泛函分析习题解答

第

七

章

习

题

解

答

1．设（X ，d ）为一度量空间，令

}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U

问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？

解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。

（23．

n

x 1)1<。设δ )∞。因B 4. 设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明)

,(1)

,(),(___

y x d y x d y x d +=

是X 上的距离。

证明 （1）若0),(___

=y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而

t

t

+1在),[∞o 上是单增函数，于是)

,(),(1)

,(),(),(),(1),(),(___

___

z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+=

=

)

,(),(1)

,(),(),(1),(z y d z x d z y d z y d z x d z x d +++++

)

,(1),(),(1),(z y d z y d z x d z x d +++≤=),(),(___

__z y d z x d +。 5. 证明点列{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞

∈的充要条件为n f 的各阶导数在

[a ，b]上一致收敛于f 的各阶导数。

证明 若{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞

∈，即

t a ≤ ∑∞

+=o r r 即d A={f|当t 上)(t f n 一致收敛于f （t ）。设B t ∈，则0)(lim )(==∞

>-t f t f n n ，所以f ∈E ，这就证明了E 为闭集

充分性。当B 是闭集时，设f ∈A 。因f 在B 上连续而B 是有界闭集，必有B t ∈0，使

)(max )(0t f t f B

t ∈=。设 0)(0>=-δt f a 。我们证明必有A f U ⊂),(δ。设),(δf U g ∈，则若B t ∈，

必有δ<-)()(t g t f ，于是a t f t f t g t f t g =+<+-≤)(||)(|)()(|)(|0δ，所以A g ∈，这样就证明了A 是开集

必要性。设A 是开集，要证明B 是闭集，只要证明对任意.....2,1,=∈n B t n 若0t t n >-)(∞−→−

n ，

必有B t ∈0。

倘若B t ___

0∈，则定义||)(0t t a t f o --=。于是对任意B t ∈，a t t a t f o <--=||)(0因此A t f o ∈)(由于A 是开集，必有0>δ，当∈f C[a ，b]且δ<),(0f f d 时，A f ∈。定义，n=1，2。。。。。则

)(0||),(00∞>->--=n t t f f d n n

因此当δ<-||0t t n 时，A f n ∈。但是a t t t t a t f n n n =-+--=||||)(00，此与A f n ∈的必要条件：对 任意t

E 及

F 。 则中的点x

使d (x d 为d 则f {g 12

2),(),(),(2121=+<+≤t n n t t t f g d g f d f f d 此与1),(21=t t f f d 矛盾，因此B[a ，b]不是可分空间。

9. 设X 是可分距离空间，ϑ为X 的一个开覆盖，即ϑ是一族开集，使得对每个X x ∈，有ϑ中的开集O ，使得O x ∈，证明必可从ϑ中选出可数个集组成X 的一个开覆盖。

证明 若X x ∈，必有ϑ∈x O ，使x O x ∈，因x O 是开集，必有某自然数n ，使x O n

x U ⊂1

,(。

设{}

n x n ∞=1

是X 的可数稠密子集，于是在)21,(n x U 中必有某21,(n x U k ，且x k O n

x U ⊂21

,(。。事实上，

若21,(n x U y k ∈，则n

n n x x d x y d x y d k k 12121),(),(),(=+<+≤所以)21

,(n x U y k ∈x O ⊂。

这样我们就证明了对任意X x ∈，存在k ，n 使21,

(n x U x k ∈且存在O n

x U k ⊂)21

,( 任取覆盖21

,

(n

x U k 的O ，记为n k O ,是X 的可数覆盖。 10. X 为距离空间，A 为X 中子集，令,.),,(inf )(X x y x d x f A

y ∈=∈证明)(x f 是X 上连续函数。 证明 若,.0X x ∈对任意0>ε，存在A y ∈0，使2

00)(2

),(inf ),(εε

+=+

<∈x f y x d y x d A

y o 。取02>=εδ。则当δ<),(0x x d 时，

ε+<+≤≤=)(),(),(),(),(inf )(0000x f y x d x x d y x d y x d x f o 因此ε<-)()(x f x f 。由于x 与x 对称性，还可得ε<-)()(x f x f 。于是ε<-|)()(|x f x f 。这

1G 2

,

(x

x ε，

倘

若)2

,

(x

x ε。

(U 证明 设 G 是Z 中开集，因g 是Y 到Z 中的连续映射，所以)(1

G g -是Y 中开集。又f 是X 到Y 中的连续映射，故))((11

G g f

--是X 中 的开集。这样))(()().(111G g f G f g ---=是X 中 的开集，这就证明

了g 。f 是X 到Z 的连续映射。

13. X 是度量空间，证明f 是连续映射的充要条件是对每个实数c ，集合})(,|{c x F X x x ≤∈和集合

})(,|{c x F X x x ≥∈都是闭集。

证明 设 f 是X 上连续的实函数，又对每一实数c ，G=（c ，∞）是开集，于是