【大学物理】§51角动量转动惯量力矩共26页
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力矩、角动量定理和刚体.ppt
转动动能
1 2 Ek mi vi i 2 1 1 2 2 2 ( mi ri ) J 2 i 2
36
刚体绕定轴转动的动能定理 1 2 2 d d Jd W Md J 1 1 1 dt 2 1 1 2 2 W Md J 2 J1 1 2 2
例
相对不同参考点A、B，计算重力矩和角动量
参考点A： 重力矩 角动量 参考点B： 重力矩 角动量
A
v
mg
d1
M mgd 1
L0
d2
B
M mgd 1
L mvd2
（三)
质点对轴的角动量定理及守恒
dL z Mz dt
§4.2 质点系的角动量定理
1、质点系的角动量 2、质点系的角动量定理 3、角动量守恒 4、绕某一轴的圆周运动
该直线称作转轴。
对定轴转动的描述：角坐标。一个自由度。
刚体转动的角速度和角加速度 z 角坐标 (t )
沿逆时针方向转动 > 0 沿顺时针方向转动 < 0 角位移 (t t) (t) 角速度 角加速度
O
ω
d P(t)
r P’(.t+dt)
.
x
d lim t 0 t dt
I m r r dm
2 j j 2 j
dm：质量元 d V ：体积元
r dV
2 V
说明 刚体的转动惯量与以下因素有关：
（1）与刚体的几何形状及质量分布有关． （2）与转轴的位置有关．
平行轴定理
质量为m 的刚体， 如果对其质心轴的转动 惯量为 I C ，则对任一与 该轴平行，相距为 d 的 转轴的转动惯量
角动量 角动量守恒定律大学物理
对定轴转动的刚体 Miin 0 ，合外力矩
M
Miex
d dt
(
mi
ri
2
)
d(J
dt
)
d( J )
dL
M
dt dt
第3章 守恒定律
12
大学物
理学
第二版
t2 t1
Mdt
L2
L1
t2 t1
Mdt
L2
L1
当转轴给定时，作用在物体上的冲量 矩等于角动量的增量．——定轴转动的角 动量定理
第3章 守恒定律
然长度处以
垂直于弹簧运动，当
弹簧与初始位置垂直时，弹簧长度
v
求此时滑块的速度.
v0
第3章 守恒定律
图 3.4
大学物 理学
第二版
【解】 由角动量和机械能守恒
结论：对于有心力问题，系统对力心处的 角动量守恒.
第3章 守恒定律
大学物
理学
第二版
三、角动量守恒定律的应用
（1）常平架回转仪（陀螺仪） （2）直升飞机尾翼
质点角动量定理的推导
L r p r mv
dL
d
(r
p)
r
dp
dr
p
dt dt dr v，v p 0
dt dL
dt
r
dp
r
F
dt
dt
dt
第3章 守恒定律
4
大学物
理学
第二版
dL
M
dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力 矩，等于质点对该点 O 的角动量随时间的 变化率.
13
大学物
理学
第二版
对定轴转动的刚体，受合外力矩M，
大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律93页PPT
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
大学物理角动量转动惯量及角动量的守 恒定律
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
▪
谢谢！
93
ห้องสมุดไป่ตู้
大学物理第5章刚体的定轴转动
d ctdt
对上式两边积分得
d c td t
0 0
t
1 2 ct 2
2 2 600π π 3 rad s 由给定条件， c 2 t 300 2 75
d π 2 由角速度的定义，则任意 t 时刻的角速度可写为： d t 150
得到： 转子转数：
A M d E K
a b
动能定理
动量定理
A F ds E K
动能定理 角动量定理 角动量 守恒
t 0Fdt P
t
动量守恒
F 0, P 0
t 0 M z dt Lz
t
M 0, L 0
§5.1 刚体、刚体运动
一、一般运动 二、刚体的定轴转动 三、解决刚体动力学问题的一般方法
基本方法： 加
质点系运动定理 刚体特性 平动：动量定理
刚体定轴转动的 动能定理 角动量定理
F mac
可以解决刚体的一般运动（平动加转动）
一、一般运动
1. 刚体 特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 2. 自由度 确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数 z
刚体平面运动可看做刚体的平动与定轴转动的合成。 例如：车轮的滚动可以看成车轮随轮 轴的平动与绕轮轴的转动的组合。 描述刚体平面运动的自由度：3个
定点转动 刚体运动时，刚体上的一点固定不动，刚体绕过定点的一 瞬时转轴的转动，称作定点转动。
描述定点转动的自由度：3个
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
z
描述刚体绕定轴转动的角量： 角坐标
转动惯量与角动量
转动惯量与角动量转动惯量和角动量是刚体在旋转运动中的重要物理量，它们之间存在着密切的关系。
本文将介绍转动惯量和角动量的定义、计算公式以及它们之间的相互关系。
一、转动惯量的定义和计算公式转动惯量是描述刚体对转动的惯性大小的物理量。
对于质量分布均匀的刚体，其转动惯量与质量的分布以及旋转轴的位置有关。
转动惯量的计算公式如下：I = ∫r²dm其中，I表示转动惯量，r表示质点到旋转轴的距离，dm表示质点的质量微元。
对于连续体，转动惯量可以通过对质量微元的积分来求得。
二、角动量的定义和计算公式角动量是描述刚体在旋转运动中旋转状态的物理量。
它的定义为：L = Iω其中，L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
角速度是描述刚体旋转角度改变的快慢程度的物理量。
三、转动惯量与角动量的关系转动惯量和角动量之间的关系可以由角动量定理来说明。
根据角动量定理，刚体所受合外力矩的变化率等于刚体的角动量。
τ = dL/dt其中，τ表示合外力矩，dL/dt表示角动量的变化率。
将角动量的定义代入上式得到：τ = d(Iω)/dt对上式进行求导，得到：τ = Iα其中，α表示角加速度。
由此可见，转动惯量与角动量之间存在线性关系，转动惯量越大，角动量的变化率越小。
四、应用举例1. 陀螺陀螺是一种利用转动惯量和角动量原理运动的玩具。
陀螺转动时，由于转动惯量的存在，它能够保持稳定的旋转状态，称为陀螺的进动。
进动现象是由于陀螺的角动量在地球重力的作用下发生变化。
2. 地球自转地球自转是地球沿着自身轴心旋转运动。
地球的自转轴决定了地球的转动惯量，也影响着地球的气候和地理现象。
地球的自转周期为大约24小时，使得地球上的一天分为白天和黑夜。
3. 运动员旋转在体育竞技中，某些项目需要运动员进行旋转动作。
运动员在旋转时，身体的转动惯量会影响旋转速度和稳定性。
通过调整身体的姿势和肌肉的协调运动，运动员可以实现更稳定和高效的旋转动作。
综上所述，转动惯量和角动量是刚体在旋转运动中的重要物理量。
力矩和角动量
05 力矩和角动量的关系
力矩和角动量的相互转化
力矩可以改变角动量的大小和方向
力矩和角动量之间存在相互转化的 关系
添加标题
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角动量也可以通过力矩产生旋转运 动
角动量守恒定律是力矩和角动量相 互转化的重要基础
力矩和角动量在转动过程中的变化
力矩改变角动量的方向
角动量守恒定律：在没有外 力矩作用的情况下，系统的
角动量保持不变
力矩改变角动量的大小
角动量定理：力矩对时间的 积分等于角动量的变化率
力矩和角动量在碰撞过程中的变化
力矩和角动量在碰撞前后的变化规律 力矩和角动量在碰撞过程中的相互作用 力矩和角动量在碰撞过程中的守恒定律 力矩和角动量在碰撞过程中的影响因素
感谢您的观看
汇报人：XX
力矩的单位是牛顿·米（N·m）
添加标题
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添加标题
添加标题
力矩等于力和力臂的乘积，计算公 式为 M=FL
力矩是矢量，具有方向性
力矩的单位和符号
力矩的单位是牛顿米（N·m）
力矩的符号是M
力矩的矢量性
力矩是矢量，具有大小和方向 力矩的大小等于力和力臂的乘积 力矩的方向垂直于力和力臂所在的直线 力矩的矢量性在物理中有重要应用，如动量守恒定律和角动量守恒定律
角动量守恒的应用
天体运动：行星、卫星和彗星等天体的运动遵循角动量守恒，保持旋转轴的方向不变。
陀螺仪：利用角动量守恒原理制成的陀螺仪，可以用来导航、控制和稳定物体姿态。
分子动理论：分子在不停地做无规则热运动，其动量（包括角动量）在不停地变化， 符合动量守恒定律。 机械系统：在某些机械系统中，例如钟表和自行车，角动量守恒定律可以用来分析和 优化系统的性能。
第八章角动量定理
• 与空间各向同性相对应的守恒定律是角动量守 恒定律，它也是自然界中的基本规律之一。
第25页/共28页
思考题
• 8-1、简述角动量守恒定律，举出你所观察到的现象，并给以说明。 • 8-2、试用角动量守恒说明地球上有春夏秋冬之分的原因。 • 8-3、举出在天体运动中角动量守恒的表现。 • 8-4、试解释宇宙中星云的旋转盘状结构的成因。
第12页/共28页
直升飞机加尾翼的作用
• 当直升飞机机翼旋转 起来时，由角动量守 恒知机身将发生反向 的旋转，为了稳定机 身，常在直升飞机的 尾部加上一尾翼。还 可在直升飞机上加双 重反向旋转的机翼。
其 第13页/共28页 目的之一都是为了
直升飞机 的旋转机 翼
第14页/共28页
• 在跳水运动员的跳水过程， 运动员从跳板向前跃起时， 绕一通过质心的水平轴有 一角速度，从而具有绕通 过质心的水平轴的角动量。
质点绕定点转动的角动量
设有一个质量为m的质点位于A点，该点相对空间一定点O的位置 矢量为r，质点的速度为v，动量为mv，定义质点对O点的角动量L为
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质点绕定点转动的角动量
第3页/共28页
质点作圆周运动的角动量
第4页/共28页
刚体绕定轴转动的角动量
刚体定轴转动的角动量L等于刚体对 定轴的转动惯量J和角速度ω的乘积
第26页/共28页
第27页/共28页
感谢您的观看！
第28页/共28页
第8页/共28页
角动量守恒矩为零时，系统的总角动量保持不变。
第9页/共28页
角动量守恒的表现
• 为什么当把哑铃收拢在胸前时，女 孩的旋转速度加快？你在冰上运动 和芭蕾舞表演中看到过类似的现象 吗？
第10页/共28页
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思考题
• 8-1、简述角动量守恒定律，举出你所观察到的现象，并给以说明。 • 8-2、试用角动量守恒说明地球上有春夏秋冬之分的原因。 • 8-3、举出在天体运动中角动量守恒的表现。 • 8-4、试解释宇宙中星云的旋转盘状结构的成因。
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直升飞机加尾翼的作用
• 当直升飞机机翼旋转 起来时，由角动量守 恒知机身将发生反向 的旋转，为了稳定机 身，常在直升飞机的 尾部加上一尾翼。还 可在直升飞机上加双 重反向旋转的机翼。
其 第13页/共28页 目的之一都是为了
直升飞机 的旋转机 翼
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• 在跳水运动员的跳水过程， 运动员从跳板向前跃起时， 绕一通过质心的水平轴有 一角速度，从而具有绕通 过质心的水平轴的角动量。
质点绕定点转动的角动量
设有一个质量为m的质点位于A点，该点相对空间一定点O的位置 矢量为r，质点的速度为v，动量为mv，定义质点对O点的角动量L为
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质点绕定点转动的角动量
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质点作圆周运动的角动量
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刚体绕定轴转动的角动量
刚体定轴转动的角动量L等于刚体对 定轴的转动惯量J和角速度ω的乘积
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第27页/共28页
感谢您的观看！
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角动量守恒矩为零时，系统的总角动量保持不变。
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角动量守恒的表现
• 为什么当把哑铃收拢在胸前时，女 孩的旋转速度加快？你在冰上运动 和芭蕾舞表演中看到过类似的现象 吗？
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大学物理-刚体绕定轴转动的角动量
M J
p mivi
角动量
L J
角动量定理 M d(J)
dt
质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较（续）
质点的运动
动量守恒 力的功 动能
Fi 0时
mivi 恒量
Aab
b
F
dr
a
Ek
1 2
mv
2
动能定理
A
1 2
mv
2 2
1 2
mv12
重力势能
Ep mgh
机械能守恒
A外 A非保内 0时
进动特性的技术应用
翻转
外力
C
外力
进动
C
炮弹飞行姿态的控制：炮弹在飞行时，空气阻力对炮弹质心 的力矩会使炮弹在空中翻转；若在炮筒内壁上刻出了螺旋线 （称之为来复线），当炮弹由于发射药的爆炸所产生的强大 推力推出炮筒时，炮弹还同时绕自己的对称轴高速旋转。由 于这种自转作用，它在飞行过程中受到的空气阻力将不能使 它翻转，而只能使它绕着质心前进的方向进动。
pA pB
pA A
Bp B
s
s
O
x
结论：静止流体中任意两等高点的压强相等，即压强差为零。 若整个流体沿水平方向加速运动？ 加速运动为a，压强差为？
2. 高度相差为 h 的两点的压强差（不可压缩的流体）
选取研究对象，受力分析：（侧面？）
沿 y 方向：
p C
Y C s
pB s pC s mg may
已知：p0=1.013×105 Pa ， 0 1.29kg / m3
解 由等温气压公式
p
p e(0g / p0 ) y 0
0g 1.25104 m1
p0
p1 1.0 105 e1.251043.6103 0.64 105 Pa
大学物理课件：刚体定轴转动
M f k 2
(1)
由刚体定轴转动定律得：
k2 J J d
(2)
dt
对上式分离变量并积分得：
0
k
J
t
dt
0
2 0
d 2
(3)
得到所需时间为： t J
(4)
k0
（2）由刚体定轴转动定律得：
k2 J J d d J d
(5)
dt d d
0
对上式分离变量并积分得： k
d
2
设 为两飞轮啮合后共同角速度：
J AA 33.3rad s1
JA JB
例题4.3.2 质量 M 、半径 R 的圆盘，绕过圆心 O
且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动，已知其角速
惯量，故该量有关于刚体，还有关于转轴！ 2.由上述结果看出：
JO
1 3
ml 2
1 12
ml2 +m（ l ）2 2
JO
+m（ l ）2 2
4.2.3 平行轴定理
平行轴定理：质量为 m的刚体，如果
对其质心轴的转动惯量为 JC ，则对任
一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转
动惯量为：
J O J C md 2
2.合力矩等于各分力矩的矢量和 ：
M M1 M2 M3
(2)
3.刚体内力矩互相抵消：
M ij M ji
注意：内力矩对刚体 动力学效应无贡献；
M ij
o
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M ji
例题4.2.1 研磨专用动力卡盘是专门为精密研磨 机所设计，如图所示用于固定被加工工件，卡盘在 绕垂直通过盘心的轴转动时会与接触工件产生滑动 摩擦。试求卡盘转动时受到的摩擦力矩。设其质
定轴转动刚体的转动定律度力矩角动量转动惯量
该力对转轴的力矩为零。 M r F
大小：M Fr sin
z
F∥
or
F θ F⊥
转轴
转动平面 2
说明： a)力的作用线与转轴相交或平行时力对该转轴的矩为0；
b)同一个力对不同的转轴的矩不一样；
c)当所给的力在转动平面内，力对转轴的矩与力对交 点O的矩等值。但不能说完全相同。
d)在定轴转动中，如果有几个外力同时作用在刚体上， 它们的作用可以与某一个力矩相当这个力矩叫做这几 个力的合力矩。合力矩与合力的矩是不同的概念，不 要混淆。 在研究力对轴的矩时，可用正负号来表示力矩的方向。 3 .力矩的计算
Iz Ix Iy
z
定理证明：
对于质量平面分布的刚体， 绕 x 轴的转动惯量为：
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为：
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为：
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
5
L Li (riΔmivi) (Δmiri2 )ω
令：I (Δmiri2 )
刚体绕OZ轴转动的转动惯量
L Iω
注意：
刚体绕OZ轴转动的角动量
a)力矩、角动量都是瞬时量，它们只能针对某一时 刻而言，它们都不是时间的累积效应。
b)力矩、角动量都是相对量，都必须指明它们是相 对于哪个轴或哪个点。
解：绕细杆质心的转动惯量为： IC
绕杆的一端转动惯量为 I 1 ml2
1 ml2
12
m
l
2
1
ml
2
大小：M Fr sin
z
F∥
or
F θ F⊥
转轴
转动平面 2
说明： a)力的作用线与转轴相交或平行时力对该转轴的矩为0；
b)同一个力对不同的转轴的矩不一样；
c)当所给的力在转动平面内，力对转轴的矩与力对交 点O的矩等值。但不能说完全相同。
d)在定轴转动中，如果有几个外力同时作用在刚体上， 它们的作用可以与某一个力矩相当这个力矩叫做这几 个力的合力矩。合力矩与合力的矩是不同的概念，不 要混淆。 在研究力对轴的矩时，可用正负号来表示力矩的方向。 3 .力矩的计算
Iz Ix Iy
z
定理证明：
对于质量平面分布的刚体， 绕 x 轴的转动惯量为：
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为：
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为：
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
5
L Li (riΔmivi) (Δmiri2 )ω
令：I (Δmiri2 )
刚体绕OZ轴转动的转动惯量
L Iω
注意：
刚体绕OZ轴转动的角动量
a)力矩、角动量都是瞬时量，它们只能针对某一时 刻而言，它们都不是时间的累积效应。
b)力矩、角动量都是相对量，都必须指明它们是相 对于哪个轴或哪个点。
解：绕细杆质心的转动惯量为： IC
绕杆的一端转动惯量为 I 1 ml2
1 ml2
12
m
l
2
1
ml
2
角动量转动惯量
2
3. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量
dl
R
r
d
r
dl
d
o
R
解：用一系列垂直于轴线的平 面来切分球壳,得到无数个环 面.当上下两圆无限接近时,所 夹面元面积相当于一圆柱面的 侧面面积,且极限下该面元上 各点到轴线距离相等
ds 2rdl 2Rsin Rd
m 4R 2
12
m 1 L3 L3 1 2 m L 12 L 3 8 8
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
J r dm x dm
2 2 L
L
x
2
若使用平行轴定理：
0
m1 3 L 1 2 x mL L3 0 3
1 l m 2 x dx J m l m 12 2 L 1 1 2 2 ml ml 12 4 1 2 ml 13 3
dm
2. 计算 J ri 2 mi
i
与刚体总质量有关
与刚体质量分布有关 与转轴的位置有关
刚体对轴的转动惯量 J
练习
1. 由长l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系 对过A垂直于纸面的轴的转动惯量
J m 0 2 2m l2 3m(2l ) 2 4m( 2l ) 2 5m( 2l ) 2 32m l2
1 dm ds msin14 d 2
3. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量
dl
R
r
d
ds 2rdl 2Rsin Rd
o
m 4R 2
1 dm ds msind 2
对圆环： dJ r dm Rsin
3. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量
dl
R
r
d
r
dl
d
o
R
解：用一系列垂直于轴线的平 面来切分球壳,得到无数个环 面.当上下两圆无限接近时,所 夹面元面积相当于一圆柱面的 侧面面积,且极限下该面元上 各点到轴线距离相等
ds 2rdl 2Rsin Rd
m 4R 2
12
m 1 L3 L3 1 2 m L 12 L 3 8 8
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
J r dm x dm
2 2 L
L
x
2
若使用平行轴定理：
0
m1 3 L 1 2 x mL L3 0 3
1 l m 2 x dx J m l m 12 2 L 1 1 2 2 ml ml 12 4 1 2 ml 13 3
dm
2. 计算 J ri 2 mi
i
与刚体总质量有关
与刚体质量分布有关 与转轴的位置有关
刚体对轴的转动惯量 J
练习
1. 由长l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系 对过A垂直于纸面的轴的转动惯量
J m 0 2 2m l2 3m(2l ) 2 4m( 2l ) 2 5m( 2l ) 2 32m l2
1 dm ds msin14 d 2
3. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量
dl
R
r
d
ds 2rdl 2Rsin Rd
o
m 4R 2
1 dm ds msind 2
对圆环： dJ r dm Rsin
大学物理力学第五章2刚体功和能、角动量
J12
Ek 2
Ek1
A Ek2 Ek1
M、ω1、 ω2是对于同一转轴的！
4、刚体对地面的重力势能：
Ep
mi ghi g
mi hi
Δmi C×
质心高度:
hc
mi hi m
EP mghC
hC
hi
Ep= 0 视为质量集中到质心上
5. 机械能守恒
Aex Ain,nco 0
E E0
M rmg sin rmg R L sin L
Ωdt
Mdt
R
L
θ
Ω 1
摩擦 倒下
Jω
o mg
1、已知m1，m2 ，M1，M2，R1，R2 且m1> m2 试由牛顿运动
定律和转动定律写出系统的运动方程，求m2 的加速度和
张力T1 ,T2 , T3 。 解：设m2的加速度大小为a，方向向上，
M
l / 2 l / 2
dM
20l /2 gxdx
1 mgl
4
始末两态的角动量为： L0 J 0 , L 0
由角动量定理：
t
t0
Mdt L L0
0t
1 mgldt
4
0 J 0
1 mglt
4
1 12
ml
20
0 m ,l o dm l / 2
t l0 3 g
l/2
x dx x
当系统中只有保守力作功，其它力与力矩不 作功时，物体系的机械能守恒。
例1：一均匀细杆质量为m，长度为l，一端固定在
光滑水平轴上，由静止从水平位置摆下，求细杆摆
到铅直位置时的角速度。 棒上重力矩之和等于全部重
解（一）：应用动能定理 力集中于质心对轴的力矩
《大学物理》第11章 角动量：转动
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花样滑冰运动员通过改变身体姿态 即改变转动惯量来改变转速
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解题思路：作用在小球上的拉力沿径向，对转轴的力臂为零， 因此作用在小球m上合外力矩为零，体系角动量守恒。
I11 I22 I mR 2
v R,
v2
R 22
R 21
质点系的总角动量 质点系的总转动力矩
n
L Li
i 1
net i
1）系统内力作用于质点上的内力力矩
成对出现。大小相等、方向相 反，作用在同一条直线上
内力矩总和 为0
2）系统外力作用于质点上的外力矩
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net i ext
§11-1 角动量 物体绕定轴旋转
一、质点的角动量
L
对于定点转动而言：
L
r
P
r mv
r o
r sin
P
mv
m
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二、质点角动量定理
平动中合外力和动量的关系 相对于惯性参考系原点
F
dp dt
L rp
对角动量取微分
dL
d
r
所以L为常量，即dA/dt为常量。 开普勒定律得证
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例11-12 一个质量为m的子弹以速度v击中一个质量为M半径为 R0的圆柱边缘，且子弹嵌入圆柱中，如图所示。圆柱原来静止 ，被子弹击中后开始绕其对称轴（位置固定）转动。假设无摩 擦力矩。子弹击中后圆柱的角速度为多少？动能是否守恒？
花样滑冰运动员通过改变身体姿态 即改变转动惯量来改变转速
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解题思路：作用在小球上的拉力沿径向，对转轴的力臂为零， 因此作用在小球m上合外力矩为零，体系角动量守恒。
I11 I22 I mR 2
v R,
v2
R 22
R 21
质点系的总角动量 质点系的总转动力矩
n
L Li
i 1
net i
1）系统内力作用于质点上的内力力矩
成对出现。大小相等、方向相 反，作用在同一条直线上
内力矩总和 为0
2）系统外力作用于质点上的外力矩
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net i ext
§11-1 角动量 物体绕定轴旋转
一、质点的角动量
L
对于定点转动而言：
L
r
P
r mv
r o
r sin
P
mv
m
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二、质点角动量定理
平动中合外力和动量的关系 相对于惯性参考系原点
F
dp dt
L rp
对角动量取微分
dL
d
r
所以L为常量，即dA/dt为常量。 开普勒定律得证
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例11-12 一个质量为m的子弹以速度v击中一个质量为M半径为 R0的圆柱边缘，且子弹嵌入圆柱中，如图所示。圆柱原来静止 ，被子弹击中后开始绕其对称轴（位置固定）转动。假设无摩 擦力矩。子弹击中后圆柱的角速度为多少？动能是否守恒？
大学物理_角动量_转动惯量汇总
df dm g 2 gr dr
df
dM r df 2 2 gr dr
R
r O
2 3 M 2 gr dr gR 3 0
R
dr
2
问题： 若圆盘以ω0 的初角速度转动，圆盘转多少圈静止? (解答需要转动情况下的动能定理)
刚体（rigid body） ：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体。（或：任意两质点间距离保持不变 的特殊质点系）。 刚体的运动形式： 平动(translation)、 转动(rotation)。 平动： 刚体内任意两点间连线 的空间方向总保持不变
特点：各点位移、速度、 加速度均相同。 刚体平动 质点运动
M ij
O
M rF sin θ Fd
Mij M ji
力矩的计算：
M ji
d
ri
F ji iF
ij
rj
j
计算变力对某一转轴的力矩则应当采取分小段的 办法，将每一小段的力视为恒力，再按照恒力矩的计 算方法进行计算，最后求和。
计算对定轴的力矩时，可用正负号来反映力矩方向。
转动：刚体中所有点同时都绕同一直线做圆周运动。 转动又分定轴转动、非定轴转动（绕定点转动或绕瞬心 转动）。
刚体的平面运动：
例：曲柄连杆机构中连杆AB的运动。
A点作圆周运动，B
点作直线运动，因此，
AB 杆的运动既不是平动
也不是定轴转动，而是
平面运动。
刚体的一般运动： 质心的平动 质心 ：刚体的质量分布的中心
二、质点的角动量定理 1、质点的角动量[旧称动量矩] (Angular Momentum) 在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 r，质点相对于原 点的角动量定义为
大学物理-第四章-力矩 转动定律 转动惯量
0
3
8
以上各例说明：
(1)刚体的转动惯量 与刚体的质量有关， 与刚体的质量分布有关， 与轴的位置有关。
(２)质量元的选取：
线分布 dm dx(或dl)
面分布 dm ds
体分布 dm dv
线分布
面分布
体分布
9
习题4-11： 质量为m1和m2 的两物体A、B 分别悬挂在图示的组合轮两端.设两轮的半 径分别为R 和r，两轮的转动惯量分别为J1 和J2 ，轮与轴承间、绳索与轮间的摩擦力 均略去不计，绳的质量也略去不计.试求两 物体的加度度和绳的张力.
解: 系统角动量守恒
J11 J22 (J1 J2 )
J11 J 22
(J1 J2 )
22
习题4-16：一质量为m′、半径为R 的均匀圆盘，通过 其中心且与盘面垂直的水平轴以角速度ω转动，若在 某时刻，一质量为m 的小碎块从盘边缘裂开，且恰好 沿垂直方向上抛，问它可能达到的高度是多少？ 破裂
Lz x mv y ymv x
15
2 刚体定轴转动的角动量
L mirivi ( miri2 )
i
i
z
L J
二 刚体定轴转动的角动量定理
dL d(J) M
dt dt
O ri
v i
mi
t2 Mdt
t1
L2 L1
dL
J2
J1
非刚体定轴转动的角动量定理
20
有许多现象都可以用角 动量守恒来说明. 它是自然 界的普遍适用的规律.
花样滑冰 跳水运动员跳水
飞轮
1
2
航天器调姿