椭圆型方程的有限差分法

第4章 椭圆型方程的有限差分法

§2 一维差分格式

1、用积分插值法导出逼近微分方程的差分格式。

d du du Lu=-(p

)+r +qu=f,a

⎧

⎪⎨

⎪⎩ 解：考虑在[a,b]内任一小区间(1)

(2)

[,]x x

，将上式在此区间上积分得

(2)

(2)(2)(2)(1)(1)(1)(1)-(())x x x x x x x x d du du

p x dx r dx qudx f dx dx dx dx

++=⎰⎰⎰⎰ 或 (2)(2)(2)(1)(1)(1)(1)(2)

()()x x x x x x du W x W x r dx qudx f dx dx

-++=⎰⎰⎰

（1.1） 其中，()()du

W x p x dx

=

（1.2）

特别地，取(1)(2)

[,]x x

为对偶单元1/21/2[,]i i x x -+，则

1/21/21/21/2

1/21/2

1/21/2()()i i i i i i x x x i i x x x du

W x W x r

dx qudx f dx dx

+++----+-++=⎰

⎰⎰。

将（1.2）改写成()

()du W x dx p x =，再沿1/21/2[,]i i x x -+积分，得11()()

i i x i i x W x u u dx p x ---=⎰，利用中矩形公式，得

1

1

11/21,[]()

i

i x i i i i

i x i i

u u dx W a a h h p x -----≈=⎰

（1.3）

又

1/2

1/21/2

1/2

112

,()2i i i i x x i i i i i x x i i h h qudx d u d q x dx h h ++--+++≈

=+⎰

⎰ （1.4）

1/2

1/21/2

1/2

1112,()2i i i i x x i i i i x x i i u u du r

dx b b r x dx dx h h ++--+-+-≈=+⎰

⎰ （1.5）

1/21/2

12

()i i x i x i i f x dx h h ϕ+-+=

+⎰

（1.6）

将（1.3）~（1.5）代入（1.1），即得微分方程的差分格式

1111111111

()()222i i i i i i i i i i i i i i i i i i u u u u u u a a h h d u b h h h h ϕ+-+-++++⎡⎤-----+++=+⎢⎥⎣

⎦。

如果系数p,q,r 以及右端f 光滑，则可用中矩形公式计算得

1/21/2(),(),(),().

i i i i i

i i i i i a p p x di q q x bi r r x f f x ϕ--==⎧⎪==⎪⎨

==⎪⎪==⎩

▌

2、导出10111000101()()022

u u h h

a d u h ααϕ--+-+-+=对01()()()p a u a u a αα'-=+的逼近阶。

解：101

1011()()x x dx a p p a h p x -⎡⎤

===⎢⎥⎣⎦

⎰， 1200012()x x d qdx q q a h ===⎰，1

20

0012()x x fdx f f a h ϕ===⎰ 记01()()()()Lu a p a u a u a αα'=---，

10110

0001012

31110

110001012111100010()()()22

()()()()2()()()22()[()()]()()()222

h u u h h

L u a p q u f h h u a h u a u a O h u h h p a q u f h h h h p a u a u a O h q u f αααααα-=-+-+-+'''+++-=-+-+-+'''=-+

++-+-+

2111000000()()()()()()222

h h h h

R u L u x Lu x p a u a q u f O h ''=-=-+++

则逼近阶为2

()O h 。 ▌

§3 矩形网的差分格式

1、 用积分插值法构造逼近方程 ()[

()()]k u k k f x x y y

∂∂∂∂

-∇∇=-+=∂∂∂∂ （*）

的第一边值问题的五点差分格式，这里min (,)0k k x y k =≥>

解：考虑xy 平面上一有界区域G ，其边界Γ为分段光滑曲线，且满足第一边值条件：

(,)|(,),(,)u x y x y x y G αΓ=∈∂

取定沿x 轴和y 轴方向上的步长12h h 和，并作对偶剖分。记1/211()2

i x i h -=- ，