初中数学竞赛重要定理公式(平面几何篇)

初中数学竞赛重要定理、公式及结论

平面几何篇

【三角形面积公式（包括海伦公式）】

）（为内切圆半径，为外接圆半径，

边上的高，表示，其中c b a p R BC h c p b p a p p pr C B A c b a C B A R R abc C ab ah S a a ++=---==++++=====2

1r ))()(()cot cot (cot 4sin sin sin 24sin 21212222ABC Δ【斯特瓦尔特定理】设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC+AC 2·BD -AD 2·BC ＝BC·DC·BD ．

【托勒密定理】圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC ，(逆命题成立)．

（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC ≥AC·BD ．

【蝴蝶定理】AB 是△O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，则MP=QM ．

【勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）】

(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍．

(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．

【中线定理（巴布斯定理）】设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)BP 2(AP AC AB 2222+=+

中线长：

【垂线定理】AB ⊥CD ⇔AC 2-AD 2=BC 2-BD 2 高线长： 【角平分线定理】三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边

对应成比例如△ABC 中，AD 平分△BAC ，则 （外角平分线定理） 角平分线长：

【正弦定理】 2

222

22a c b m a -+=bSinC cSinB SinA a bc c p b p a p p a h a ===

---=))()((2AC

AB DC BD =为周长一半）其中p A c b bc a p bcp c b t a (2

cos 2)(2+=-+=为三角形外接圆半径）其中，R R C c B b A a (2sin sin sin ===

【余弦定理】 【张角定理】

【圆周角定理】同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．

【弦切角定理】弦切角等于夹弧所对的圆周角．

【圆幂定理】（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）

【射影定理（欧几里得定理）】直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

【梅涅劳斯（Menelaus ）定理】设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R ，则有：

梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC 的△A 的外角平分线交边CA 于Q ，△C 的平分线交边AB 于R ，△B 的平分线交边CA 于Q ，则P 、Q 、R 三点共线． 梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线．

【塞瓦定理】设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点，则AX 、BY 、

CZ 所在直线交于一点的充要条件是

塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC 的边BC 的直线与两边AB 、AC 的交点分别是

D 、

E ，又设BE 和CD 交于S ，则AS 一定过边BC 的中点M ．

塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．

塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC 的内切圆和边BC 、CA 、AB 分别相切于点R 、S 、T ，则AR 、BS 、CT 交于一点．

【西摩松（Simson ）定理】从△ABC 的外接圆上任意一点P 向三边BC 、CA 、AB 或其延长线作垂线，设其垂足分别是D 、E 、R ，则D 、E 、R 共线（这条直线叫西摩松线Simson line ）

【燕尾定理】两个有公共边的三角形ABD 和ABC ，ABC 与DC 交于点M ，则三角形ABC 的面积与三角形ABD 的面积之比等于CM 与DM 的比。（定理描述对下图所示四种图形都成立）

B

ac c a b A cb b c a C ab b a c cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=AB DAC AC BAD AD BAC ∠=∠=∠sin sin sin 逆定理也成立）(1===RB

AR QA CQ PC BP 1=⋅⋅YA CY XC BX ZB AZ

【重心】定义：重心是三角形三边中线的交点。

重心的性质：

(1)设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则

AG :GD =2:1； (2)设G 为△ABC 的重心，则

(3)设G 为△ABC 的重心，过G 作DE△BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF△AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK△A B 交AC 于K ，交BC 于H ，则

(4) 设G 为△ABC 的重心，则 ① 222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+；② ③ △到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即GA 2+GB 2+GC 2最小；

⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）．

(5) 在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为：

【外心】三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；

外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；

（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC A BOC ∠-=∠∠=∠23602o 或；

（3）

（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．

【内心】三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；

内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；

（2）设I 为△ABC 的内心，则

ABC ACG BCG ABG S S S S ΔΔΔΔ31===)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++内任意一点）为ABC P PG GC GB GA PC PB PA Δ(32

222222+++=++),(c

b a cy by ay

c b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++2;32=++===AB

KH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE )3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++C AIB B AIC A BIC o o o ∠+=∠∠+=∠∠+=∠2

190,2190,2190)2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (C

B A Cy By Ay

C B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++Δ4S abc

R =