椭圆型方程的有限差分法
椭圆型方程
§1
差分逼近的基本概念
考虑二阶微分方程边值问题
d 2u Lu 2 qu f , a x b, dx u (a) , u (b) , (1.1) (1.2)
其中 q,f 为 [ a , b ] 上的连续函数, q 0, , 为给定常数. 将其分成等分,分点为
称
uh 收敛到边值问题的解 u .
对于差分方程
Lhvi fi , i 1, 2,3,L , N 1,
定义1.3
v0 vN 0 , 如果存在与网格 I h 及右端 fh 无关的常数
数 M 和 h0 , 使 || vh || M || f h ||R ,
0 h h0
称差分方程关于右端稳定.
第二章
椭圆形方程的有限差分法
有限差分法和有限元方法是解偏微分方程的两种主要数值
方法.
有限差分法:从定解问题的微分或积分形式出发,用数值 微商或数值积分导出相应的线性代数方程组. 有限元方法:从定解问题的変分形式出发,用RitzGalerkin 方法导出相应的线性代数方程组,但基函数要按
特定方式选取.
取 x(1) x0 a, x(2) x1 , 得
2
(2.9) (2.10)
W (a) W ( x1 ) 2 qudx
d2 du hi 1 hi dx 2 ( p dx ) 12 i
d 3u 2 p O ( h ) dx 3 i
于是得逼近方程 (2.1)~(2.2) 的差分方程:
ui 1 ui ui ui 1 2 p 1 Lhui pi 1 i h h h h i i 1 i 1 i 2 2 i i 1, 2,, N 1 ui 1 ui qiui fi , hi hi 1 u0 , uN
第五章 椭圆型方程的差分方法
数学模型解的存在性解的唯一性解的稳定性解的一些性质解的表达式}适定性数值解存储量计算时间区域方程定解条件回顾:问题的离散第5章椭圆型方程的差分方法§1-3Poisson方程一.区域矩形圆环离散(差分法):网格剖分矩形区域i i i i二.差分格式224412(i,j)(i,j-1)(i,j+1)(i+1,j)(i-1,j)2. 九点差分格式x x2222222h2222121222221212三. 边界条件的处理(矩形区域)xy0(,)i x y I 10(,)x y +J+1(,)i x y )j y(注:四. 差分格式的性质:111 .i i i i i i +-解的存在唯一性与边界条件无关0000002(11002. (,)x y i i i ii ih ji i j h u u x y +→→+−−−→差分方程解的收敛性2||||||2h h hji h h jjji i h i D D D u D D a u u u a D x ∂⋃∂≤+∆插入引理:设是定义在上的函数,那么有max max max 其中为矩形区域的方向的边长.x.3差分格式的稳定性五. 极坐标下的差分格式22+x y注:r∂r(,)i j r θθπR六. 一般区域DDyO x第一类边界条件:T QP δyh第三类边界条件:PQQPnnPQ Q PnnPQR1θu u ux y n u ux y ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 2θQRT PS注:没有统一的近似,只要合理就好。
§4变系数方程abxy 矩形区域iP1Q 3Q 2Q 3N4Q 2N4N1N,i jD+-i i i i i i 11。
椭圆微分方程及其求解方法
椭圆微分方程及其求解方法椭圆微分方程是常见的一类偏微分方程,它在自然科学、工程技术、金融数学等诸多领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍椭圆微分方程的基础概念、分类、本征值问题及求解方法等内容。
一、椭圆微分方程的基本概念椭圆微分方程通常具有形如$$\begin{cases}Lu(x)=f(x), & x\in \Omega, \\u(x)=g(x), & x\in \partial\Omega, \\\end{cases}$$其中,$Lu(x)$是一线性偏微分算子,$\Omega$为区域(一般指开集上的连通子集),$\partial\Omega$为$\Omega$的边界,$f(x)$和$g(x)$为已知函数,求解$u(x)$满足上述条件。
椭圆微分方程中的偏微分算子$Lu(x)$通常具有形如$$Lu(x)=\sum_{i,j=1}^na_{i,j}(x)\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}u(x)+\sum_{k=1}^nb_k(x)\frac{\partial}{\partialx_k}u(x)+c(x)u(x),$$其中,$n$为空间维数,$a_{i,j}(x)$、$b_k(x)$和$c(x)$都是已知函数。
二、椭圆微分方程的分类根据椭圆微分方程中的偏微分算子$Lu(x)$的性质,椭圆微分方程可分为一般椭圆型、二阶椭圆型和高阶椭圆型三类。
其中,一般椭圆型指的是$Lu(x)$的主部分系数矩阵在$\overline{\Omega}$上正定(即对于任意$x\in\overline{\Omega}$和非零$u\in\mathbb{R}^n$,均满足$u^T A(x)u>0$),二阶椭圆型指的是$Lu(x)$仅包含二次微分项,而高阶椭圆型则指的是$Lu(x)$中至少包含有三次或以上的微分项。
三、椭圆微分方程的本征值问题对于某些特殊的椭圆微分方程,我们可以考虑它们的本征值问题。
椭圆型方程差分法
(4)
令
2 1 1 2 1 A 1 1 2 ( N 1)( N 1)
系数矩阵A是不可约对角占优阵 A 0
解存在唯一,或直接求A的特征值。
8
习题:计算矩阵
A=
2 1 1 2 1 1 1 2 ( N 1)( N 1)
x
2. Poisson方程五点差分格式
u f u in
其中
(0, a ) (0, b )
建立目标点: a b y h k x 一方向步长: I 1 ; 一方向步长: J 1
21
得
( xi , y j )
1 i I,1 j J
xi ih, y j jk
返回
2
1) 数值计算是否必要?
T '( x) T '(0) f (u )du
x 0
x
T ( x) T '(0) f ( s )ds du
0
0
u
T '(0) x
T '(0) x
x 0 x
x
x
0
u
0
f ( s)dsdu
s
f ( s )duds
从而得到迭代法:
Mxk 1 Nxk b
xk 1 M 1Nxk M 1b Sxk Tb
(*1)
18
阻尼迭代法 (Damped Iterative Method)
k1 Sxk M1b x k1 (1)xk [M1N(1)I]xk M1b (*2) xk1 x
第二章_椭圆型方程的有限差分法(1)
其中 f h R 是右端 f h 的某一范数, 它可以和 相同,也可以不同, vh ( xi ) vi , i 1, 2,, N 1. Remark1.2: 不 等 式 (2.1.7) 表 明 当 右 端数据 fi 有变化时,差分方程解 vi 的变化量 不会超过 fi 变化量的 M 倍。 记误差 ei u( xi ) ui ,则误差满足下列差分 方程:
2
(2.1.1) (2.1.2)
其 中 q, f 为 [a,b] 上 的 连 续 函 数 , q 0 ; , 为给定常数。 (1) 剖分 将区间[a,b]分成 N 等分
xi a ih, i 0,1,, N , h (b a) / N
x0 a
x1
xi
xi 1
xN 1
2
其 中 q, f C 0[a, b], q 0, 0 , 1, 为 给 定 的 常 数 0 。
N { u } (5)编程计算获得数值解 i i 0 。
2、差分逼近的性态研究
收 敛 性 问 题 : 设 当 h0 时 , 那 么 ui u( xi ) ?可借助两个概念相容条件和关
于右端稳定来回答。 截断误差(truncation error):将差分 算子的值 Lhu xi 与微分算子的值 Lu xi 的差称 作差分方程的截断误差
i 1,, N 1.
ui u ( xi )
(3) 差分方程
Lhui
ui1 2ui ui1 h2
qi ui fi ,
qi q( xi ), fi f ( xi ) (2.1.3)
i 1,, N 1
边界条件的处理:
u0 , uN
椭圆型方程
(1.5)
注 此方程组尽管是高阶方程组,但每个方程未知数
最多有3个易于求解.
④ 对方程组 (1.4)~(1.5) 的解分析需要考虑以下几个问题:
(a) 解是否惟一? (b) 当网格无限加密时,即 h 0 时,差分解 ui
是否收敛到真解 u (xi ) ? (c) 在何种度量下收敛? (d) 收敛速度如何? 为了解决如上问题,需要给出如下说明:
于是在 xi 将方程 (1.1) 写成
u (xi1) 2u (xi ) u (xi1) h2
q(xi )
u (xi )
f
(xi )
R
i(u),
(1.3)
其中
R
i(u)
h2 12
d
4u(x) dx4
i
O(h3 ).
舍去 R i(u) 得逼近方程 (1.1) 的差分方程为:
du dx
i
hi1 2
hi
d 2u dx2
i
O(h2
)
(2.3)
p(
x i
1
)
2
u(xi ) u(xi1) hi
p
du dx i1
2
hi2 24
p
d 3u
dx3
i1
2
O(h3)
p
du dx
取 x(1) x0 a, x(2) x1 , 得
2
(2.7) (2.8)
(2.9) (2.10)
W (a) W (x1 ) 2
x1
椭圆型方程的差分方法
通过实验验证理论分析的正确性。
参数调整
根据误差分析结果调整差分方法的参数。
稳定性分析的实例和结果
结果1
通过误差分析和数值实验,验证了差分方 法的数值稳定性和精度。
A 实例1
一维椭圆型方程的差分方法稳定性 分析。
B
C
D
结果2
通过误差分析和数值实验,验证了差分方 法的数值稳定性和精度,并比较了一维和 二维情况下的误差传播特性。
差分方法在椭圆型方程求解中的优势和局限性
优势
差分方法是求解偏微分方程的一种有效 数值方法,特别适用于大规模计算和并 行计算。它能够模拟偏微分方程的解, 并且具有较高的计算效率和精度。
VS
局限性
差分方法在处理边界条件和复杂几何形状 时可能遇到困难,有时需要引入额外的近 似和假设。此外,差分方法对于某些特殊 类型的偏微分方程可能不适用,或者需要 特殊的处理技巧。
04
差分方法的稳定性分析
稳定性分析的基本概念
数值稳定性
差分方法求解偏微分方程时,数值解对初值 和参数的敏感性。
误差传播
差分方法求解过程中误差的累积和扩散现象。
数值解的精度
差分方法得到的数值解与真实解之间的误差 大小。
稳定性分析的方法和步骤
建立数学模型
将偏微分方程转化为差分方程。
误差分析
计算差分方程的截断误差和全局误差。
差分方法的数学基础
离散化
将连续的函数或过程转换为离散的形式,以便于用数 值方法进行计分方程转化为差分 方程。
稳定性
差分方法的稳定性是指当时间步长趋于无穷小时,差 分方法的解收敛于微分方程的解。
差分方法的实现步骤
建立差分方程
根据微分方程和初边值条件,建立离散化的差 分方程。
第二章椭圆型方程的有限差分法
.
差分方程(1.6)当i 1,2, N 1,时成立,加上边值条件 就得到关于的线性代方数程组:
Lhui
ui1
2ui h2
ui1
qiui
fi ,i
1,2,
N 1,(1.8)
u0 , uN . (1.9)
它的解ui是u(x)于x xi的近似。称(1.8),(1.9)为逼近(1.1) (1.2)的差分方程或差分格。式
立 差 分 方 程 的 稳 定检性验。相 容 条 件 并 不。困我难们 曾
用Taylo展 r 式证明它都满足条相件容,并且估计了截
误 差 的 阶 。 因 此 我主们要的任 务 去 建 立 差式分的格稳
定 性 , 即 建 立 形 (1.1如7)的 估 计 式 , 称 之 为差关分于方
程解的先验估计。 .
的解u,由Taylo展 r 式可得
u(xi1)2u(xi )u(xi1) h2
d2u(x) [ dx2 ]i
1h22[h2dux(2x)]o(h3),(1.3)
其中[ ]i表示括号内函xi点 数取值。 于 是 在 可 (1.1)写 将成 方 程
u(xi1)2uh(2xi)u(xi1)q(xi)u(xi)f(xi)Ri(u)(, 其 中 Ri(u)1 h22 [h2du(2 xx)]o(h3), (1.5)
)
u(
xi1
)
q(
xi
)u(
xi
)
f (xi ) Ri (u) fi Ri (u)
与Lhui
ui1
2ui h2
ui1
qiui
fi
相减,得 Lh(u(xi ) ui ). Ri (u)
引进误差
ei u( xi ) ui , 则误差函数 eh( xi ) ei满足下列差分方程;
椭圆型方程的有限差分法
现在假定(xi , y j )为正则内点,沿x, y方向分别
用二阶中心差商代替u
xx
,
u
y
,则得
y
huij
[ui1, j
2uij h12
ui1, j
ui, j1 2uij h22
ui, j1 ]
fij , (3.2)
式中uij表示节点(i, j)上的网函数。若以uh , fh表示网格函数,
ui 1 ]
qiui
fi ,i 1,, N
1,
u0 ,uN ,
(2.10)
(2.9)
有限体积法
考虑守恒型微分方程:
Lu d ( p du ) q(x)u f (x), (2.13) dx dx
如果把它看作是分布在一根杆上的稳定温度场方 程,则在[a,b]内任一小区间[x(1) , x(2) ]上的热量守 恒律具有形式
其中
Ri
(u)
h2 12
[d
4u(x) dx4
]i
O(h3 ),
(1.5)
当h足够小,Ri (u)是h的二阶无穷小量.
若舍去Ri (u),则得逼近方程(1.1)的差分方程:
Lhui
ui 1
2ui h2
ui1
qiui
fi , (1.6)
式中qi q(xi ), fi f (xi ).记[Lu]i f (xi ),
x2
,,
xN
的
1
个数,因此它是N 1阶方程组.
§2 一维差分格式
考虑两点边值问题:
Lu d ( p du ) r du qu f a x b, (2.1)
椭圆型方程差分方法
椭圆型方程差分方法
椭圆型方程是数学中的一种重要的偏微分方程类型,它的求解在科学计算和工程实践中有着广泛的应用。
而差分方法是求解偏微分方程的主要数值方法之一。
椭圆型方程的差分方法主要包括有限差分法、谱方法和有限元方法等。
其中,有限差分法是最常用的一种方法,它将偏微分方程转化为离散的代数方程组,通过数值迭代求解。
有限差分法的基本思想是将求解区域分成若干个网格,通过差分近似替代导数运算,将偏微分方程转化为一组代数方程,然后通过迭代方法求解。
在椭圆型方程的差分求解中,有限差分法具有计算简单、适用范围广等优点。
但是,它也有一些缺点,如误差随时间积累,收敛速度慢等问题。
因此,在实际应用中,需要权衡不同方法的优劣,选择最适合的方法进行求解。
总的来说,椭圆型方程的差分方法是求解偏微分方程的重要工具,它为科学计算和工程实践提供了有效的数值求解手段。
- 1 -。
椭圆型方程的有限差分法
第4章 椭圆型方程的有限差分法§2 一维差分格式1、用积分插值法导出逼近微分方程的差分格式。
解:考虑在[a,b]内任一小区间(1)(2)[,]x x ,将上式在此区间上积分得或 (2)(2)(2)(1)(1)(1)(1)(2)()()x x x xx x duW x W x r dx qudx f dx dx-++=⎰⎰⎰(1.1) 其中,()()duW x p x dx= (1.2)特别地,取(1)(2)[,]x x 为对偶单元1/21/2[,]i i x x -+,则 将(1.2)改写成()()du W x dx p x =,再沿1/21/2[,]i i x x -+积分,得11()()ii x i i x W x u u dx p x ---=⎰,利用中矩形公式,得1111/21,[]()ii x i i i ii x i iu u dx W a a h h p x -----≈=⎰(1.3) 又 1/21/21/21/2112,()2i i i i x x i i i i i xx i i h h qudx d u d q x dx h h ++--+++≈=+⎰⎰ (1.4) 1/21/21/21/21112,()2i i i i x x i i i i x x i i u u du r dx b b r x dx dx h h ++--+-+-≈=+⎰⎰ (1.5) 1/21/212()i i x i x i i f x dx h h ϕ+-+=+⎰ (1.6)将(1.3)~(1.5)代入(1.1),即得微分方程的差分格式 如果系数p,q,r 以及右端f 光滑,则可用中矩形公式计算得 2、导出10111000101()()022u u h ha d u h ααϕ--+-+-+=对01()()()p a u a u a αα'-=+的逼近阶。
解:1011011()()x x dx a p p a h p x -⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰, 记01()()()()Lu a p a u a u a αα'=---, 则逼近阶为2()O h 。
第五章 椭圆型方程的差分方法
2 . 差分方程解 的收敛性
hx 0 y ) ( , uij h u x i j 0 y
u f , ( x, y ) D , 定理:若 ( x , y ) D , u , 的解在 D D 上有四阶连续的偏导数, 则五点差分格式
j j j j 1 j j 1 u u u u u u 2 2 j j i 1 i i 1 i i i h ui fi 2 2 hx hy
定理(解的存在唯一性)
j j h u i f i , ( xi , y j ) D h , 差分方程边值问题 j j u ( xi , y j ) D h , i , i 的解如果 存在,则唯一 .
证明:只需证明对应的齐 次方程只有零解
j u h i 0, ( xi , y j ) Dh , j u i 0, ( xi , y j ) Dh , 由极值原 理知0 u i j 0, 即 u i j 0, ( xi , y j ) Dh Dh .
uI+2, j uI , j
i,0ui,0 i,0.
注:
1. 当 =0时, 为第二类边界条件,但四边不能都是第二类边界条件; 2. 这里是中心差商,也可用向前/后差商,但中心差商精度高; 3. 其中u1, j , ui,1, uI 2, j , ui,J 2为虚拟节点的值,需进一步处理, 一般通过方程的差分格式去消掉这些项。
Dh j i Dh j i
( ii )如果uij 满足 h uij 0, ( xi , y j ) Dh,则有 min uij min uij .
Dh Dh
证明: (i) 反证法:设在Dh内存在一点P( xi0 , yi0 )及一 个常数M 使得U ( xi0 , yi0 ) M 并有M ui , ( xi , y j ) Dh
椭圆型方程的差分解法
椭圆型方程的差分解法1.引言考虑问题①二维Poisson 方程2222(,)u u f x y x y ⎛⎫∂∂-+= ⎪∂∂⎝⎭, (,)x y ∈Ω 其中Ω为2R 中的一个有界区域,其边界Γ为分段光滑曲线。
在Γ上u 满足下列边界条件之一:⑴(,)u x y αΓ=(第一边值条件), ⑵(,)ux y n βΓ∂=∂(第二边值条件), ⑶(,)uku x y n γΓ∂+=∂(第三边值条件), (,),(,),(,),(,),(,)f x y x y x y x y k x y αβγ都是连续函数,0k ≥.2.差分格式将区间[,]a b 作m 等分,记为11()/,,0i h b a m x a ih i m =-=+≤≤;将区间[,]c d 作n 等分,记为22()/,,0i h d c n y c jh j n =-=+≤≤.称1h 为x 方向的步长,2h 为y 方向的步长。
2.1 Poisson 方程五点差分格式参考单如图所示:以(,)i j x y 为中心沿y 方向Taylor 展开:41)(),j u y o h +①41)(),j u y o h +②41(),u h21(),o h ③22(),o h ④(,),i j ij f x y R -=+(,),i j f x y -=○6 j+1考虑到边值条件(,)(,)u x y x y αΓ=,构成差分格式:11112212(,)2(,)(,)(,)2(,)(,)(,),(,)(,),i j i j i j i j i j i j i j u x y u x y u x y u x y u x y u x y f x y h h u x y x y α+-+-Γ⎧-+-+⎛⎫-+=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩○72.2 Poisson 方程九点差分格式由上式 ③ + ④ 得:11112212442221244222222122222(,)2(,)(,)(,)2(,)(,)(,)1(,)()12(,)(,)1(,)12i j i j i j i j i j i j h i j i j iji j i j i j u x y u x y u x y u x y u x y u x y u x y h h u u u x y h h o h x y u x y u x y u x y h h x y x y +-+--+-+=+⎡⎤∂∂=∆+++⎢⎥∂∂⎣⎦⎛⎫∂∂⎛⎫∂∂=∆+++- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭422212222242222212122222(,)()12(,)(,)(,)1(,)()1212i j i j i j i j i j u x y h h o h x y f x y f x y u x y h h f x y h h o h x y x y ∂++∂∂⎛⎫∂∂∂+=--+-+ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭○8 又()41122222211111112212311111(,)(,)2(,)(,)()1[(,)2(,)(,)2(,)2(,)(,)(,)2(,)(,)]()i j xx i j xx i j xx i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j u x y u x y u x y u x y o h x y h u x y u x y u x y u x y u x y u x y h h u x y u x y u x y o h +-+++-++-+----∂-+=+∂∂=-+--++-++ 则得到:222222121121112112222221211212122222221112111211()(,)(210)(,)()(,)(210)(,)20()(,)(210)(,)(210)(,)()(,)()(,)i j i j i j i j i j i j i j i j i j h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y ---+--++-+++-++--++-+++-+--+-+2212222241222,12(,)(,)1(,)()12i j i j i j h hf x y f x y f x y h h o h x y ⎛⎫∂∂=--++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭○9 舍去截断误差得到逼近Poisson 方程的九点差分方程○10:()()2212,11,,11,1,11,11,11,122122212(,)[42]121(,)(,),12i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j ij xx i j yy i j h h u x y u u u u u u u u u h h f h f x y h f x y -++-+---++-++-∆--+++++++''''=++考虑到边值条件(,)(,)u x y x y αΓ=,构成差分格式○11:()()2212,11,,11,1,11,11,11,122122212(,)[42]121(,)(,),12(,)(,),i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j ijxx i j yy i j h h u x y u u u u u u u u u h h f h f x y h f x y u x y x y α-++-+---++-+Γ⎧+-∆--+++++++⎪⎪⎪''''=++⎨⎪⎪=⎪⎩3.格式求解3.1 Poisson 方程五点差分格式记122,1,j j j m j m j u u u u u --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,0.j n ≤≤ 矩阵格式改写为:11,11j j j j Du Cu Du f j m -+++=≤≤-,其中2221212222112122221121222112(1)111211112111121112m h h h h h h h C h h h h h h h -⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎢⎥-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎢⎥-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎢⎥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,22222222(1)1111m h h D h h -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦,10212212111(,)(,)(,)(,)1(,)(,)j j j j m j m j m j m f x y x y h f x y f f x y f x y x y h ---⎡⎤+Φ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+Φ⎢⎥⎣⎦, 可进一步写为:110222211(1)*(1).n n n n n n m u f Du C D u f D C D u f DC D u f Du D C -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦3.2 Poisson 方程九点差分格式记122,1,j j j m j m j u u u u u --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,0.j n ≤≤ 矩阵格式改写为:11,11j j j j Du Cu Du f j m -+++=≤≤-,其中2222121222222212121222222212121222221212(1)20()(210)(210)20()(210)(210)20()(210)(210)20()m h h h h h h h h h h C h h h h h h h h h h -⎡⎤+-⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦, 2222211222222212211222222212211222221221(1)(210)()()(210)()()(210)()()(210)m h h h h h h h h h h D h h h h h h h h h h -⎡⎤--+⎢⎥-+--+⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-+--+⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦,22121022221211(,)(210)(,)(,)(,)(,)(210)(,)j j j j m j m j m j m f x y h h x y f x y f f x y f x y h h x y ---⎡⎤--Φ⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-Φ⎣⎦, 可进一步写为:110222211(1)*(1).n n n n n n m u f Du C Du f D C D u f DC D u f Du D C -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦4.数值例子4.1 Poisson 方程五点差分格式计算如下问题:22220,01,01,(0,)sin cos ,(2,)(sin cos ),01,(,0),(,1)(sin1cos1),0 1.x x u u x y x y u y y y u y e y y y u x e u x e x ⎛⎫∂∂-+=<<<< ⎪∂∂⎝⎭=+=+≤≤==+<<其精确解为:(,)(sin cos ).x u x y e y y =+,11,1,,1,222222122112112()(,),i j i j i j i j i j i j u u u u u f x y h h h h h h -+-++=++++ 考虑到本例中h1=h2,则有2,11,1,,1,(,),4i j i j i j i j i j i j u u u u h f x y u -+-+++++=利用Gauss-Seidel 迭代方法对k=0,1,2,……,计算112,11,1,,11(,),41,2,....,1;1,2,...., 1.k k k k i j i j i j i j i j k ij u u u u h f x y u i m j n ++--+++++++==-=-表1 部分结点处的精确解和取不同步长时所得的数值解表2 取不同步长时部分结点处数值解的误差绝对值图1 取h=1/4时所得的数值解曲线图2 取h=1/4时所得的误差曲线图3 取h=1/16时所得的数值解曲线图4 取h=1/16时所得的误差曲线图5 取h=1/64时所得的数值解曲线图6 精确解曲线图7 取h=1/64时所得的误差曲线4.2 Poisson 方程九点差分格式计算如下问题:22220,01,01,(0,)sin cos ,(2,)(sin cos ),01,(,0),(,1)(sin1cos1),0 1.x x u u x y x y u y y y u y e y y y u x e u x e x ⎛⎫∂∂-+=<<<< ⎪∂∂⎝⎭=+=+≤≤==+<<其精确解为(,)(sin cos ).x u x y e y y =+222222221212121112122222222121112111211211222211120()(,)12(,)()(,)(102)(,)()(,)()(,)()(,)(102)(,)(102)(,)(10i j i j i j i j i j i j i j i j i j h h u x y h h f x y h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y h ----++++--++=+++-+++++++-+-+2212)(,)i j h u x y +-考虑到本例中h1=h2,则有,11,1,,11,11,11,11,1,4(),20i j i j i j i j i j i j i j i j i j u u u u u u u u u -+-+--++-++-+++++++=利用Gauss-Seidel 迭代方法对k=0,1,2,……,计算1111,11,1,,11,11,11,11,11,4(),201,2,....,1;1,2,...., 1.k k k k k k k k i j i j i j i j i j i j i j i j k i j u u u u u u u u u i m j n ++++-+-+--++-++-++++++++==-=-表1 部分结点处的精确解和取不同步长时所得的数值解表2 取不同步长时部分结点处数值解的误差绝对值表3 取不同步长时部分结点处数值解的最大误差图1 取h=1/4时所得的数值解曲线图2 取h=1/16时所得的数值解曲线图3 取h=1/64时所得的数值解曲线图4 取h=1/4时所得的误差曲线图5 取h=1/16时所得的误差曲线图6 取h=1/64时所得的误差曲线5.结论观察Poisson方程五点格式,方程以较快速度迭代收缩。
偏微分课程课件9椭圆型方程的有限差分方法I
uij
=
ij
,
(xi,y j ) Dh
其中uij u(xi , y j ) = (xi , y j )=ij , (x, y) D.
例:五差分格式求解
2u 2u
x
2
y2
0
(x, y) D
u(
x,
y)
log
(1
x2
)
y2
( x, y) D
D {( x, y) | 0 x, y 1}
hd e dx u( x, y)
hn d n n! dxn )u( x, y)
ex 1 x x2 x3 xn
1 2 3!
n!
u1 =e u0 , u2 =e u0 , u3 =e u0 , u4 =e u0 , u5 =e u0等
u1 =e u0 , u2 =e u0 , u3 =e u0 , u4 =e u0 , u5 =e u0
从小到大顺利排列
i 1, , J; j 1, , I;
按自然顺序排列网点(i,j)
j 1, i 1, , I; j 2, i 1, , I;
j J , i 1, , I;
定义向量
uh u1,1, , uI ,1, u1,2 , , uI ,2 ,
1 于是差分方程为: h2 Huh g
j 1时
4 1 0
I个
j 2 ...
1 0 0
I个 ...
(1,1)对应H的第一行 11
分析系数矩阵H i 1, , I; j 1, , J;
1 h2 [ui, j1 ui1, j 4ui, j ui1, j ui, j1 ] fi, j
对于第二个结点(2,1),
1 h2 [u2,0 u1,1 4u2,1 u3,1 u2,2 ] f2,1
04有限差分法.ppt
n Rj
O t x
2
无条件稳定
2.一维混合问题
u 2u 2 0 t x u x ,0 F x u a, t t u b, t t
0 x b, t 0, 0
对于[a,b]区间的内点,可以构造以上各种格式。 如四点显式
例:驱动腔内的流体流动。
3.网格划分
x h y l xi ih
-----称为步长。
u x, y u i , j
xi , y j i, j
y j jl
4.差分格式 将u在(i,j)附近展成Taylor级数
ui 1, j ui , j ui 1, j ui , j 1 2u 1 3u u h 2 h 2 3 h 3 ... 2 x 3! x x i , j i, j i, j 1 2u 1 3u u h 2 h 2 3 h 3 ... 2 x 3! x x i , j i, j i, j
-----中心差分式
O h 表示具有二阶精度。
2
两Taylor展式相加
2u 1 ui 1, j 2ui , j ui 1, j O h 2 x 2 h2 i, j
偏微(13)椭圆型方程的差分方法
S1 e u0 e u0 e u0 e u0
1 4 2 4u0 h u0 h 2 D 4 u0 h6 12
2
1 4 2 S2 4u0 2h u0 h 4 D 4 u0 h6 6
其中D x , y | 0 x , y 1 .
1 取特殊的网格 h k 。 此时网格点分布见图5.3, 3
1.1 五点差分格式
在内点P , P2 , P3和P4 1 上用差分格式( ), 1.6
在其余点,即边界点 取边界条件
1 x 2 y 2 a x, y log
1 u 1 u r u r r r 2 2 f r , r r
2
(1.8)
r
y x y , tan . 域0 r ,0 2 . x
2 2
方程( 8) 1. 的系数当r 0时具有奇异性,因此为了 选出我们感兴趣的解,需补充u在r 0处有界的条 件,可设u满足
1 u xi h, y j 2u xi , y j u xi h, y j (1.2) h2 Nhomakorabea
2u 2u u 2 2 f ( x , y( ) ) 1.1 x y
1 u x i , y j k 2u x i , y j u x i , y j k 2 k (1.3) 2 2 4 4 u k 2 4 u xi ,1 4 u xi ,2 y y ij 24 y
h uij ui 1, j 2uij ui 1, j h2 ui , j 1 2uij ui , j 1 k2 f ij ,
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第4章 椭圆型方程的有限差分法§2 一维差分格式1、用积分插值法导出逼近微分方程的差分格式。
d du du Lu=-(p)+r +qu=f,a<x<b,dx dx dx u(a)=α,u(b)=β.⎧⎪⎨⎪⎩ 解:考虑在[a,b]内任一小区间(1)(2)[,]x x,将上式在此区间上积分得(2)(2)(2)(2)(1)(1)(1)(1)-(())x x x x x x x x d du dup x dx r dx qudx f dx dx dx dx++=⎰⎰⎰⎰ 或 (2)(2)(2)(1)(1)(1)(1)(2)()()x x x x x x du W x W x r dx qudx f dx dx-++=⎰⎰⎰(1.1) 其中,()()duW x p x dx=(1.2)特别地,取(1)(2)[,]x x为对偶单元1/21/2[,]i i x x -+,则1/21/21/21/21/21/21/21/2()()i i i i i i x x x i i x x x duW x W x rdx qudx f dx dx+++----+-++=⎰⎰⎰。
将(1.2)改写成()()du W x dx p x =,再沿1/21/2[,]i i x x -+积分,得11()()i i x i i x W x u u dx p x ---=⎰,利用中矩形公式,得1111/21,[]()ii x i i i ii x i iu u dx W a a h h p x -----≈=⎰(1.3)又1/21/21/21/2112,()2i i i i x x i i i i i x x i i h h qudx d u d q x dx h h ++--+++≈=+⎰⎰ (1.4)1/21/21/21/21112,()2i i i i x x i i i i x x i i u u du rdx b b r x dx dx h h ++--+-+-≈=+⎰⎰ (1.5)1/21/212()i i x i x i i f x dx h h ϕ+-+=+⎰(1.6)将(1.3)~(1.5)代入(1.1),即得微分方程的差分格式1111111111()()222i i i i i i i i i i i i i i i i i i u u u u u u a a h h d u b h h h h ϕ+-+-++++⎡⎤-----+++=+⎢⎥⎣⎦。
如果系数p,q,r 以及右端f 光滑,则可用中矩形公式计算得1/21/2(),(),(),().i i i i ii i i i i a p p x di q q x bi r r x f f x ϕ--==⎧⎪==⎪⎨==⎪⎪==⎩▌2、导出10111000101()()022u u h ha d u h ααϕ--+-+-+=对01()()()p a u a u a αα'-=+的逼近阶。
解:1011011()()x x dx a p p a h p x -⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰, 1200012()x x d qdx q q a h ===⎰,1200012()x x fdx f f a h ϕ===⎰ 记01()()()()Lu a p a u a u a αα'=---,10110000101231110110001012111100010()()()22()()()()2()()()22()[()()]()()()222h u u h hL u a p q u f h h u a h u a u a O h u h h p a q u f h h h h p a u a u a O h q u f αααααα-=-+-+-+'''+++-=-+-+-+'''=-+++-+-+2111000000()()()()()()222h h h hR u L u x Lu x p a u a q u f O h ''=-=-+++则逼近阶为2()O h 。
▌§3 矩形网的差分格式1、 用积分插值法构造逼近方程 ()[()()]k u k k f x x y y∂∂∂∂-∇∇=-+=∂∂∂∂ (*)的第一边值问题的五点差分格式,这里min (,)0k k x y k =≥>解:考虑xy 平面上一有界区域G ,其边界Γ为分段光滑曲线,且满足第一边值条件:(,)|(,),(,)u x y x y x y G αΓ=∈∂取定沿x 轴和y 轴方向上的步长12h h 和,并作对偶剖分。
记1/211()2i x i h -=- ,1/221()2j y j h -=-,作两族与坐标轴平行的直线1/21/2,,0,1,...i i x x i j --==±和y=y ,其交点属于G 内部者为对偶剖分的内点,直线与边界Γ的交点为对偶剖分的界点。
对于任一正则内点(,)i j x y ,考虑对偶剖分的网点:1/21/2(,)i j A x y --,1/21/2(,)i j B x y +-,1/21/2(,)i j C x y ++,1/21/2(,)i j D x y -+,用ABCDA 表示以A,B,C,D 为顶点的矩形,其内部区域记为ij G ,于ij G 上对(*)积分。
1/21/21/21/21/21/2(,)(,)(,)(,)(,)i i y i i i i ABCDA y u k x y dxdy k x y u x y k x y u x y dy x x x x +-++--∂∂∂∂⎛⎫⎡⎤=- ⎪⎢⎥∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦⎰⎰利用中矩形公式有1/21/21/21/22(,)(,)(,)(,)(,)i j i j i j i j ABCDA u k x y dxdy k x y u x y k x y u x y h x x x x ++--∂∂∂∂⎛⎫⎡⎤≈- ⎪⎢⎥∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦⎰ 类似地有1/21/21/21/21(,)(,)(,)(,)(,)i j i j i j i j ABCDA u k x y dxdy k x y u x y k x y u x y h y y y y ++--⎛⎫⎡⎤∂∂∂∂≈- ⎪⎢⎥∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦⎰ 此外有12(,)(,)iji j G f x y dxdy f x y h h ≈⎰⎰将上面的积分近似式中出现的偏导数用差商代替,代入(*)式,并同时除以12h h ,就得到(*)式的差分方程:1/2,1,1/2,,1,,1/2,1,1/2,,1221211[()()][()()]i j i j ij i j i j i j i j i j ij i j i j i j ij k u u k u u k u u k u u f h h ++--++----------=▌2、 用差分法求解边值问题222221,1,1,5,100,1u k u x y k u x y ⎧-∆+=-+<⎪=⎨=+=⎪⎩。
解:令cos ,sin x r y r θθ==,则整个xy 平面变成r θ平面上的半带形域{01,02}r θπ≤≤≤≤,从而(,)u x y 满足的上述边值问题转化为极坐标形式下(,)u r θ满足的边值问题就可转化为22,22111(,)1,(,)(0,1)(0,2)|0r r u u u r k u r r G r r r r u θθθπθ=⎧⎡⎤∂∂∂⎛⎫-∆=-++=-∈=⨯⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂⎝⎭⎨⎣⎦⎪=⎩首先关于区域G 分别取等步长1/,2/r h N h M θπ==进行网格划分,令1,0,1,2,,1,0,1,,1i r j r ih i N jh j M θθ=+=-==-这样就在半带形区域上形成了网格节点(,)j j r θ,再对变量r 的取值范围(0,1)作对偶剖分1211(),0,1,2,,12r i ri h i N +=++=-。
作中心差分得:11221111222211221,1,11(,)(,)221,(,)(,)(,),()111()j j i i i j j j i i r j ij r j iji i rrr ri j ij i i i i r r r r i iu u u u u u r rr rr h r h r u r r u r u u r r r r r r h r r r r θθθθθ-++--+-++++----∂∂⎡⎤⎡⎤≈≈⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎣⎦⎧⎫-++∂∂∂∂⎪⎪⎡⎤⎡⎤⎡⎤≈-≈⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭1,22,1,12222(,)211iji jr i j ij i j ir u h u u u u r r h θθθ-+--+⎡⎤∂≈⎢⎥∂⎣⎦ 代入到原边值问题中,则得到差分方程:111122221,1,,1,122220()2111,(1,2,,1;1,2,,1),(0,1,2,,)0,(0,1,2,,)i j ij i j i i i i i j ij i j ij i r i i iM Nj r u r r u r u u u u k u r h r h i N j M u u i N u j M θ+-++--+--++⎡⎤-+-++=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-=-====。