有效性证明

有效性证明：

一元线性模型中1β的最小二乘估计1

ˆβ可写成 记1~β为1β的任一线性无偏估计，有i i Y w E ∑==111~

,)~(βββ。根据无偏估计的特性，同样有：∑∑==1,0i i i x w w 。

记()11ˆi i i P w k Y ββ=-=-∑，则有1

1ˆ~ββ+=P 如果能证明0)ˆ,(1=βP Cov ，则利用方差不小于0的性质，判定)ˆ()ˆ()()~(111βββD D P D D ≥+=，1

ˆβ即为所有无偏的线性估计中方差最小的。

又∵∑∑-=22)(1X X k i i

所以有

此处利用了∑∑==1,0i i i x w w 二个条件。

这样，0)ˆ,(1=βP Cov ，)ˆ()ˆ()()~(111βββD D P D D ≥+=成立，由1~β的任意性可知1ˆβ为参数1

β的最小方差的线性无偏估计，有效性得证。