常微分方程初值问题数值解法的比较
常微分方程初值问题数值解法
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常微分方程初值问题的数值解法在自然科学、工程技术、经济和医学等领域中,常常会遇到一阶常微分方程初值问题:(,),,(),y f x y a x b y a y '=≤≤⎧⎨=⎩ (1) 此处f 为,x y 的已知函数,0y 是给定的初始值。
本章讨论该问题的数值解法,要求f 在区域{(,)|,}G x y a x b y =≤≤<∞内连续,并对y 满足Lipschitz 条件,从而初值问题(1)有唯一的连续可微解()y y x =,且它是适定的。
1 几个简单的数值积分法1.1 Euler 方法(1)向前Euler 公式(显式Euler 公式)10(,),0,1,2,,(),n n n n y y hf x y n y y a +=+=⎧⎨=⎩(2) 其中h 为步长。
由此便可由初值0y 逐步算出一阶常微分方程初值问题(1)的解()y y x =在节点12,,x x 处的近似值12,,y y 。
该公式的局部截断误差为2()O h ,是一阶方法。
(2)向后Euler 公式(隐式Euler 公式)1110(,),0,1,2,,(),n n n n y y hf x y n y y a +++=+=⎧⎨=⎩(3) 这是一个隐格式,也是一阶方法。
这类隐格式的计算比显格式困难,一般采用迭代法求解。
首先用向前Euler 公式提供迭代初值,然后迭代计算:(0)1(1)()111(,),(,),0,1,2,n n n n k k n n n n y y hf x y y y hf x y k +++++⎧=+⎨=+=⎩ (4)1.2 梯形方法1110[(,)(,)],2(),(0,1,2,)n n n n n n h y y f x y f x y y y a n +++⎧=++⎪⎨⎪=⎩= (5) 这也是一个隐格式,是二阶方法。
一般也采用迭代法求解。
迭代公式如下:(0)1(1)()111(,),[(,)(,)],0,1,2,2n n n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y k +++++⎧=+⎪⎨=++=⎪⎩ (6)1.3 改进的Euler 方法11110(,),[(,)(,)],0,1,2,,2(),n n n n n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y n y y a ++++⎧=+⎪⎪=++=⎨⎪=⎪⎩(7) 为了便于上机编程计算,(7)可改写为110(,),(,),0,1,2,,1(),2(),p n n n cn n p n p c y y hf x y y y hf x y n y y y y y a ++=+⎧⎪=+⎪⎪=⎨=+⎪⎪=⎪⎩(8) 该格式是显式,也是二阶方法。
浅谈常微分方程初值问题数值解法
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浅谈常微分方程初值问题数值解法在自然科学、工程技术、甚至社会科学的一些领域中,常常会遇见一阶常微分方程的求解问题:()上述问题,寻求解的具体表达式十分困难,仅对一些特殊形式的才有可能找到解的解析表达式,在大多情况下,初值问题的解不能用初等函数表示出来即使可写出解的解析表达式,但因为这些表达式过于复杂,要计算它在某些点上的函数值也异常困难。
在实际问题中,经常需要的恰是解在某些点上的函数值,因此研究初值问题的数值解法十分必要。
1 常微分方程初值问题的数值解法常微分方程的近似解法大体可分成三大类:一类是图解法和器械法;第二类是解的近似法;第三类是数值解法,即通过离散化的方法直接求出函数在某些点上的近似值,此数值解仅为精确解的近似解。
其基本原理为:一阶常微分方程的初值问题的解是上变量的连续函数,因此求上述问题的数值解,就是在区间上的若干离散点上用离散化的方法将初值问题化成离散变量的相应问题,从而相应问题的解可作为初值问题理论解的近似值。
由常微分方程的理论可知,只要在区域内连续,且关于满足林普希兹条件,则方程的解存在且唯一。
初值问题的数值解法通常采取“步进法”,而“步进法”又可分为“单步法”和“多步法”两类。
(1)单步法。
所谓“单步法”是指在计算时,只用到前一步的有关信息。
其一般形式为:,主要包括下面三种方法:Euler方法,改进的Euler公式-梯形公式和Runge-Kutta法。
(2)线性多步法。
单步法没有用到前几步计算得到的信息,因此为了提高精度,需重新计算多个点处的函数数值,如RK方法,故计算量较大。
线性多步法的基本思想是充分利用前面的已知信息来构造精度高且计算量小的算法来计算。
多步法常用方法是线性多步法,求解公式为:构造的常用方法是Taylor展开和数值积分方法。
常用的线性多步公式有:四阶Adams显式公式:四阶Adams隐式公式:四阶Milne显式公式:三阶Hamming公式:(隐式公式)预测校正系统和预测校正修正法:一般地,同阶的隐式法比显式法精确,而且数值稳定性好,但隐式公式中的求解较难,需要用到迭代法,这就增加了计算量。
常微分方程初值问题若干数值方法的分析比较
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常微分方程初值问题若干数值方法的分析比较
罗幼芝
【期刊名称】《重庆工商大学学报(自然科学版)》
【年(卷),期】2005(022)002
【摘要】讨论了常微分方程初值问题的一些数值方法,导出了若干种数值方法,如显式Eul-er法、隐式Euler法、θ-法、预报-修正法、龙格-库塔法等,并对这些数值方法进行了分析比较,最后给出了相应的数值例子.
【总页数】6页(P185-190)
【作者】罗幼芝
【作者单位】长沙民政职业技术学院,文法系,湖南,长沙,410004
【正文语种】中文
【中图分类】O157.1
【相关文献】
1.常微分方程初值问题数值方法的实验阶研究 [J], 胡伟
2.关于常微分方程初值问题数值解法的分析 [J], 赵慧娟;陈伟丽;赵晨霞;袁书娟
3.一类常微分方程初值问题的精度和误差分析 [J], 耿红梅
4.二阶常微分方程初值问题数值方法的研究综述 [J], 李庆宏
5.常微分方程初值问题的基本数值解法分析 [J], 林爽;张杰
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常微分方程初值问题数值解法
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数值解法的必要性
实际应用需求
许多实际问题需要求解常微分方程初值问题,如物理、 化学、生物、工程等领域。
解析解的局限性
对于复杂问题,解析解难以求得或不存在,因此需要 采用数值方法近似求解。
数值解法的优势
未来发展的方向与挑战
高精度算法
研究和发展更高精度的算法,以提高数值解的准确性和稳定性。
并行计算
利用并行计算技术,提高计算效率,处理大规模问题。
自适应方法
研究自适应算法,根据问题特性自动调整计算精度和步长。
计算机技术的发展对数值解法的影响
1 2
硬件升级
计算机硬件的升级为数值解法提供了更强大的计 算能力。
它首先使用预估方法(如欧拉方法)得到一个 初步解,然后使用校正方法(如龙格-库塔方法) 对初步解进行修正,以提高精度。
预估校正方法的优点是精度较高,且计算量相 对较小,适用于各种复杂问题。
步长与误差控制
01
在离散化过程中,步长是一个重要的参数,它决定 了离散化的精度和计算量。
02
误差控制是数值逼近的一个重要环节,它通过设定 误差阈值来控制计算的精度和稳定性。
能够给出近似解的近似值,方便快捷,适用范围广。
数值解法的历史与发展
早期发展
早在17世纪,科学家就开始尝 试用数值方法求解常微分方程。
重要进展
随着计算机技术的发展,数值 解法在20世纪取得了重要进展, 如欧拉法、龙格-库塔法等。
当前研究热点
目前,常微分方程初值问题的 数值解法仍有许多研究热点和 挑战,如高精度算法、并行计
软件优化
软件技术的发展为数值解法提供了更多的优化手 段和工具。
微分方程数值解法
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微分方程数值解法微分方程数值解法微分方程数值解法【1】摘要:本文结合数例详细阐述了最基本的解决常微分方程初值问题的数值法,即Euler方法、改进Euler法,并进行了对比,总结了它们各自的优点和缺点,为我们深入探究微分方程的其他解法打下了坚实的基础。
关键词:常微分方程数值解法 Euler方法改进Euler法1、Euler方法由微分方程的相关概念可知,初值问题的解就是一条过点的积分曲线,并且在该曲线上任一点处的切线斜率等于函数的值。
根据数值解法的基本思想,我们取等距节点,其中h为步长,在点处,以为斜率作直线交直线于点。
如果步长比较小,那么所作直线与曲线的偏差不会太大,所以可用的近似值,即:,再从点出发,以为斜率作直线,作为的近似值,即:重复上述步骤,就能逐步求出准确解在各节点处的近似值。
一般地,若为的近似值,则过点以为斜率的直线为:从而的近似值为:此公式就是Euler公式。
因为Euler方法的思想是用折线近似代替曲线,所以Euler方法又称Euler折线法。
Euler方法是初值问题数值解中最简单的一种方法,由于它的精度不高,当步数增多时,由于误差的积累,用Euler方法作出的折线可能会越来越偏离曲线。
举例说明:解: ,精确解为:1.2 -0.96 -1 0.041.4 -0.84 -0.933 0.9331.6 -0.64 -0.8 0.161.8 -0.36 -0.6 0.242.0 0 -0.333 0.332.2 0.44 0 0.44通过上表可以比较明显地看出误差随着计算在积累。
2、改进Euler法方法构造在常微分方程初值问题 ,对其从到进行定积分得:用梯形公式将右端的定积分进行近似计算得:用和来分别代替和得计算格式:这就是改进的Euler法。
解:解得:由于 ,是线形函数可以从隐式格式中解出问题的精确解是误差0.2 2.421403 2.422222 0.000813 0.021400.4 2.891825 2.893827 0.00200 0.051830.6 3.422119 3.425789 0.00367 0.094112.0 10.38906 10.43878 0.04872 1.1973通过比较上表的第四列与第五列就能非常明显看出改进Euler方法精度比Euler方法精度高。
第五章 常微分方程初值问题数值解法
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则有
yn 1 yn hf ( xn , yn )
( 5.2 ) Euler格式
例5.1 用Euler格式解初值问题
2x y y y y (0) 1
取步长h=0.1.
(0 x 1)
Euler格式的具体形式为
y n 1 y n hf ( x n , y n ) 2 xn yn 0.1( yn ) yn 0.2 xn 1.1 yn yn
计算公式的精度 常以Taylor展开为工具来分析计算公式的精度. 为简化分析,假定yn是准确的,即在 yn y ( xn ) 的前提下估计误差 y ( xn 1 ) yn 1 Euler格式的局部截断误差 由 从而 局部截断误差
f ( xn , yn ) f ( xn , y ( xn )) y '( xn ) y ( xn 1 ) yn 1 y ( xn 1 ) ( yn hf ( xn , yn )) y ( xn 1 ) y ( xn ) hy '( xn )
y ( xn ), y ( xn 1 ), 的近似值 y1 , y2 , , yn , yn 1 ,
相邻两个节点的间距 h xi 1 xi 称为步长,步 长可以相等,也可以不等.本章总是假定h为定数, 称为定步长,这时节点可表示为
xn x0 nh , n 0,1, 2,
由f ( xn 1 , yn 1 ) f ( xn 1 , y ( xn 1 )) f y ( xn 1 , )( yn 1 y ( xn 1 )) f ( xn 1 , y ( xn 1 )) y '( xn 1 )(在xn点Taylor展开) h2 y '( xn ) hy ''( xn ) y '''( xn ) ... 2 3 2 h h 因此yn 1 y ( xn ) hy '( xn ) y ''( xn ) y '''( xn ) 2 4 h f y ( xn 1 , )( yn 1 y ( xn 1 )) 2 h2 h3 y ( xn 1 ) y ( xn ) hy '( xn ) y ''( xn ) y '''( xn ) 2 3!
数值计算中的常微分方程初值问题
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数值计算中的常微分方程初值问题常微分方程是描述许多自然规律和现象的数学方法之一,常常在科学研究和工程应用中被广泛应用。
求解常微分方程的数值算法称为数值方法,这些方法用于求解微分方程的初始值问题(Initial Value Problem,简称IVP)。
本文将讨论常微分方程初值问题以及数值方法的应用。
1. 常微分方程初值问题常微分方程初值问题是一类形如$y^{\prime}=f(t,y),y(t_0)=y_0$的微分方程。
其中,$f(t,y)$是已知的函数,$y^{\prime}$表示$y$对$t$的导数,$y_0$和$t_0$是已知的初始条件。
将微分方程的解表示为$y=y(t)$,则其在$t=t_0$处的值为$y(t_0)=y_0$。
对于一个给定的常微分方程初值问题,我们需要求出其解$y=y(t)$。
常微分方程的解是一类内禀函数,通常没有解析表达式。
因此,求解微分方程的目标是得到一个数值近似解,以使得这个近似解能够满足应用上的需要。
但是,求解微分方程时需要注意最小化误差,以充分利用计算机资源和减小不确定性。
2. 数值方法数值方法是一种使用数值计算技术快速求解微分方程的方法。
常见的数值方法包括显式欧拉法,向后欧拉法,中点法,龙格–库塔法等。
2.1 显式欧拉法显式欧拉法是最简单的求解微分方程的数值方法之一,它通过计算初始值函数的斜率来求解下一个点的值,使得下一个点的值可读性更高。
具体来说,显式欧拉法使用前项差分公式:$$y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)$$其中$t_n=n \cdot h$是离散时间步($h$是时间步长)。
显式欧拉法的误差随时间步长变小。
但显式欧拉法的缺点是它难以处理比较复杂的微分方程,因为这可能需要使用较小的时间步长。
此外,显式欧拉法可能产生的数值不稳定性也是一个挑战。
2.2 龙格-库塔法龙格-库塔方法是一种经典的提高微分方程数值解精度的数值方法。
龙格-库塔法是一类迭代方法,它使用多次计算初始值函数的斜率,以生成更准确的导数值。
常微分方程初值问题数值解法
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0.4 1.3582 1.3416 0.9 1.7178 1.6733
0.5 1.4351 1.4142 1.0 1.7848 1.7321
7
初值问题(2.2)有解 y ,1按2这x 个解析式子
算出的准确值 y(x同n )近似值 一y起n 列在表9-1中,两者 相比较可以看出欧拉方法的精度很差.
17
所以,局部截断误差可理解为用方法(2.10)计算一步的 误差,也即公式(2.10)中用准确解y(x代) 替数值解产生
的公式误差.
根据定义,显然欧拉法的局部截断误差
Tn1 y( xn1) y( xn ) hf ( xn , y( xn ))
y(xn h) y(xn ) hy(xn )
y(2) n1
yn
hf
( xn1,
y (1) n1
).
11
如此反复进行,得
y (k 1) n1
yn
hf
( xn1,
y(k) n1
),
(k 0,1, ).
(2.6)
由于 f (x,对y) 满足y 利普希茨条件(1.3). 由(2.6)减 (2.5)得
y (k 1) n 1
yn1
h
f
( xn1,
y(k) n 1
积分曲线上一点 (x的, y切)线斜率等于函数 值.
的f (x, y)
如果按函数 f (在x, y) 平x面y上建立一个方向场,那 么,积分曲线上每一点的切线方向均与方向场在该点的方 向相一致.
基于上述几何解释,从初始点 P0 (x出0 ,发y0,) 先依 方向场在该点的方向推进到 x 上x1一点 ,P然1 后再从 P1 依方向场的方向推进到 x 上x2一点 ,循P2此前进做出
常微分方程初值问题的数值解法中三种算法的比较
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常微分方程初值问题的数值解法中三种算法的比较
常微分方程初值问题的数值解法是数学分析中的一个重要的研究内容,众多的
算法都有助于我们更好地求解一般的初值问题,在这里我们将介绍常微分方程初值问题的三种基本算法,它们是欧拉法、改进欧拉法以及四阶龙格-库塔法。
欧拉法是常微分方程初值问题中最常用的算法,他是一种简洁而又灵活的方法,其基本思想是根据给定的常微分方程和初值,通过积分形式求解精确解,此方法解决的问题比较简单,但它的误差公式与时间步长的N次方有关,误差较大,而且容易出现严重的误差误差,当时间步长To增大时会出现误差振荡。
改进欧拉法是弥补欧拉法缺陷的一种优化算法,它使用线性插值,代替欧拉法
用积分形式计算出来的结果,从而更准确地求出结果,且误差降低,由于它对动态系统的误差有一定的抑制,使得它的运算误差相对于欧拉法是高准确度的,但在某些特殊情况下仍然可能出现误差波动的情况。
四阶龙格-库塔法是在现实生活中最常用的数值解法。
它把问题分解成5种不
同形式的积分公式,并分别交由5个层次的方法来解决,仔细把握每一步的运算,把数值舍入后再运算,虽然该法运算量大,但它的准确性更高,误差相对于其它两种方法要小得多,且具有良好的精度稳定性,具有很好的鲁棒性和适应性,可以很好地用于对解初值问题作出估计和预测。
综上,这三种数值解法都有自身的特点,欧拉法计算简单,但误差较大;改进
欧拉法的精度和误差抑制能力更强;四阶龙格-库塔法的算术精度更高,出现误差
波动的概率最低,在可靠性方面更加准确。
因此,应用的时机对于三种算法的选择就显得尤为重要。
常微分方程初值问题的数值解法
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第七章 常微分方程初值问题的数值解法--------学习小结一、本章学习体会通过本章的学习,我了解了常微分方程初值问题的计算方法,对于解决那些很难求解出解析表达式的,甚至有解析表达式但是解不出具体的值的常微分方程非常有用。
在这一章里求解常微分方程的基本思想是将初值问题进行离散化,然后进行迭代求解。
在这里将初值问题离散化的方法有三种,分别是差商代替导数的方法、Taylor 级数法和数值积分法。
常微分方程初值问题的数值解法的分类有显示方法和隐式方法,或者可以分为单步法和多步法。
在这里单步法是指计算第n+1个y 的值时,只用到前一步的值,而多步法则是指计算第n+1个y 的值时,用到了前几步的值。
通过对本章的学习,已经能熟练掌握如何用Taylor 级数法去求解单步法中各方法的公式和截断误差,但是对线性多步法的求解理解不怎么透切,特别是计算过程较复杂的推理。
在本章的学习过程中还遇到不少问题,比如本章知识点多,公式多,在做题时容易混淆,其次对几种R-K 公式的理解不够透彻,处理一个实际问题时,不知道选取哪一种公式,通过课本里面几种方法的计算比较得知其误差并不一样,,这个还需要自己在往后的实际应用中多多实践留意并总结。
二、本章知识梳理常微分方程初值问题的数值解法一般概念步长h ,取节点0,(0,1,...,)n t t nh n M =+=,且M t T ≤,则初值问题000'(,),()y f t y t t Ty t y =≤≤⎧⎨=⎩的数值解法的一般形式是1(,,,...,,)0,(0,1,...,)n n n n k F t y y y h n M k ++==-@显示单步法7.2.1 显示单步法的一般形式1(,,),(0,1,...,1)n n n n y y h t y h n M ϕ+=+=-定理7.2.1 设增量函数(,,)n n t y h ϕ在区域00{(,,)|,||,0}D t y h t t T y h h =≤≤<∞≤≤内对变量y 满足Lipschitz 条件,即存在常数K ,使对D 内任何两点1(,,)t u h 和2(,,)t u h ,不等式1212|(,,)(,,)|||t u h t u h K u u ϕϕ-≤-成立,那么,若单步法的局部截断误差1n R +与1(1)p h p +≥同阶,即11()p n R O h ++=,则单步法的整体截断误差1n ε+与p h 同阶,即1()p n O h ε+=。
微分方程的一些通解和初值问题的解法
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微分方程的一些通解和初值问题的解法微分方程作为数学中一个极其重要的分支,它具有广泛的应用背景,包括自然科学、工程技术等多个领域中都有着广泛的应用。
微分方程的求解则是这门学科中一个很关键的问题,尤其是对于一些实际问题,其初值条件决定了微分方程的具体解,本文将探讨一些微分方程的通解以及初值问题解法。
1. 常微分方程的通解对于一个n阶常微分方程,如果它可以表示为:$$F\Bigg(x,\frac{dy}{dx},\frac{d^2 y}{dx^2},\cdots,\frac{d^ny}{dx^n}\Bigg)=0$$其中$y$是自变量$x$的函数,则这个方程是一个n阶常微分方程。
对于这类方程,可以根据它的阶数以及特点进行分类求解。
(1)一阶常微分方程通解这类方程形式如下:$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$其中$f(x,y)$是定义在某个区域上的函数。
对于这类方程,我们可以通过分离变量的方式进行求解,即:$$\frac{dy}{f(x,y)}=dx$$两边同时积分得到:$$\int\frac{1}{f(x,y)}dy=\int dx+C$$其中$C$是积分常数,通过这个式子可以求得$y$的通解。
(2)二阶常微分方程通解这类方程形式如下:$$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$$其特点是含有二阶导数项,可用特征方程进行求解。
将一般形式二阶常微分方程的通解表示为$y=c_1y_1+c_2y_2$,其中$c_1$和$c_2$是常数,$y_1$和$y_2$是方程的解,满足$y_1$和$y_2$的任意线性组合都是方程的解。
如果解$y_1$和$y_2$线性无关,则它们构成了二阶常微分方程的通解。
(3)n阶常微分方程通解通常情况下,n阶常微分方程表示为:$$y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=f(x)$$我们可以通过求解$n$次的导数,得到这个方程的通解。
常微分方程初值问题的数值解法
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常微分方程初值问题数值解法初值问题:即满足初值条件的常微分方程的解y′=f(x,y),x∈[x0,b]y(x0)=y0.定理1(利普希茨条件)若存在正数L,使得对任意,y1,y2,有|f(x,y1)−f(x,y2)|≤L|(y1−y2)|定理2(解存在性)①若函数f在方区域x∈[a,b],y∈R连续,②函数f关于y 满足利普希茨条件,则对任意x∈[a,b],常微分方程存在唯一的连续可微数值解.两类问题:①单步法---计算下一个点的值yn+1只需要用到前面一个点的值yn②多步法---计算下一个点的值yn+1需要用到前面l个点的值yl1、欧拉法---下一个点的计算值等于前一个点的计算值加上步长乘以前一个点的函数值•具体过程一些批注:显式欧拉方程指下一步要计算的值,不在迭代方程中;隐式欧拉方程指下一步要计算的值,在迭代方程中。
怎么计算隐式欧拉方程----要借助显示欧拉迭代计算---一般用迭代法-----迭代---将微分方程在区间[xn,xn+1]进行积分,然后函数f进行近似,即可得到迭代方程-----迭代方程收敛性?由函数关于y满足利普希茨条件,可以推出迭代公式收敛。
•局部截断误差:假设前n步误差为0,我们计算第n+1步的误差,将次误差称为局部截断误差,且局部误差为O(hp+1)•p阶精度:由理论证明:若局部误差阶的时间复杂度为O(hp+1),则整体误差阶为O(hp)我们称公式精度为p。
•显示欧拉法与隐式欧拉法•梯形方法----将显式欧拉迭代方程与隐式欧拉迭代方程做一下加权平均,构造的计算公式.•改进的欧拉方法---思想:因为梯形公式是隐式公式,将显式欧拉公式对下一步的计算值进行预估,用梯形公式对下一步的计算值进行校正.2、龙格-库塔方法思想:根据Lagrange中值定理,下一次的计算值可以用前一次的计算值加上h乘以前一个点的斜率;而这个斜率用该区间上的多个点的斜率的算数平均来逼近。
注意:怎么计算任意斜率Ki?第i个点的斜率Ki有微分方程可以算出f′=f(xn,yn)所以要算的f(xn,yn)值,由欧拉法即可算出, yn+1=yn+hf′•2阶-龙格-库塔方法----类似改进的欧拉法根据Lagrange中值定理,下一次的计算值可以用前一次的计算值加上h乘以斜率;而这个斜率用区间上的端点和中点的斜率的算数平均来逼近。
第一章常微分方程初值问题数值解法
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(1.2.3)
其中rn,k(t)为插值余项。 代到(1.2.2)式中得
u ( tn +1 ) = u ( tn ) +
舍去余项 并用uj代替u(tj)即得
∫
tn+1 tn
Ln , k ( t ) dt + ∫ t rn , k ( t ) dt
tn+1
n
(1.2.4 (1.2.5)
Rn , k = ∫
⎡ ∑ ⎣α u
j =0
j =0
αk ≠ 0
(1.2.1)
j n+ j
⎤ − hβ j f n + j ⎦ = 0(数值解满足的差分方程)
因此称(1.2.1)为多步法 或 k-步法。 又因为(1.2.1)关于 u n + j , f n + j 是线性的,所以称为线性多步法。 为使多步法的计算能够进行,除给定的初值u0 外,还要 知道附加初值u1,u2,…,uk-1 ,这可用其它方法计算。 若 β k = 0 则称(1.2.1)是显式的; 若 β k ≠ 0 则方法(1.2.1)是隐式的。 例如,一般线性二步法可写成:
f ( t , u ( t ) ) = Ln , k +1 ( t ) + rn , k +1 ( t )
其中rn,k+1(t)为插值余项。 同理即
un +1 = un + h ∑ bk +1i f ( tn −i +1 , un −i +1 )
i =0
k +1
其中
bk +1i
=∫ ∏
−1
j =0 j ≠i
0
k +1
常微分方程的解法及应用
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常微分方程的解法及应用常微分方程是数学中的一个重要分支,广泛应用于各个领域,例如物理学、生物学、经济学等。
本文将介绍常微分方程的解法和应用。
一、常微分方程的解法常微分方程是描述物理现象和自然现象的重要数学工具,例如天文学、电子学、量子力学、流体力学、热力学、生物学、化学等。
常微分方程主要分为初值问题和边值问题两种。
1.初值问题初值问题是指在某个初始时刻$t_0$,系统的状态已知,求在此后的任意时间$t$内该系统的状态。
其一般形式如下:$$\frac{dy}{dt}=f(y,t), \ \ \ \ y(t_0)=y_0$$其中,$y$是未知的函数,$f$是已知的函数,$y_0$是已知的常数。
2.边值问题边值问题是指在某个区间$[a,b]$内,系统的状态已知,求满足某个条件的函数$y(t)$。
其一般形式如下:$$\frac{d^2y}{dt^2}=f(y,t), \ \ \ \ y(a)=y_A, \ \ \ \ y(b)=y_B$$其中,$y_A$和$y_B$是已知的常数。
3.解法常微分方程的解法有多种方法,下面介绍比较常用的两种方法:欧拉法和四阶龙格-库塔法。
(1)欧拉法欧拉法是常微分方程求解的一种最简单的数值方法,它的基本思想是将微分方程转化为差分方程,利用差分方程求解。
假设在时间t时,y的值为$y(t)$,而在时间$t+h$时的y的值可以用下式计算:$$y(t+h)=y(t)+h\times f(y(t),t)$$其中,$f(y,t)$是微分方程的右端函数,$h$是每次迭代的步长。
(2)四阶龙格-库塔法四阶龙格-库塔法是常微分方程求解的一种较为精确的数值方法,其基本思想是采用区间加权平均法对微分方程进行求解。
四阶龙格-库塔法是由四个步骤组成,分别为:1)计算斜率$k_1=f(y_i,t_i)$2)计算斜率$k_2=f(y_i+\frac{h}{2}k_1,t_i+\frac{h}{2})$3)计算斜率$k_3=f(y_i+\frac{h}{2}k_2,t_i+\frac{h}{2})$4)计算斜率$k_4=f(y_i+hk_3,t_i+h)$将这四个斜率加权平均后即得到四阶龙格-库塔法的解式:$$y_{i+1}=y_i+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$$二、常微分方程的应用常微分方程广泛应用于各个领域,本节将介绍三个常微分方程的应用:自然增长模型、振动模型和物理模型。
常微分方程与初值问题
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常微分方程与初值问题一、引言常微分方程是数学中的重要分支之一,它研究的是未知函数的导数与自变量之间的关系。
初值问题是常微分方程研究中的基本形式之一,它要求在给定的初始条件下求解微分方程的解。
本文将介绍常微分方程与初值问题的基本概念、常见类型以及求解方法。
二、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数与自变量之间的关系式。
一般形式为dy/dx = f(x, y),其中dy/dx表示未知函数y关于自变量x的导数,f(x, y)是已知的函数。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程的导数阶数最高为一次,例如dy/dx = f(x, y);高阶常微分方程的导数阶数大于一次,例如d²y/dx² + dy/dx = g(x)。
三、初值问题的定义初值问题是指在常微分方程中给定一个初始条件,即确定未知函数在某一点上的函数值及导数值。
一般形式为y(x0) = y0,其中x0和y0分别表示初始点的横纵坐标。
初值问题的求解就是要找到满足常微分方程的解,并满足给定的初始条件。
这个解是通过求解微分方程得到的。
四、常见类型的常微分方程及其求解方法1. 分离变量法:对于可分离变量的一阶常微分方程,可以通过分离变量的方法将其转化为两边分别只含有自变量和因变量的方程,然后进行积分求解。
2. 齐次方程法:对于齐次方程(即f(x, y)中只含有y/x的比值),可以通过换元的方式将其转化为一个新的方程,使得新方程中只含有一个变量,然后进行变量分离和积分求解。
3. 线性方程法:对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的一阶线性常微分方程,可以通过乘法因子法将其转化为一个可积分的方程,然后进行积分求解。
4. 变量代换法:对于某些复杂的常微分方程,可以通过适当的变量代换将其转化为更简单的形式,然后再用其他的求解方法求解。
五、初值问题的求解初值问题的求解可以使用数值方法或解析方法。
1. 数值方法:数值方法是通过在离散的自变量点上计算出近似解的方法。
常微分方程的初值问题与解析解
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常微分方程的初值问题与解析解常微分方程是数学中的重要分支之一,涉及到自然科学中的众多问题,因此在科研中有着广泛的应用。
而其中的初值问题是解决这些方程的关键所在。
所谓常微分方程,是指只涉及单个变量及其导数的微分方程。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两种类型。
其中初值问题是指在t=0 时刻,给定某一时刻的函数值及导数值,解出该函数在全局上的解析解。
初值问题的解法通常可以分为两种方法:解析解和数值解。
解析解是指通过数学方法求解出的解析式,可以直接得到函数在全局的解析表达式,这种方法求解出的解具有较高的精度和快速性。
而数值解则是通过计算机等工具,通过迭代一定次数获得数值近似解。
数值解的方法可以分为 Euler 方法、Runge-Kutta 方法、Adams 方法等。
解析解的求解方法通常可以分为四类:分离变量法、齐次化法、常数变易法和特殊函数法。
分离变量法是常微分方程求解中最常用的方法之一,在求解 t 偏微分方程时,一般是将其写成一个 t 项的函数+一个不含t 的项,再分离变量,通过积分解出函数表达式。
齐次化法是指当微分方程中含未知函数的导数时,进行变量替换,使其不含未知函数的导数,变成一个齐次方程,从而解出解析式。
常数变易法是指当方程中含有δ (初值条件t=0时的函数值) 时,通过变量替换,将该常数变为未知函数的形式,达到求解解析解的目的。
特殊函数法则是指通过特殊函数如Bessel 函数、拉格朗日函数、伽玛函数等求解,这种方法主要是针对一些特殊的常微分方程,对于一般的常微分方程无法使用。
常微分方程求解中的初始值条件是影响解析解精度的重要因素之一。
正确的初始值条件可以保证解析解的准确性,否则可能会造成解析解数值偏差。
因此,在求解常微分方程时,清晰的问题理解、合适的解法选择以及准确的初始条件选择可以保证解析解的精确性,并且进一步应用到实际问题研究中。
总之,常微分方程的初值问题求解是数学中的重要分支之一,解析解具有精度高、求解速度快等优点,是科学研究中解决问题的有力工具之一。
第7讲 常微分方程初值问题数值解法
![第7讲 常微分方程初值问题数值解法](https://img.taocdn.com/s3/m/f8683b19c5da50e2524d7f40.png)
yn1 yn hf ( xn1 , yn1 ) n 0,1, 2,, N 1
称上述公式为向后Euler 公式。 向后Euler 公式为隐式格式,需要利用迭代法求解
10
数值分析
第7讲 常微分方程初值问题数值解法
Euler方法的几何意义
③ 图形解
y
•龙格-库塔法
o
x
2
数值分析
第7讲 常微分方程初值问题数值解法
§1 引言 初值问题及其数值解的概念
dy f ( x , y ); a x b 一阶常微分方程初值问题: d x ( ) y( x ) y 0 0
常用的一些 解析解法:
分离变量法、变量代换、 常数变易法、Lapalace变换等
(3)
用Taylor多项式近似并可估计误差
h
2
y( x n 1 ) y( x n h) y( x n ) hy' ( x n )
y' ' ( ) h
2
2! y' ' ( x n )
y( x n ) hy' ( x n )
2!
进一步: 令
y n 1 y( x n 1 ) , y n y ( x n )
计算结果
(1)步长h=0.1的数值解比较表
x 0 0.1
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
精确解 1 1.0048
1.0187 1.0408 1.0703 1.1065 1.1488 1.1966 1.2493 1.3066 1.3679
向前欧拉 1 1
常微分方程初值问题的数值解法
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常微分方程初值问题的数值解法在实际应用中,对于某些微分方程,我们并不能直接给出其解析解,需要通过数值方法来求得其近似解,以便更好地理解和掌握现象的本质。
常微分方程初值问题(IVP)即为一种最常见的微分方程求解问题,其求解方法有多种,本文将对常微分方程初值问题的数值解法进行较为详细的介绍。
一、欧拉法欧拉法是最基本的一种数值解法,它采用泰勒级数展开并截断低阶项,从而获得一个差分方程近似求解。
具体来讲,设 t 为独立变量,y(t) 为函数 y 关于 t 的函数,方程为:$$y'(t) = f(t, y(t)), \qquad y(t_0) = y_0$$其中 f(t,y(t)) 为已知的函数,y(t_0) 为已知的初值。
将函数 y(t) 进行泰勒级数展开:$$y(t+h) = y(t) + hf(t, y(t)) + O(h^2)$$其中 h 表示步长,O(h^2) 表示其他高阶项。
为了使误差较小,一般取步长 h 尽可能小,于是我们可以用欧拉公式表示数值解:$$y_{n+1} = y_n + hf(t_n, y_n), \qquad y_0 = y(t_0)$$欧拉法的优点是容易理解和实现,但是由于截取低阶项且使用的单步法,所以误差较大,精度较低,在具体应用时需要慎重考虑。
二、龙格-库塔法龙格-库塔法(Runge-Kutta method)是一种多步法,比欧拉法更加精确。
龙格-库塔法的主要思想是使用不同的插值多项式来计算近似解,并且将时间步长分解,每次计算需要多次求解。
以下简要介绍二阶和四阶龙格-库塔法。
二阶龙格-库塔法将时间步长 h 分解成两步 h/2,得到近似解表达式:$$\begin{aligned} k_1 &= hf(t_n, y_n)\\ k_2 &= hf(t_n+h/2,y_n+k_1/2)\\ y_{n+1} &= y_n+k_2+O(h^3)\\ \end{aligned}$$四阶龙格-库塔法四阶龙格-库塔法是龙格-库塔法中应用最为广泛的一种方法,其需要计算的中间值较多,但是具有更高的精度。
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z1=y(n)+h*feval(fun,x(n+1),z0);
if(abs(z1-z0)<1e-3)
break;
end
z0=z1;
end
y(n+1)=z1;%%Biblioteka 据向后欧拉公式计算y值end
T=[x',y']
改进欧拉代码如下:function[x,y]=Gaijineuler(f,x0,y0,xZ,h)
对于初值问题 稳定性的研究,易知其准确解为 ,假定初值经过扰动后变为 ,对于扰动后的解为 因此带来的扰动误差为 ,因此考虑 时 的值,它取决于 。易知,若 ,则原问题是稳定的;若 ,则原问题是不稳定的;若 ,则原问题是渐进稳定的。
实际遇到的大多数常微分方程初值问题都是稳定的,因此在后面的讨论数值解法时这常常是默认条件。
T=a:h:b;%计算各个分点
%f为一阶微分方程的函数;x0,y0为初始条件;xZ为取值范围的一个端点,h为区间步长
n=fix((xZ-x0)/h);%计算分点数
y(1)=y0;
x(1)=x0;
fori=1:n
x(i+1)=x0+i*h;
yp=y(i)+h*feval(f,x(i),y(i));
yc=y(i)+h*feval(f,x(i+1),yp);
% fun为一阶微分方程,x0,y0为初始条件,xN为取值范围的一个端点,N为区间个数x=zeros(1,N+1);
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;
y(1)=y0;
h=(xN-x0)/N;%h为区间步长
for(n=1:N)
x(n+1)=x(n)+h;
z0=y(n)+h*feval(fun,x(n),y(n));
考虑一阶常微分方程的初值问题 ,如果存在实数 使得 则称f关于y满足利普希茨条件,L称为利普希茨常数。
对于常微分方程初值问题 ,考虑初值 的扰动是问题的解 发生偏差的情形。若 时 的偏差被控制在有界范围内,则称该初值问题是稳定的,否则该初值问题不稳定的。
特别地,若 时 的偏差收敛于零,则称该初值问题是渐进稳定的。
(3)比较欧拉法、改进欧拉法及龙格-库塔法,能够选择合适的方法进行问题的研究计算;
2实验内容:求微分方程 (欧拉法求解)
求微分方程 (改进欧拉法求解)
求微分方程 (龙格-库塔求解)
根据实验的结果进行分析,了解一般方法的的优缺点,稳定性,收敛性以及截断误差的分析,针对相应问题拿出有效方法得出最优的结果。
(4)对右端 用右矩形公式得 ,也叫隐式欧拉法。
误差分析:1.称 为计算 时的局部截断误差;
2.如果数值方法的局部截断误差为 ,那么称这种数值方法的阶数是p,其实p为非负整数。通常情况下,步长h越小,p越高,则局部截断误差越小,计算精
初泰勒展开有
则有 可见欧拉方法是一阶方法,精度不是很高。
2.改进欧拉方法:
x=zeros(1,N+1);
x=zeros(1,N+1);
x(1)=x0;
y(1)=y0;
h=(xN-x0)/N;%h为区间步长
for(n=1:N)
x(n+1)=x(n)+h;
y(n+1)=y(n)+h*feval(fun,x(n),y(n));%根据向前欧拉公式计算y值
end
T=[x',y']
(2)向后欧拉法:functiony=Euler2(fun,x0,y0,xN,N)
1.欧拉法:
依据:积分曲线上一点 的切线斜率等于函数值。
方法:推进法,初始点 出发,依照方向场在改点的方向推进到
向前欧拉法的得到:
(1)将 在 处泰勒展开 取h的线性部分,得
(2)将初值问题中得导数用向前差商来代替有 ,因此
(3)将 两边同时对x的区间 上积分 对右端 用左矩形公式得 ,此方法称向前欧拉法,也叫显示欧拉法。
二.相关背景知识介绍以及初值问题稳定性的研究:
在科学与工程问题中,常微分方程表述物理量的变化规律,应用非常广泛,比如,天体运动的轨迹,机器人控制,化学反应过程的描述和控制以及电路瞬态过程分析等。这些问题中要求解随时间变化的物理量,即位置函数 表示时间,而微分方程描述了未知函数与它的一阶或高阶导数之间的关系。
梯形公式:对右端 用梯形公式得+显然梯形公式是隐式公式。
改进欧拉公式:先用欧拉公式求的一个初步的近似值 ,成为预测值,预测值 的精度可能达不到要求,在用梯形公式将他校正一次,记为 ,这个结果成为校正值。
预测:
校正:
误差分析:记 为改进欧拉公式在 处的截断误差,
记 因此有
, 表示在 出的局部截断误差。由此得,梯形公式的局部截断误差为 ,因此改进欧拉的截断误差为 ,可见改进欧拉的方法是二阶方法,改进欧拉方法优于欧拉方法。
(一阶龙格-库塔)当r=1时,这就是欧拉法。
(二阶龙格-库塔)当r=2时, ,这就是改进欧拉法。
三阶和四阶龙格-库塔也只是在一般情况下得结果。
三阶
四阶
其局部截断误差是:
三.程序代码
欧拉法代码如下:
(1)向前欧拉法:
functiony=Euler1(fun,x0,y0,xN,N)
%fun为一阶微分方程,x0,y0为初始条件,xN为取值范围的一个端点,N为区间个数
y(i+1)=(yp+yc)/2;%根据改进欧拉公式计算结果
end
x=x';
y=y';
1.
3.龙格-库塔代码如下:
(三阶龙格-库塔)
functionR=Longgekuta3(f,a,b,aZ,h)
%a,b为端点,h为步长,aZ为初值
n=(b-a)/h;
T=zeros(1,n+1);%定义向量
Y=zeros(1,n+1);
常微分方程初值问题数值解法的比较
数值计算实践—课程设计报告
课题名称
常微分方程初值问题数值解法的比较
完成时间
2013-1-17
姓名
班级
学号
成绩
一. 实验目的及内容
1实验目的:(1)了解常微分方程初值问题的理论背景以及初值问题稳定性、收敛性的研究;
(2)熟练掌握欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法以及截断误差分析;
3.龙格—库塔法:
根据拉格朗日微分中值定理, ,记 得到 ,这样,只要给出一种计算 的算法,就可以得到相应的计算公式。欧拉公式可以写为
改进欧拉公式可以写成 因此推出一般的推出广式
称为p阶龙格-库塔方法,简称p阶R-K方法。
因为 这里的 均为常数。
因为给定的系数不唯一,因此这里的常数有无穷多个解,下面是特殊情况下和一般情况下得结果