第三章 函数极限练习题
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第三章 函数极限
知识脉络
1．函数极限的24个定义，会用定义证明简单函数极限问题； 2. 函数极限的性质，注意与收敛数列性质的区别；
3. 函数极限存在的条件，会判断简单函数的极限是否存在；
4. 总结求函数极限的方法，掌握每种方法适用的极限问题；
5. 会比较无穷小的阶；
6. 会求曲线的渐近线. 一、判断题
1. 若要使0
lim ()x x f x →存在，()f x 在0x 处必须有定义.（ ）
2. 若lim ()x f x A →∞
=，则lim ()x f x A →∞
=，当且仅当0A =时反之也成立.（ ）
3. 若A x f x x =→)(lim 0
，则)(x f 可表为))(1()(0x x o A x f →+=. （ ）
4. 若0
lim ()x x f x A →=存在，则()f x 有界.（ ）
5. 若在00()U x 内()()f x g x >，0
lim ()x x f x →与0
lim ()x x g x →都存在，则00
lim ()lim ()x x x x f x g x →→>.（ ）
6. 若0
lim ()x x f x A →=，0
lim ()x x g x B →=，A B >，则在某00()U x 内()()f x g x >.（ ）
7. 若30
lim ()x f x →存在，则3
lim ()lim ()x x f x f x →→=.（ ）
8. 若20
lim ()x f x →存在，则2
lim ()lim ()x x f x f x →→=（ ）
9.设函数()f x 为定义在00()U x +上的单调有界函数，则0
lim ()x x f x →存在.（ ）
10.设函数()f x 为定义在00()U x 上的单调函数，则0
lim ()x x f x +
→存在.（ ） 11.若()f x 为周期函数，且lim ()0x f x →+∞
=，则()0f x ≡.（ ）
12.任意两个无穷小都可以进行阶的比较.（ ） 13.无穷小量就是很小很小的数.（ ）
16.无穷小量都是有界量，有界量也都是无穷小量.（ ） 17.无限个无穷小的和、差仍然是无穷小.（ ）
18.若()f x 和()g x 为当0x x →时的同阶无穷小量，则()(())f x O g x =.（ ） 19. 若()(())f x O g x =(0x x →)，则()f x 和()g x 为同阶无穷小量.（ ） 20. 当0→x 时，0)( )()()(>>=++n m x o x o x o n
m n
m
. （ ）
二、填空题
1．2
0lim 1cos x x x →=- ；sin sin lim
x a x a x a →-=- ； 2．0tan 7lim
3x x x →= ；2lim tan n n n π
→∞= ；
3．()220
sin lim
sin x x x
→= ；0sin 3lim
tan 4x x
x
→= ；
4．04lim sin 5x x
x →=
；0lim
x +
→= _ _________；
5.x x x x sin lim
+∞
→ = ___ _；1
2sin lim 2+∞→x x
x x = ；
6.30tan sin lim
x x x x →-= ；211
2lim 11x x x →⎛⎫-= ⎪--⎝
⎭ ； 7. lim arctan x x e x →-∞
= ；=-+---→2
3
1lim
2
2
x x x x ； 8.lim 1x
x x x →∞⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
；21lim(1)x x x →∞-=____ __； 9.
=+→
x
x x sec 22
)cos 1(lim π
；=+-∞→x
x x
x )1(lim ；
10．()()()
3
100213297lim 31x x x x →∞-+=+ ； 34
1
32
lim 43
x x
x x x →-+=-+ ；
11.若30arctan lim sin n x x x x →=0，且0sin lim 01cos n x x
x
→=-，则正整数n = ； 12．若()111
1x
x x x
e e
f x e e --
-=
+，则()0
lim x f x +→= ，()0
lim x f x -
→= ； 13．01
lim sin 0k x x x
→=成立k 满足的条件 ；
14.若函数21()1
x f x x -=-，则()1
lim x f x →= ；
15.当0x →时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = _ _____；
16.当0x →时，2
ax 与2
tan 4
x 是等价无穷小量，则 a = _ _____；
17.若 22lim
22
x x ax b
x →++=-，则a =___ ______；b =___ ______； 18.若 2
2
lim(1)x
x ax e →-=，则a =___ ______；