函数极限与导数基础
函数的导数与极限的关系
函数的导数与极限的关系函数的导数与极限是微积分中两个重要的概念，它们在数学和科学领域中具有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨函数的导数与极限之间的关系，以及它们在实际问题中的作用。
一、函数的导数函数的导数是描述函数变化率的概念，表示函数在某一点处的瞬时变化率。
简单来说，导数可以理解为函数在某一点的斜率。
假设函数f(x)表示某一变量x的函数，函数在点x处的导数表示为f'(x)，可以通过求函数在该点的斜率来计算。
导数的定义可以表达为：f'(x) = lim (h→0) [(f(x+h) - f(x))/h]其中，lim表示极限，h表示x的增量。
计算导数的过程涉及到求极限的操作。
二、函数的极限函数的极限是描述函数在某一点处的趋势的概念。
当自变量x趋近于某一点时，函数f(x)的极限表示为lim (x→a) f(x)，其中a为给定的常数。
极限可以分为左极限和右极限。
左极限表示当自变量x从左侧趋近于a时，函数f(x)的极限值；右极限表示当自变量x从右侧趋近于a时，函数f(x)的极限值。
当左极限等于右极限时，函数的极限存在。
计算函数的极限需要考虑函数在给定点处的趋势以及可能的奇点或不连续点。
三、导数与极限的关系导数和极限在微积分中密切相关。
事实上，导数可以通过函数的极限来定义。
当函数f(x)在某一点x处可导时，该点的导数就等于该点的极限。
具体而言，导数可以通过计算函数在该点的极限的斜率来获得。
此外，函数的极限也可以通过导数来计算。
如果函数在某一点处存在导数，那么该点的极限就等于该点的导数。
综上所述，导数和极限是紧密关联的。
导数可以通过计算函数的极限来获得，而函数的极限也可以通过导数来计算。
它们相互补充，帮助我们理解函数的性质和变化趋势。
四、导数与极限在实际问题中的应用导数和极限在实际问题中有着广泛的应用。
它们可以帮助我们解决各种与变化率和趋势相关的问题。
例如，在经济学中，我们可以使用导数来计算边际效应，帮助决策者做出最优的经济选择。
极限与函数的导数
极限与函数的导数在微积分学中，极限和函数的导数是两个基础概念。
极限可以用来描述函数在某一点附近的行为，而导数则表示函数在某一点的变化率。
本文将探讨极限与函数的导数之间的关系以及它们在实际应用中的意义。
一、极限的概念极限是描述函数在某一点附近值的性质的概念。
当自变量趋近于某个值时，函数的取值是否会趋近于某个确定的值。
数学上，我们用极限符号“lim”来表示某个函数在某一点附近的极限。
例如，当x趋近于a时，函数f(x)的极限可以表示为lim(x→a)f(x)。
二、导数的定义函数的导数表示函数在某一点的变化率，也可以看作是函数图像的切线斜率。
数学上，我们用dy/dx或f'(x)来表示函数f(x)的导数。
导数的计算可以通过求出函数在某一点的极限来实现。
函数f(x)在x=a处的导数可以表示为lim(h→0)(f(a+h)-f(a))/h或f'(a)。
三、极限与导数的关系极限与导数之间有着密切的关系。
实际上，函数在某一点处可导，意味着该点的极限存在。
换句话说，如果函数在某一点可以取导数，那么该点的极限也必然存在。
这一点可以通过导数定义中求极限的过程来理解。
四、导数的应用导数在实际应用中有着广泛的应用。
以下是导数在几个领域的具体应用：1. 科学和工程学中的模型建立：通过利用导数来描述变化率和曲线的斜率，我们可以建立各种科学和工程中的模型，例如物理学中的运动学模型、化学中的反应速率模型等。
2. 经济学中的边际效应：在经济学中，导数用于计算边际效应，即某一决策在单个单位变化时产生的额外效果。
例如，成本函数的导数可以用于计算每一单位产品的成本变化。
3. 优化问题：导数可以用于解决优化问题，例如在工程设计中最小化材料使用量的问题。
通过计算函数的导数，我们可以找到函数的最小值或最大值点。
4. 物理学中的速度和加速度：在物理学中，速度和加速度是描述物体运动的重要量。
通过求取位移函数的导数，我们可以得到速度和通过速度的导数得到加速度。
导数定义与极限
解 （[ c） s 2 f( x i) ] n 2 sf i( x n ) cfo ( x )fs ( x ) [f(c 2x ) o ] f s(c 2x ) o 2 (c sx o sx s i)n
. y[s2if(n x)] [f(c2x o )]s 2 sf i(x n )cfo (x )fs (x ) f(c2o x) s (2co xssixn )
练习2 设函数
处可导, 试用导数
（2） f(x)2x2xx
(2)用导数定义求导
问下列结论成立?
（a） f ( x) 在点0处连续? 显然连续 （b） f ( x) 在点0处可导? 解
（c） f (0)?
解
解（b）
2x2xx f (x)
0,
x0, f (0)0 0x
f (0 )xl 0 i 0m f(x x ) 0 f(0 )lx i0fm (x x)
将 y2xln 2y代 入 y......... x2yln 2
解（b） x y y x , 换底 eylnx exlny
对x求导得 eylnx x yylnx exlny lnyx yy
y
yx(lny)xyy x
xy lnxyxxy
yx lnyxy1y xy lnxyx1x
用xy yx化简
2
y解n（c）x41x2n16x14x12n
1
1
n
1
n
6x4 x2
161nn!x14n1x12n1
zD+eCsacZEOIPp&Wr182aZBCj7uG136zL)Uz y8V!RV r%QhXZOSr+ &GoGN1)&hnCi!Tl#ZID2wbE1&LG7Fr%CK HVIuHCGcJq
导数与函数的极限关系归纳
导数与函数的极限关系归纳在微积分领域中，导数与函数的极限是两个核心概念。
它们之间有着密切的关系，相互之间可以通过数学定理和公式进行转化和推导。
本文将对导数与函数的极限关系进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、导数的定义与函数的极限导数是描述函数变化率的工具，它代表了函数在某一点的瞬时变化速率。
函数的极限则是描述函数在无穷接近某一点时的值趋势。
导数和函数的极限之间的关系可以通过导数的定义和极限的计算来确定。
二、导数与函数极限的关联定理1. 函数在某一点可导，则在该点必定存在极限。
这是因为导数的存在要求函数在该点的斜率存在，而斜率的存在又要求函数在该点必须是连续的，即函数在该点存在极限。
2. 函数在某一点不可导，则在该点的极限未必存在。
这是因为函数不可导说明在该点的斜率不存在，而不存在的斜率会导致函数在该点的极限未必存在。
三、导数和函数极限的计算方法1. 利用导数计算函数在某一点的极限。
当函数在某一点可导时，可以通过导数公式来计算函数在该点的极限。
2. 利用极限计算函数的导数。
当函数在某一点存在极限时，可以利用求极限的方法来计算函数在该点的导数。
这两种方法的应用范围不同，但都是导数与函数极限关系的重要表现形式。
四、导数和函数极限的性质1. 函数在连续的区间上可导，则在该区间上函数的极限存在。
这是因为可导性要求函数在该区间上连续，而连续函数的极限存在。
2. 函数在某一点可导，则在该点的左极限和右极限存在且相等。
这些性质反映了导数与函数极限之间的密切关系，同时也为我们研究函数的性质提供了有效的工具。
五、导数与函数极限的应用导数和函数极限是微积分理论的基础，也是应用于实际问题解决中的重要工具。
它们可以用来求解函数的最值、优化问题、判断函数的增减性等等。
在自然科学、工程技术和经济管理等领域中都有广泛的应用。
综上所述，导数与函数的极限是微积分中的重要概念，它们之间存在着密切的关系。
导数和极限的计算方法、关联定理、性质和应用，都为我们探索和应用微积分提供了有力的工具和理论基础。
第二章 导数与极限 1
及 lim f ( x) = A, 得出: A > 0.
x→x0
ˆ 例如 在N (0, δ )内有 f ( x ) =| x |> 0,
但 lim | x |= A = 0.
x→0
说明: 定理4, 说明 定理 5, 6及推论所论极限 在自变量 的其它变化 及推论所论极限, 在自变量x的其它变化 趋势的情形下, →∞, →−∞, 趋势的情形下 即: x→x0−, x→x0+, x→∞ x→+∞, x→−∞ → → →∞ → ∞ →−∞ 都有类似的结论。 都有类似的结论。
y
y=|x|
| x|−|0| x lim+ = lim+ = 1, x →0 x→0 x x−0 | x |−|0| 故 lim 不存在 x →0 x − 0
所以函数 f ( x ) =| x | 在 x = 0 处不可导.
O
x
10
求取整函数f(x)=[x]在整数点 0=n处的左极限和右极限 在整数点x 处的左极限和右极限 处的左极限和右极限. 例10. 求取整函数 在整数点
x→n x→n
11
C. 自变量趋于无穷大时函数的极限 设函数f(x)在|x|≥a (a≥0)上有定义 如果存在常 上有定义, 定义 设函数 在 ≥ ≥ 上有定义 如果存在常 使对任意给定的正数ε 总存在正数 正数X, 数A, 使对任意给定的正数ε, 总存在正数 当 |x|>X, 有: |f(x)−A|<ε 成立 > − < 成立,
f ( x0 + 0) = A.
注意 : { x 0 < x − x0 < δ } = { x 0 < x − x0 < δ } U { x − δ < x − x0 < 0}
极限基本求导积分公式
极限基本求导积分公式1.极限的定义和性质：极限是描述函数趋势的概念，表示函数在其中一点逐渐接近于一些值。
常用的极限定义和性质有：- 极限的定义：对于函数 f(x)，当自变量 x 趋近于 a 时，如果存在一个实数 L，使得对于任意一个足够小的正数ε，都存在一个正数δ，使得当 0 < ，x-a，< δ 时，有，f(x)-L，< ε，则称 L 为函数f(x) 在 x=a 处的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。
-极限的四则运算性质：设函数f(x)和g(x)在x=a处的极限都存在且为L和M，则有以下四则运算性质：- lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L + M- lim(x→a) [f(x) - g(x)] = L - M- lim(x→a) [f(x) * g(x)] = L * M- lim(x→a) [f(x) / g(x)] = L / M (如果M ≠ 0)2.基本求导公式：求导是求函数在其中一点的斜率，也就是函数的变化率。
根据导数的定义，我们可以推导出一系列函数的导数公式：-常数函数导数：如果f(x)=C，其中C是一个常数，则f'(x)=0。
-幂函数导数：如果f(x)=x^n，其中n是正整数或实数，则f'(x)=n*x^(n-1)。
- 指数函数导数：如果 f(x) = a^x，其中 a 是正实数且a ≠ 1，则 f'(x) = ln(a) * a^x。
- 对数函数导数：如果 f(x) = log_a(x)，其中 a 是正实数且a ≠ 1，则 f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
-三角函数导数：- sin(x) 的导数为 cos(x)。
- cos(x) 的导数为 -sin(x)。
- tan(x) 的导数为 sec^2(x)。
- cot(x) 的导数为 -csc^2(x)。
-反三角函数导数：- arcsin(x) 的导数为 1 / sqrt(1-x^2)。
函数求导练习掌握极限与导数的计算方法
函数求导练习掌握极限与导数的计算方法在数学中，函数的导数是研究函数变化率的一种工具，它是微积分中的重要概念之一。
对于已知函数，我们可以通过求导的方式，来计算函数在某一点的斜率以及变化率。
因此，掌握函数求导的方法对于深入理解数学和应用于实际问题都具有重要意义。
本文将介绍函数求导的基本方法，并提供一些练习题帮助读者巩固对极限和导数的计算方法的掌握。
1. 极限的基本概念在开始讨论函数的导数之前，我们首先需要回顾一下极限的基本概念。
在数学中，极限表示一个变量无限接近于某个值时的情况。
对于一个函数f(x)，我们通常用lim表示其极限，格式如下：lim(x→a) f(x) = L其中，当x无限接近于a时，函数f(x)的值趋近于L。
这个概念对于导数的计算非常重要，因为求导可以看作是计算函数在某一点上的极限。
2. 导数的定义函数的导数代表着函数在某一点上的变化率。
对于已知函数f(x)，我们可以通过求导公式来计算其导数。
函数f(x)在某一点x=a处的导数表示为f'(a)，其定义如下：f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h这个定义的意思是，当我们取一个非常小的h（趋近于0）时，函数在点a上的增量f(a+h) - f(a)与h的比值就趋近于导数。
3. 导数的计算方法在求导的过程中，我们可以使用一些规则来计算各种不同类型函数的导数。
以下是一些常见函数求导的规则：- 常数规则：常数的导数为0.- 幂函数规则：对于函数f(x) = x^n，其中n为常数，则导数为f'(x)= nx^(n-1)。
- 指数函数规则：对于指数函数f(x) = e^x，其导数为f'(x) = e^x。
- 对数函数规则：对于对数函数f(x) = ln(x)，则导数为f'(x) = 1/x。
- 三角函数规则：对于三角函数f(x) = sin(x)，其导数为f'(x) = cos(x)。
大一高数重点
导数与极限（一）极限 1. 概念（1）自变量趋向于有限值的函数极限定义（δε-定义）Ax f ax =→)(l i m ⇔0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<-|)(|A x f 。
（2）单侧极限左极限： =-)0(a f Ax f a x =-→)(lim ⇔0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<x a 0时，有ε<-|)(|A x f 。
右极限： =+)0(a f Ax f ax =+→)(lim ⇔0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<a x 0时，有ε<-|)(|A x f 。
（3）自变量趋向于无穷大的函数极限定义1：0,0>∃>∀X ε，当X x >，成立()ε<-A x f ，则称常数A 为函数()x f 在x 趋于无穷时的极限，记为()Ax f x =∞→lim 。
A y =为曲线()x f y =的水平渐近线。
定义2：00>∃>∀X ，ε，当X x >时，成立()ε<-A x f ，则有()A x f x =+∞→lim 。
定义3：00>∃>∀X ，ε，当X x -<时，成立()ε<-A x f ，则有()Ax f x =-∞→lim 。
运算法则：1) 1) 若()A x f =lim ，()∞=x g lim ，则()()[]∞=+x g x f lim 。
2) 2) 若()()∞≠=但可为,0lim A x f ，()∞=x g lim ，则()()∞=∙x g x f lim 。
3) 3) 若()∞=x f lim ，则()01lim=x f 。
注：上述记号lim 是指同一变化过程。
（4）无穷小的定义0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<|)(|x f ，则称函数)(x f 在a x →时的无穷小（量），即 0)(lim =→x f a x 。
函数极限导数
函数极限导数函数是数学中十分重要的一个概念，它描述的是输入数值与输出数值之间的对应关系。
在许多情况下，我们需要对函数的性质进行分析与研究，其中最基本的概念之一就是函数的极限与导数。
本文将对函数极限与导数进行详细的阐述，解释它们的意义与计算方法。
一、函数极限函数极限是指当自变量趋近于某个值时，函数的取值趋近于一个有限的数值。
这个有限的数值称为函数的极限。
通常我们用符号lim来表示函数的极限。
例如，对于一个函数f(x)，当x趋近于a时，它的极限可以表示成：lim f(x) = L (x → a)其中，L是一个有限的数值。
表示的是当自变量x趋近于a时，函数f(x)的取值将趋近于L这个有限的数值。
有些情况下，我们也可以讨论函数在正无穷大或负无穷大处的极限，即：lim f(x) = L (x → ∞) 或(x → -∞)函数在无穷远处的极限表示的是当自变量x越来越大或越来越小时，函数的取值趋近于一个有限的数值L。
在计算函数极限时，我们需要考虑一些规则。
例如，当自变量趋近于某个值时，如果函数是连续的，则该函数在该点的极限等于函数在该点处的取值。
此外，我们还可以利用一些极限的性质来计算函数极限，例如：1. 常数的极限：lim c = c2. 多项式函数的极限：lim (a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_1*x + a_0) = a_n*a^(n)3. 两个极限的和的极限等于两个极限的(各自的)极限之和4. 两个极限的积的极限等于两个极限的极限之积此外，我们还可以使用洛必达法则来计算一些极限。
洛必达法则可以用于计算形如0/0和∞/∞的极限。
其核心思想是将极限转化为一个分式并求导，得到一个新的极限函数，再次利用洛必达法则计算新的极限，直到得到极限的准确结果。
二、函数导数函数的导数是一个十分重要的性质，它描述的是函数在某个点处的变化率。
图像上来看，函数的导数代表的是图像在该处的切线的斜率。
掌握高考数学中的导数与极限运算技巧有哪些关键点
掌握高考数学中的导数与极限运算技巧有哪些关键点导数与极限是高考数学中的重要内容，对于理工科考生来说尤其重要。
掌握导数与极限运算的关键点能够帮助考生提高解题效率，下面将介绍几个关键点。
一、理解导数的定义导数是描述函数在某一点的变化率的指标。
在掌握导数运算的关键点之前，我们需要先理解导数的定义。
导数的定义是函数的极限，即函数在某一点的导数等于该点处函数的极限。
这个定义非常重要，理解了这个定义之后才能更好地应用导数进行运算。
二、掌握导数基本运算法则在高考数学中，常见的导数基本运算法则有常数倍法则、和差法则、乘积法则、商法则等。
掌握这些法则是解题的基础，可以帮助考生更快速地求导数。
以乘积法则为例，乘积的导数等于一项的导数乘以另一项，再加上另一项的导数乘以一项，即(d(uv)/dx = u'v + uv')。
熟练掌握这些法则能够帮助考生迅速解题。
三、学会运用导数的性质导数具有一些特殊的性质，掌握这些性质可以简化计算过程。
比如，导数的和的导数等于各项导数的和，导数的差的导数等于各项导数的差，导数的幂的导数等于指数乘以底数的导数等等。
掌握这些性质可以在解题过程中灵活运用，提高解题效率。
四、了解常见的导数公式在高考数学中，有一些常见的函数的导数公式是需要掌握的，比如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
熟悉这些公式能够帮助考生更快地求出函数的导数。
需要注意的是，在使用这些公式时，要注意各种函数的复合运算，灵活运用链式法则。
五、熟练掌握极限运算的技巧极限是导数的基础，因此对极限运算的技巧的掌握也是非常重要的。
在高考数学中，常见的极限运算技巧有利用夹逼定理、利用等价无穷小、利用洛必达法则等。
熟练掌握这些技巧可以帮助考生更快地求解极限问题，尤其是在计算极限时遇到不确定型的问题。
综上所述，掌握高考数学中的导数与极限运算技巧的关键点主要包括理解导数的定义、掌握导数基本运算法则、学会运用导数的性质、了解常见的导数公式以及熟练掌握极限运算的技巧。
导数与函数的极限值问题归纳
导数与函数的极限值问题归纳在数学领域，导数和函数的极限值是两个非常重要的概念。
导数用于描述函数在某一点的变化率，而函数的极限值则是研究函数在整个定义域上的极值问题。
本文将对导数和函数的极限值问题进行归纳总结，并探讨它们之间的联系和应用。
一、导数的定义与性质1. 导数的定义导数是函数在某一点的变化率，通常用斜率来表示。
设函数f(x)在点x=a处可导，那么f(x)在点x=a处的导数可以用下列极限表示：f'(a) = lim┬(x→a)〖(f(x)-f(a))/(x-a) 〗2. 导数的性质a) 可导函数一定连续，但连续函数不一定可导；b) 若函数f(x)在点x=a可导，则f(x)在点x=a连续；c) 若函数f(x)在点x=a，b可导，则它在(a,b)内必可导。
3. 常见导数求法a) 基本初等函数的导数（如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等）；b) 导数的四则运算法则（加减乘除）；c) 复合函数的导数（链式法则）；d) 特殊函数的导数（反函数的导数、隐函数的导数等）。
二、函数的极限值问题1. 极值的定义函数在其定义域内的某一点上取得最大值或最小值时，称该点为函数的极值点，对应的函数值称为极值。
2. 极值的判定条件a) 必要条件：若f(x)在x=a处取得极值，则f'(a)=0 或f'(a)不存在；b) 充分条件：f'(a)=0 或f'(a)不存在时，并不能确定该点为极值点，还需通过二阶导数或借助临界点来判定。
3. 极大值和极小值的判定极值分为极大值和极小值，判定方法如下：a) 极大值：若f'(a)=0 且 f''(a)<0，则点x=a为极大值点；b) 极小值：若f'(a)=0 且 f''(a)>0，则点x=a为极小值点；4. 闭区间上的极值问题在闭区间[a, b]上求极值问题，可以通过以下步骤进行：a) 求出函数在开区间(a, b)内的临界点；b) 求出函数在闭区间[a, b]的端点处的函数值；c) 将临界点和端点处的函数值进行比较，确定极值的取值。
1.1 极限、导数与微分
*函数 f x 当x x0时极限存在的充分必要条件是左右极限相等 .
所以在例3中称 x0 是函数 y x当x x0时的右极限.
* 我们构造函数 x 1 x 0 f x 0 x0 x 1 x 0 来进一步说明左右极限 的概念与函数极限存在的充分必要条件. 可证当x 0时f x 的左极限 x 1 1, lim f x lim
推论1 如果 lim f x 存在, 而c为常数, 则 limcf x c lim f x . 推论2 如果 lim f x 存在, 而n为整数, 则 lim f x lim f x .
n n
定理4 如果 x x , 而 lim x a, lim x b, 那么a b.
限, 与f x 在点x0是否有定义并无关系 . * 定义1可以简单地表述为:
x x0
* 我们指出, 定义中0 x x0 表示x x0 , 所以x x0时f x 有没有极
lim f x A 0, 0, 当 0 x x0 时, 有 f x A .
叫做函数 f x 当x x0时的左极限, 记作 lim f x A 或 f x 0 A. x x0 x x0
在 lim f x A的定义中, 把0 x x0 改为x0 x x0 , 那么A就
叫做函数 f x 当x x0时的右极限, 记作 lim f x A 或 f x 0 A. x x0 x x0
x x0
A h x A 同时成立. 又因当x U x0 , r 时,
即 lim f x A.定理证毕.对x 证法完全类似
高中数学导数与极限ppt课件
n
n 趋向于无穷
大时，an 的极限等于 a”． “n→∞”表示“n 趋向于无穷大时” ，即 n 的无限增 大的意思. lim an a 有时也记作：当 n→∞时，an→a. n
4.函数的极限 当 x→∞时函数 f (x)的极限： 当自变量 x 取正值并且无 限增大时，如果函数 f (x)无限趋近于一个常数 a，就 说当 x 趋向于正无穷大时，函数 f (x)的极限是 a，记 作xlim f (x)=a， （或 x→+∞时，f (x)→a） 当自变量 x 取负值并且无限增大时，如果函数 f (x)无 限趋近于一个常数 a，就说当 x 趋向于负无穷大时， 函数 f (x)的极限是 a， 记作xli m f (x)=a, （或 x→-∞时,f (x) →a）注：自变量 x→+∞和 x→-∞都是单方向的，而 x→∞是双向的，故有以下等价命题 xli m f (x)= xli m f (x) =a
9．数学归纳法 数学归纳法的定义 在证明与自然数有关的数学命题时，以下列两步完 成： (1)当 n＝n0(n0 为确定的自然数)时，验证命题成立； (2)假设当 n＝k(k≥n0)时，命题成立， 则 n＝k＋1 时，命题也成立． 由(1)(2)知，命题成立． 这种证明数学命题的方法叫数学归纳法．
精品回扣练习
0
注：xl i mx f (x)= xl i mx f (x)=a
0 0
x x0
lim f (x)=a.并且可作为一个判
断函数在一点处有无极限的重要工具. 注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限
x x 0
lim
f (x)≠ xl i mx f (x);②x→x0 时，f (x)→±∞,③x→x0 时,f (x)
第64讲 极限和导数教案
极限和导数相关知识1.导数的有关概念。
(1)定义：函数y=f(x)的导数f /(x)，就是当0→∆x 时，函数的增量y ∆与自变量的增量x ∆的比xy ∆∆的极限，即xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim)(00/。
(2)实际背景：瞬时速度，加速度，角速度，电流等。
(3)几何意义：函数y=f(x)在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率。
2． 求导的方法： (1)常用的导数公式：C /=0（C 为常数）； (x m )/=mx m-1(m ∈Q); (sinx)/=cosx; (cosx)/= -sinx ; (e x )/=e x ; (a x )/=a xlnax x 1)(ln /=; e xx a a log 1)(log /=.(2)两个函数的四则运算的导数：).0(;)(;)(2/////////≠-=⎪⎭⎫⎝⎛+=±=±v v uv v u v u uv v u uv v u v u(3)复合函数的导数：x u xu y y ///⋅=3.导数的运用： (1)判断函数的单调性。
当函数y=f(x)在某个区域内可导时，如果f /(x)>0，则f(x)为增函数；如果f /(x)<0，则f(x)为减函数。
(2)极大值和极小值。
设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近所有的点，都有f(x)<f(x 0)（或f(x)>f(x 0)）,我们就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值（或极小值）。
(3)函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的求法。
A 类例题例1求函数的导数)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx xy ω22222(1)(1)cos (1)[(1)cos ](1):(1)cos x x x x x x y x x''-+--+'=+-解 2222222222222222(1)cos (1)[(1)cos (1)(cos )](1)cos (1)cos (1)[2cos (1)sin ](1)cos (21)cos (1)(1)sin (1)cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x''-+--+++=+-+---+=+--+-+=+(2)解 y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －by v =x ,y =sin γ γ=ωxy ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′=3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′)=3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx ) (3)解法一 设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·21v －21·2x=f ′(12+x )·21112+x ·2x=),1(122+'+x f x x解法二 y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·(x 2+1)′=f ′(12+x )·21(x 2+1) 21-·2x=12+x x f ′(12+x )说明 本题3个小题分别涉及了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法 这是导数中比较典型的求导类型解答本题的关键点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错例2．观察1)(-='n n nx x ，x x cos )(sin ='，x x sin )(cos -='，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。
导数和极限的关系和区别
导数和极限的关系和区别
导数和极限之间存在紧密的关系，可以说导数是极限的一种特殊形式。
导数是描述函数在某一点上的局部变化率的概念。
在数学中，如果函数$f(x)$在$x=a$的某个邻域内有定义，那么函数在点$a$处的导数定义为：
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{{f(a+h)-f(a)}}{h}$$
这里的极限$\lim_{h \to 0}$表示当$h$无限接近于0时，函数的变化率的极限。
可以说，导数就是用极限来描述函数在某一点上的变化率。
它告诉我们在给定点上函数的斜率。
导数可以用于求解切线、近似计算等问题。
而极限则是一种更一般的概念，用于描述一个函数在某一点或者在无穷远处的趋势。
在数学中，如果一个函数$f(x)$在$x=a$处无论怎样接近某个数$L$，那么我们称函数$f(x)$在$x=a$处的极
限为$L$，记作$\lim_{x \to a} f(x) = L$。
这个定义说明了函数在某一点的某种趋势，而不仅仅
局限于函数的变化率。
总的来说，导数是一种特殊的极限，用于描述函数在某一点上的变化率；而极限则是一种更一般的概念，用于描述函数在某一点或无穷远处的趋势。
导数与函数的函数极值定理详解
导数与函数的函数极值定理详解函数的极值是函数在某个区间上最大或最小的值。
函数的极值点则是函数取得极值的点。
函数的极值点与导数息息相关，导数可以帮助我们确定函数的极值点所在位置。
在本文中，我们将详细讨论导数与函数的函数极值定理，揭示其中的原理和应用。
一、导数的定义和性质在我们深入探讨导数与函数的函数极值定理之前，我们先来回顾一下导数的定义和性质。
1. 导数的定义给定函数$f(x)$，若极限$\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 存在，则称该极限为函数$f(x)$在$x$处的导数，记作$f'(x)$。
2. 导数的几何意义导数的几何意义是函数曲线在某一点处的切线斜率。
通过导数的概念，我们可以研究函数的变化趋势和曲线的形状。
3. 导数的性质（1）常数的导数为零：$\frac{d}{dx}c=0$，其中$c$为常数。
（2）幂函数的导数：$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$，其中$n$为实数。
（3）指数函数的导数：$\frac{d}{dx}a^x=\ln a\cdot a^x$，其中$a>0$，$a\neq 1$。
（4）对数函数的导数：$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$。
二、函数的极值定理函数的极值定理是导数与函数极值之间的重要联系。
它指出，若函数在某个区间内可导，且导数在该区间内既大于零又小于零，那么函数在该区间内必然存在极值点。
具体而言，如果函数在某个区间上连续，且在该区间某一点$x_0$处导数大于零，在该点左侧导数小于零，在该点右侧导数又大于零，那么函数在点$x_0$处必然存在极小值。
同理，如果函数在某个区间上连续，且在该区间某一点$x_0$处导数小于零，在该点左侧导数大于零，在该点右侧导数又小于零，那么函数在点$x_0$处必然存在极大值。
三、导数的应用导数不仅用于求函数的极值，还可以应用于解决其他数学问题。
下面介绍几个常见的导数应用。
导数及极限知识点总结
导数及极限知识点总结一、导数的定义和计算导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨在17世纪提出，它描述了函数在某一点附近的变化率，是函数的重要特征之一。
导数的定义是通过极限来进行表述的，下面我们就来看一下导数的定义以及如何计算导数。
1. 导数的定义在数学上，对于函数y=f(x)，它在点x处的导数可以用以下极限的形式进行定义：\[f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]这个极限描述的是当自变量x的增量Δx趋于0时，函数值的增量与自变量增量的比值的极限值。
这个极限存在时，我们就称函数在点x处可导，也就是存在导数。
导数也可以看作是函数在某一点处的切线的斜率。
2. 导数的计算在实际计算导数的过程中，我们可以通过一些常见的函数的导数公式来进行计算。
例如，对于常数函数y=c，它的导数就是0；对于幂函数y=x^n，它的导数是nx^(n-1)；对于指数函数y=a^x，它的导数是a^x*ln(a)；对于对数函数y=log_ax，它的导数是1/(x*ln(a))等等。
此外，还可以通过导数的性质和运算法则来计算复合函数、反函数、参数方程等的导数。
3. 导数的几何意义导数的几何意义是描述函数图像在某一点处的切线斜率，也就是函数在这一点的变化率。
导数大于0表示函数在这一点上升，导数小于0表示函数在这一点下降，导数等于0表示函数在这一点达到极值点。
通过导数，我们可以了解函数在不同点上的变化趋势和性质。
二、导数的性质和应用导数作为研究函数变化率的工具，具有一些重要的性质和应用，下面我们来看一下这些内容。
1. 导数的性质导数具有一系列的性质，包括可导性、可导函数的性质、导数与函数的性质等。
其中最重要的是可导函数的性质，通过导数的定义和计算可以得到函数在某一点可导的判定条件。
导数还具有加法、数乘、乘法和除法等运算法则，这些性质为导数的计算和应用提供了便利。
函数极限与导数——高中数学基础知识与典型例题
例29.设函数f(x)=x3+ax2+bx－1，若当x=1时，有极值为1，则函数g(x)=x3+ax2+bx的单调递减区间为.
例30.已知函数
（Ⅰ）若函数 图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证： ；
数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律,用数学归纳法证明结论.
(2)数学归纳法步骤:
①验证当 取第一个 时结论 成立;
②由假设当 （ ）时,结论 成立，证明当 时,结论 成立;
根据①②对一切自然数 时， 都成立.
2.数列的极限
(1)数列的极限定义:如果当项数 无限增大时,无穷数列 的项 无限地趋近于某个常数 (即 无限地接近于),那么就说数列 以 为极限,或者说 是数列 的极限.记为 或当 时， .
若点 是可导函数 的极值点，则 =0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.
例如：函数 ， 使 =0，但 不是极值点.又例如：函数 ，在点 处不可导，但点 是函数的极小值点.
②当函数 在点 处连续时，
(Ⅰ)如果在 附近的左侧 ＞0，右侧 ＜0，那么 是极大值；
例如：设 ， ，则 在 处均不可导，但它们和 在 处均可导.
7.导数的运用:
⑴判断函数 在某个区间内的单调性的方法:一般地,设函数 在某个区间内可导,如果 ,则 为增函数;如果 则 为减函数;如果 ,则 为常数函数.
注：① 是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如 在 上并不是都有 ，有一个点例外即x=0时 ，同样 也是f（x）递减的充分非必要条件.
数学导数与极限公式整理
数学导数与极限公式整理数学是一门抽象而又重要的学科，其中导数与极限是数学分析中的重要概念和工具。
导数描述了函数在某一点处的变化率，而极限则描述了函数在趋近某一点时的特性。
为了更好地理解与应用数学导数与极限，下面整理了相关公式。
一、导数公式1. 基本导数公式：（1）常数导数公式若f(x) = C，其中C为常数，则f'(x) = 0。
（2）幂函数导数公式若f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。
（3）指数函数导数公式若f(x) = a^x，其中a为常数且a>0，则f'(x) = a^x * ln(a)。
（4）对数函数导数公式若f(x) = log_a(x)，其中a为常数且a>0，且a≠1，则f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
（5）三角函数导数公式若f(x)为sin(x), cos(x), tan(x)中的一种，则f'(x) = cos(x), -sin(x), sec^2(x)。
2. 基本导数运算法则：（1）和差法则若f(x) = u(x) ± v(x)，则f'(x) = u'(x) ± v'(x)。
（2）常数倍法则若f(x) = c * u(x)，其中c为常数，则f'(x) = c * u'(x)。
（3）乘法法则若f(x) = u(x) * v(x)，则f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)。
（4）除法法则若f(x) = u(x) / v(x)，则f'(x) = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / v^2(x)，其中v(x) ≠ 0。
二、极限公式1. 基本极限公式：（1）常数极限公式lim (c) = c，其中c为常数。
（2）幂函数极限公式当n为正整数时，lim (x^n) = a^n，其中a为实数。
中职数学极限与导数基础知识点测试题（含答案）
高中数学第十三、四章极限与导数章节知识点与05年高考试题一、知识结构：【知识网络】【学法点拨】1．注意“函数f(x)在点x0处的导数f '(x0)”与“函数f(x)在开区间(a，b)内的导数f'(x)”之间的区别与联系．2．求函数单调区间的步骤为：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，得f(x)的递增区间；解不等式f'(x)<0，得f(x)的递减区间．3．求可导函数极值的步骤：（1）求导函数f ' (x)；（2）求方程f ' (x)=0的根；（3）检查f '(x)在方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．二、基本知识点：数学归纳法：1.数学归纳法证题的关键是一凑假设,二凑结论;数学归纳法证明问题过程中,归纳假设一定要起到条件的作用,即证明n=k+1成立时必须用到归纳假设这一条件.2.用数学归纳法证明整除性问题,关键在于n=k成立推n=k+1成立过程中归纳假设的运用,一般通过整体凑假设的手段进行代数式的变形.3.利用数学归纳法证明几何问题应特别注意语言叙述准确,清楚,一定要讲清从n=k到n=k+1时,新增加量是多少,一般地,证明第二步时常用的方法是加一法,即在原来k的基础上,再增加一个,也可以从k+1个中分出1个来,剩下的k个利用假设.4.猜想,归纳能培养探索问题的能力,所以成为高考的重点,应引起足够的重视,此类问题可分为归纳性问题和存在性问题,解归纳问题,需要从特殊情况入手,通过观察,分析,归纳,猜想,探索一般规律,其关键在于正确的归纳,猜想.数列的极限 1. 求数列极限的基本类型1)()()n f n limg n →∞型,分子,分母同除以n 的最高次幂 2) 含有n 的无理形式,利用分子或分母有理化.3)指数行数列极限,如n 1n n 1n+1n a b lim a b ++→∞-+,分子,分母同除以n 1a +或n 1b +转化为()n n lim q =0q <1→∞.4) 求和型,需要先求和(利用等差,比数列的前n 项和或裂项法求和等),然后求极限. 2.无穷递缩等比数列各项的和1a =1-qS ,关键是确定1a q 和. 3. 注意极限与数列等内容的综合应用. 函数的极限及连续性1. 求函数极限的常见方法有: 1)直接代入发; 2)对型的极限计算,应通过根式有理化或因式分解,约去零因子. 3) 对∞∞型的极限计算,通常是分子,分母同除以分母的最高次幂. 4)∞-∞型,主要是通过通分,分子,分母有理化转化为00型或∞∞型. 5)分段函数的函数极限计算,通过计算左右极限来求.2已知极限求参数值,主要运用求函数极限的方法建立参数的有关等式求解. 3求函数的极限,判断函数的连续性,注意画函数的图像,通过图像的直观性解题. 导数的概念及运算 1. 函数求导的常用方法及应注意的问题:1)复合函数的求导问题,关键是分析好函数的复合关系,合理选择中间变量从外到内逐项求导.2) 对于复杂函数求导问题,应先分解函数,使之成为初等函数的复合,然后应用公式,函数的四则运算求导法则和复合函数求导法则进行求导,注意计算的准确性.3) 对于较复杂的函数,在求导前可以先对函数解析式进行化简,然后求导. 4)对于形如()()222x lnx 3fx =32log x e++的函数求导,应先求出函数解析式,然后求导. 5) 两边对x 求导,特别要注意y 是x 的函数.6)隐函数的导数表达式中常包含x,y 两个变量,如x y=x (x>0)它的导数:由原式lny=xlnx '1y =ln x 1y∴⋅+故()'x y =x ln ex 2对于抽象函数问题,常常利用导数的定义来解题,用定义求导的一般步骤为: 求函数的增量()()y=fx+x f x - ;求平均变化率()()f x+x f x y =x x- ;取极限,得导数()'y f x =limxx → 2. 注意导数的两个实际背景:切线的斜率和瞬时速度,出现上述问题常利用导数来解决. 导数的应用(一)1. 求函数的单调区间的具体步骤为:确定()f x 的定义域;计算导数()'f x ;求出()'0f x =的根;用()'0f x =的根将()f x 的定义域分成若干区间,列表考查这若干个区间内()'f x 的符号,进而确定()f x 的单调区间.2. 若()f x 在(),a b ,(),b c 上单调递增(减)又()f x 在x=b 处连续,则()f x 在(),a c 上单调递增(减) 3. 求函数极值的步骤: 1)求导数()'f x ;2) 求出()'0f x =或()'f x 不存在的所有的点;3) 检查上面求出的是x 的两侧导数的符号,如果左正右负,那么()f x 在这个点处取极大值;如果左负右正,那么()f x 在该点处取极小值.导数的应用(二) 1.连续函数()f x 在[],a b 上有最大值和最小值,求最值的一般步骤:求极值;把极值和()f a ,()f b 相比较,最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.2.解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把问题情景译为数学语言,找出问题的主要关系,并把问题的主要关系近似化,形式化,抽象成数学问题,再化归为常规问题,选择合适的数学方法求解. 3.证明不等式也是导数应用之一,把不等式问题转化为函数问题,然后利用函数的单调性,最值去解决.4.参数讨论问题,一般要对参数进行分类讨论,分类讨论时要注意:分类讨论的依据;分类讨论要不重不漏.三、巩固练习（2005年高考试题）： 1．(2005年湖北卷理)若1)11(lim 21=---→x bx a x ，则常数a ，b 的值为 （ C ） A ．a=-2，b=4 B ．a=2，b=-4 C ．a=-2，b=-4 D ．a=2，b=4 2．（2005年广东卷）23lim9x x x →∞+=- （ A ）1()6A - ()0B 1()6C 1()3D3．（2005年广东卷）已知数列}{n x 满足,...4,3),(21,22112=+==--n x x x x x n n n 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数极限与导数基础
知识网
数学归纳法 、 数列的极限与运算
1．数学归纳法：
(1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法. 归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法.
①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法. ②完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法
数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论.
(2)数学归纳法步骤:
①验证当n 取第一个0n 时结论0()P n 成立;
②由假设当n k =（0,k N k n +∈≥）时,结论()P k 成立，证明当1n k =+时,结论(1)P k +成立; 根据①②对一切自然数0n n ≥时，()P n 都成立.
2.数列的极限
(1)数列的极限定义:如果当项数n 无限增大时,无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数
a (即n a a -无限地接近于),那么就说数列{}n a 以a 为极限,或者说a 是数列{}n a 的极限.记为
lim n n a a →∞
=或当n →∞时，n a a →.
(2)数列极限的运算法则: 如果{}n a 、{}n b 的极限存在，且lim ,lim n n n n a a b b →∞
→∞
==，
那么lim()n n n a b a b →∞±=±； lim();n n n a b a b →∞⋅=⋅ lim (0)n n n
a a
b b b
→∞
=≠
特别地，如果C 是常数，那么lim()lim lim n n n n n C a C a Ca →∞
→∞
→∞
⋅=⋅=.
⑶几个常用极限: ①lim n C C →∞
=（C 为常数）②lim 0n a n
→∞
=k
（,a k 均为常数且N *
∈k ）
③
（1)1
lim 0(1)
(1或1)
不存在n n
q q q
q
q
④首项为1a ，公比为q （1q <）的无穷等比数列的各项和为lim 1n n a S q
→∞
=-.
注：⑴并不是每一个无穷数列都有极限.
⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.
例 1. 某个命题与正整数有关，若当)(*
N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得当
=n 1+k 时该命题也成立，现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得 （ ）
+的展开式中，各项系数之和记为5)n
a＜1）;
+∆沿曲线逐渐向
)y
数
例23. 设函数f (x )在定义域可导，y=f (x )的图象如右图所示，则导函数y=f (x )的图象可能为( )
例24. 已知曲线S :y =3x －x 3
及点(2,2)P -,则过点P 可向S 引切线的条数为( ) (A )0 (B )1 (C)2 (D)3 例25. 函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间是增函数（ ）
3()(,)22A ππ ()(,2)B ππ 35()(,)22
C ππ
()(2,3)D ππ
例26. y =2x 3
－3x 2
+a 的极大值为6，那么a 等于( ) (A )6 (B )0 (C)5 (D)1
例27. 函数f (x )＝x 3
－3x +1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是( ) (A )1，－1 (B )3，-17 (C)1，－17 (D)9，－19 例28.设l 1为曲线y 1=si nx 在点(0，0)处的切线，l 2为曲线y 2=cos x 在点(
2
π
,0)处的切线，则l 1与l 2的夹角为___________.
例29. 设函数f (x )=x 3+ax 2+bx －1，若当x =1时，有极值为1，则函数g(x )=x 3+ax 2
+bx 的单调递减区间为 .
例30. 已知函数3
2
()(,)f x x ax b a b R =-++∈
（Ⅰ）若函数)(x f 图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：33a -<<；
（Ⅱ）若[]0,1x ∈，函数()y f x =图像上任意一点处的切线的斜率为k ，试讨论1
k ≤的充要条件。