十堰数学有理数单元培优测试卷
一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）
1．如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+2|+|b﹣4|=0；
（1）点A表示的数为________；点B表示的数为________；
（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），
①当t=1时，甲小球到原点的距离=________；乙小球到原点的距离=________；
当t=3时，甲小球到原点的距离=________；乙小球到原点的距离=________；
②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．________
【答案】（1）-2
；4
（2）3
；2
；5
；2
；能.
理由：
当0＜t≤2时，t+2=4-2t
解之：
当t＞2时，t+2=2t-4
解之：t=6
∴当或6时，甲乙两小球到原点的距离相等.
【解析】【解答】解：（1）∵a、b满足|a+2|+|b﹣4|=0，
∴a+2=0且b-4=0
解之：a=-2且b=4，
∵在数轴上A点表示数a，B点表示数b，
∴点A表示的数是-2，点B表示的数是4.
故答案为：-2，4.
（2）当0＜t≤2时，甲小球距离原点为（t+2）个单位长度；乙小球距离原点为（4-2t）个单位长度；
当t＞2时，甲小球距离原点为（t+2）个单位长度；乙小球距离原点为（2t-4）个单位长
度；
①当t=1时，甲小球到原点的距离为：1+2=3；乙小球到原点的距离为4-2×1=2；
当t=3时，甲小球到原点的距离为：3+2=5；乙小球到原点的距离为2×3-4=2；
故答案为：3，2；5，2
【分析】（1）利用几个非负数之和为0，则每一个数都是0，建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，就可得到点A，B所表示的数。
（2）①根据两个小球的运动方向及速度，可以分别用含t的代数式表示出当0＜t≤2时，甲小球距离原点的距离和乙小球离原点的距离，当t＞2时，甲小球距离原点的距离和乙小球离原点的距离，然后将t=1和t=3分别代入相关的代数式，即可求解；②利用（2）中的结论，分情况分别根据甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间，建立关于t的方程，解方程求出t的值。
2．认真阅读下面的材料，完成有关问题：
材料：在学习绝对值时，我们已了解绝对值的几何意义，如|5-3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；又如|5+3|=|5-（-3）|，所以|5+3|表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离。因此，一般地，点A,B在数轴上分别表示有理数a,b，那么A,B之间的距离（也就是线段AB的长度）可表示为|a-b|。
因此我们可以用绝对值的几何意义按如下方法求的最小值；
即数轴上x与1对应的点之间的距离，即数轴上x与2对应的点之间的距离，把这两个距离在同一个数轴上表示出来，然后把距离相加即可得原式的值.
设A、B、P三点对应的数分别是1、2、x.
当1≤x≤2时，即P点在线段AB上，此时；
当x＞2时，即P点在B点右侧，此时＝ PA＋PB＝AB＋2PB＞AB；
当x ＜1时，即P点在A点左侧，此时＝PA＋PB＝AB＋2PA＞AB；
综上可知，当1≤x≤2时（P点在线段AB上），取得最小值为1.
请你用上面的思考方法结合数轴完成以下问题：
（1）满足的x的取值范围是________。
（2）求的最小值为________，最大值为________。
备用图：
【答案】（1）当x<-3或x＞4
（2）-3；3
【解析】【解答】解：（1）由，在数轴上表示-3和4两点，
当x<-3时， >7;
当-3≤x≤4时， .
当x＞4时， .
故当x<-3或x＞4时 .
（ 2 ）
当x＜-1，
当-1≤x≤2，，此时当x=2时，取得最大值3，当x=-1时，取得最小值-3；
当x＞2时， .
故的最小值为-3，最大值为3.
【分析】（1）此题实质就是求表示x的点与-3的对应点的距离及表示x的点与4的对应点的距离和大于7时，x的取值范围，从而分当x<-3时、当-3≤x≤4时、当x＞4时三种情况根据绝对值的意义分别去绝对值符号后一一判断即可得出答案；
（2）此题实质就是求表示x的点与-1的对应点的距离及表示x的点与2的对应点的距离差最小值与最大值，从而分当x＜-1、当-1≤x≤2、当x＞2时三种情况根据绝对值的意义分别去绝对值符号考虑即可得出答案.
3．数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值.例：点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，则A、B两点间的距离表示为AB＝|a﹣b|.根据以上知识解题：
（1）点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示2，那么AB＝________.
（2）在数轴上表示数a的点与﹣2的距离是3，那么a＝________.
（3）如果数轴上表示数a的点位于﹣4和2之间，那么|a+4|+|a﹣2|＝________.
（4）对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值.如果没有.请说明理由.
【答案】（1）1
（2）1或-5
（3）6
（4）解：∵|a-3|+|a﹣6|表示a到3与a到6的距离的和，
∴当3≤a≤6时，|a-3|+|a-6|= =3，
当a>6或a<3时，|a-3|+|a﹣6|>3，
∴|a-3|+|a﹣6|有最小值，最小值为3.
【解析】【解答】（1）AB= =1，
故答案为：1
（ 2 ）∵数轴上表示数a的点与﹣2的距离是3，
∴ =3，
∴-2-a=3或-2-a=-3，
解得：a=1或a=-5，
故答案为：1或-5
（ 3 ）数a位于﹣4与2之间，|a+4|+|a﹣2|表示a到-4与a到2的距离的和，
∴|a+4|+|a﹣2|= =6，
故答案为：6
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值即可算出答案；
（2）根据数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值列出方程，求解即可；
（3）根据题意可知：此题其实质就是求数轴上表示数a的点到表示数字-4的点的距离与数轴上表示数a的点到表示数字2的点的距离的和，又数轴上表示数a的点位于-4与2之间，故该距离等于数轴上表示数字-4与表示数字2的点之间的距离，从而即可得出答案；（4）此题其实质就是求数轴上表示数a的点到表示数字3的点的距离与数轴上表示数a 的点到表示数字6的点的距离的和，从而分当3≤a≤6时，当a>6或a<3时三种情况考虑即可得出答案.
4．如图，在数轴上，点A表示﹣5，点B表示10．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴负方向以每秒2个单位的速度匀速运动，设运动时间为t秒：
（1）当t为________秒时，P、Q两点相遇，求出相遇点所对应的数________；
（2）当t为何值时，P、Q两点的距离为3个单位长度，并求出此时点P对应的数．
【答案】（1）5；0
（2）解：若P、Q两点相遇前距离为3，则有
t+2t+3=10-(-5)，
解得：t=4，
此时P点对应的数为：-5+t=-5+4=-1；
若P、Q两点相遇后距离为3，则有
t+2t-3=10-(-5)，
解得：t=6，
此时P点对应的数为：-5+t=-5+6=1；
综上可知，当t为4或6时，P，Q两点的距离为3个单位长度，此时点P对应的数分别为
-1或1.
【解析】【解答】（1）解：由题意可知运动t秒时P点表示的数为-5+t，Q点表示的数为10-2t；
若P，Q两点相遇，则有
-5+t=10-2t，
解得：t=5，
-5+t=-5+5=0，
即相遇点所对应的数为0，
故答案为5；相遇点所对应的数为0；
【分析】（1）由题意可知运动t秒时P点表示的数为-5+t，Q点表示的数为10-2t，若P、Q相遇，则P、Q两点表示的数相等，由此可得关于t的方程，解方程即可求得答案；（2）分相遇前相距3个单位长度与相遇后相距3个单位长度两种情况分别求解即可得.
5．如图，在数轴上点A表示的数a、点B表示数b，a、b满足|a-30|+(b+6)2=0.点O是数轴原点。
（1）点A表示的数为________，点B表示的数为________，线段AB的长为________。（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC=2BC，则点C在数轴上表示的数为________。
（3）现有动点P、Q都从B点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到O点时，点Q才从B点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P 到达A点时，点Q就停止移动，设点P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两点相距4个单位长度？
【答案】（1）30；﹣6；36
（2）6或﹣42
（3）解：①当点Q未出发，P、Q两点相距4个单位长度，
此时t×1=4，所以t=4；
②点P用了6秒移动到O点时，点Q才从B点出发。当点Q在点P后面，P、Q两点相距4个单位长度，此时3(t﹣6)= t﹣4，所以t=7；
③点P用了6秒移动到O点时，点Q才从B点出发。当点Q在点P前面，P、Q两点相距4个单位长度，此时3(t﹣6)= t+4，所以t=11；
所以t=4或t=7或t=11。
【解析】【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b表示的数，然后将点A和点B表示在数轴上，容易求出线段AB的长；
（2）分两种情况讨论：①若点C在线段AB上，则点C为线段AB的三等分点，此时
BC=AB=12，易得点C在数轴上表示的数为6；②若点C在线段AB的延长线上，则点B 为线段AC的中点，此时BC=AB=36，易得点C在数轴上表示的数为-42.
（3）先求出t秒后点P、Q所对应的数分别是t、3（t-3），然后分三种情况分别列出方程解出t的值即可：①当点Q未出发（0＜t≤6）时，P、Q之间的距离即为点P移动的距离；②点p用了6秒移动到O点（t＞6）时，点Q才开始从B点出发。当点Q在点P的后面时，点Q表示的数比点P表示的数小4；③点P用了6秒移动到O点（t＞6）时，点Q才开始从B点出发。当点Q在点P的前面时，点Q表示的数比点P表示的数大4。
6．我们知道，在数轴上，表示数表示的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，如果数轴上两个点A、B，分别对应数a，b，那么A、B两点间的距离为：
如图，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足：
（1）求a，b的值；
（2）求线段AB的长；
（3）如图①，点C在数轴上对应的数为x，且是方程的解，在数轴上是
否存在点M使？若存在，求出点M对应的数；若不存在，说明理由. （4）如图②，若N点是B点右侧一点，NA的中点为Q，P为NB的三等分点且靠近于B
点，当N在B的右侧运动时，请直接判断的值是不变的还是变化的，如果不变请直接写出其值，如果是变化的请说明理由.
【答案】（1）解：，
，且，
解得，，；
（2）解：
（3）解：存在.
设M点对应的数为m，
解方程，得，
点C对应的数为，
，
，
即，
①当时，有，
解得，；
②当时，有，
此方程无解；
③当时，有，
解得， .
综上，M点对应的数为：或4.
（4）解：设点N对应的数为n，则，，
若N点是B点右侧一点，NA的中点为Q，P为NB的三等分点且靠近于B点，，，，
点Q对应的数为：，点P对应的数为：，
，
①当时，，
此时的值随N点的运动而变化；
②当时，，
此时的值随N点的运动而不变化.
【解析】【分析】（1）根据“若非负数和等于0，则非负数均为0”列出方程进行解答便可；（2）根据数轴上两点的距离公式进行计算便可；（3）根据已知线段的关系式，列出
绝对值方程进行解答便可；（4）用N点表示的数n，列出关于n的代数式进行讨论解答便可.
7．数轴上，，三个点对应的数分别为，，，且，到所对应的点的距离都等于7，点在点的右侧，
（1）请在数轴上表示点，位置， ________， ________；
（2）请用含的代数式表示 ________；
（3）若点在点的左侧，且，点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，当且点在的左侧时，求点移动的时间．
【答案】（1）；6
（2）
（3）解：点在点的左侧，且，
，
．
设点移动的时间为秒．
当点在点的左侧时，，
解得：，
此时点对应的数为14，在点的右侧，不合题意，舍去；
当点在点的右侧且在点的左侧时，，
解得：．
点移动的时间为秒．
【解析】【解答】（1）解：（1）根据题意得：，，，，
将其表示在数轴上，如图所示．
故答案为：；6
2）解：根据题意得：．
故答案为：
【分析】（1）由，到所对应的点的距离都等于7，点在点的右侧，可得出关于，的一元一次方程，解之即可得出，的值；（2）由点，对应的数，利用两点间的距离公式可找出的值；（3）由点在点的左侧及的值可得出的值，设点移动的时间为秒，分点在点的左侧和点在点的右侧且在点的左侧两种情况考虑，由，找出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
8．操作探究：小聪在一张长条形的纸面上画了一条数轴(如图所示)，
（1）操作一：折叠纸面，使1表示的点与?1的点重合，则?3的点与________表示的点重合；
（2）操作二：折叠纸面，使?2表示的点与6表示的点重合，请你回答以下问题：
① ?5表示的点与数（）表示的点重合；
② 若数轴上A、B两点之间距离为20，其中A在B的左侧，且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数各是多少
③ 已知在数轴上点M表示的数是m，点M到第②题中的A、B两点的距离之和为30，求m的值。
【答案】（1）3
（2）9；
②若数轴上A、B两点之间的距离为20（A在B的左侧），
则点A表示的数是2-10=-8，点B表示的数是2+10=12．
③当点M在点A左侧时，则12-m+（-8-m）=30，
解得：m=-13；
当点M在点B右侧时，则m-（-8）+m-12=30，
解得：m=17；
综上，m=-13或17；
【解析】【解答】（1）解：折叠纸面，使1表示的点与-1表示的点重合，则对称中心是0，
∴-3表示的点与3表示的点重合，
故答案为：3；（2）①∵-2表示的点与6表示的点重合，
∴对称中心是数2表示的点，
①-5表示的点与数9表示的点重合；
故答案为：9．
【分析】（1）直接利用已知得出中点进而得出答案；（2）①利用-2表示的点与6表示的点重合得出中点，进而得出答案；②利用数轴再结合A、B两点之间距离为20，即可得出两点表示出的数据；③利用②中A，B的位置，利用分类讨论进而得出m的值．
9．已知点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且 G 为线段上一点，两点分别从点沿方向同时运动，设点的运动速度为点的运动速度为，运动时间为 .
（1）点对应的数为________，点对应的数为________；
（2）若，试求为多少时，两点的距离为；
（3）若，点为数轴上任意一点，且，请直接写出的值. 【答案】（1）-4；11
（2）解：∵，且 ,
∴，
①
即
解得：
②
即
解得： ,
（3）解：①当点H在点B的左侧时，如图：
设，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
②当点H在点B的右侧时，如图：
∵，
而
∴
∴，
故答案为：或
【解析】【解答】（1）∵，
∴，，
∴，，
故答案为：；；
【分析】（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方、绝对值同时为0，可得答案；（2）分两种情况讨论：① ，② 分别列式计算即可；（3）也分两种情况讨论：①当点H在点B的左侧时，设，列式计算即可；②当点H在点B的右侧时，直接列式计算即可；
10．阅读材料：求的值.
解：设
将等式两边同时乘以2，得
将下式减去上式，得
即
请你仿照此法计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：根据材料，设M= ①，
∴将等式两边同时乘以3，则3M= ②，
由② ①，得：，
∴；
∴ .
（2）解：根据材料，设N= ③，
∴将等式两边同时乘以5，④，
由④ ③，得：，
∴；
∴ .
【解析】【分析】（1）设M= ，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案；（2）设N=
，将等式两边同时乘以5，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案.
11．如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点，其中，．设点所对应的数之和是，点所对应的数之积是 .
（1）若以为原点，写出点所对应的数，并计算的值；若以为原点，又是多少？
（2）若原点在图中数轴上点的右边，且，求的值.
【答案】（1）解：以为原点，点所对应的数分别是，，
以为原点，；
（2）解：
【解析】【分析】（1）根据题意，若以为原点时，分别写出点A、C所表示的数，从而求出m；若以为原点，分别写出A、B所表示的数，从而求出m；（2）根据题意，分别求出A、B、C所表示的数，即可求出n的值.
12．如图，点、、是数轴上三点，点表示的数为，， .
（1）写出数轴上点、表示的数：________，________.
（2）动点，同时从，出发，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以个单位长度的速度沿数向左匀速运动，设运动时间为秒.
①求数轴上点，表示的数（用含的式子表示）；
② 为何值时，点，相距个单位长度.
【答案】（1）2
；-10
（2）解：①根据题意得，点表示的数为，点表示的数为 .
②当点、相距个单位长度时，
若P在Q的左侧，则，解得；
若P在Q的右侧，则，解得，
所以的值为或
【解析】【解答】（）因为，所以表示的数为，
因为，所以表示的数为 .
【分析】（1）根据BC，AB的长和点B，A在数轴上的位置，可得到点B，A表示的数；（2）①点P表示的数比-10大4t，点Q表示的数比C小2t；②需要分两种情况讨论：若
P在Q的左侧，PQ=6；若P在Q的右侧，PQ=6.