取值范围是( ) A ．m <－2或m >2 B ．－2<m <2 C ．m ≠±2D ．1<m <32．关于x 的不等式x 2－ax －6a 2>0(a <0)的解集为{x |x <x 1或x >x 2}，且x 2－x 1＝52，则a 的值为( )A ．－ 5B ．－32C ．－ 2D ．－523．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？高频考点四|一元二次函数、方程和不等式[例4] 若不等式x 2＋ax ＋3－a >0对于满足－2≤x ≤2的一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．[集训冲关]1．若关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根均大于1，则m 的取值范围是________．2．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .一、选择题1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >B D ．A >B2．设集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，集合B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |－1<x <1} C ．{x |1<x <2} D ．{x |2<x <3}3．设m >1，P ＝m ＋4m －1，Q ＝5，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P <Q B ．P ＝Q C ．P ≥QD ．P ≤Q4．若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2<x <－14，则a ＋b 等于( ) A ．－18 B ．8 C ．－13 D ．15．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤2 B ．a ≥2 C ．a ≥3D ．a ≤36.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB .设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 7．对任意实数x ，不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．{a |－2<a ≤2} B ．{a |－2≤a ≤2} C ．{a |a <－2或a >2}D ．{a |a ≤－2或a >2}8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定二、填空题 9．若a ＜b ＜0，则1a －b与1a 的大小关系为________． 10．已知x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．11．关于x 的不等式ax －b >0的解集是{x |x >1}，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)>0的解集是________．12．若m 2x －1mx ＋1＜0(m ≠0)对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是________．三、解答题13. 当x >3时，求2x 2x －3的取值范围．14．解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2<0.15．已知a >0，b >0，1a ＋1b ＝1，求1a －1＋9b －1的最小值．16. 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元．(1)写出钻石的价值y 关于钻石重量x 的关系式；(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n 克拉，试证明：当m ＝n 时，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率＝原有价值－现有价值原有价值×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计)。

《二次函数与一元二次方程、不等式》知识点

二次函数与一元二次方程、不等式
1．一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如20(0)ax bx c ++>≥或2
0(0)ax bx c ++<≤（其中a ，b ，c 均为常数，)0a ≠的不等式都是一元二次不等式．
2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，
相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集． 24b ac ∆=-
0>∆ 0=∆ 0<∆
二次函数 c
bx ax y ++=2（0>a ）的图象
20
(0)ax bx c a ++=>的根
有两相异实根
)(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根的解集
)0(0
2>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集
)0(0
2><++a c bx ax {}21x x x x << ∅ ∅。

二次函数与一元二次方程、不等式

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时二次函数与一元二次方程、不等式
1.一元二次不等式的概念只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是: ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0).
【思考】 (1)不等式x2+ 2 >0是一元二次不等式吗?
【解析】原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0. 对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a. ①当a>0时,x1>x2, 不等式的解集为{x|-a<x<2a}; ②当a=0时,原不等式化为x2<0,无解;
③当a<0时,x1<x2,不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 综上,当a>0时,原不等式的解集为{x|-a<x<2a}; 当a=0时,原不等式的解集为∅; 当a<0时,原不等式的解集为{x|2a<x<-a}.
(2)当Δ =0时,不等式ax2+bx+c≥0(a>0)与ax2+bx+c≤0 (a>0)的解集分别是什么? 提示:R,{x|x=x1}
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)mx2-5x<0是一元二次不等式. ( ) (2)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+ bx+c>0的解集为R. ( )
(3)设二次方程f(x)=0的两解为x1,x2,则一元二次不等式f(x)>0的解集不可能为{x|x1<x<x2}. ( ) (4)不等式ax2+bx+c≤0(a≠0)或ax2+bx+c≥0(a≠0)的解集为空集,则函数f(x)=ax2+bx+c无零点. ( )

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(全部)

【对点练习】❶ 若关于 x 的不等式 ax2＋(a－2)x－2≤0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
题型二一元二次方程根的分布例 2 已知方程 8x2－(m－1)x＋m－7＝0 有两实根，如果两实根都大于 1，求实数 m 的取值范围．
[归纳提升] 方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布情况如下，其中 x1，x2 为该方程两根：
【对点练习】❶ 不等式 6x2＋x－2≤0 的解集为
.
题型二三个“二次”的关系例 2 已知不等式 ax2－bx＋2<0 的解集为{x|1<x<2}，求 a，b 的值．
[归纳提升] 给出了一元二次不等式的解集，则可知 a 的符号和 ax2＋bx＋c＝0 的两实根，由根与系数的关系
可知 a，b，c 之间的关系．
)
1－4x
|－1≤x≤1
A． x 3 4
|－1≤x<1
B． x 3 4
|x>1或 x≤－1
C． x 4
3
|x≥1或 x≤－1
D． x 4
3
x－1 3．已知 0<a<1，关于 x 的不等式(x－a) a >0 的解集为( )
|x<a 或 x>1
A． x
a
B．{x|x>a}
|x<1或 x>a
C． x a
课堂检测 1．求下列不等式的解集：
(1)(x＋2)(x－3)>0；(2)3x2－7x≤10；(3)－x2＋4x－4<0；(4)x2－x＋1<0；(5)－2x2＋x≤－3；(6)x2－3x＋4>0. 4
2．当自变量 x 在什么范围取值时，下列函数的值等于 0？大于 0？小于 0?

二次函数与一元二次方程、不等式_课件

对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一.次不等式组求解，但要注意分母不为零.
对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.
拓展练习变式训练2：解下列不等式：
∴原不等式的解集为
拓展练习变式训练2：解下列不等式：
(3){x|x≠2}
2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0?大于0?小于 0? （1）y=3x²-6x+2;（2）y=25-x²; （3）y=x²＋6x+10;（4）y=-3x²＋12x-12.
(2) 令25-x²=0，则z=±5，又由y=25-x²图象的开口方向朝下，故z=±5 时，函数的值等于0，当-5 (3)令x²＋6z＋10=0，则方程无解，又由y=x²＋6x＋10 图象的开口方向上，故无论x须何值，函数值均大于0; (4)x=2时，函数的值等于0；当x≠2时，函数值小于 0.
∴原不等式的解集为
知识拓展
简单高次不等式的解法
知识拓展 [解析]原不等式等价于x(x+2)(x3)<0. 结合数轴穿针法（如图）可知
[答案]A
拓展练习变式训练3：解不等式：x(x-1)²(x+1)³(x-2)>0.
∴原不等式的解集为
1.求下列不等式的解集∶ (1)(x+2)(x-3)>0;(2)3x²-7x≤10; (3)-x²+4x-4<0;(4)x²-x+<0; (5)-2x²+x≤-3;(6)x²-3x+4>0; 答案（1）{x|x<-2,或x>3} (4)不等式的解集为
程

二次函数与一元二次方程、不等式一元二次函数、方程和不等式课件PPT

二次函数与一元二次方程、不等式
0，图象在
x
轴的上方；一元二次
3 二次函数与一元二次方程、不等式
3 3
不等式 ax ＋bx＋c>0 二二次次函函数数与与一一元元二二次次方方2 程程、、不不等等式式的解集即二次函数图象在 x 轴上方部分的
3 二次函数与一元二次方程、不等式
3 二次函数与一元二次方程、不等式
栏目导引
第二章一元二次函数、方程和不等式
3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋ c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝ 0(a>0)的根
有两个不相等有两个相等的实
的实数根 x1， x2(x1<x2)
数根 x1＝x2＝－2ba 没有实数根
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第二章一元二次函数、方程和不等式
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第二章一元二次函数、方程和不等式
4．求解一元二次不等式的过程
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第二章一元二次函数、方程和不等式
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x<0 是一元二次不等式．( × ) (2)不等式 x2－2x＋3>0 的解集为 R.( √ ) (3)若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根为 x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为{x|x1<x<x2}．( × )
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第二章一元二次函数、方程和不等式
不等式 3x2－2x＋1>0 的解集为( )
A．x－1<x<13 C．∅
B．x13<x<1 D．R

二次函数与一元二次方程不等式

二次函数与一元二次方程、不等式【教材分析】三个“二次〞即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次〞问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。

【教学目标】课程目标1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。

2．使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题。

3．渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。

数学学科素养1．数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；2．逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；3．数学运算：解一元二次不等式；4．数据分析：一元二次不等式解决实际问题；5．数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。

【教学重难点】重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集；难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。

【教学准备】【教学方法】以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

【教学过程】一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题。

类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察。

研探。

二、预习课本，引入新课阅读课本，思考并完成以下问题1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系。

2．解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表答复以下问题。

三、新知探究1．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ=b 2-4acΔ>0 Δ=0 Δ<0二次函数y=ax 2+bx+c〔a>0〕的图象一元二次方程ax2+bx+c=0 〔a>0〕的根有两相异实根x1，x2〔x1<x2〕有两相等实根x1=x2没有实数根ax2+bx+c>0 〔a>0〕的解集{x|x>x2或x<x1}{x|x≠−2ba}Rax2+bx+c<0 〔a>0〕的解集{x|x1<x<x2}∅∅ab2-=2．一元二次不等式ax2+bx+c>0〔a>0〕的求解的算法。

专题3 二次函数与一元二次方程不等式

专题3 二次函数与一元二次方程不等式知识点一一元二次不等式的概念解析只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式.ax 2＋bx ＋c >0，ax 2＋bx ＋c <0，ax 2＋bx ＋c ≥0，ax 2＋bx ＋c ≤0，其中a ≠0，a ，b ，c 均为常数. 思考 a 2b ＋2ab 2＋8>0(ab ≠0)可看作一元二次不等式吗？可以，把b 看作常数，则是关于a 的一元二次不等式；把a 看作常数，则是关于b 的一元二次不等式．知识点二二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系有两个相等的实数根20ax bx c ++>意味着c bx ax y ++=中0>y 部分，0<++c bx ax 意味着c bx ax y ++=中0<y 部分，0))((212=--=++x x x x a c bx ax ，求出两个根1x ，2x ；根据图像可知：开口向上时，大于取两边，小于取中间，反之亦然．【例1】解关于x 的不等式 0322>+--x x ．【例2】解关于x 的不等式1112≥+-x x ．【例3】已知关于x 的不等式0232>+-x ax 的解集为1|{<x x 或}b x >．（1）求a ，b ；（2）解关于x 的不等式)(0)(2R c bc x b ac ax ∈<++-．知识点三一元二次不等式与韦达定理①已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为),(n m （其中0>mn ），解关于x 的不等式02>++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为),(n m ，得:01)1(2>++c x b x a 的解集为)1,1(mn ，即关于x 的不等式02>++a bx cx 的解集为)1,1(mn ．②已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为),(n m ，解关于x 的不等式02≤++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为),(n m ，得:01)1(2≤++c x b x a 的解集为),1[]1,(+∞-∞mn 即关于x 的不等式02≤++a bx cx 的解集为),1[]1,(+∞-∞mn ．③已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为),(n m （其中0>>n m ），解关于x 的不等式02>+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为),(n m ，得:01)1(2>+-c x b x a 的解集为)1,1(nm --即关于x 的不等式02>+-a bx cx 的解集为)1,1(n m --．④已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为),(n m ，解关于x 的不等式02≤+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为),(n m ，得:01)1(2≤+-c x b x a 的解集为),1[]1,(+∞---∞nm 即关于x 的不等式02≤+-a bx cx 的解集为),1[]1,(+∞---∞nm ，以此类推．【例4】不等式02>++c bx ax 的解集为}42|{<<x x ，则不等式02<++a bx cx 的解集为（）A ．41|{<x x 或}21>xB ．}41|{<x xC ．}21|{>x xD ．}4121|{<<x x知识点四二次项系数含参的一元二次不等式问题（1）分析当0=a 时的情况．（2）十字相乘得到))((21x x x x a --，求出两个根1x ，2x ，若不能十字相乘，则要讨论∆的情况．（3）比较两个根的大小，21x x =；21x x >；21x x <，并分别进行讨论．（4）其中一种情况涉及到0>a 以及0<a ，再分开口方向讨论．【例5】解关于x 的不等式：)(222R a ax x ax ∈-≥-．知识点五乘除的等价原理和穿根法（1）若0)()(<x g x f ，则)(x f 与)(x g 异号，0)()(<∴x g x f ．（2）若0)()(≤x g x f ，则()()f x g x 与异号，0)()(≤∴x g x f ，且0)(≠x g ．（3）若0)()(>x g x f ，则()()f x g x 与同号，0)()(>∴x g x f ．（4）若0)()(≥x g x f ，则()()f x g x 与同号，0)()(≥∴x g x f ，且0)(≠x g ．数轴穿根法0))...()(()(21>---=n x x x x x x x f 或者0))...()(()(21<---=n x x x x x x x f口诀：移项调号，分解排序，奇穿偶回，分母非零，参数讨论，小心等号．【例6】解关于x 的不等式：02<--ax ax （R a ∈）．【例7】解关于x 的不等式：a x x-<-11．【例8】解关于x 的不等式：)23(0)3)(2(-≠≠<-+-a a x x ax ，且知识点六对勾函数解决恒成立和实根分布问题对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如bx ax x f +=)( 当b a ,同为正数时，b x ax x f +=)(的图象是由直线ax y =与双曲线bxy =构成，形状酷似双勾．故称“对勾函数”，也称“耐克函数”．耐克函数的顶点：)2,(ab a b 和)2,(ab a b--【例9】已知函数01)(2≥+-=ax x x f 对于一切]21,0(∈x 成立，求a 的取值范围．【例10】方程042=+-ax x 在区间]1,0[内有解，求a 的取值范围．知识点七二次函数轴动区间定和轴定区间动口诀：轴在区间内，顶点定；轴在区间外，单调定．【例11】若函数728)(2--=kx x x f 在]51[，上为单调函数，则实数k 的取值范围是（） A ．]8(，-∞B ．），∞+40[C ．)40[]8(∞+-∞，，D ．]408[，【例12】已知函数542+-=x x y 在闭区间]0[m ，上有最大值5，最小值1，则m 的取值范围是（） A ．]10[，B ．]21[，C ．]20[，D ．]42[，【例13】若函数9)(2+-=tx x x f ，若对任意]51[，∈x 不等式0)(≥x f 恒成立，则实数t 的最大值为．归纳总结：在关于二次函数轴动区间定的题型时，若只考查单调性，显然直接法更简单，遇到恒成立或者零点分布类型题目时，显然参变分离更简单．轴定区间动显然还是直接讨论并卡根更加直截了当．关于零点分布，进行区间端点和对称轴一起来“卡根”，端点值往往形成一种“定海神针”感觉，接下来我们通过题目分析这类方法．【例14】（2022•长沙月考）设函数1)(2++=ax x x f ．（1）已知函数)(log )(2x f x g =的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）已知方程0)(=x f 有两个实数根1x ，2x ，且1x ，)20(2，∈x ，求实数a 的取值范围．归纳总结此题明显参变分离解题更为简单，下面我们将系统分析参变分离和定海神针方法各自的适用范围．【例15】（2022•湖北月考）已知函数2()1f x ax x a =+++．（1）若函数x x f y +=)(有唯一的零点，求a 的值；（2）设0>a ，若对任意的]21[，∈x ，不等式)(2x f x ≤恒成立，求a 的取值范围．知识点八二次函数零点分布之两零点分布在同一区间型二次函数的两个零点位于同一区间或者在某个区间存在零点时，参变分离转化为区间的值域或者交点问题，显然事半功倍．【例16】（2022•安徽月考）已知2()234f x x mx m =+++．（1）若1m =-且]30[，∈x ，求()f x 的单调区间；（2）当m 为何值时，()f x 有2个零点，且均比1-大．【例17】（2022•襄阳月考）若关于x 的一元二次方程2(3)10mx m x +-+=至少有一个正根，求m 的取值范围．知识点九二次函数单零点分布之卡根法第一类恒成立（能成立）的异号类二次函数开口方向和不等号方向反向，即)0(02><++a c bx ax 恒成立，或者)0(02<>++a c bx ax 恒成立．【例18】不等式22(2)0x a x a --+<对任意(15)x ∈，恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．5a >B ．5≥aC ．55a -<<D ．55≤≤-a第二类零点问题的分散或者范围内单个零点如果两个零点在不同区间或者某个区间只有一个零点时，端点值的正负号将决定参数的取值范围．【例19】若方程02)11(52=-+-+a x a x 的一个根在)10(，内，另一个根在)21(，内，则实数a 的取值范围是（）A ．)234(，B ．)2(∞+，C ．)434(，D ．)42(，【例20】已知关于x 的方程025222=---k x kx 的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k 的取值范围是．第三类综合问题的处理策略在轴动区间定的情况下，若参变分离出现正负号不确定时也需要分类讨论，不等号方向涉及改变，此时只需分两类，而常规的定海神针卡根法需要分三类．【例21】已知函数a ax x x f -++=3)(2，若]22[，-∈x 时，0)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围．【例22】（2007•广东）已知a 是实数，函数a x ax x f --+=322)(2，如果函数)(x f y =在区间]11[，-上有零点，求a 的取值范围．1.（2015•广东）不等式2340x x --+>的解集为．（用区间表示）2.（2015•上海）函数224y x x =-+，[0x ∈，2]的值域为 [3，4] ．3.（2017•北京）已知0x ，0y ，且1x y +=，则22x y +的取值范围是 1[2，1] ．4.（2022•雨花区开学）一条抛物线2y ax bx c =++的顶点为(4,11)-，且与x 轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a 、b 、c 中为正数的( ) A ．只有aB ．只有bC ．只有cD ．只有a 和b5.（2015•四川）如果函数21()(2)(8)1(02f x m x n x m =-+-+，0)n 在区间1[,2]2上单调递减，那么mn 的最大值为( ) A ．16B ．18C ．25D ．8126.（2022•龙凤区期末）已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈的值域为[0，)+∞，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(,6)m m +，则实数c 的值为( ) A ．6B ．7C ．9D ．107．（2022•浙江开学）已知实数m ，n ，函数2()f x x mx n =++，满足f （2）f ⋅（3）0，则22m mn +的最大值为( ) A ．163B ．815C ．813D ．1658．（2022•连云区开学）若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围是( )A ．30k -<<B ．30k -C ．30k -<D ．3k <-或0k9.（2022•榆林期末）若关于x 的不等式220ax x -+>的解集为{|2}x x b -<<，则函数()2f x bx =+在区间[0，9]上的最小值为( ) A ．1-B ．0C ．2D ．310.（2022•双鸭山期末）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(2,4)-，则不等式20cx bx a -+<的解集是( )A ．1{|2x x <-或1}4x >B ．{11|}42x x -<<C ．1{|4x x <-或1}2x >D ．11{|}24x x -<<11.（2022•兴化市模拟）若正实数a ，b 满足1a b +=，则函数2()(31)36f x abx b x ab =++-的零点的最大值为( )A B C ．2D ．312.下列结论错误的是( )A ．若函数2(0)y ax bx c a =++≠对应的方程没有根，则不等式20ax bx c ++>的解集为RB ．不等式20(0)ax bx c a ++≠在R 上恒成立的条件是0a <且△240b ac =-C ．若关于x 的不等式210ax x +-的解集为R ，则14a -D ．不等式11x>的解为1x < 13.（2022•义乌期末）已知二次函数2()f x ax bx c =++，若360a b c ++=，(0)0f <，f （1）0<，则()0f x =的根的分布情况可能为( )A ．()0f x =可能无解B ．()0f x =有两相等解0x ，且0(0,1)x ∈C ．()0f x =有两个不同解1x ，2(0,1)x ∈D ．()0f x =有两个都不在(0,1)内的不同解1x ，2x14.（2022•雨花区开学）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的大致图象如图所示，顶点坐标为(2,9)a --，下列结论：①0abc >；②420a b c ++<；③90a b c -+=；④若方程(5)(1)1a x x +-=-有两个根1x 和2x ，且12x x <，则1251x x -<<<；⑤若方程2||1ax bx c ++=有四个根，则这四个根的和为8-，其中正确的结论有个．15.（2022•长沙月考）已知不等式04211<⋅+-+x x a 对一切)1[∞+∈，x 恒成立，则实数a 的取值范围是．16.（2022•嘉兴期末）已知函数2)(2++=ax x x f ．（1）当3=a 时，解不等式0)(<x f ；（2）当]21[，∈x 时，0)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围． 17.（2022•定州期中）已知函数2()24()f x x mx m m R =-+-∈．（1）当1m =时，求不等式0)(≥x f 的解集；（2）当2x >时，不等式1)(-≥x f 恒成立，求m 的取值范围．18（2022•佛山期末）设二次函数为mxx x f +=2)(．（1）若对任意实数]10[，∈m ，0)(>x f 恒成立，求实数x 的取值范围；（2）若存在]43[0，-∈x ，使得4)(0-≤x f 成立，求实数m 的取值范围． 19.若函数2()4f x x kx =-+在区间)61(，内有零点，求k 的取值范围．20.（2007•湖北）设二次函数a ax x x f ++=2)(，方程0)(=-x x f 的两根1x 和2x 满足1021<<<x x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）试比较)0()1()0(f f f -⋅与151的大小，并说明理由． 21.（2022•南京模拟）已知函数2()22f x x ax =++．（1）当1a =时，求函数()f x 在23x -<上的取值范围；（2）当1a =-时，求函数()f x 在1t x t +上的最大值． 22．（2022•北京期末）已知函数2()3f x x ax a =--+．（Ⅰ）设()f x 的两个零点分别为1x ，2x ，若1x ，2x 同号，且12x x ≠，求a 的取值范围；（Ⅱ）()f x 在区间[1，)+∞上的最小值为3，求a 的值．。