函数极限与导数基础

函数极限与导数基础

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数学归纳法 、 数列的极限与运算

1．数学归纳法：

(1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法. 归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法.

①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法. ②完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法

数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论.

(2)数学归纳法步骤:

①验证当n 取第一个0n 时结论0()P n 成立;

②由假设当n k =（0,k N k n +∈≥）时,结论()P k 成立，证明当1n k =+时,结论(1)P k +成立; 根据①②对一切自然数0n n ≥时，()P n 都成立.

2.数列的极限

(1)数列的极限定义:如果当项数n 无限增大时,无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数

a (即n a a -无限地接近于),那么就说数列{}n a 以a 为极限,或者说a 是数列{}n a 的极限.记为

lim n n a a →∞

=或当n →∞时，n a a →.

(2)数列极限的运算法则: 如果{}n a 、{}n b 的极限存在，且lim ,lim n n n n a a b b →∞

→∞

==，

那么lim()n n n a b a b →∞±=±； lim();n n n a b a b →∞⋅=⋅ lim (0)n n n

a a

b b b

→∞

=≠

特别地，如果C 是常数，那么lim()lim lim n n n n n C a C a Ca →∞

→∞

→∞

⋅=⋅=.

⑶几个常用极限: ①lim n C C →∞

=（C 为常数）②lim 0n a n

→∞

=k

（,a k 均为常数且N *

∈k ）

③

（1)1

lim 0(1)

(1或1)

不存在n n

q q q

q

q

④首项为1a ，公比为q （1q <）的无穷等比数列的各项和为lim 1n n a S q

→∞

=-.

注：⑴并不是每一个无穷数列都有极限.

⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.

例 1. 某个命题与正整数有关，若当)(*

N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得当

=n 1+k 时该命题也成立，现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得 （ ）

+的展开式中，各项系数之和记为5)n

a＜1）;

+∆沿曲线逐渐向

)y

数

例23. 设函数f (x )在定义域可导，y=f (x )的图象如右图所示，则导函数y=f (x )的图象可能为( )

例24. 已知曲线S :y =3x －x 3

及点(2,2)P -,则过点P 可向S 引切线的条数为( ) (A )0 (B )1 (C)2 (D)3 例25. 函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间是增函数（ ）

3()(,)22A ππ ()(,2)B ππ 35()(,)22

C ππ

()(2,3)D ππ

例26. y =2x 3

－3x 2

+a 的极大值为6，那么a 等于( ) (A )6 (B )0 (C)5 (D)1

例27. 函数f (x )＝x 3

－3x +1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是( ) (A )1，－1 (B )3，-17 (C)1，－17 (D)9，－19 例28.设l 1为曲线y 1=si nx 在点(0，0)处的切线，l 2为曲线y 2=cos x 在点(

2

π

,0)处的切线，则l 1与l 2的夹角为___________.

例29. 设函数f (x )=x 3+ax 2+bx －1，若当x =1时，有极值为1，则函数g(x )=x 3+ax 2

+bx 的单调递减区间为 .

例30. 已知函数3

2

()(,)f x x ax b a b R =-++∈

（Ⅰ）若函数)(x f 图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：33a -<<；

（Ⅱ）若[]0,1x ∈，函数()y f x =图像上任意一点处的切线的斜率为k ，试讨论1

k ≤的充要条件。