北师大版高中数学选修2-1《空间向量的运算》教案1-新版
《空间向量的运算(2)》示范公开课教案【高中数学北师大】
《空间向量的运算(2)》教案1.经历由平面向量的运算和运算规则推广到空间向量的运算和运算规则的过程，体会从二维空间到三维空间的变化，培养学生迁移的能力；2.掌握空间向量的数量积运算．重点：空间向量的数量积运算．难点：空间向量的数量积的计算方法，几何意义，立体几何问题的转化．一、情境导入情境：上节课我们类比平面向量，把向量的概念及线性运算由平面向空间进行了推广，并用空间向量及其线性运算解决了一些立体几何问题．我们知道，平面向量除了线性运算以外，还有数量积运算．平面向量的数量积运算在研究角度、距离等几何问题时，有非常广泛的应用．今天我们就继续类比平面向量，来学习空间向量的数量积运算．设计意图：通过类比平面向量，引导学生进行思考，为讲解空间向量的数量积作铺垫．二、新知探究问题1：你还记得平面向量的数量积运算是怎么定义的吗？答案：两个非零平面向量a，b的数量积是一个实数，等于这两个向量的模和它们夹角余弦值的乘积，即：a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉．追问1：什么是平面向量的夹角？答案：两个非零向量a，b，在平面内任取一点O，作OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a，OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．规定0≤〈a，b〉≤π．追问2：你能类比平面向量，给出空间向量夹角的定义吗？答案：两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a，OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．通常规定0≤〈a，b〉≤π．◆教学目标◆教学重难点◆◆教学过程在此规定下，两个向量的夹角被唯一确定，并且〈a，b〉=〈b，a〉．当〈a，b〉=0时，向量a与b方向相同；当〈a，b〉=π时，向量a与b方向相反；当〈a，b〉=π2时，称向量a与b互相垂直，记作a⊥b．规定：零向量与任意向量垂直．问题2：能否类比平面向量，得到空间向量的数量积运算的定义呢？由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此两个空间向量数量积的定义和平面向量数量积的定义完全一致．即：已知两个非零向量a，b，把|a|·|b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b．a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉．与平面向量类似，空间向量的数量积也是一个实数，容易得到以下结论：（1）cos〈a，b〉=a·b|a|·|b|(a≠0，b≠0)；（2）|a|=√a·a；（3）a⊥b⇔ a·b=0．追问：向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？答案：与平面向量类似，空间向量的数量积运算也满足如下运算律：（1）交换律：a·b=b·a；（2）分配律：a·(b+c)=a·b+a·c；（3）(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R)．【概念巩固】判断下列命题是否正确：（1）由a·b=0，可得a=0或b=0；（2）对于三个非零向量a，b，c，由a·b=a·c，可得到b=c；（3）对于两个非零向量a，b，由a·b=k，可得到a=kb 或b=ka．（4）对于向量a，b，c，有(a·b)·c=a·(b·c)．答案：（1）不一定，因为a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉=0，所以|a|=0或|b|=0或cos〈a，b〉=0．即a=0或b=0或a⊥b；（2）不一定，由a·b=a·c，有a·(b−c)=0，从而有b=c或a⊥(b−c)；（3）不能，向量没有除法运算；（4）不一定，两个向量的数量积为一个实数，(a·b)·c和a·(b·c)分别表示与向量c和向量a 共线的向量，它们不一定相等．即向量的数量积运算没有结合律．问题3：我们在平面向量中学习过投影向量的概念，你还记得什么是投影向量吗？能推广到空间向量中吗？答案：由于任意两个空间向量总能通过平移变成同一平面内的向量，因此平面向量的投影概念可以直接推广到空间中．已知两个非零向量a ·b ，在空间任取一点O ，作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，过点B 作直线OA 的垂线，垂足为点B 1，称向量OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为向量b 在向量a 方向上的投影向量，其长度等于||b |cos 〈a ，b 〉|．当〈a ，b 〉为锐角时，|b |cos 〈a ，b 〉>0；当〈a ，b 〉为钝角时，|b |cos 〈a ，b 〉<0；当〈a ，b 〉=π2时，|b |cos 〈a ，b 〉=0． 若用a 0表示与向量a (a ≠0)同方向的单位向量，则向量b 在向量a 方向上的投影向量为OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|b |cos 〈a ，b 〉a 0．因此，称|b |cos 〈a ，b 〉为投影向量OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的数量，简称为向量b 在向量a 方向上的投影数量．结合空间向量数量积的定义可知：向量b 在向量a 方向上的投影数量为|b |cos 〈a ，b 〉=a·b|a |=a 0·b ．设计意图：类比平面向量，得出空间向量的数量积运算，进一步引导学生对空间向量数量积运算的运算律进行推广．三、应用举例例1：如图，已知单位正方体ABCD −A′B′C′D′，（1）指出向量CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别在CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量； （2）求向量CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在CB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量； （3）求向量CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量．解：（1）根据正方体的性质知：A′B ⊥CB ，A′D ⊥CD ，A′C′⊥CC′，所以向量CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD⃗⃗⃗⃗⃗ ，CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量分别为：CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；（2）因为〈CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=∠A′CB ，所以向量CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为： |CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠A′CB =|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1； （3）因为〈CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=π−∠A′CB ，所以向量CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为： |CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos (π−∠A′CB )=−|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−1． 例2：如图，已知四棱柱ABCD −A′B′C′D′的底面ABCD 是边长为1的菱形，且∠C′CB =∠C′CD =∠BCD =π3，DD′=2．求：（1）DD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ；（2）DD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )；（3）|CB⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |．解：（1）因为∠D′DA =∠C′CB =π3，所以DD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =|DD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠D′DA =1； （2）因为DD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，而CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠C′CD =1， CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠C′CB =1， 所以DD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CC ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1−1=0； （3）|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD⃗⃗⃗⃗⃗ +CC ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =√CB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√11． 总结：空间向量数量积的计算问题的解题思路1．在几何体中求空间向量数量积的步骤：(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；(3)代入a ·b =|a |·|b |cos 〈a ，b 〉求解．2．长方体、四面体等是研究空间向量的常见载体，要熟悉其结构特点，善于挖掘隐含的垂直关系或特殊角等．四、课堂练习1.（多选）设a ，b 为空间中的两个非零向量，则下列各式正确的是( )A ． a 2=|a |2B ．a·b a 2=b aC ．(a ·b )2=a 2·b 2D ．(a −b )2=a 2−2a ·b +b 22.已知|a |=3，|b |=2，a ·b =−3，则〈a ，b 〉=________．3.如图，在长方体ABCD −A′B′C′D′中，已知|AB |=5，|AD |=4，|AA′|=3，则向量AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗在DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为________，向量AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向的投影数量为________．参考答案：1．解：a·ba 2=|a ||b |cos 〈a ，b 〉|a ||a |=|b |cos 〈a ，b 〉|a |，故B 错误； (a ·b )2=(|a ||b |cos 〈a ，b 〉)2=|a |2|b |2cos 2〈a ，b 〉，故C 错误；本题选AD ．2.解：因为cos 〈a ，b 〉=a·b |a |·|b |=−33×2=−12．所以〈a ，b 〉=2π3．3.解：向量AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为|AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos (π−∠C′AD )=−|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−4， 向量AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向的投影数量为：|AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠C′AA′=|AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3． 五、课堂小结说明：空间向量没有除法运算；空间向量的数量积不满足结合律.设计意图：引导学生对本节课所学知识方法有一个全面的认识，培养学生的归纳总结能力，帮助学生深化对知识的理解与掌握，体会研究解决实际问题的思路、途径、方法，为进一步学习打下坚实基础．六、布置作业教材第103页练习第2，3，4题．。
[推荐学习]高中数学 3.1 空间向量及其运算2教案 北师大版选修2-1
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空间向量及其运算（2）一、课题：空间向量及其运算（2）二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用． 四、教学过程：（一）复习：空间向量的概念及表示； （二）新课讲解：1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
读作：a 平行于b ，记作：//a b ． 2．共线向量定理：对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠的充要条件是存在实数λ，使a b λ=（λ唯一）． 推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式OP OA t AB =+①，其中向量a 叫做直线l 的方向向量。
在l 上取AB a =，则①式可化为OP OA t AB =+或(1)OP t OA tOB =-+②当12t =时，点P 是线段AB 的中点，此时1()2OP OA OB =+③ ①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB 的中点公式．3．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作O A a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 说明：空间任意的两向量都是共面的． 4．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+．推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++① 上面①式叫做平面MAB 的向量表达式．（三）例题分析：例1．已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC =++， alPBAOa aα试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？ 解：由题意：522OP OA OB OC =++，∴()2()2()OP OA OB OP OC OP -=-+-， ∴22AP PB PC =+，即22PA PB PC =--， 所以，点P 与,,A B C 共面．说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算． 【练习】：对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，问满足向量式OP xOA yOB zOC =++（其中1x y z ++=）的四点,,,P A B C 是否共面？ 解：∵(1)OP z y OA yOB zOC =--++，∴()()OP OA y OB OA z OC OA -=-+-， ∴AP yAB zAC =+，∴点P 与点,,A B C 共面．例2．已知ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量,,,OE kOA OF KOB OG kOC OH kOD ====，（1）求证：四点,,,E F G H 共面； （2）平面AC //平面EG ．解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD =+，∵EG OG OE =-，()()()k OC k OA k OC OA k AC k AB AD k OB OA OD OA OF OE OH OE EF EH=⋅-⋅=-==+=-+-=-+-=+∴,,,E F G H 共面；（2）∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=⋅，又∵EG k AC =⋅，∴//,//EF AB EG AC 所以，平面//AC 平面EG ．E五、课堂练习：课本第96页练习第1、2、3题．六、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．七、作业：1．已知两个非零向量21,e e 不共线，如果21AB e e =+，2128AC e e =+，2133AD e e =-，求证：,,,A B C D 共面．2．已知324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++，0a ≠，若//a b ，求实数,x y 的值。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-1 3.3空间向量运算的坐标表示》2
空间向量运算的坐标表示教学设计涡阳一中陈辉教材分析引入空间直角坐标系，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间，在学生学习了空间向量的几何形式和运算，以及基本定理的基础上进一步学习空间向量的坐标运算及其规律，是平面向量的坐标运算在空间推广和拓展，为运用向量坐标运算解决几何问题奠定了知识和方法基础学情分析学生在必修2中学习了立体几何初步以及在必修4中学习了平面向量的基础上学习空间向量及其运算，并利用平面向量解决立体几何中直线、平面位置关系的问题，本节课由平面向量推广到空间向量这一过程中，应注意维数增加对学生带来的影响，让学生感受数学概念推广可能带来很多更好的性质教学方法根据教材的特点和学生的实际情况，本节课采用“启发探究”式的教学方法：从教材内容来看，空间向量的坐标运算无论是结构还是内容都与平面向量相似，因此在教学中运用类比作为思维的主线进行教学，向量坐标运算规律的探索、证明和记忆都与平面向量作类比，让学生经历向量坐标运算由平面向量向空间向量的推广的全过程，充分体会数学知识的发生和发展过程三维目标1知识与技能：掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；掌握向量的长度公式、两向量夹角公式；并会应用这些知识解决简单的立体几何问题2过程与方法：让学生经历向量坐标运算由平面向空间向量推广的全过程，充分体会数学知识的发生和发展过程3情感态度与价值观：通过空间向量的坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探索能力，提高学生的科学思维素养教学重点1、掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示；2、掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式教学难点从平面向量运算的坐标表示类比到空间向量运算的坐标表示，用空间向量运算的坐标表示解决几何问题教学过程一、复习引入复习前面所学空间向量的运算及其解决的几何问题，类比平面向量的运算及其坐标表示的学习方法，引入本节课设计意图：复习平面向量相关知识，既是回顾，又为下面学习提供类比的方法二、新知探究探究点1 空间向量的运算的坐标表示由平面向量运算的坐标表示，让学生类比猜想出空间向量运算的坐标表示形式：设),,(),,,(222111z y x b z y x a == ，),,(212121z z y y x x b a +++=+→→则，),,(212121z z y y x x b a ---=-→→， ),,(111z y x a λλλλ=→，212121z z y y x x b a ++=⋅→→活动：分组让学生类比平面向量运算的坐标表示的推导过程，自己动手推导以上猜想，并个别展示共同总结得到： 空间向量运算的坐标表示 ),,(),,,(z y x b z y x a ==例在平面直角坐标系中，已知),(),,(2211y x B y x A ， ),(1212y y x x AB --=则，试用类比猜想，在空间直角坐标系中，已知),,(),,,(222111z y x B z y x A=AB 则探究点2 空间向量坐标运算的应用让学生自己动手类比平面向量坐标运算的应用得到：让学生自己动手推导，既让学生体会类比的学习方式，又有成就感，记忆清晰三、应用示例;3,2,)1(:).0,2,1(),2,3,1(.1b a a b a b a -+=--=求已知例 ).3())(2(b a b a -⋅+)1,1,0(),3,3,0()3()2,6,4(),1,3,2()2()1,2,1(),3,2,1()1(..2-=-=-=-==-=b a b a b a 或垂直判断下列向量是否平行例例3已知空间三点 ).3,1,2(),2,2,2(),1,1,1(-C B A 1求|||,|AC AB ；2求向量AC AB ,夹角的余弦值 设计意图：通过三个例子让学生熟练应用今天所学公式四、课堂小结1向量的加减、数乘和数量积运算的坐标表示；2两个向量的垂直、平行判定的坐标表示和长度及夹角公式五、布置作业课本P38 习题2-3 A组1,5（做在课本上）六、板书设计。
北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》word整章教案
北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》扶风县法门高中姚连省第一课时平面向量知识复习一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备二、教学重点：平面向量的基础知识。
教学难点：运用向量知识解决具体问题三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。
（二）、基本运算1、向量的运算及其性质运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则),(2121yyxxba++=+abba+=+)()(cbacba++=++ACBCAB=+向量的减法三角形法则),(2121yyxxba--=-)(baba-+=-BAAB-==-向量的乘法1a是一个向量,满足:2>0时,aλ与a同向;λ<0时,aλ与a异向;λ=0时, aλ=0),(yxaλλλ=aa)()(λμμλ=aaaμλμλ+=+)(babaλλλ+=+)(a∥babλ=⇔向 量 的 数 量 积b a ∙是一个数10=或0=b 时,b a ∙=020≠且0≠b 时,),cos(||||b a b a b a =∙2121y y x x b a +=∙a b b a ∙=∙)()()(b a b a b a ∙=∙=∙λλλc b c a c b a ∙+∙=∙+)(22||a a =22||y x a +=||||||b a b a ≤∙2、平面向量基本定理：如果21,e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使a =； 注意)(21+=,)1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示）4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则a b ⊥ 的充要条件是： ；（坐标表示）（三）、课堂练习1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( OB -OC )·(OB +OC －2OA )=0，则∆ABC 是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形2．P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心3．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 矩形 B ． 菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形4．已知||p = ||3q = ，p 、q 的夹角为45︒，则以52a p q =+ ，3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）A ．15B C ． 14 D ．165．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足=)||||AC AB ++λ，),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 （四）、作业布置1．设平面向量=(－2，1)，=(λ，-1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ） A ．),2()2,21(+∞- B ．),2(+∞ C ．),21(+∞- D ．)21,(--∞ 2．若()(),0,7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则上的投影为 。
高二数学选修2-1 空间向量的运算及空间向量的基本定理(精品)知识精讲
高二数学选修2－1 空间向量的运算及空间向量的基本定理 北师大版（理） 【本讲教育信息】 一、教学内容：选修2－1 空间向量的运算及空间向量的基本定理二、教学目标：1. 理解并掌握空间两个向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量、共面向量等基本概念。
2. 熟练地掌握空间向量的加减运算、数乘运算、空间向量坐标运算的运算法则、运算律及空间向量的数量积的几何意义及性质。
3. 熟练地掌握共线向量定理、空间向量的基本定理，并能利用它们讨论证明空间的线面关系。
4. 体会用类比的数学思想、方程的数学思想、等价转化的数学思想解决问题。
三、知识要点分析：（一）平面向量与空间向量的相同点：1. 向量夹角：过空间一点O 作AOB ,OB b ,OA a ∠==则是向量a 与向量b 的夹角。
X 围：[0，]π2. 加减运算：加减运算法则：向量的平行四边形法则（三角形法则） 运算律：结合律：)()(c b a c b a ++=++，交换律：a b b a +=+3. 数乘运算法则：向量a 与实数λ的乘积是一个向量，记作：a λ，满足（i ）||||λλ=a ||a ，（ii ）当0>λ时，a λ与a 方向相同，反之，相反。
0a 0=λ=λ时，。
运算律：（i ）).(,R a a ∈=λλλ（ii ）)R ,(,a a a )(,b a )b a (∈μλμ+λ=μ+λλ+λ=+λ.（iii ）),(),()(R a a ∈=μλμλλμ4. 空间向量的数量积：θ⋅=⋅cos |b ||a |b a 。
θ>=<b a ,。
运算律：交换律：a b b a ⋅=⋅分配律：c a b a )c b (a ⋅+⋅=+⋅，(λ)b a ⋅=b )a (⋅λ)b (a λ⋅=性质：（1）a a |a |⋅，（2）0b a b a =⋅⇔⊥，（3）|b ||a ||b a |⋅≤⋅注：向量的数量积运算不满足乘法的结合律。
高中数学选修2-1精品教案1：3.1.1 空间向量及其加减运算教学设计
3．1.1 空间向量及其加减运算教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：一.复习引入在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？那么，空间中的向量应该如何表示呢？其定义及运算与平面向量又有什么关系呢？二.思考分析李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住处．在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)．问题1：以上三个位移是同一个平面内的向量吗？提示：不是．问题2：如何刻画李老师行驶的位移？提示：借助于空间向量的运算．三.抽象概括空间向量表示法几何表示法 空间向量用有向线段表示.字母表示法用一个字母表示，如图，此向量的起点是A ，终点是B ，可记作a ，也可记作AB uu u r，其模记为|a |或|AB ―→|.几类特殊向量①零向量：规定长度为0的向量叫做零向量，记为0. ②单位向量：模为1的向量称为单位向量.③相反向量：与向量a 长度相等而方向相反的向量称为a 的相反向量，记为－a .④相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间向量的加减法 类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB uuu r ＝OA u u u r ＋AB uu u r＝a ＋b ；CA u u r ＝OA u u u r －OC uuu r ＝a －b .加法运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).般来说，向量不能比较大小．2．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行． 3．单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量．4．空间向量是可以平移的，空间中的任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示，所以空间任意两个向量是共面的． 四.例题分析及练习[例1] 下列说法中正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB uu u r ＋AD uuu r ＝AC uuur[思路点拨] 根据向量的概念及运算律两方面辨析．[精解详析] |a |＝|b |，说明a 与b 模相等，但方向不确定．对于a 的相反向量b ＝－a ，故|a |＝|b |，从而B 正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有ABuu u r＋AD uuu r ＝AC uuur ，只有在平行四边形中才能成立．故A 、C 、D 均不正确．[答案] B [感悟体会](1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键． 训练题组11．给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．1解析：零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，不一定起点相同、终点也相同，故②错；根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a 与b 的方向不一定相同，故③错；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错． 答案：D2．给出下列四个命题：(1)方向相反的两个向量是相反向量； (2)若a ，b 满足|a |>|b |且a ，b 同向，则a >b ； (3)不相等的两个空间向量的模必不相等； (4)对于任何向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |. 其中正确命题的序号为( )A ．(1)(2)(3)B ．(4)C ．(3)(4)D ．(1)(4)解析：对于(1)，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(1)错；对于(2)，向量是不能比较大小的，故不正确；对于(3)，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故(3)错；只有(4)正确． 答案：B3.如图，在长、宽、高分别为AB ＝4，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？ (2)写出模为5的所有向量． (3)试写出AA 1―→的相反向量．解：(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量1AA u u u r ，1A A u u u r ，1BB u u u r ，1B B u u u r ，1DD u u u u r ，1D D u u u u r ，1CC u u u r ，1C C u u u r共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)因为长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有1AD u u u u r ，1D A u u u r ，1C B u u u r ，1BC u u u r，1B C u u u r ，1CB u u u r ，1A D u u u r ，1DA u u u r .(3)向量1AA u u u r 的相反向量为1AA u u u r ，1B B u u u r ，1C C u u u r ，1D D u u u u r，共4个.[例2] 化简(AB uu u r －CD uuu r )－(AC uuu r －BD uuu r)．[思路点拨] 根据向量加减运算的法则进行，注意向量的起点、终点．[精解详析] 法一：∵AB uu u r －CD uuu r ＝AB uu u r ＋DC uuur ，∴(AB uu u r －CD uuu r )－(AC uuu r －BD uuu r )＝AB uu u r ＋DC uuu r －AC uuu r ＋BD uuu r＝AB uu u r ＋BD uuu r ＋DC uuu r ＋CA u u r ＝AD uuu r ＋DA uuu r＝0.法二：(AB uu u r －CD uuu r )－(AC uuu r －BD uuu r )＝AB uu u r －CD uuu r －AC uuu r ＋BD uuu r＝(AB uu u r －CD uuu r )＋(DC uuu r －DB uuu r)＝CB u u u r ＋BC uuu r ＝0.[感悟体会](1)掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范．(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． 训练题组24．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1DD u u u u r －AB uu u r ＋BC uuur 化简后的结果是( )A ．1BD u u u rB ．1D B u u u rC ．1BD u u u r D ．1DB u u u r解析：由正方体的性质可得1DD u u u u r －AB uu u r ＋BC uuur ＝1DD u u u u r －DC uuu r ＋BC uuu r ＝1CD u u u r ＋BC uuu r ＝1BD u u u r .答案：A5．已知空间四边形ABCD 中，AB ＝a ，CB u u u r ＝b ，AD uuu r＝c ，则CD uuu r 等于( )A ．a ＋b －cB ．－a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c解析：因为CD uuu r ＝CB u u u r ＋BA u u r ＋AD uuu r ＝CB u u u r －AB uu u r ＋AD uuu r＝b －a ＋c ，所以CD uuu r ＝－a ＋b ＋c .答案：C6.如图所示，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．(1) 'AA uuu r －CB u u ur ；(2) 'AA uuu r ＋AB uu u r ＋''B C u u u ur .解：(1) 'AA uuu r －CB u u u r ＝'AA uuu r －DA uuu r ＝'AA uuu r ＋AD uuu r ＝'AA uuu r ＋''A D u u u u r ＝'AD u u u u r.(2) 'AA uuu r ＋AB uu u r ＋''B C u u u u r ＝('AA uuu r ＋AB uu u r )＋''B C u u u u r ＝'AB uuu r＋B ′C ′＝'AC uuur .向量'AD u u u u r 、'AC uuur如图所示．五.课堂小结与归纳(1)空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全一样．(2)在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．如图，1OA u u u r ＋12A A u u u u r ＋23A A u u u u r ＋34A A u u u u r ＋45A A u u u u r ＋56A A u u u u r ＝6OA u u u r .即首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．求若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和． 六.当堂训练1．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与向量AD u u u r相等的向量共有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：与AD u u u r相等的向量有11A D u u u u r ，BC u u u r ，11B C u u u u r ，共3个．答案：C2．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，模与向量A B ''u u u u r 的模相等的向量有( )A ．7个B ．3个C ．5个D ．6个解析：|D C ''u u u u r |＝|DC u u u r |＝|C D ''u u u u r |＝|CD u u u r |＝|BA u u r |＝|AB u u u r |＝|B A ''u u u u r |＝|A B ''u u u u r|.答案：A3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为1BD u u u u r的是 ( )①(11A D u u u u r －1A A u u u r )－AB ②(BC u u u r ＋1BB u u u r )－11D C u u u u r ③(AD u u u r －AB u u u r)－1DD u u u u r ④(11B D u u u u r －1A A u u u r )＋1DD u u u u rA ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：①(11A D u u u u r －1A A u u u r )－AB u u u r ＝1AD u u u r －AB u u u r ＝1BD u u ur ； ②(BC u u u r ＋1BB u u u r )－11DC u u u u r ＝1BC u u u r －MN u u u r ＝1BD u u u r； ③(AD u u u r －AB u u u r )－1DD u u u u r ＝BD u u u r －1DD u u uu r ≠1BD u u u r ；④(11B D u u u u r －1A A u u u r )＋1DD u u u u r ＝1BD u u u r ＋1DD u u u u r .答案：A4．已知平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且OA u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，则BC u u u r＝( )A ．－a －bB ．a ＋b C.12a －b D ．2(a －b )解析：如图，∵OA u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，∴BO u u u r ＝－b ，OC u u u r ＝－a ，∴BC u u u r ＝BO u u u r ＋OC u u u r＝－b －a .答案：A5．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA u u r ＝a ，CB u u r ＝b ，1CC u u u r ＝c ，则1A B u u u r＝________.解析：1A B u u u r ＝1B B u u u r －11B A u u u u r ＝1B B u u u r －BA u u r ＝1B B u u ur －(CA u u r －CB u u r ) ＝－c －(a －b )＝－c －a ＋b . 答案：－c －a ＋b6．化简AB u u u r －AC u u u r ＋BC u u u r －BD u u u r －DA u u u r＝________.解析：AB u u u r －AC u u u r ＋BC u u u r －BD u u u r －DA u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u u r ＋CA u u r ＋AD u u u r ＋DB u u u r ＝AC u u ur ＋CA u u r ＋AD u u u r ＋DB u u u r ＝AB u u u r .答案：AB u u u r7.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1) CB u u r ＋1BA u u u r ； (2) AC u u u r ＋CB u u r ＋121AA u u u r ；(3) 1AA u u u r －AC u u ur －CB u u r .解：(1) CB u u r ＋1BA u u u r ＝1CA u u u r.(2)因为M 是BB 1的中点，所以BM u u u r ＝121BB u u ur .又1AA u u u r ＝1BB u u u r ，所以AC u u u r ＋CB u u r ＋121AA u u u r ＝AB u u u r ＋BM u u u r ＝AM u u u r.(3) 1AA u u u r －AC u u u r －CB u u r ＝1CA u u u r －CB u u r ＝1BA u u u r.向量1CA u u u r ，AM u u u r ，1BA u u u r如图所示．8．已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′.求证：AC u u u r ＋AB 'u u u r ＋AD 'u u u r＝2AC 'u u u r .证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴AC u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ，AB 'u u u r ＝AB u u u r ＋AA 'u u u r ， AD 'u u u r ＝AD u u u r ＋AA 'u u u r ， ∴AC u u u r ＋AB 'u u u r ＋AD 'u u u r＝(AB u u u r ＋AD u u u r )＋(AB u u u r ＋AA 'u u u r )＋(AD u u u r ＋AA 'u u u r )＝2(AB u u u r ＋AD u u u r ＋AA 'u u u r )．又∵AA 'u u u r ＝CC 'u u u r ，AD u u u r ＝BC u u u r ，∴AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u ur ＋CC 'u u u r ＝AC u u u r ＋CC 'u u u r ＝AC 'u u u r ，∴AC u u u r ＋AB 'u u u r ＋AD 'u u u r＝2AC 'u u u r .。
高中数学 空间向量的运算参考学案1 北师大版选修2-1
2.2 空间向量及其加减运算学习目标1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．学习过程一、课前准备（预习教材，找出疑惑之处）复习1：平面向量基本概念：具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， a 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ，和 共三种方法. 复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.2. 实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：(1)|λa |＝ .(2)当λ＞0时，λa 与A. ；当λ＜0时，λa 与A. ；当λ＝0时，λa ＝ .3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb二、新课导学学习探究探究任务一：空间向量的相关概念问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？新知：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中，OB = ， AB = ，试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求,.a b a b +- a .b2. 点C 在线段AB 上，且52AC CB =,则AC = AB , BC = AB . 反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？(1)加法交换律：A. + B. = B. + a ；(2)加法结合律：(A. + b ) + C. =A. + (B. + c )；(3)数乘分配律：λ(A. + b ) =λA. +λb ．典型例题例1 已知平行六面体''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：AB BC + ⑴；'AB AD AA ++ ⑵； 1'2AB AD CC ++ ⑶ 1(')2AB AD AA ++ ⑷．变式：在上图中，用',,AB AD AA 表示'',AC BD 和'DB .小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． 例2 化简下列各式：(1) AB BC CA ++ ;(2);AB MB BO OM +++(3);AB AC BD CD -+-(4) OA OD DC -- .变式：化简下列各式：(5) OA OC BO CO +++ ;(6) AB AD DC -- ;(7) NQ QP MN MP ++- .小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化.动手试试练1. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -, M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列表达式：(1) 111AA A B + ; (2) 11111122A B A D + ; (3) 111111122AA A B A D ++ (4) 1111AB BC CC C A A A ++++ .三、总结提升学习小结1. 空间向量基本概念；2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.当堂检测：1. 下列说法中正确的是（ ）A. 若∣a ∣=∣b ∣，则a ，b 的长度相同，方向相反或相同;B. 若a 与b 是相反向量，则∣a ∣=∣b ∣;C. 空间向量的减法满足结合律;D. 在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC += .2. 长方体''''ABCD A B C D -中，化简'''''AA A B A D ++ =3. 已知向量a ，b 是两个非零向量，00,a b 是与a ，b 同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ）A. 00a b =B. 00a b = 或00a b =-C. 01a =D. ∣0a ∣=∣0b ∣4. 在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+ ,则四边形是（ ）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 平行四边形5. 下列说法正确的是（ ）A. 零向量没有方向B. 空间向量不可以平行移动C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D. 同向且等长的有向线段表示同一向量课后作业1. 在三棱柱ABC-A'B'C'中，M,N 分别为BC ,B'C'的中点，化简下列式子：(1) AM + BN(2)'A N －'MC + 'BB2. 如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，点M 为AC 与的BD 的交点，AB a = ，AD b = ，1A A c = ，则下列向量中与1B M 相等的是（ ） A. 1122a b c -++B. 1122a b c ++ C. 1122a b c -+ D. 1122a b c --+。
北师大版数学选修2-1教案：第二章+空间向量与立体几何+复习与小结(1)
科目：数学 教师： 授课时间：第 周 星期 年 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任一点在直线l 上的充要条a 叫做直线OA t AB =+或)OP t OA tOB =+OA xOB yOC =+，其中x + y = 1．特别地，当2t =时，P 为推论：空间一点位于平面，P 、M 、A 、B 四点共面的充分yOA zOB +，其中1x y z ++=。
、如果三个向量a b c 、、不共面，那么对于空间任一向量，其中{a b c 、、}叫做空间的一个基底，都叫做基向量。
cos a b a b ⋅=⋅空间向量的数量积的性质：① cos ,a e a a e ⋅=<>2a cos ,ab a b a b⋅<>=⋅空间向量的数量积的运算律：①)()a b a b λ⋅=⋅（结合律）、向量的直角坐标运算：设a =123112233(,,)//,a a a a a a a b a b a b a b b a b a b a b a b λλ=⋅=+++=+++⇔==⊥⇔111(,,)A x y z ，则((2cos AB x y y a b =+-<⋅（二）基本方法列出两个关于的三元一次方程组，取这个方程组的一组非零解即得平面的一个法向量线面角的求法：设n 是平面AB n⋅② 设12,n n 12n n ⋅（或其补角）的大小。
AB n n⋅。
作 课本 56精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
2-2空间向量的运算课件(北师大版选修2-1)
＋2×
－12ab
＝2a2－
2ab＋b2.
∴AC1的长|A→C1|＝ 2a2－2ab＋b2.(4分)
(2)证明 ∵B→D＝A→D－A→B＝－a＋b， ∴A→C1·B→D＝(a＋b＋c)·(－a＋b)＝－a2＋b2－a·c＋b·c. ∵a·c＝b·c，∴A→C1·B→D＝－a2＋a2＝0. ∴A→C1⊥B→D.∴AC1⊥BD.(8分) (3)解 ∵A→C＝A→B＋B→C，B→D1＝B→A＋A→A1＋A→1D1， ∴A→C＝a＋b，B→D1＝－a＋b＋c， ∴A→C·B→D1＝(a＋b)·(－a＋b＋c)＝－a2＋b2＋a·c＋
(1)解
∵
→ AC1
＝
→ AB
＋
→ BC
＋
→ CC1
，又∵
→ AB
＝a，
→ BC
＝
→ AD
＝b，
C→C1＝A→A1＝c，∴A→C1＝a＋b＋c.
又∵|
→ AC1
|2＝
→ AC1
2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋
2b·c，
∴|
→ AC1
|2＝a2＋a2＋b2＋2×0＋2×
－12ab
题型三 空间向量数量积的基本运算 【例 3】 已知空间向量 a、b，且〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b| ＝4，求：(1)a·b；(2)(3a－2b)·(a＋2b)．
[思路探索] 利用空间向量数量积的定义式 a·b＝|a||b|·cos θ及
其运算律，直接代入公式进行计算．
解 (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×4×cos 120°＝－6. (2)由(1)知：a·b＝－6； 所以：(3a－2b)·(a＋2b)＝3|a|2＋4a·b－4|b|2＝3×32＋4×(－6) －4×42＝27－24－64＝－61. 规律方法 本例是对数量积定义式的直接应用，求向量的数量 积关键是求出两个向量的模和夹角，表示向量的夹角时应注意 方向性，同时要合理地应用数量积的运算律．
高中数学选修2-1北师大版 空间向量与立体几何复习与小结参考教案1
空间向量与立体几何复习与小结教案一、教学目标：1、掌握空间向量的概念、运算及其应用；2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。
二、重难点分析：本课的主要内容有：空间向量及其运算和空间向量的应用两部分．1、空间向量及其运算：重点：向量的线性运算和数量积运算及其应用。
难点：空间向量的共线条件、共面条件和空间向量的分解定理。
理解了这些定理就能很好地掌握向量的各种知识及其关系．（1）空间向量的线性运算：重点：空间向量的运算和运算律；难点：应用向量解决立体几何中的问题．平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间内的平移，空间任意两个向量都是共面向量，因此空间向量加法、减法、数乘向量的意义及运算律与平面向量类似。
（2）空间向量基本定理：重点：空间向量共线和共面的条件，空间向量分解定理。
难点：对这些定理条件的理解与运用、空间向量分解定理的作图。
（3）两个向量的数量积：重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用。
难点：两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题。
由于空间任意两个向量都可转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同。
（4）空间向量的直角坐标运算：重点：向量的坐标运算、夹角公式、距离公式、空间向量平行和垂直的条件。
难点：向量坐标的确定、公式的应用。
2、空间向量的应用重点：直线的方向向量与直线的向量方程；平面的法向量与平面的向量表示；直线与平面的夹角；二面角及其度量；距离，难点：利用平面的法向量求直线与平面的夹角以及二面角、点到平面的距离。
（1）直线的方向向量与直线的向量方程：重点：直线的方向向量，平行关系的论证，用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角。
难点：直线的方向向量，平面α的共面向量的选取及其表示。
（2）直线与平面的夹角：重点：斜线和平面所成的角（或夹角）的求法。
难点：斜线与平面所成的角的求解，公式12cos cos cos θθθ=⋅的灵活运用。
数学：2.2空间向量及其运算(一) 教案 (北师大选修2--1)
2.2空间向量及其运算（一）教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样： AB OA OB +==a +b ， OA OB AB -=（指向被减向量）， =OP λa )(R ∈λ［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：⑴加法交换律：a + b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证）⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-Λ因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n Λ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BC AB +；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++说明：平行四边形ABCD平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．解：（见课本P27）说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．Ⅲ.巩固练习课本P92练习Ⅳ.教学反思平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．Ⅴ.课后作业⒈课本P106 1、2、⒉预习课本P92～P96，预习提纲：⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？教学后记：。
高中数学北师大版选修2-1第二章《空间向量的运算》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学北师大版选修2-1第二章《空间向量的运算》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律.
2.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.
3.通过对空间向量的运算的学习,了解并初步把握空间向量的运算意义及运算律,能解决简单的立体几何中的问题
4.培养学生知识迁移的能力,渗透数形结合的思想
2学情分析
学生已经学习了平面向量的运算和立体几何相关知识
3重点难点
重点:空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算;
难点:掌握空间向量的运算,并能解决立体几何中的简单问题
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【讲授】空间向量的运算
例1 如图,在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,AB→=a,AD→=b,AA′→=c,M是A′C′的中点,N是AB的中点.用a,b,c表示:
(1)A′M→;(2)AN→;(3)MN→
思考:
(1)用一个非零向量可以表示( )向量,反之…
(2)用两个不共线向量可以表示( )向量,反之…。
高中数学(北师大版)选修2-1教案：第2章 空间向量基本定理 参考教案
2.3.2 空间向量基本定理 教案一、教学目标：1．知识目标：掌握空间向量基底的概念；了解空间向量的基本定理及其推论；了解空间向量基本定理的证明。
2．能力目标：理解空间任一向量可用空间三个不共面向量唯一线性表示，会在平行六面体、四面体为背景的几何体中选用空间三个不共面向量作基底，表示其它向量。
会作空间任一向量的分解图。
类比平面向量的基本定理学习空间向量基本定理，培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。
3．情感目标：创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，开始就引起学生极大的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，体现新课程改革的理念之一，加强数学与生活实践的联系。
二、教学重难点：1.教学难点：空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量。
灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题。
2.教学重点：运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系。
三、教学方法：在多媒体和实物模型的环境下，学生分组自主与合作学习相结合，老师引导、参与学生活动和讨论的民主式的教学。
四、教学过程（一）、引入：对比平面向量的基本定理，生活实际需要向三维空间发展（播放美伊战争画面，地面的坦克如何瞄准空中的飞机画面），推广到空间向量的基本定理。
用向量来描述：若空间三个向量不共面，那么空间的任一向量都可以用这三个向量表示。
我们研究一下怎么表示。
（提示学生思考平面的任一向量怎么用平面向量的基底表示）学生：1e 、2e 是平面内两个不共线的向量，则该平面内的任一向量都可以表示为=λ11e +λ22e ，其中λ1、λ2是一对唯一的实数。
1A （二）、推广:请学生猜测推广到空间向量的基本定理如何？学生：空间向量的基本定理：如果空间三个向量、、不共面，则空间的任一向量都可表示为x +y +z 。
师：若猜想正确，则给出证明，若猜想不正确，先给出定理，再证明。
老师板演证明：设空间三个不共面的向量=，OB =b ，OC =c ，OP =是空间任一向量，过P作PD ∥OC 交平面OAB 于D ，则=+DP ，由空间两直线平行的充要条件知= z ，由平面 向量的基本定理知向量与、共面，则= x +y ，所以，存在x,y,z 使得=x a +y b + z c 。
最新-高中数学 22《空间向量的运算》课件 北师大版选修2-1 精品
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立 ．
例１已知平行六面体 ABCD A' B'C' D（' 如图），化简下列
向量表达式，并标出化简结果的向量
⑴AB BC；
⑵AB AD AA'；
⑶AB AD 1 CC' 2
⑷ 1 (AB AD AA' )． 3
推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在
有序实数对x、y，使 MP =xMA+y MB
或对空间任一点O，有OP= OM +x MA +y MB ①
平面MAB内，点P对应的实数对（x,y）是唯一的，①式 叫做平面MAB的向量表达式。
例2、对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，试问满足 向量关系式
OP OA t a ① 其中向量a叫做直线l的方向向量。
OP OA t AB OP (1 t)OA tOB ②
①或②式都叫做空间直线的向量参数方程
4．共面向量
（1）概念：已知平面α与 a向量，作 OA a ，如 果直线OA平行于平面α或在α内，那么我们说向量 a 平行于平面α，记作 a ∥α。
OP =x OA+y OB +ZOC (其中x+y+z=1)
的四点P、A、B、C是否共面
例3、已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量
OE=k OA ，OF =kOB ,OG =kOC ,OH OD
=k ,求证： ⑴四点E、F、G、H共面；
⑵平面EG∥平面AC。
O
D
C
A
Bபைடு நூலகம்
H
高中数学 第二章 空间向量与立体几何教案 北师大版选修2-1
第二章空间向量与立体几何§1从平面向量到空间向量(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解空间向量的概念．(2)掌握空间向量的两种表示法．(3)掌握两个空间向量的夹角、空间向量的方向向量和平面的法向量的概念．2．过程与方法通过从平面向量到空间向量的教学，掌握类比的学习方法，培养学生迁移的能力．3．情感、态度与价值观学会用发展的眼光看问题，会用联系的观点看待事物．●重点难点重点：使学生理解两空间向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量等概念．难点：准确找出已知平面的法向量．对于空间向量的有关概念，可通过与平面向量的相应概念的类比进行教学．对于本节课的难点，则可设置一些递进式的问题，采用启发、诱导、合作探究的方式，引导学生分析比较，在探索中，总结寻找平面法向量的方法．(教师用书独具)●教学建议在教学中，可采用以问题为主线，以小组合作探究为主体，学生自我展示、老师适当点拨为辅助的教学模式：本节课的核心是空间向量相关概念的生成，在教学中，应始终渗透一种由已知类比探究未知，由特殊到一般的认识事物的方法；通过问题设置让学生主动参于、积极思考、认真探究，积极引导他们学会合作与交流，进而逐步将知识内化为自身的认知结构．●教学流程通过类比引入概念⇒通过概括形成概念⇒通过辨析深化概念⇒通过例题应用概念⇒反馈矫正归纳小结课标解读1.了解空间向量的有关概念．(重点)2．理解直线的方向向量和平面的法向量．(重点)3．会求简单空间向量的夹角．(难点)空间向量的概念1．空间中任意两个向量是共面向量吗？【提示】是．2．问题1中的结论，对你学习空间向量有什么启发？【提示】由问题1的结论可知，空间向量的平行、垂直、夹角等概念应与平面向量中相应概念的定义相同．空间向量的概念定义在空间中，既有大小又有方向的量，叫作空间向量表示方法①用有向线段AB →表示，A 叫作向量的起点，B 叫作向量的终点 ②用 a\s\up12(→)), b\s\up12(→)), c\s\up12(→))或a ，b ，c表示自由向量数学中所讨论的向量与向量的起点无关，称之为自由向量长度或模 与平面向量一样，空间向量AB →或a 的大小也叫作向量的长度或模，用|AB →|或|a |表示夹角定义如图，两非零向量a ，b ，过空间中任意一点O ，作向量a ，b 的相等向量OA →和OB →，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉范围 规定0≤〈a ，b 〉≤π向量垂直 当〈a ，b 〉＝π2时，向量a 与b 垂直，记作a ⊥b向量平行当〈a ，b 〉＝0或π时，向量a 与b 平行，记作a ∥b向量与直线、平面【问题导思】1．给定空间中任意一点A 和非零向量a ，可以确定唯一一条过点A 且平行于向量a 的直线吗？可以确定唯一一条过点A 且垂直于向量a 的直线吗？【提示】 可以，不可以．2．给定空间中任意一点A 和非零向量a ，可以确定唯一一个过点A 且垂直于向量a 的平面吗？可以确定唯一一个过点A 且平行于向量a 的平面吗？【提示】 可以，不可以． 1．直线的方向向量设l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →为直线l 的方向向量． 2．平面的法向量如果直线l 垂直于平面α，那么把直线l 的方向向量a 叫作平面α的法向量.空间向量的有关概念 图2－1－1如图2－1－1所示，在正六棱柱ABCDEF －A ′B ′C ′D ′E ′F ′中，(1)与AB →相等的向量有哪些？ (2)BD →与E ′A ′→是相反向量吗？ (3)与AD →平行的向量有多少个？【思路探究】 根据正六棱柱的结构特征，分析各线段的相互关系，从而得到向量之间的关系．【自主解答】 (1)CD →，A ′B ′→，E ′D ′→. (2)是 (3)11个．以几何体为载体给出向量时，要注意结合几何体的结构特征来分析向量之间的关系．图2－1－2如图2－1－2所示已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′. (1)写出与BB ′→相等的向量；(2)写出与AB →相反的向量； (3)与AB →平行的向量共有多少个？ 【解】 (1)AA ′→，CC ′→，DD ′→. (2)BA →，CD →，C ′D ′→，B ′A ′→. (3)7个．直线的方向向量与平面的法向量 图2－1－3如图2－1－3所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，(1)分别给出直线AA 1，BD 的一个方向向量；(2)分别给出平面ADD 1A 1，平面BB 1D 1D 的一个法向量． 【思路探究】 根据方向向量与法向量的定义直按写出即可．【自主解答】 (1)直线AA 1的一个方向向量可为BB 1→、AA 1→、CC 1→、DD 1→、A 1A →、B 1B →、C 1C →、D 1D →中的任一个，直线BD 的一个方向向量可为B 1D 1→、BD →、DB →、D 1B 1→中的任一个．(2)平面ADD 1A 1的一个法向量可为AB →、DC →、A 1B 1→、D 1C 1→、BA →、CD →、B 1A 1→、C 1D 1→中的任一个． 平面BB 1D 1D 的一个法向量可为AC →、CA →、A 1C 1→、C 1A 1→中的任一个．找直线的方向向量要注意几何体中的平行关系；找平面的法向量要注意几何体中的垂直关系，特别是线面垂直关系．根据例2的条件，写出平面AB 1C 的一个法向量．【解】 如图，直线BD 1垂直于平面AB 1C ，即一个法向量为BD 1→.求空间向量的夹角 图2－1－4如图2－1－4在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中． (1)求〈BA 1→，CC 1→〉； (2)求〈BA 1→，B 1C 1→〉； (3)求〈BA 1→，AD 1→〉．【思路探究】 平移向量，使它们的起点相同，然后在三角形中求角．【自主解答】 (1)∵CC 1→∥BB 1→， ∴∠A 1BB 1为BA 1→，CC 1→所成的角， 在Rt △A 1BB 1中，A 1B 1＝B 1B ，∴∠A 1BB 1＝45°，即〈BA 1→，CC 1→〉＝45°. (2)∵B 1C 1→∥BC →，∴∠A 1BC 为BA 1→，B 1C 1→所成的角，又∵BC ⊥面A 1ABB 1，BA 1面A 1ABB 1，∴BC ⊥BA 1，即∠A 1BC ＝90°，∴〈BA 1→，B 1C 1→〉＝90°.(3)∵AD 1→∥BC 1→，∴∠A 1BC 1为BA 1→与AD 1→所成的角，在△A 1BC 1中，A 1B ＝BC 1＝A 1C 1.∴∠A 1BC 1＝60°，即〈BA 1→，AD 1→〉＝60°.1．解答本题的关键是平移向量，使它们的起点相同．2．求两个向量的夹角和求两条异面直线所成的角比较相似，就是采取平移的方法找到一个与另一向量相交的共线向量，进而转化为同一平面内的两条相交直线所成的角进行求解，在平移的过程中，要充分利用已知图形的特点，寻找线线平行，找出所求的角，这一过程可简单总结为：(1)找角，(2)在三角形中求角．3．在利用平面角求向量角时，要注意两种角的取值范围，线线角的范围是[0，π2]，而向量夹角的范围是[0，π]，比如〈a ，b 〉与〈－a ，b 〉两个角互补，而它们对应的线线角却是相等的．在本例中求(1)〈BA 1→，D 1C →〉； (2)〈BA 1→，D 1A →〉； (3)〈BA 1→，DA →〉．【解】 (1)BA 1→∥D 1C →，且BA 1→与D 1C →反向， ∴〈BA 1→，D 1C →〉＝π.(2)∵AD 1→∥BC 1→，且D 1A →与BC 1→反向， ∴〈BA 1→，D 1A →〉＝π－∠A 1BC 1，由例题知∠A 1BC 1＝π3，∴〈BA 1→，D 1A →〉＝2π3.(3)∵DA ⊥面A 1ABB 1，BA 1面A 1BB 1， ∴DA ⊥BA 1， ∴〈BA 1→，DA →〉＝π2.因思维定势致误在空间中，把单位向量的始点放置于同一点，则终点构成的图形是( )A ．点B ．直线C ．圆D ．球面【错解】 由于单位向量的模为单位长度，由圆的定义知：应选C. 【答案】 C【错因分析】 没考虑到空间与平面的不同，造成错误．【防范措施】 空间比平面多了一维，对于在平面向量中成立的结论，在空间中不一定成立．在学习空间向量时，要注意这一点．【正解】 由于单位向量的模为单位长度，由球面的定义知：应选D ． 【答案】 D1．在数学中所研究的向量是与起点无关的自由向量，可以设法将向量平移到同一起点上，然后再研究向量之间的夹角问题，如例3.2．若要证明一个向量是一条直线的方向向量，只要证明向量所在直线与直线平行即可；若要证明一个向量是一个平面的法向量，只要证明向量所在直线垂直于平面即可.1．若空间任意两个非零向量a ，b ，则|a |＝|b |，且a ∥b 是a ＝b 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 a ＝b ⇒|a |＝|b |，且a ∥b ；所以，必要；当b ＝－a 时，有|a |＝|b |且a ∥b ，但a ≠b ，所以，不充分．故选B ．【答案】 B图2－1－52．在正四面体A －BCD 中，如图2－1－5，〈AB →，DA →〉等于( ) A ．45° B ．60° C ．120°D ．90° 【解析】 〈AB →，DA →〉＝180°－ 〈AB →，AD →〉＝180°－60°＝120°.【答案】 C3．当两个平面平行时，它们的法向量________；当两个平面垂直时，它们的法向量________．【解析】 由于平面与其法向量垂直，所以，当两个平面平行时，它们的法向量平行；当两个平面垂直时，它们的法向量垂直．【答案】 平行 垂直图2－1－64．如图2－1－6在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中(1)给出平面ABC 1D 1的一个法向量；(2)试求〈C 1C →，AD 1→〉．【解】 (1)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， ∵AB ⊥平面AA 1D 1D ，A 1D 平面AA 1D 1D ， ∴AB ⊥A 1D ，又AD 1⊥A 1D ，AD 1∩AB ＝A ， ∴A 1D ⊥平面ABC 1D 1， ∴A 1D →是平面ABC 1D 1的一个法向量．(2)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，〈D 1D →，D 1A →〉＝45°， 又C 1C →＝D 1D →，∴〈C 1C →，D 1A →〉＝45°，∴〈C 1C →，AD 1→〉＝135°. 一、选择题1．若空间向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( ) A ．有不同的方向B ．有不相等的模C ．不可能是平行向量D ．不可能都是零向量【解析】 若a ＝0，b ＝0，则a ＝b ，这与已知矛盾，故选D ．【答案】 D图2－1－72．如图2－1－7所示，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，在下列选项中，CD →的相反向量是( )A.BA → B ．A 1C 1→C.A 1B 1→D ．AA 1→【解析】 由相反向量的定义可知，A 1B 1→是CD →的相反向量． 【答案】 C图2－1－83．在如图2－1－8所示的正三棱柱中，与〈AB →，AC →〉相等的是( ) A ．〈AB →，BC →〉 B ．〈BC →，CA →〉 C ．〈C 1B 1→，AC →〉 D ．〈BC →，B 1A 1→〉【解析】 ∵B 1A 1→＝BA →，∴〈BA →，BC →〉＝〈AB →，AC →〉＝〈BC →，B 1A 1→〉＝60°，故选D ． 【答案】 D4．在正三棱锥A BCD 中，E 、F 分别为棱AB ，CD 的中点，设〈EF →，AC →〉＝α，〈EF →，BD →〉＝β，则α＋β等于( )A.π6B ．π4C.π3 D ．π2【解析】 如图，取BC 的中点G ，连接EG 、FG ， 则EG ∥AC ，FG ∥BD ， 故∠FEG ＝α，∠EFG ＝β. ∵A －BCD 是正三棱锥， ∴AC ⊥BD ．∴EG ⊥FG ，即∠EGF ＝π2.∴α＋β＝∠FEG ＋∠EFG ＝π2. 【答案】 D5．如图2－1－9所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB 的方向向量有( )图2－1－9A ．8个B ．7个C ．6个D ．5个【解析】 与向量AB →平行的向量就是直线AB 的方向向量，有AB →，BA →，A 1B 1→，B 1A 1→，C 1D 1→，D 1C 1→，CD →，DC →，共8个，故选A.【答案】 A 二、填空题6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则向量CE →和BD →的夹角为________． 【解析】 ∵BD →为平面ACC 1A 1的法向量，而CE 在平面ACC 1A 1中， ∴BD →⊥CE →.∴〈BD →，CE →〉＝90°. 【答案】 90°7．下列命题正确的序号是________． ①若a ∥b ，〈b ，c 〉＝π4，则〈a ，c 〉＝π4.②若a ，b 是同一个平面的两个法向量，则a ＝B ． ③若空间向量a ，b ，c 满足a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . ④异面直线的方向向量不共线．【解析】 ①〈a ，c 〉＝π4或3π4，①错；②a ∥b ；②错；③当c ＝0时，推不出a ∥c ，③错；④由于异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，④对． 【答案】 ④8．在棱长为1的正方体中，S 表示所有顶点的集合，向量的集合P ＝{a |a ＝P 1P 2→，P 1，P 2∈S }，则在集合P 中模为3的向量的个数为________．【解析】 由棱长为1的正方体的四条体对角线长均为3知：在集合P 中模为3的向量的个数为8.【答案】 8 三、解答题图2－1－109．如图2－1－10所示，在长、宽、高分别为AB ＝3、AD ＝2、AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量； (3)试写出与AB →相等的所有向量．【解】 (1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→共8个．(3)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)共有A 1B 1→，DC →及D 1C 1→3个．图2－1－1110．如图2－1－11所示，正四棱锥S －ABCD 中，O 为底面中心，求平面SBD 的法向量与AD →的夹角．【解】 ∵正四棱锥底面为正方形， ∴BD ⊥AC ，SO ⊥AC 又∵BD ∩SO ＝O ∴AC ⊥平面SBD ．∴AC →为平面SBD 的一个法向量．∴〈AC →，AD →〉＝45°.图2－1－1211．如图2－1－12，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形且PD ＝AD ，E 、F 分别是PC 、PB 的中点．(1)试以F 为起点作直线DE 的一个方向向量； (2)试以F 为起点作平面PBC 的一个法向量． 【解】 (1)取AD 的中点M ，连接MF ，连接EF ，∵E 、F 分别是PC 、PB 的中点，∴EF 綊12BC ，又BC 綊AD ，∴EF 綊12AD ，则由EF 綊DM 知四边形DEFM 是平行四边形， ∴MF ∥DE ，∴FM →就是直线DE 的一个方向向量． (2)∵PD ⊥平面ABCD ， ∴PD ⊥BC ， 又BC ⊥CD ， ∴BC ⊥平面PCD ， ∵DE 平面PCD ，∴DE ⊥BC ，又PD ＝CD ，E 为PC 中点， ∴DE ⊥PC ，从而DE ⊥平面PBC ，∴DE →是平面PBC 的一个法向量，由(1)可知FM →＝ED →， ∴FM →就是平面PBC 的一个法向量.(教师用书独具)判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．①若非零向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上； ②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB →＝DC →； ⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．【思路探究】 明确共线向量的定义；掌握单位向量的含义；理解零向量的特征． 【自主解答】 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →，CD →在同一条直线上．②不正确，单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同．③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的． ④不正确，因为A 、B 、C 、D 可能共线． ⑤正确，符合零向量的定义．⑥不正确，AC →与BC →共线，可能起点不同，但终点却相同．解此类题主要是透彻理解概念，对向量、零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、共面向量的概念特征及相互关系要把握好．下列命题是真命题的是( )A ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等且方向相同C ．若向量AB →，CD →满足|AB →|＞|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →＞CD →D ．若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →∥CD →【解析】 由AB →＋CD →＝0，得AB →＝－CD →，∴AB →与CD →是相反向量，∴AB →∥CD →. 【答案】 D§2空间向量的运算 (教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能(1)理解空间向量的概念，掌握其表示方法．(2)能用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律． (3)能用空间向量的运算意义及运算律解决立体几何中的简单问题． 2．过程与方法通过对空间向量的运算的学习，了解并初步把握空间向量的运算意义及运算律解决立体几何中的简单问题的方法．3．情感、态度与价值观培养学生知识迁移的能力，渗透数形结合思想． ●重点难点重点：空间向量的加、减、数乘与数量积的运算法则及运算律． 难点：用空间向量解决立体几何问题．突破难点：通过提问让学生类比平面向量去定义空间向量的加减法、数乘运算和数量积运算，让学生进一步体会空间向量与平面向量之间的关系，突出教学重点．初步应用空间向量的运算解决一些问题，平行六面体是空间向量加法运算的一个重要几何模型，需要加深对平行六面体的理解．突破难点．(教师用书独具)●教学建议1．以类比为教学方法：在学生原有的知识体系上，通过类比逐步引导学生从平面向量运算及其规律向空间向量的过渡，发现两者之间的内在联系．2．以学生为课堂主体：重视学生的自主参与能力，重视学生探究能力和创新能力的培养，激励学生积极思维，大胆思考，动手实践．3．以问题为教学线索：问题是数学的心脏，本课教学总是以问题的解决为线索．在教师的引导下，使学生的思维从问题开始，由问题深化．●教学流程 通过类比，引 入空间向量的运算―→通过探究活 动，认识空间向量的运算―→通过例题分 析，深化空间向量的运算―→通过练习，体 会空间向量 运算的应用课标解读1.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律．(重点)2．会利用两个空间向量共线的充要条件解决有关问题．(难点)3．能够利用空间向量的数量积的定义求两个向量的数量积．(重点)空间向量的运算1．平面向量的加法遵循怎样的运算法则？空间向量的加法也遵循该法则吗？ 【提示】 平面向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，空间向量的加法也遵循该法则．2．平面向量的加法满足结合律，空间向量的加法也满足结合律吗？试用图形加以说明． 【提示】 空间向量的加法满足结合律． (a ＋b )＋c ＝AC →＋CD →＝AD →＝AB →＋BD →＝a ＋(b ＋c )．3．空间向量的数量积与平面向量的数量积的定义一样吗？为什么？【提示】 一样．由于空间任意两个向量经平移后都可以在同一个平面内，因此，空间向量的数量积和平面中的情形完全一样．4. 平面向量的数量积满足分配律，空间向量的数量积也满足分配律吗？试用图形加以说明．【提示】 空间向量的数量积满足分配律．(a ＋b )·c ＝OB →·c ＝|OB ′→||c |＝(|OA ′→|＋|A ′B ′→|)|c |＝|OA →||c |＋|A ′B ′→||c |＝a ·c ＋b ·c .空间向量 的运算定义(或法则)运算律空间向量的加减法加法设a 和b 是空间两个向量，过一点O 作a 和b 的相等向量OA →和OB →，根据平面向量加法的平行四边形法则，平行四边形的对角线OC 对应的向量OC →就是a 与b 的和，记作a ＋b ，如图所示①结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )；②交换律：a ＋b ＝b ＋a减法与平面向量类似，a 与b 的差定义为a ＋(－b )，记作a －b ，其中－b 是b 的相反向量空间向量 的数乘空间向量a 与一个实数λ的乘积是一个向量，记作λa ，满足：①|λa |＝|λ||a |②当λ＞0时，λa 与a 方向相同； 当λ＜0时，λa 与a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0①λa ＝a λ(λ∈R ) ②λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ＋μ)a ＝λa ＋μb (λ∈R ，μ∈R )③(λμ)a ＝λ(μa )(λ∈R ，μ∈R ).空间向量 的数量积空间两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b①交换律：a ·b ＝b ·a②分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b＋a ·c③λ(a ·b )＝(λa )·b (λ∈R )与数量积 有关的 结论①|a |＝a ·a ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0③cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |(a ≠0，b ≠0)共线向量定理【问题导思】1．在平面向量中，什么是共线向量？【提示】 表示向量的两有向线段所在的直线平行或重合． 2．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则a ，b 共线吗？反之成立吗？【提示】 共线．反之，不一定成立，例如当a ≠0，b ＝0，实数λ不存在． 空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λB ．单位向量【问题导思】在平面向量中，与a 共线的单位向量有几个，分别是什么？【提示】 有2个，分别是a |a |与－a |a |. 对于任意一个非零向量a ，我们把a |a |叫作向量a 的单位向量，记作a 0，a 0与a 同方向.空间向量的线性运算 图2－2－1如图2－2－1已知三棱锥A －BCD ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，化简下列各表达式．(1)AB →＋BC →＋CD →； (2)AB →＋12BD →＋12BC →；(3)AF →－12AB →－12AC →.【思路探究】 结合图形特点，利用空间向量的线性运算法则进行化简． 【自主解答】 (1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. (2)AB →＋12BD →＋12BC →＝AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BF →＝AF →.(3)AF →－12AB →－12AC →＝AF →－12(AB →＋AC →)＝AF →－AE →＝EF →.1．在例1中，利用向量加法的结合律以及数乘向量的分配律简化了计算．2．对向量式的化简，要结合图形，充分利用图形的性质．图2－2－2如图2－2－2，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点． (1)化简：A 1O →－12AB →－12AD →；(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，试用AB →，AD →，AA 1→表示EO →.【解】 (1)∵AB →＋AD →＝AC →，∴A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－12AC →＝A 1O →－AO →＝A 1A →.(2)EO →＝ED →＋DO →＝23D 1D →＋12DB →＝23D 1D →＋12(DA →＋AB →)＝23A 1A →＋12DA →＋12AB →＝12AB →－12AD →－23AA 1→.空间共线向量定理的应用 图2－2－3如图2－2－3四边形ABCD ，四边形ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线？【思路探究】 要判断CE →与MN →是否共线，由共线向量定理可判断是否存在实数x 使CE →＝xMN →.若存在，则CE →与MN →共线；否则，CE →与MN →不共线．【自主解答】 ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，而四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →. ∴CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)＝2MN →，即CE →＝2MN →. ∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．利用空间共线向量定理证明两直线平行是常用方法．证明两直线平行时，一方面要说明这两条直线的方向向量平行，另一方面要说明这两条直线不重合．图2－2－4如图2－2－4所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．【证明】 EF →＝A 1F →－A 1E →＝25A 1C →－23A 1D 1→ ＝25(A 1B 1→＋A 1D 1→＋A 1A →)－23A 1D 1→＝25A 1B 1→＋25A 1A →－415A 1D 1→. FB →＝A 1B →－A 1F →＝A 1B 1→＋A 1A →－25(A 1B 1→＋A 1D 1→＋A 1A →)＝35A 1B 1→＋35A 1A →－25A 1D 1→. ∴EF →＝23FB →，∴EF →∥FB →，又∵EF ∩FB ＝F ， ∴E ，F ，B 三点共线.空间向量的数量积 图2－2－5如图2－2－5所示，已知，空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a ，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点．求下列向量的数量积： (1)AB →·AC →；(2)AD →·BD →； (3)GF →·AC →；(4)EF →·BC →. 【思路探究】着眼点向量的模――→数量积的定义结果向量的夹角【自主解答】 (1)在空间四边形ABCD 中，|AB →|＝|AC →|＝a ， 且〈AB →，AC →〉＝60°， ∴AB →·AC →＝a ·a cos 60°＝12a 2.(2)|AD →|＝a ，|BD →|＝a ，〈AD →，BD →〉＝60°， ∴AD →·BD →＝|AD →|·|BD →|·cos〈AD →，BD →〉 ＝a 2cos 60°＝12a 2.(3)∵G 、F 分别为CD ，AD 的中点， ∴GF →＝12CA →＝－12AC →，∴GF →·AC →＝－12AC →2，∵AC →2＝a 2， ∴GF →·AC →＝－12a .(4)∵|EF →|＝12a 2，|BC →|＝a ，EF →∥BD →，∴〈EF →，BC →〉＝〈BC →，BD →〉＝60°， ∴BC →·EF →＝12a 2cos 60°＝14a 2.1．求空间向量的数量积可仿照平面向量的数量积的求法进行，注意观察空间向量的方向，正确求出其夹角．2．空间向量的数量积的应用主要有以下三个方面： (1)利用|a |＝a 2，求线段的长； (2)利用cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |，求两直线所成的角； (3)利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0，证明两直线垂直．已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′等于( )A ．85B ．85C ．5 2D ．50 【解析】 |AC ′→|＝ |AC ′→|2＝AB →＋AD →＋AA ′→2＝16＋9＋25＋2×4×5×12＋2×3×5×12＝85.【答案】 B计算数量积时夹角求错致误图2－2－6如图2－2－6已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则AB 1→·C 1B →＝( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1【错解】 AB 1→·C 1B →＝AB 1→·D 1A →＝(2)2cos 〈AB 1→，D 1A →〉＝2cos 60°＝2×12＝1.故选D ．【答案】 D【错因分析】 向量AB 1→与C 1B →的夹角求错致误．【防范措施】 求两向量夹角时，应使这两个向量同起点，当由于空间图形限制造成一个向量的起点与另一个向量终点重合时，例如本题中AB 1→与D 1A →，其夹角〈AB 1→，D 1A →〉＝π－∠D 1AB 1.【正解】 AB 1→·C 1B →＝AB 1→·D 1A →＝(2)2cos 〈AB 1→，D 1A →〉＝2cos(180°－60°)＝2cos 120°＝2×(－12)＝－1.故选C.【答案】 C1．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止．2．用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题，一般用向量共线定理；解决垂直问题一般可转化为求向量的数量积为零．3．灵活地应用向量的数量积公式是解决空间求模、求夹角的关键．图2－2－71．(2013·抚州高二检测)如图2－2－7所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1→＋D 1C 1→－BB 1→＝( )A.AB 1→ B ．DC →C.AD → D ．BA →【解析】 AA 1→＋D 1C 1→－BB 1→＝AA 1→＋A 1B 1→＋B 1B →＝AB 1→＋B 1B →＝AB →＝DC →. 【答案】 B2．已知|a |＝1，|b |＝2，且〈a ，b 〉＝120°，则|2a ＋b |＝( )A ．2B ．2 3C ．4D ．12 【解析】 |2a ＋b |＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝4|a |2＋4|a ||b |cos 〈a ，b 〉＋|b |2＝2. 【答案】 A3．正四面体ABCD 棱长为2，E 、F 分别为BC 、AD 中点，则EF 的长为________． 【解析】 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝2，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝π3.∴EF →＝AF →－AE →＝12c －12(b ＋a )＝12(c －b －a )．∴EF →2＝14(c 2＋b 2＋a 2－2b ·c －2c ·a ＋2a ·b )＝14×(4＋4＋4－4－4＋4)＝2，∴|EF →|＝2，即EF 的长为 2. 【答案】2图2－2－84．如图2－2－8所示，在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，请判断向量EF →与AD →＋BC →是否共线？【解】 EF →＝EB →＋BC →＋CF →＝AB →2＋BC →＋CD →2＝AB →＋2BC →＋CD →2＝AB →＋BC →＋CD →＋BC →2＝AD →＋BC→2＝12(AD →＋BC →)， ∴EF →与AD →＋BC →共线. 一、选择题1．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列式子中与B 1M →相等的是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c 【解析】 B 1M →＝B 1B →＋BM →＝c ＋12BD →＝c ＋12B 1D 1→＝c ＋12b －12a ，故选A.【答案】 A2．a ，b 是两个非零向量，现给出以下命题： ①a ·b ＞0⇔〈a ，b 〉∈[0，π2)； ②a ·b ＝0⇔〈a ，b 〉＝π2；③a ·b ＜0⇔〈a ，b 〉∈(π2，π]；④|a ·b |＝|a ||b |⇔〈a ，b 〉＝0.其中正确的命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【解析】 只有④是假命题，故选C. 【答案】 C3．空间四边形ABCD 的各边和对角线长均为1，E 是BC 的中点，那么( ) A.AE →·BC →＜AE →·CD → B ．AE →·BC →＝AE →·CD → C.AE →·BC →＞AE →·CD →D ．AE →·BC →与AE →·CD →不能比较大小 【解析】 ∵AE →⊥BC →， ∴AE →·BC →＝0. 又〈AE →，CD →〉＞90°，∴AE →·CD →＜0.∴AE →·BC →＞AE →·CD →. 【答案】 C4．已知点A ，B ，C ∈平面α，点P ∉α，则AP →·AB →＝0，且AP →·AC →＝0是AP →·BC →＝0的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【解析】 由⎩⎨⎧AP →·AB →＝0AP →·AC →＝0，得AP →·(AB →－AC →)＝0，即AP →·CB →＝0，亦即AP →·BC →＝0， 反之，若AP →·BC →＝0，则AP →·(AC →－AB →)＝0⇒AP →·AB →＝AP →·AC →，未必等于0. 【答案】 A图2－2－95．如图2－2－9所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos〈OA →，BC →〉的值为( )A.12 B ．22C ．－12D ．0【解析】 ∵OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →|·|OC →|cos 〈OA →，OC →〉－|OA →|·|OB →|·cos〈OA →，OB →〉 ∵OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3， ∴OA →·BC →＝0，即OA →⊥BC →，∴cos 〈OA →，BC →〉＝0. 【答案】 D 二、填空题6．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)【解析】 如图，E 为AD 的中点，根据向量的平行四边形法则，得OE →＝12(OA →＋OD →)，同理可得OD →＝12(OB →＋OC →)，∴OE →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .【答案】 12a ＋14b ＋14c图2－2－107．如图2－2－10，在45°的二面角α－l －β的棱上有两点A 、B ，点C 、D 分别在α、β内，且AC ⊥AB ，∠ABD ＝45°，AC ＝BD ＝AB ＝1，则CD 的长度为________．【解析】 由CD →＝CA →＋AB →＋BD →， cos 〈AC →，BD →〉＝cos 45°cos 45°＝12，∴|CD →|2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2(CA →·AB →＋AB →·BD →＋CA →·BD →) ＝3＋2×(0＋1×1×cos 135°＋1×1×cos 120°) ＝2－2，∴|CD →|＝2－ 2. 【答案】2－ 28．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为________．【解析】 如图设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°. AE →＝12(a ＋b )，AF →＝12c ，∴AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c ＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 【答案】 14a 2三、解答题图2－2－119．如图2－2－11所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1，A 1A 的中点，求证：EF →＋GH →＋PQ →＝0.【证明】 设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ， 则EF →＝12a ＋12b ，GH →＝－12c －12a ，PQ →＝－12b ＋12c ，∴EF →＋GH →＋PQ →＝12a ＋12b －12c －12a －12b ＋12c ＝0.10．在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC . 【证明】 如图由AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，得AB →·CD →＝0，AC →·BD →＝0， 又∵CD →＝AD →－AC →，BD →＝AD →－AB →，∴AB →·(AD →－AC →)＝0，AC →·(AD →－AB →)＝0， 即AB →·AD →－AB →·AC →＝0，AC →·AD →－AC →·AB →＝0， 两式相减得 AB →·AD →－AC →·AD →＝0，即(AB →－AC →)·AD →＝0， ∴BC →·AD →＝0， ∴BC →⊥AD →， ∴AD ⊥BC .图2－2－1211．如图2－2－12所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC 1⊥AB 1，BC 1⊥A 1C . 求证：AB 1＝A 1C .【证明】 ∵A 1C →＝A 1C 1→＋C 1C →，BC 1→＝BC →＋CC 1→，A 1C →·BC 1→＝(A 1C 1→＋C 1C →)·(BC →＋CC 1→)＝A 1C 1→·BC →－C 1C →2＝0， ∴C 1C →2＝A 1C 1→·BC →.同理AB 1→＝AB →＋BB 1→，BC 1→＝BB 1→＋B 1C 1→， AB 1→·BC 1→＝AB →·BC →＋CC 1→2＝0，∵C 1C →2＝A 1C 1→·BC →，∴AB →·BC →＋A 1C 1→·BC →＝0.又A 1C 1→＝AC →，∴BC →·(AB →＋AC →)＝0. 设D 为BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AD →， ∴2BC →·AD →＝0，∴BC ⊥AD ，∴AB ＝AC .又A 1A ＝B 1B ，∠A 1AC ＝∠ABB 1＝90°∴A 1C ＝AB 1.(教师用书独具)如图，设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心． 求证：AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)．【思路探究】 三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍．【自主解答】 连接BG ，延长后交CD 于点E . 由G 为△BCD 的重心，得BG →＝2GE →.且CE ＝ED ， ∵AG →－AB →＝2(AE →－AG →)∴AG →＝13AB →＋23AE →，2AE →＝AC →＋AD →2，∴AG →＝13AB →＋13(AC →＋AD →)＝13(AB →＋AC →＋AD →)．1．本题的求解运用了方程思想，先建立一个关于向量的等式BG →＝2GE →，再把这个等式用已知向量与未知向量表示，然后解出未知向量，注意该思想方法的应用．2．本例也是重心的一个性质，与A 在平面BCD 内时，也成立.若条件不变，试求BG →、CG →、DG →，并验证BG →＋CG →＋DG →＝0. 【解】 BG →＝AG →－AB →＝13(AB →＋AC →＋AD →)－AB →＝13(AC →＋AD →－2AB →)． 同理CG →＝13(AB →＋AD →－2AC →)，DG →＝13(AB →＋AC →－2AD →)，∴BG →＋CG →＋DG →＝13(AC →＋AD →－2AB →)＋13(AB →＋AD →－2AC →)＋13(AB →＋AC →－2AD →)＝0.§3向量的坐标表示和空间向量基本定理3．1 空间向量的标准正交分解与坐标表示 3．2 空间向量基本定理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解空间向量基本定理及其意义．(2)掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示．(3)会在简单问题中选用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量．(4)掌握空间向量长度与夹角的坐标表示．2．过程与方法从向量的几何表示到坐标表示，体会向量的几何和代数的双重特点．3．情感、态度与价值观从空间向量的正交分解到空间向量基本定理，体会从特殊到一般的辩证唯物主义观点．●重点难点重点：空间向量的正交分解与坐标表示．难点：向量坐标的确定及空间向量基本定理．空间向量的标准正交分解与空间向量基本定理是在平面向量的正交分解与平面向量基本定理的基础上，增加了一维，在学习本节内容时，一要进行类比；二要增强空间意识，最好借助长方体这个模型来理解有关规律．(教师用书独具)●教学建议在前面必修4中已学习了平面向量基本定理，所以将其拓展到空间引出空间共线向量定理是比较自然的；对于空间向量基本定理，有些学生只是从形式上加以记忆，缺乏对问题本质的理解，所以在教学中教师要不断地帮助学生进行反思，这也是改善学生的思维品质，提升学生的数学能力的一个途径，这一过程是隐性的、长期的，但也是必须的．●教学流程创设情境，引出问题：如何用坐标表示空间向量类比,平面向量的坐标表示空间向量的坐标表示类比,平面向量基本定理空间向量基本定理―→通过例题探究用基底表示空间向量的方法―→通过变式领会空间向量基本定理中唯一性的应用―→归纳总结，形成整体认识。
高中数学 空间向量运算的坐标表示参考教案 北师大版选修2-1
2.3.3 空间向量运算的坐标表示 教案一、教学目标：1．掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律，了解空间向量数量积的几何意义；2．掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离问题。
二、教学重点：空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律； 教学难点：用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离；三、教学方法：探究归纳，讲练结合；四、教学过程（一）、创设情景1、空间直角坐标系中的坐标；2、空间向量的直角坐标运算律；3、平面向量的数量积、夹角、模等概念。
（二）、探析新课数量积：（1）设b a ,是空间两个非零向量，我们把数量><,cos ||||叫作向量b a ,的数量积，记作b a ⋅，即 b a ⋅＝><b a b a ,cos ||||（2）夹角： 定义：,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作==,，则AOB ∠叫做向量与向量的夹角，记作><, 规定：π>≤≤<,0 特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果090,>=<b a ，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。
2cos ||||a b a b a b a ⋅⋅==⋅+ （3）运算律⋅=⋅；)()(a b b a ⋅=⋅λλ；c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)(（4）模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则2||a a a a =⋅=+，2||b b b b =⋅=+ （5）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB x ==，,A B d =（6）00212121=++⇔=⋅⇔⊥z z y y x x（7）与非零向量a 同方向的单位向量为：}cos ,cos ,{cos },,{1γβα===z y x a a a a a a a 0（三）、知识运用 1、例1已知)3,1,3(A ，(1,0,5)B ，求：（1）线段AB 的中点坐标和长度； （2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件解：（1）设M 是线段AB 的中点，则)23,3,2()(21=+=． ∴AB 的中点坐标是)23,3,2(， )3,4,2(-=AB 29)3(4)2(||222=-++-=．（2）∵ 点(,,)P x y z 到,A B 两点的距离相等，则222222)0()5()1()3()1()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x ,化简得：07684=++-z y x ,所以，到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件是07684=++-z y x ．点评：到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 构成的集合就是线段AB 的中垂面，若将点P 的坐标,,x y z 满足的条件07684=++-z y x 的系数构成一个向量)6,8,4(-=，发现与)3,4,2(-=AB 共线。
高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案
高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN空间向量及其运算课时分配:第一课空间向量及其加减运算 1个课时第二课空间向量的数乘运算 1个课时第三课空间向量的数量积运算 1个课时第四课空间向量运算的坐标表示1个课时3. 1.1 空间向量及其加减运算【教学目标】1．了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；2．理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；3．会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。
【教学重点】点在已知平面内的充要条件。
共线、共面定理及其应用。
【教学难点】对点在已知平面内的充要条件的理解与运用。
b a AB OA OB+=+=；b a OB OA BA-=-=；)(R a OP ∈=λλ3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。
4．平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量。
由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。
向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa 。
这个定理称为平面向量共线定理，要注意其中对向量a 的非零要求。
条有向线段来表示。
思考：运算律：（1）加法交换律：a b b a+=+ （2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(C BAOb bb aa a C'B'A'D'DABC数t 满足等式t OA OP +=a。
其中向量a 叫做直线l 的方向向量。
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2.2 空间向量的运算
一、教学目标：
1、知识目标：
(1)空间向量；
(2)相等的向量；
(3)空间向量的加减与数乘运算及运算律；
2、能力目标：
（1）理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
（2）会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
（3）能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
3、德育目标：
学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，
会用联系的观点看待事物．
二、教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．
教学难点：应用向量解决立体几何问题．
三、教学方法：讨论式．
四、教学过程
（Ⅰ）、复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？
［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．
［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：
⒈向量的加法：
⒉向量的减法：
⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.
［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律：加法交换律：a＋b＝b＋a；加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）；数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27．
（Ⅱ）新课探究：［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？
［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．
［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？
［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：==a+b，
OB+
AB
OA
OA OB AB -=（指向被减向量）， =OP λa )(R ∈λ ［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律． ［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律： ⑴加法交换律：a + b = b + a ；
⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证）
⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．
［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相
接的向量．
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向
量．即：
011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．
例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
；
⑴BC AB +
；⑵'AA AD AB ++ '2
1CC AD AB ++⑶ ．⑷)'(3
1AA AD AB ++ 说明：平行四边形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，
叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．
解：（见课本P27）说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．（Ⅲ）、课堂练习：课本P27练习
（Ⅳ）、课时小结：平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．
（Ⅴ）、课后作业：⒈课本习题2-1A组中3、4；B组中1
⒉预习课本P92～P96，预习提纲：⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？⑺空间一点P在平面MAB 内的充要条件是什么？
五、教后反思：。