机械振动 第二章(多自由度系统的运动微分方程)
机械振动-课后习题和答案--第二章-习题和答案
弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。
设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。
解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则：mg k δ=，即：n ω==取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为： δ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩00020mx kx x x （参考教材P14）解得：δω=()2cos n x t t弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。
设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。
解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-=、 所以：9.87(/)0.2n g rad s ω=== 取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：20n x x ω+=其中，初始条件：(0)0.2(0)0x x =-⎧⎨=⎩ （参考教材P14） 所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=-弹簧力为：()()cos ()k n mg F kx t x t t N ω===- 因此：振幅为、周期为2()7s π、弹簧力最大值为1N 。
重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。
<解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有： 2121()2T E m m x =+ 212U kx =由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++= 即：12/()n k m m ω=+系统的初始条件为：⎧=⎪⎨=-⎪+⎩2020122m gx k m x gh m m （能量守恒得：221201()2m gh m m x =+） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+其中:ω⎧==⎪⎨==-⎪+⎩200021122n m g A x k x m g ghk A k m m即：ωω=-2()(cos )n n m g x t t t k "一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。
机械振动学总结全
若用复数来表示，则有 机械振动学总结机 械 振 动 学 基 础第二节机械振动的运动学概念第三节机械振动是种特殊形式的运动。
在这运动过程中，机械振动系统将围绕其平衡位置作往复运动。
从 运动学的观点看，机械振动式研究机械系统的某些物理量在某一数值近旁随时间 t 变化的规律。
用函数关系式来描述其运动。
如果运动的函数值，对于相差常数 T 的不同时间有相同的数值，亦即可以用周期函数1来表示，则这一个运动时周期运动。
其中 T 的最小值叫做振动的周期，f 二1定义为振动的频率。
T简谐振动式最简单的振动，也是最简单的周期运动。
一、简谐振动.■, ... ■ ?. I .. ■；-.物体作简谐振动时，位移x 和时间t 的关系可用三角函数的表示为式中：A 为振幅，T 为周期，「和■■称为初相角。
如图所示的正弦波形表示了上式所描述的运动，角速度 •’称为简谐振动的角频率 简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间 t 的一阶和二阶导数，即可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，且具有相同的频率。
因此在物体运动前 加速度是最早出现的量。
可以看出，简谐振动的加速度，其大小与位移成正比，而方向与位移相反，始终指向平衡位置。
这 是简谐振动的重要特征。
在振动分析中，有时我们用旋转矢量来表示简谐振动。
图 P6旋转矢量的模为振幅A ，角速度为角频率⑷z = Ae j(心z = Acos( t ) jAsin( t '-)用复指数形式描述简谐振动，给计算带来了很多方便。
因为复指数e j t 对时间求导一次相当于在其前乘以j ■，而每乘一次j ，相当于有初相角-2二•周期振动满足以下条件: 1）函数在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点上函数左右极限存在;2）在一个周期内，只有有限个极大和极小值。
则都可展成Fourier 级数的形式，若周期为T 的周期振动函数，则有式中b n三、简谐振动的合成一、同方向振动的合成 1. 俩个同频率的简谐振动x 2 二 A 2sin( t 2) , x 2 二 A 2sin( 2t 2)它们的合成运动也是该频率的简谐振动2. 俩个不同频率振动的合成若「1—2，则合成运动为二、两垂直方向振动的合成1.同频率振动的合成如果沿x 方向的运动为沿y 方向的运动为2不同频率振动的合成对于俩个不等的简谐运动它们的合成运动也能在矩形中画出各种曲线第三节构成机械运动的基本元素构成机械振动的基本元素有惯性、 恢复性和阻尼。
振动系统的运动微分方程题解
习 题3-1 复摆重P ，对质心的回转半径为C ρ，质心距转动轴的距离为a ，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。
解:系统具有一个自由度，选复摆转角ϕ为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。
复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程 O O M J =ϕ其中)(22a gP J C O +=ρ 得到复摆运动微分方程为 ϕϕρcos )(22Pa a gP C =+ 或0cos )(22=-+ϕϕρga a C3-2均质半圆柱体，质心为C ，与圆心O 1的距离为e ，柱体半径为R ，质量为m ，对质心的回转半径为C ρ，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。
解：系统具有一个自由度，选θ为广义坐标。
半圆柱体在任意位置的动能为：222121ωC C J mv T +=用瞬心法求C v ： 2222*2)cos 2()(θθθ Re R e CC v C -+== θω =2C C m J ρ=故2222221)cos 2(21θρθθ Cm Re R e m T +-+=系统具有理想约束，重力的元功为题3-1图题3-2图θθδd mge W sin -= 应用动能定理的微分形式W dT δ=θθθρθθd mge m Re R e m d C sin 21)cos 2(2122222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+ θθθθθθθθθθρd mge d mRe d mRe d R e m C sin sin cos 2)(2222-=+-++ 等式两边同除dt ，θθθθθθθθθθρ sin sin cos 2)(2222mge mRe mRe R e m C -=+-++ 0≠θ ，等式两边同除θ故微分方程为0sin sin )cos 2(2222=+++-+θθθθρθmge mRe Re R e m C ①若为小摆动θθ≈sin ，1cos ≈θ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为0])[(22=++-θθρge r R C要点及讨论（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。
机械振动学(参考答案).docx
机械振动学试题（参考答案）一、判断题：（对以下论述，正确的打“J”，错误的打“X”，每题2 分，共20分）1、多自由度振动系统的运动微分方程组中，各运动方程间的耦合，并不是振动系统的固有性质，而只是广义坐标选用的结果。
（丁）2、一个单盘的轴盘系统，在高速旋转时，由于盘的偏心质量使轴盘做弓形回旋时，引起轴内产生交变应力，这是导致在临界转速时，感到剧烈振动的原因。
（X）3、单自由度线性无阻尼系统的自由振动频率由系统的参数确定，与初始条件无关。
（丁）4、当激振力的频率等于单自由度线性阻尼系统的固有频率时，其振幅最大值。
（X）5、一个周期激振力作用到单自由度线性系统上，系统响应的波形与激振力的波形相同，只是两波形间有一定的相位差。
（X）6、当初始条件为零，即*产；=0时，系统不会有自由振动项。
（X）7、对于多自由度无阻尼线性系统，其任何可能的自由振动都可以被描述为模态运动的线性组合。
（丁）8、任何系统只有当所有自由度上的位移均为零时，系统的势能才可能为零。
（X ）9、隔振系统的阻尼愈大，则隔振效果愈好。
（X）10、当自激振动被激发后，若其振幅上升到一定程度并稳定下来，形成一种稳定的周期振动，则这种振幅自稳定性，是由于系统中的某些非线性因素的作用而发生的。
（J）二、计算题：1、一台面以f频率做垂直正弦运动。
如果求台面上的物理保持与台面接触，则台面的最大振幅可有多大？（分）解：台面的振动为：x = X sin（tyZ - cp）x = —a>2X sin（or —cp）最大加速度：无max = "X如台面上的物体与台面保持接触，贝U ：九《=g （9・81米/秒2）。
所以，在f 频率（/=仝）时，最大振幅为：2nX max =x< g/4^72= 9.81/4* 严（米）2、质量为ni 的发电转子，它的转动惯量J 。
的确定采用试验方法：在转子经向Ri 的 地方附加一小质量mi 。
试验装置如图1所示，记录其振动周期。
机械振动 课后习题和答案 第二章 习题和答案
2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。
设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。
解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则：mg k δ=，即：n ω==取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为： δ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩00020mx kx x x （参考教材P14）解得：δω=()2cos n x t t2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。
设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。
解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-= 所以：9.87(/)0.2n g rad s ω=== 取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：20n x x ω+=其中，初始条件：(0)0.2(0)0x x =-⎧⎨=⎩ （参考教材P14） 所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=-弹簧力为：()()cos ()k n mg F kx t x t t N ω===-因此：振幅为0.2m 、周期为2()7s π、弹簧力最大值为1N 。
2.3 重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。
解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有： 2121()2T E m m x =+ 212U kx =由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++= 即：12/()n k m m ω=+系统的初始条件为：⎧=⎪⎨=-⎪+⎩2020122m gx k m x gh m m （能量守恒得：221201()2m gh m m x =+） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+其中:ω⎧==⎪⎨==-⎪+⎩200021122n m g A x k x m g ghk A k m m即：ωω=-2()(cos )n n m g x t t t k2.4 一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。
多自由度系统振动理论及应用
对一些较简单的问题,用牛顿定律来建立振动微分方程是简便的.
图４-１所示为无阻尼三自由度弹簧质量系统,可参照二自由度系统的方
法,写出其微分方程:
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４.１
多自由度系统的振动微分方程
或更一般地写成
该式可简单地写成
式(４-２)称为用矩阵符号表示的作用力方程,它可以代表许多种运动方程
种心灵的孤独。
2. 与 个 别 人 难 以 相 处
一些学生能够与多数人保持良好的关系,但与个别人交往
不 良 。 因 此 ,常 会 影 响 情 绪 ,如 鲠 在 喉 。
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任 务 一了解自己与人交往的现状
3. 与 他 人 交 往 平 淡
一些学生虽然能与他人交往,但多属点头之交,没有关系
人际关系新起点
1
任 务 一 了解自己与人交往的现状
2
任 务 二 调整不良交际心态
任 务 一了解自己与人交往的现状
任 务 提 出 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 。
任 务 目 标 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 ,激 发 学 习 热 情 ,明 确 努
力方向。
喜欢独来独往。
(3) 嫉 妒 心 理 。 部 分 大 学 生 不 能 正 确 对 待 别 人 的 长 处 和 优
点,看到别人冒尖心里嫉妒,对比自己水平高的同学采取
讽 刺 、 挖 苦 、 打 击 、 嘲 笑 等 不 当 方 式 ,给 别 人 造 成 伤 害 ,严
重影响了同学之间的沟通。
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第二章机械振动理论基础
工程中常见的振动问题 A 机械中的振动问题 B 结构中的振动问题 C 机械加工过程中的振动问题
振动诊断，就是对正在运行的机械设备或 给非工作状态的系统某种激励，测其振动响 应，对由测量响应得到的各种数据进行分析处 理，然后将结果与事先制订的某一标准进行比 较。进而判断系统内部结构的破坏、裂纹、开 焊、磨损、松脱及老化等各种影响系统正常运 行的故障。依此采取相应的对策来消除故障， 保证系统安全运行。
第三节 单自由度系统的自由振动
自由振动：就是指系统在初始干扰的作用后，仅靠弹性恢
复力来维持的振动形式。其中，系统中不存在阻尼的叫无阻 尼自由振动，而有阻尼的则称之为有阻尼的自由振动。 一．单自由度系统的无阻尼自由振动 1．直线振动 单自由度系统的无阻尼自由振动的力学模型可用弹簧－质 量系统来描述。
个周期内，摩擦力作功为FA，而在一个整周期内作 功总和为 We＝4FA 将其代入式 We ，即可求得干摩擦阻尼的等 Ce 效阻尼系数为 A2
4F Ce A
②流体阻尼的等效粘性阻尼 当物体以较高的 速度在粘性较小的流体(包括空气、液体)中运动 时，物体所受的阻力与速度的平方成正比，即有
Wr Fr xdt Ce A2 2 cos2 (t )dt Ce A2
0 0
T
T
由We＝Wr可得，等效粘性阻尼系数为
We Ce A2
① 干摩擦阻尼的等效粘性阻尼 干摩擦力F 一般 可近似认为是一个常力。它在整个强迫振动过程中 大小不变，但方向始终与运动方向相反。即在每1/4
x(t ) xi cos(2 fi t i )
i 1
至少有一组fm /fn为无理数
准周期振动时历曲线及频谱图 a－时历曲线 b－频谱图
机械振动二自由度
k2 L y A {0} 2 k2 L q
3. 取广义坐标为yA，yB
m L2 I c 2 1 L2 ET y A ', y B ' 2 1 m L L2 I c L2 m L L2 I c 1 yA ' L2 2 m L I c yB ' 1 L2
这个方程不存在惯性耦合
k2 L2 k1L1 0
时方程存在弹性耦合
对角矩阵, 解耦。系统垂直方向的运动与绕质心的转动独立。
k2 L2 k1L1 0
2．取广义坐标为yA，q
m L y' A m 1 1 1 2 2 ET [m( y' A L1q ' ) I cq ' ] { y' A ,q '} q ' 2 系统 2 2 1 1 m L m L I c
L2 变换矩 [u ] L 1 阵为 L
L1 L 1 L
m L2 I c 2 在yA和yB下 m 0 T L2 的质量矩阵 [u ] 0 I c [u ] m L L2 I c 1 为 L2
m L L2 I c 1 L2 m L2 I c 1 L2
m1 x"1 (c1 c2 ) x'1 c2 x'2 (k1 k2 ) x1 k2 x2 F1 (t ) m2 x"2 c2 x'1 (c2 c3 ) x'2 k2 x1 (k2 k3 ) x2 F2 (t )
设： {x} {x1, x2}T
的动 能和 势能 为：
机械振动学(第二章)-二自由度振动系统
3.1.2 二自由度无阻尼自由振动 1、自由振动微分方程
根据式（3-1），可得无阻尼二自由度自由振动微分方程为：
1 (k1 k2 ) x1 k2 x2 0 x m1 2 k2 x1 (k2 k3 ) x2 0 x m2
即：
（3-4）
(k1 k 2 ) k2 1 x x1 x2 0 m1 m1 ( k 2 k3 ) k2 2 x x1 x2 0 m2 m2
1 1 x x 为加速度向量； 为速度向量； 2 2 x x f1 (t ) f (t ) 为激振力向量 2
x1 x 为位移向量； 2
根据以上，式（2-2）可写为以下更为一般的简化形式，即:
CX KX F (t ) MX
将固有频率 n1和 n 2 代入（3-10），可得
1 a d ad 2 ( ) bc 0 1 b 2 2 1 a d ( a d ) 2 bc 0 2 b 2 2
装备制造学院 College of Equipment Manufacture
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三、二Байду номын сангаас由度系统的振动
装备制造学院
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3.1 二自由度自由振动
二自由度系统属于简单的多自由度系统，而多自由度系统 不同于单自由度系统的振动问题，不再是单自由度系统的简 谐振动了，而是多种频率的简谐波组成的复合运动。 这些频率是系统的固有频率，一般系统有几个自由度，就 有几个系统固有频率。 当系统按照其中某一固有频率作自由振动时，称为主振动， 主振动是一种谐振动。 几个自由度系统在任意初始条件下的响应，应是几个主振 动的叠加。 系统做主振动时，任何瞬时各个运动坐标之间具有一定的 相对比值，即称为系统的主振型。
机械振动概念和运动方程
第^一章机械振动振动是指物体或系统在其平衡位置附近的往复运动。
（例子：物体位置、电流强度、电压、电场强度、磁场强度等 ）。
物体或系统质点数是无穷的，自由度数也是无穷的， 因此存在空间分布和时间分布，需要用偏微分方程描述 （如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数， 或未知函数与几个变量有关，而且未知函数对应几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
例如弦包含很多的质点，不能用质点力学的定律研究， 但是可以将其细分成若干个极小的小段， 每小段可以抽象成一个质点， 用微分的方法研究质点的位移， 其是这点所在的位置和时间变量的函数，根据张力，就可以建立起弦振动的偏微分方程）。
一、简谐振动（单自由度体系无阻尼自由小振动）虽然多质点的振动要用偏微分方程描述，但是我们可以简化或只考虑细分成的每一小 段，那么就成为单质点单自由度 （只需一个坐标变量）的振动。
F k 人k F = -kx,ax,令mm m 2 22 d x d x 2 a x, a 2 2x=0 dt 2 dt 2x= Acos@t + = Ae%嚅 特征方程：・2…‘2 =0 特征根=i在微分方程中所出现的未知函数的导数的最高阶数称为这个方程的 阶。
dx形如-P ⑴x=Q （x ）的方程为线性方程，其特点是它关于未知函数dx一次的。
若Q （x ）。
则-P（t ）-0称为齐次的线性方程。
二阶常系数齐次线性微分方程的解法：二 ‘2為2 = a ± i 卩由 x=Acos(，t:)= v-- Asi n(JAcos 他t +3） = Acos 盟（t +T按周期定义，-，同时满足以上两方程的 T 的-«Asin （co t 十®） =Asin ® （t +T]最小值应为2p ，所以T = 2p ，于是n二丄,w= 2pn ，w 称为圆频率或角频率。
不像A 、 w w T;：，由初始条件决定， w 由固有参量k 和m 决定，与初始条件无关，故称为振子的固有频率。
第十三讲—多自由度系统的运动方程
−
ka2θ2
+
⎛ ⎜⎝
ka 2
+
1 2
mgl
⎞⎟⎠θ3
=
0
⎡ ⎢ ⎢
1 3
ml
2
⎢ ⎢
0
⎢
0 1 ml2 3
⎢ ⎢⎣
0
0
质量矩阵
0
⎤ ⎥ ⎥
⎡⎢ka2 ⎢
+
1 2
mgl
0
⎥⎢ ⎥⎢
−ka2
1
ml
2
⎥ ⎥
⎢ ⎢
0
3 ⎥⎦ ⎢⎣
−ka2 2ka2 + 1 mgl
2 −ka2
刚度矩阵
0
⎤ ⎥
⎥
−ka2
⎥ ⎥
θ12
+
θ
2 2
+ θ32
O1
O2
O3
a
k
k
势能
θ1
θ2
θ3
U
=
1 2
k
( aθ1
−
aθ2
)2
+
1 2
k
( aθ 2
−
aθ3 )2
+
mg
l 2
(1 −
cos θ1 )
+
mg
l 2
(1 −
cosθ2
)
+
mg
l 2
(1 −
cos θ1 )
( ) 1
2
k
( aθ1
−
aθ2
)2
+
1 2
k
( aθ 2
−
aθ3
2i
j
mij
机械振动多自由度系统的运动方程
位移方程
x Mx
Mx x 0
与作用力方程比较 Kx Mx K是非奇异的，即K 1的逆矩阵存在
x K 1 (Mx)
K 1
多自由度系统
多自由度系统的运动微分方程--影响系数法
柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系
K 1
即当刚度矩阵是非奇异时，刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵； 当刚度矩阵是奇异时，不存在逆矩阵即无柔度矩阵。
单自由度系统回顾
单自由度系统回顾
等效质量与等效刚度计算
• 等效质量－－动能等效 • 等效刚度－－势能等效
阻尼自由振动
• 三种阻尼类型（粘性，库伦，结构） • 阻尼比与临界阻尼，振动方程的解，初始条件下的响应 • 对数衰减率测定系统阻尼 • 粘性阻尼与库伦阻尼的衰减特征
多自由度系统
单自由度系统回顾
系统运动时，质量的惯性力使弹簧产生变形 x1 (m1x1 ) 11 (m2 x2 ) 12 (m3 x3 ) 13 x2 (m1x1 ) 21 (m2 x2 ) 22 (m3 x3 ) 23 x3 (m1x1 ) 31 (m2 x2 ) 32 (m3 x3 ) 33
多自由度系统
多自由度系统的运动微分方程--影响系数法
写成矩阵形式
x1
x2
x3
11 21 31
12 22 32
13 m1
23
0
33 0
0 m2 0
0 0 m3
x1 x2 x3
n
1
kn2
k1n
k2n
机械振动 第二章(多自由度系统的运动微分方程)
为零时，需要在第 i 自由度处施加的力。
用影响系数法建立系统的运动微分方程
6.思考
此系统用刚度法方便还是柔度法方便？
m1
m2
m3
能否对此系统实施柔度法？
m1 0
0 u1 ( t ) k m 2 u 2 (t ) k
k u1 ( t ) k 0 K k u 2 (t ) k
k11
u2 0
k2
k2
k 21
m1
k11 k1 k 2
k 21
k11 K k2 k 21
m2
k12 k 22
用影响系数法建立系统的运动微分方程
u1 k1
m1 k2
m2
u2
k3
令
u1 0, u 2 1
u1 0
u2 1
k12 m1
k2
k2
k 22
见理论力学范钦珊主编lagrange方程的产生背景隔离体3的受力分析lagrange方程的产生背景隔离体的受力分析将未知约束力引入到动力学方程中导致动力学方程中未知变量急剧增加lagrange方程的产生背景法国科学家法国科学家lagrangelagrange1736173618131813返回返回lagrange方程的产生背景2lagrange方程的产生背景18世纪机器工业的发展迫切需要对受约束的机械系统进行动力学分析1788年在分析力学中对力学提出了全新的叙述方式lagrange力学lagrange方程避开了处理系统内部的约束反力lagrange方程的产生背景利用lagrange方程建立系统的运动微分方程约束方程不包含质点的速度或者包含质点的速度但约束方程是可以积分的约束称为完整约束
3两自由度系统振动2
解方程，进一步可得如下的两个根：
ac ac c a b n 21,2 2 2
ac ac bc 2 2
2
n2
上式是决定系统频率的方程，并称为振动系统的特征 方程。
结论：两个自由度振动系统具有两个固有频率 ，这两个固有频率只与振动系统的质量和刚度 等参数有关，而与振动的初始条件无关。 n1 n2 将所求得的 和 代入（3.7）式中可得： 2 1 a n A 2 c 1 1 1 c n 21 b A1
上式就是机械振动系统在上述初始条件下的响应。
1x 10x 20 2 1 (2x10x20) ( 2 A(1) 1 2 1 n1 )
利用主坐标解耦的方法求解系统响应
的基本步骤为： （1）求出原振动方程的固有频率和振幅 比，得到振型矩阵；
（2）求出主坐标下的响应；
（3）利用反变换式得出原广义坐标下的 响应； （4）利用初始条件确定常系数。
上式为两自由度系统振动的微分方程。
图3.2，双质量－弹簧机械振动系统中，第一个方程中 包含 bx 2 项，第二个方程中则包含 cx 1 项，统称为 “耦合项”。
以上表明，质量 m1同不仅受到弹簧 k1的恢复力的作用，而 且受到弹簧k2 的恢复力的作用； m2只受一个弹簧 k2恢复力 的作用，还受到第一质点m1 位移的影响。位移之间有耦合 称为弹性耦合；加速度之间有耦合称为惯性耦合。
,
2
2
故机械振动系统的响应为：
x1 0.4cos x 0.4cos 2
（1）运动规律
k t 0.8cos1.581 m k t 0.4cos1.581 m
k t m k t m
《课程名称：振动力学》课程教学大纲(本科)
课程名称：振动力学Fundamentals of Vibrations课程代码：24410079学分：3学时：48 （课堂教学学时：48；实验学时：0；上机学时：0；课程实践学时：0）先修课程：理论力学、材料力学、常微分方程、偏微分方程适用专业：工程力学教材：《振动力学》，谢官模，国防工业出版社，2011年第2版一、课程性质与课程目标（一）课程性质振动是自然界最普遍的现象之一。
大至宇宙，小至原子粒子，无不存在着振动。
人类本身也离不开振动：心脏的搏动，耳膜和声带的振动等。
工程中的振动更是比比皆是，例如：建筑结构和桥梁在风或地震载荷下的振动，机械系统运行中所产生的振动，刀具切削过程中的振动，飞机机翼的颤振等等。
振动力学借助于刚体力学与变形体力学的许多基本原理和方法、物理学的许多基本原理以及大量的数学工具，探讨各种振动现象的机理，描述和阐明振动的基本力学与物理规律，以便克服振动的消极有害的因素，利用其积极有利的因素，为合理解决实践中遇到的各种振动问题提供理论依据。
该课程是工程力学专业的一门主要专业基础课。
其任务是使学生掌握固有频率、振型及振动响应等基本概念及常用的求解方法，为学习有关后继课程准备必要的基础，并为将来学习和掌握新的科学技术创造条件；使学生初步学会应用振动力学的理论和方法分析、解决工程实际问题。
（二）课程目标课程目标1:掌握离散系统和连续体系统振动方程建立的方法；课程目标2：掌握振动力学固有频率、周期、阻尼、振型等的基本概念，以及会采用经典的方法求解固有频率、振型与强迫振动响应；课程目标3：掌握数值计算大型结构的固有频率、振型与强迫振动响应的常用方法的数学原理, 并采用数学软件编写程序进行数值运算；课程目标4：了解隔振与测振的基本原理。
（三）课程目标与专业毕业要求指标点的对应关系本课程支撑专业培养计划中毕业要求指标点3、4、5、6,对应关系如下：课程目标1:掌握工程力学所需的数学、物理学等基本内容，了解机械工程、材料工程等相关领域的基础知识和挑战，初步具备从中提炼关键力学问题并利用基本力学思维和方法解决问题的能力。
机械振动(习题课及考前复习)
习题课及考前复习（24题）
一、考试知识点
二、考题分布情况
三、作业题
四、课堂练习题
五、经典例题
一、考试知识点
第一章
1、单自由度系统振动方程。
2、无阻尼单自由度系统的自由振动。
3、等效单自由度系统。
4、有阻尼单自由度系统的自由振动。
5、简谐力激励下的受迫振动。
6、基础简谐激励下的受迫振动。
第二章
1、多自由度系统的振动方程。
2、建立系统微分方程的方法。
3、无阻尼系统的自由振动。
4、无阻尼系统的受迫振动。
二、考题分布情况
1、主要围绕作业题、课堂练习题、经典例题题型展开。
2、复习时把握每章知识要点，理解基础题型解题方法。
3、考卷共6道大题。
习题课及考前复习（24题）
一、考试知识点
二、考题分布情况
三、作业题
四、课堂练习题
五、经典例题
m
222(2)m l θ= ⎧⎨⎩211
(2)m l θ= 212(22)2k l l l θθ−⋅−⋅⋅11k l l θ−⋅221(22)2k l l l
θθ−⋅−⋅⋅
习题课及考前复习（24题）
一、考试知识点
二、考题分布情况
三、作业题
四、课堂练习题
五、经典例题
m
m
m
m
m
m
习题课及考前复习（24题）
一、考试知识点
二、考题分布情况
三、作业题
四、课堂练习题
五、经典例题
m。
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u2 0
k2
k2
k 21
m1
k11 k1 k 2
k 21
k11 K k2 k 21
m2
k12 k 22
用影响系数法建立系统的运动微分方程
u1 k1
m1 k2
m2
u2
k3
令
u1 0, u 2 1
u1 0
u2 1
k12 m1
k2
k2
k 22
2. 用牛顿第二定律列写运动微分方程
u1 u2
k1u1
f1 ( t ) m1
k 2 ( u 2 u1 )
k 2 ( u 2 u1 )
f 2 (t )
k 3u 2
c1u1
c 2 ( u 2 u1 ) c 2 ( u 2 u1 )
m2
c3 u 2
受力分析时假定两质量块均沿着坐标的正方向运动.因为这样在受力分析 时容易确定所受力的大小和方向,不容易出错.
f (t )
C
f (t )
k
K
刚度矩阵
激振力向量
Mu (t ) Cu ( t ) Ku ( t ) f ( t )
多自由度系统运动微分方程的一般形式
建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述
2.系统运动微分方程的建立方法
牛顿第二定律: 适用于自由度不多的离散系统或简单的 连续系统
C
l3 x3
对 B取 矩
1( l3 l 2 ) m 3 g ( x 2 x3 ) m 2 gx 2
1
m3 g
x1
x2 d 33
对 A取 矩
1( l3 l 2 l1 ) m 3 g ( x1 x 2 x 3 ) m 2 g ( x1 x 2 ) m1 gx1
4.阻尼影响系数
0 0
Cu f
M u Cu Ku f
阻尼影响系数 c ij ：第 j 个自由度产生单位速度，其他自由度处的速度为零 时，需要在第 i自由度处施加的力。
5.质量影响系数
0
Mu f
M u Cu Ku f
质量影响系数 m ij ：第 j 个自由度产生单位加速度，其他自由度处的加速度
动量矩定理:
影响系数法： 建立方法
主要适用于自由度不多的离散系统
主要适用于自由度不多的离散系统
Lagrange方程法：主要适用于离散系统
Hamilton原理： 主要适用于连续系统
有限单元法： 离散系统，连续系统都适用，是一种最
通用的建模方法
返回
用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程
1.直角坐标形式的牛顿第二定律
3.刚度影响系数
刚度影响系数 k ij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时， 需要在第 i 自由度处沿着位移方向施加的力。
4.柔度影响系数
柔度影响系数 d ij ：第 j 个自由度上作用单位力，其他自由度作用力为零时，
k k
奇异（秩亏损）
用影响系数法建立系统的运动微分方程
7.小结
① 刚度法实施过程中要求系统仅一个自由度有位移，人为地增加了系统约 束的数目，求解比较繁。 ② 柔度法维持原系统的约束，实施比较方便。特别是用实验来确定系统 的弹性性质时均采用柔度法，刚度法几乎不能实现。 ③ 如果系统具有刚体运动自由度，则柔度法失效，但刚度法却可奏效。所 以刚度法的应用范围比柔度法要大。
多自由度振动系统
Piezoelectric actuator
基于压电作动器的垂尾抖振主动抑制 （此系统有一、两千个自由度（3D实体单元） ）
Z Y
X
第二章： 多自由度系统的运动 微分方程
第二章:多自由度系统的运动微分方程
第一讲：
1.建立多自由度系统运动微分方程的 各种方法的概述 2.用牛顿第二定律列写系统的运动微 分方程 3.用影响系数法建立系统的运动微分 方程
0 第 j行 k1 j 0 k2 j 1 0 k Nj 0
k11 k 21 kN1
k1 j k2 j k Nj
k1 N k2 N k NN
m2
k3
k12 k 2
k 22 k 2 k 3
k2 k 2 k3
k11 K k 21
k12 k 22
k1 k 2 刚度矩阵： K k2
用影响系数法建立系统的运动微分方程
3.柔度影响系数
柔度矩阵
0
u K
1
f D f
Ku f
0 0 1 0 0
M u Cu Ku f
第 j行
d 11 d 21 d N1
d1 j d2 j d Nj
d1 N d2N d NN
建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述
1.多自由度系统运动微分方程的一般形式
回想单自由度系统运动微分方程的一般形式
mu ( t ) cu ( t ) ku ( t ) f ( t )
多自由度系统运动微分方程的一般形式
u (t )
u (t )
位移向量
m
阻尼矩阵
M
质量矩阵
c为零时，需要在第 i 自度处施加的力。用影响系数法建立系统的运动微分方程
6.思考
此系统用刚度法方便还是柔度法方便？
m1
m2
m3
能否对此系统实施柔度法？
m1 0
0 u1 ( t ) k m 2 u 2 (t ) k
k u1 ( t ) k 0 K k u 2 (t ) k
m m m d x dt
2 2 2
F
x
d y dt
2 2
F F
y
d z dt
2
z
列写运动方程时要选定一个正方向，计算各力在正方向的投影。 加速度的正负号是由合外力的正负决定的，因此在列写方程时只要
z y 用 或 或 表示就可以了。 x
用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程
刚度影响系数 k ij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时，
需要在第 i 自由度处沿着位移方向施加的力。
用影响系数法建立系统的运动微分方程
【例】用影响系数法写出图示系统的刚度矩阵。
u1
k1
m1
u2
k2
m2
k3
解： u1 令
1, u 2 0 u1 1 k1
l1 ( m1 m 2 m 3 ) gd 11
d 11 d 21 d 31
d 11 D d 21 d 31 d 12 d 22 d 32
d 31
m3 g
l1 ( m1 m 2 m 3 ) g
d 13 d 23 d 33
用影响系数法建立系统的运动微分方程
m1 0
0 u1 c1 c 2 m 2 u 2 c2
c 2 u1 k 1 k 2 c 2 c3 u 2 k 2
k 2 u1 f 1 k 2 k3 u 2 f 2
x1
l1 ( m1 m 2 m 3 ) g
d 11 D d 21 d 31 d 12 d 22 d 32 d 13 d 23 d 33
d 33
l1 ( m1 m 2 m 3 ) g
l2 ( m 2 m3 ) g
l3 m3 g
用影响系数法建立系统的运动微分方程
【课堂练习】求图示摆的柔度矩阵
A
对 A取 矩 :
l1
1
m1 g m2 g
1
d 11
l1 cos 1 ( m1 m 2 m 3 ) gl1 sin 1
d 21
l1 cos 1 ( m1 m 2 m 3 ) gd 11
cos 1 1
d 32
d 22 d 32
l2 ( m 2 m3 ) g
m3 g
d 11 D d 21 d 31
d 12 d 22 d 32
用影响系数法建立系统的运动微分方程
A
l1 m1 g
对C取矩
B
l2 m2 g
1l3 m 3 gx3
x3
l3 m3 g
x2 l2 (m 2 m3 ) g
Mu (t ) Cu ( t ) Ku ( t ) f ( t )
返回
用影响系数法建立系统的运动微分方程
1.总体思路
刚度影响系数 柔度影响系数 影响系数法 阻尼影响系数
K
D
C
M
质量影响系数
用影响系数法建立系统的运动微分方程
2.刚度影响系数
0
Ku f
M u Cu Ku f
根据牛顿第二定律，得到系统的运动方程：
m1u1 k1u1 k 2 (u 2 u1 ) c1u1 c 2 (u 2 u1 ) f1 (t ) m 2 u 2 k 2 (u 2 u1 ) k 3u 2 c 2 (u 2 u1 ) c3u 2 f 2 (t )
F1 1
u2
k2 m2
k3