机械振动 第二章(多自由度系统的运动微分方程)

4.阻尼影响系数
0 0
Cu f
M u Cu Ku f
阻尼影响系数 c ij ：第 j 个自由度产生单位速度，其他自由度处的速度为零 时，需要在第 i自由度处施加的力。
5.质量影响系数
0
Mu f
M u Cu Ku f
质量影响系数 m ij ：第 j 个自由度产生单位加速度，其他自由度处的加速度
d1 j d2 j d Nj
柔度影响系数 d ij ：第 j 个自由度上作用单位力，其他自由度作用力为零时，
在第 自由度上产生的位移。 i
用影响系数法建立系统的运动微分方程
【例】用影响系数法写出图示系统的柔度矩阵。
u1
k1
m1
d 11 k1 d 11
k k
奇异（秩亏损）
用影响系数法建立系统的运动微分方程
7.小结
① 刚度法实施过程中要求系统仅一个自由度有位移，人为地增加了系统约 束的数目，求解比较繁。 ② 柔度法维持原系统的约束，实施比较方便。特别是用实验来确定系统 的弹性性质时均采用柔度法，刚度法几乎不能实现。 ③ 如果系统具有刚体运动自由度，则柔度法失效，但刚度法却可奏效。所 以刚度法的应用范围比柔度法要大。
f (t )
C
f (t )
k
K
刚度矩阵
激振力向量
Mu (t ) Cu ( t ) Ku ( t ) f ( t )
多自由度系统运动微分方程的一般形式
建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述
2.系统运动微分方程的建立方法
牛顿第二定律: 适用于自由度不多的离散系统或简单的 连续系统
l1 ( m1 m 2 m 3 ) gd 11
d 11 d 21 d 31
d 11 D d 21 d 31 d 12 d 22 d 32
d 31
m3 g
l1 ( m1 m 2 m 3 ) g
d 13 d 23 d 33
用影响系数法建立系统的运动微分方程
用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程
m1u1 k1u1 k 2 ( u 2 u1 ) c1u1 c 2 (u 2 u1 ) f1 (t ) m 2 u 2 k 2 ( u 2 u1 ) k 3 u 2 c 2 ( u 2 u1 ) c 3 u 2 f 2 ( t )
动量矩定理:
影响系数法： 建立方法
主要适用于自由度不多的离散系统
主要适用于自由度不多的离散系统
Lagrange方程法：主要适用于离散系统
Hamilton原理： 主要适用于连续系统
有限单元法： 离散系统，连续系统都适用，是一种最
通用的建模方法
返回
用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程
1.直角坐标形式的牛顿第二定律
d 32
d 22 d 32

l2 ( m 2 m3 ) g
m3 g
d 11 D d 21 d 31
d 12 d 22 d 32
用影响系数法建立系统的运动微分方程
A
l1 m1 g
对C取矩
B
l2 m2 g
1l3 m 3 gx3
x3
l3 m3 g
x2 l2 (m 2 m3 ) g
F1 1
u2
k2 m2
k3
k 2 ( d 11 d 21 )
m1
k 2 ( d 11 d 21 ) k1 d 11 1
d 21 k 2 ( d 11 d 21 )
F2 0
d 11
k 3 d 21
k 2 k3 k1 k 2 k1 k 3 k 2 k 3 k2 k1 k 2 k1 k 3 k 2 k 3
m1 0
0 u1 c1 c 2 m 2 u 2 c2
c 2 u1 k 1 k 2 c 2 c3 u 2 k 2
k 2 u1 f 1 k 2 k3 u 2 f 2
Mu (t ) Cu ( t ) Ku ( t ) f ( t )
返回
用影响系数法建立系统的运动微分方程
1.总体思路
刚度影响系数 柔度影响系数 影响系数法 阻尼影响系数
K
D
C
M
质量影响系数
用影响系数法建立系统的运动微分方程
2.刚度影响系数
0
Ku f
M u Cu Ku f
x1
l1 ( m1 m 2 m 3 ) g
d 11 D d 21 d 31 d 12 d 22 d 32 d 13 d 23 d 33
d 33
l1 ( m1 m 2 m 3 ) g

l2 ( m 2 m3 ) g

l3 m3 g
建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述
1.多自由度系统运动微分方程的一般形式
回想单自由度系统运动微分方程的一般形式
mu ( t ) cu ( t ) ku ( t ) f ( t )
多自由度系统运动微分方程的一般形式
u (t )
u (t )
位移向量
m
阻尼矩阵
M
质量矩阵
c
STOP
上次课内容回顾
1. 多自由度系统运动微分方程的一般形式
Mu (t ) Cu ( t ) Ku ( t ) f ( t )
2. 用牛顿第二定律列写运动微分方程
受力分析时假定两质量块均沿着坐标的正方向运动.因为这样在受力分析 时容易确定所受力的大小和方向,不容易出错.
上次课内容回顾
Ku f
0 0 1 0 0
M u Cu Ku f
第 j行
d 11 d 21 d N1

d1 j d2 j d Nj

d1 N d2N d NN
用影响系数法建立系统的运动微分方程
【课堂练习】求图示摆的柔度矩阵
A
对 A取 矩 :
l1
1
m1 g m2 g
1
d 11
l1 cos 1 ( m1 m 2 m 3 ) gl1 sin 1
d 21
l1 cos 1 ( m1 m 2 m 3 ) gd 11
cos 1 1
m2
d 21
k 2 ( d 11 d 21 ) k 3 d 21 0
用影响系数法建立系统的运动微分方程
u1
k1
m1
d 12 k1 d 12
F1 0
u2
k2 m2
k3
k 2 ( d 22 d 12 )
m1
k 2 ( d 22 d 12 ) k1 d 12 0
d 22 k 2 ( d 22 d 12 ) k 3 d 22
m m m d x dt
2 2 2

F
x
d y dt
2 2
F F
y
d z dt
2
z
列写运动方程时要选定一个正方向，计算各力在正方向的投影。 加速度的正负号是由合外力的正负决定的，因此在列写方程时只要
z y 用 或 或 表示就可以了。 x
用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程

刚度影响系数 k ij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时，
需要在第 i 自由度处沿着位移方向施加的力。
用影响系数法建立系统的运动微分方程
【例】用影响系数法写出图示系统的刚度矩阵。
u1
k1
m1
u2
k2
m2
k3
解： u1 令
1, u 2 0 u1 1 k1
3.刚度影响系数
刚度影响系数 k ij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时， 需要在第 i 自由度处沿着位移方向施加的力。
4.柔度影响系数
柔度影响系数 d ij ：第 j 个自由度上作用单位力，其他自由度作用力为零时，
为零时，需要在第 i 自由度处施加的力。
用影响系数法建立系统的运动微分方程
6.思考
此系统用刚度法方便还是柔度法方便？
m1
m2
m3
能否对此系统实施柔度法？
m1 0
0 u1 ( t ) k m 2 u 2 (t ) k
k u1 ( t ) k 0 K k u 2 (t ) k
k11
u2 0
k2
k2
k 21
m1
k11 k1 k 2
k 21
k11 K k2 k 21
m2
k12 k 22
用影响系数法建立系统的运动微分方程
u1 k1
m1 k2
m2
u2
k3
令
u1 0, u 2 1
u1 0
u2 1
k12 m1
k2
k2
k 22
多自由度振动系统
Piezoelectric actuator
基于压电作动器的垂尾抖振主动抑制 （此系统有一、两千个自由度（3D实体单元） ）
Z Y
X
第二章： 多自由度系统的运动 微分方程
第二章:多自由度系统的运动微分方程
第一讲：
1.建立多自由度系统运动微分方程的 各种方法的概述 2.用牛顿第二定律列写系统的运动微 分方程 3.用影响系数法建立系统的运动微分 方程
A
对 B取 矩
l1
B
1 l 2 ( m 2 m 3 ) gx 2
对 A取 矩
m1 g
l2
d 22
x1 x2
m2 g l3
1
1 ( l1 l 2 ) ( m 2 m 3 ) g ( x1 x 2 ) m1 gx1
l1 ( m1 m 2 m 3 ) g
d 13 d 23 源自文库 33
2. 用牛顿第二定律列写运动微分方程
u1 u2
k1u1
f1 ( t ) m1
k 2 ( u 2 u1 )
k 2 ( u 2 u1 )
f 2 (t )
k 3u 2
c1u1
c 2 ( u 2 u1 ) c 2 ( u 2 u1 )
m2
c3 u 2
受力分析时假定两质量块均沿着坐标的正方向运动.因为这样在受力分析 时容易确定所受力的大小和方向,不容易出错.
C
l3 x3
对 B取 矩
1( l3 l 2 ) m 3 g ( x 2 x3 ) m 2 gx 2
1
m3 g
x1
x2 d 33
对 A取 矩
1( l3 l 2 l1 ) m 3 g ( x1 x 2 x 3 ) m 2 g ( x1 x 2 ) m1 gx1
m2
k3
k12 k 2
k 22 k 2 k 3
k2 k 2 k3
k11 K k 21
k12 k 22
k1 k 2 刚度矩阵： K k2
用影响系数法建立系统的运动微分方程
3.柔度影响系数
柔度矩阵
0
u K
1
f D f
0 第 j行 k1 j 0 k2 j 1 0 k Nj 0
k11 k 21 kN1

k1 j k2 j k Nj

k1 N k2 N k NN
根据牛顿第二定律，得到系统的运动方程：
m1u1 k1u1 k 2 (u 2 u1 ) c1u1 c 2 (u 2 u1 ) f1 (t ) m 2 u 2 k 2 (u 2 u1 ) k 3u 2 c 2 (u 2 u1 ) c3u 2 f 2 (t )
d 12 d 21 , d 22
柔度矩阵：
k1 k 2 k1 k 2 k1 k 3 k 2 k 3
F2 1
m2
k 2 ( d 22 d 12 ) k 3 d 22 1
d 11 D d 21
d 12 d 22
用影响系数法建立系统的运动微分方程