三角形初步认识知识点及习题【最新】

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【单元复习】第1章三角形的初步认识(知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练)(考试版)

【高效培优】2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（浙教版）【单元复习】第1章三角形的初步认识（知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练）温馨提示：一分努力勤奋一份收获，必考重难点突破是培优最佳途径！知识精讲第1章三角形的初步认识一、三角形的基本概念：三角形：不在同一条直线上的三条线段首尾相接所组成的图形。

二、三角形的分类：（1）按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形（定义，区别）。

（2）按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。

三、三角形的基本性质：（1）三角形的内角和是180°。

（2）三角形的任何两边的和大于第三边（由两点之间线段最短得到）。

三角形的任何两边的差小于第三边三角形的任何两边之和大于第三边大于两边之差。

应用：知两条确定第三条范围；知三条判断能否组成三角形；知四条及以上（3）三角形的外角：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。

三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角的和（教材P7做一做）。

四、几条重要的线（1）三角形的角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和对边中点；三条角平分线都在三角形内且相交于一点；等量关系式∠1=∠2=二分之一∠α;（2）三角形的中线：连接一个顶点和它对边的中点的线段；三条中线都在三角形内且相交于一点；等量关系式AP=BP=二分之一AB 。

等积三角形；周长差三角形（3）三角形的高；从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线段。

锐角三角形的三条高在三角形的内部相交于一点。

直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，三条高在三角形的直角顶点处相交于一点。

钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，三条高在三角形的外部相交于一点。

会带来面积问题、直角、直角三角形（4）线段的垂直平分线(中垂线)：垂直并平分一条线段的直线。

中垂线性质：线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等。

逆定理：到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

初中三角形知识点总结(最新整理)

图形的初步认识：三角形考点一、三角形1、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

2、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

4、三角形的面积三角形的面积= 1 ×底×高2考点二、全等三角形1、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“S A S”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“A S A”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

（4）角角边定理：有两角和一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AA S”）。

直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有 HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“H L”）3、全等变换只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变全等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。

（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。

考点三、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

(完整版)人教版-八年级上册-三角形的知识点及题型总结

三角形的知识点及题型总结一、三角形的认识定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾按序相接所构成的图形。

分类：锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）按角分类直角三角形（有一个角是直角的三角形）钝角三角形（有一个角是钝角的三角形）三边都不相等的三角形按边分类等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形例题 1图1中共几个三角形。

例题 2以下说法正确的选项是（）A.三角形分为等边三角形和三边不相等三角形B.等边三角形不是等腰三角形C.等腰三角形是等边三角形D.三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形例题 3 已知a、b、c为△ABC的三边长，b、c知足(b-2)2＋|c－3|=0，且 a 为方程 |x －4|=2 的解 .求△ ABC的周长，并判断△ ABC的形状 .二、与三角形相关的边三边的关系：三角形的两边和大于第三边，两边的差小于第三边。

例题 1以以下各组数据为边长，能够成三角形的是（），4，5，4，8，7，10，4，5例题 2已知三角形的两边边长分别为4、5，则该三角形周长L 的范围是（）A.1<L<9B.9<L<14C.10<L<18D.没法确立课后练习：1、若三角形的两边长分别为5、8，则第三边可能是（）B. 62、等腰三角形的两边长分别为6、13，则它的周长为。

3、等腰三角形的两边长分别为4、已知三角形的两边长为 2 和4、5，则第三边长为。

4，为了使其周长是最小的整数，则第三边的为。

5、若等腰三角形的周长为13cm，此中一边长为 3cm，则等腰三角形的底边为（）D.7cm 或3cm6、依据以下已知条件，能独一画出△ABC的是（）A.AB=3，BC=4，AC=8B.AB=4，BC=3，∠ A=30°C.∠A=60°，∠ B=45°， AB=4D.∠C=90°， AB=68、用7 根火柴棒首尾按序相连摆成一个三角形，能摆成个不一样的三角形。

四年级三角形专题训练

四年级三角形专题训练一、三角形的认识基础题。

1. 由三条（）围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。

- 答案：线段。

- 解析：三角形的定义就是由三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形。

2. 三角形有（）条边，（）个角，（）个顶点。

- 答案：3，3，3。

- 解析：这是三角形的基本特征，三条边、三个角和三个顶点。

3. 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的（）。

- 答案：高。

- 解析：这是三角形高的定义，三角形的高是从一个顶点向对边作的垂线段。

4. 一个三角形有（）条高。

- 答案：3。

- 解析：因为三角形有三个顶点，过每个顶点都可以作对边的高，所以一个三角形有3条高。

二、三角形的分类题。

5. 三角形按角分类可以分为（）三角形、（）三角形和（）三角形。

- 答案：锐角、直角、钝角。

- 解析：锐角三角形是三个角都是锐角（小于90°）的三角形；直角三角形是有一个角是直角（等于90°）的三角形；钝角三角形是有一个角是钝角（大于90°小于180°）的三角形。

6. 一个三角形中最大的角是89°，这个三角形是（）三角形。

- 答案：锐角。

- 解析：因为最大角是89°，小于90°，所以三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形。

7. 一个三角形中至少有（）个锐角。

- 答案：2。

- 解析：直角三角形有2个锐角，钝角三角形也有2个锐角，锐角三角形有3个锐角，所以一个三角形至少有2个锐角。

8. 等腰三角形的两腰（），两个底角（）。

- 答案：相等，相等。

- 解析：这是等腰三角形的重要特征，两腰长度相等，两底角的度数相等。

9. 等边三角形的三条边（），三个角也（），每个角都是（）度。

- 答案：相等，相等，60。

- 解析：等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三条边都相等，根据三角形内角和是180°，三个角相等，所以每个角都是180°÷3 = 60°。

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三角形的初步认识知识重点透视一在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

1.在三角形ABC 中， AB=8， AC=7，则 BC边长的取值范围为______________.2.在一个三角形中，在边长分别为：5， 2m-1, 7 则 m 的取值范围为3.在三角形ABC 中， AB=6， AC=12， AD 是BC 边上的中线，则_____________. AD 的长的取范围是_______________.4.以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A． 2cm、 2cm、 4cm B．2cm 、 6cm、 3cmC．8cm 、 6cm、 3cm D． 11cm、 4cm 、 6cm5.用 12 根火柴棒 (等长 )拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是()A、 1B、 2C、3D、 4知识重点透视二角平分线的性质性质角平分线上的点到角两边的______相等角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的______判定上.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠ BOC 的依据是（）A、 SSSB、 ASAC、 AASD、角平分线上的点到角两边距离相等2.如图所示， D 是⊿ ABC 的角平分线BD 和 CD 的交点，若∠A=50°，则∠ D=（）A.120 °B.130 °C.115 °D110°3.如图，在Rt⊿ ABC 中，∠ C=90°，∠ BAC的平分线AD 交 BC 于点 D， CD=4，则点 D 到 AB的距离是 _____4.如图，已知⊿ ABC 中，∠ A=90°， AB=AC，CD平∠ ACB，DE⊥ BC 于 E，若 BC=15，则⊿DEB 的周长为 _______5.如图，点P 是∠ BAC 的平分线上一点，PB⊥ AB 于 B，且 PB=5cm，则 P 到 AC 边的距离是______cm。

2024年浙教版八年级上三角形初步知识：如何判断三角形,内角外角相关习题解析

习题L8-01：三角形基础（一）参考答案与试题解析1．三角形是指()A．由三条线段所组成的封闭图形B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形【答案】C2．下列说法正确的是()①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．A．①②B．③④C．①②③④D．①②④【答案】B【分析】③④正确．3．用下面的图表示图形之间的关系，不正确的是()A．B．C．D．【答案】D【分析】D、长方形包含正方形；4．小佳同学复习时将三角形按边长的等量关系整理成上表，请帮她在括号内填上一个适当的条件，该条件可以是．（填写一个条件即可）【答案】60B ∠=︒（答案不唯一）．【分析】根据等边三角形的判定定理填空即可．5．下列各组长度的三条线段能组成三角形的是( )A ．1，2，3B ．1，1，2C ．1，2，2D ．1，5，7 【答案】C6．三角形的三边长可以是( )A ．2，11，13B ．5，12，13C ．5，5，11D ．5，12，7 【答案】B7．设a ，b ，c 为ABC ∆的三边，化简||||||a b c a b c a b c −+−+−−−−= ．【分析】a 、b 、c 为ABC ∆的三边，0a b c ∴−+>，0a b c +−>，0a b c −−<， ||||||()()a b c a b c a b c a b c a b c a b c ∴−+−+−−−−=−+−+−+−−a b c a b c a b c =−+−−++−−3a b c =−+．8．已知线段5a =，3b =，线段c 与a 、b 构成三角形，则线段c 的长度的范围是( )A ．2c >B ．8c <C ．28c <<D ．无法确定【分析】线段5a =，3b =，线段c 与a 、b 构成三角形，∴线段c 的长度的范围是：5353c −<<+，即28c <<．9．若ABC ∆三条边长为a ，b ，c ，则()()a b c a c b +−−− 0（填“>”，“ =”或“<” )．【答案】<．10．如图，点O 是ABC ∆内的一点，证明：1()2OA OB OC AB BC CA ++>++．【分析】证明：ABO ∆中，OA OB AB +>，同理，OA OC CA +>，OB OC BC +>．2()OA OB OC AB BC CA ∴++>++，1()2OA OB OC AB BC CA ∴++>++．习题L8-02：三角形基础（二）参考答案与试题解析1．下列说法：①三角形的高、中线、角平分线都是线段；②三角形的三条中线都在三角形内部；③三角形的高有两条在三角形的外部，还有一条在三角形的内部；④如果点P是ABC∆的中线．其中正确的是(∆中AC边的中点，则PB是ABC)A．①②④B．①②③④C．①④D．①②【答案】A2．如图，在ABC∠=∠，BE交AD于点F．∆中，BD CD=，ABE CBE（1）是ABC∆的角平分线；（2）是ABD∆的角平分线；（3）是BCE∆的中线．【答案】（1）BE；（2）BF；（3）ED．3．下列判断正确的是()（1）平分三角形内角的射线叫三角形的角平分线；（2）三角形的中线、角平分线都是线段；（3）一个三角形有三条角平分线和三条中线；（4）三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．A．（1）（2）（3）（4）B．（2）（3）（4）C．（3）（4）D．（2）（3）【答案】D4．下列说法正确的个数是()①三条线段组成的图形叫三角形；②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；③三角形的角平分线是射线；④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】②⑤⑥正确．5．下列说法中：①锐角三角形中，角平分线的交点、中线的交点、高所在直线的交点都在三角形内部；②直角三角形中，角平分线的交点、中线的交点、高所在直线的交点都在三角形的直角顶点上；③钝角三角形中，角平分线的交点．中线的交点、高所在直线的交点都在三角形外部；④三角形中，角平分线的交点，中线的交点都在三角形内部；⑤锐角三角形中，高所在直线的交点在三角形内部；直角三角形中，高的交点在三角形直角顶点上；钝角三角形中，高的交点在三角形外部．其中，正确的说法有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】A【分析】①④正确；6．如图，AD 为ABC ∆的中线，ABD ∆的周长为23，ACD ∆的周长为18，AB AC >，则AB AC −为．【答案】5．【分析】AD 是ABC ∆的中线，BD DC ∴=．ABD∆的周长为23，ACD∆的周长为18，()23185 AB AD BD AC AD CD AB AD BD AC AD CD AB AC∴++−++=++−−−=−=−=. 7．如图，ABC∆中，AB AC>，AD为ABC∆的中线．（1）若AD将ABC∆的周长分为差是3cm的两部分，且7AB AC cm+=，求AB、AC 的长．（2）若ABC∆的周长为30cm，10AB cm=，7AD cm=，ACD∆周长是20cm，求AC 的长．【答案】（1）5cm，2cm，（2）6cm．【分析】（1）AD是ABC∆的中线，BD CD∴=．AB AC>，且AD将ABC∆的周长分为差是3cm的两部分，()3AB AD BD AC CD AD cm∴++−++=，3AB AC cm∴−=．7AB AC cm+=，5AB cm∴=，2AC cm=．（2）AD是ABC∆的中线，BD CD∴=．ABC∆的周长是30cm，10AB cm=，20BC AC cm∴+=．7AD cm=，ACD∆周长是20cm，13AC CD cm∴+=，即1132AC BC cm+=，14BC cm∴=，6AC cm∴=．8．如图，AD，BE，CF是ABC∆的三条中线，若ABC∆的周长是a cm．求AE CD BF++的值．【答案】2a AE CD BF cm ++=．【分析】AD 、BE 、CF 是ABC ∆的三条中线，12AF AB ∴=，12CD CB =，12BF AB =， 1()2AE CD BF AC BC AB ∴++=++，而ABC ∆的周长是acm ，2a AE CD BF cm ∴++=． 9．（1）下列图中，哪些具有稳定性？（2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．【答案】（1）①④⑥．（2）如图（答案不唯一）．10．如图（1），在四边形木条框架中，任意加连1根对角线木条，就能使框架的形状稳定．（1）判断下列说法是否正确（正确打“√”，错误打“⨯” )①在图（2）中任意加连2根对角线木条，都能使框架的形状稳定；②在图（3）中任意加连3根对角线木条，都能使框架的形状稳定．（2）图（4）是一个用螺钉将木条连接成的框架，颇具美感，对于它的形状是否稳定，下面有四种判断，其中正确的是．A、形状已经是稳定的B、至少还要加连一根木条才能稳定C、至少还要加连两根木条才能稳定D、至少还要加连三根木条才能稳定．【分析】（1）√，⨯（错误原因如下图所示）．（2）A．习题L8-03：三角形的内角参考答案与试题解析1．ABC∠∠∠=，则这个三角形是()A B C∆的三个内角::1:2:3A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【答案】C2．如图，在ABC∆沿CD折叠，点B落∠=︒，点D在AB上，将BDCACB∆中，90在AC边上的点B'处，若20∠'=︒，则AADB∠的度数为()A．20︒B．25︒C．35︒D．40︒【分析】90ACB∠=︒，∴∠+∠=︒，90A B∆翻折得到，∆'是由CDBCDB∴∠'=∠，CB D B∠'=∠+∠'=∠+︒，CB D A ADB A20∴∠+∠+︒=︒，A A2090解得35∠=︒．A3．如图，BE、CF是ABC∠的度数是()∠=︒，那么BDC∆的角平分线，且70AA．70︒B．115︒C．125︒D．145︒【分析】70A ∠=︒，180********ABC ACB A ∴∠+∠=︒−∠=︒−︒=︒， BE 、CF 是ABC ∆的角平分线，1()552EBC FCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒， 18055125BDC ∴∠=︒−︒=︒．4．如图，已知三角形ABC ，90ACB ∠=︒，90BCD B ∠+∠=︒，A ∠与BCD ∠有怎样的大小关系？说明你的理由．【分析】A BCD ∠=∠。

2024_2025学年八年级数学上学期期中核心考点专题01三角形的基础含解析新人教版

期中考点专题01 三角形的基础重点突破三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

三角形特性三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。

三角形按边分类：等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。

等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。

三角形三边的关系（重点（1）三角形的随意两边之和大于第三边。

三角形的随意两边之差小于第三边。

（这两个条件满意其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。

（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b三角形的分类：三角形按边的关系分类如下：三角形按角的关系分类如下：三角形的稳定性➢三角形具有稳定性➢四边形及多边形不具有稳定性要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。

考查题型考查题型一三角形的个数问题典例1．（2024·西林县期中）如图所示，其中三角形的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【提示】依据三角形的定义解答即可，由不在同始终线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.【详解】图中的三角形有：△ABC，△BCD，△BCE，△ABE，△CDE共5个.故选D.【名师点拨】本题考查了三角形的概念，由不在同始终线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻边的公共端点叫做三角形的顶点.相邻两条边组成的角，叫做三角形的内角，简称为三角形的角.变式1-1．（2024·秦皇岛市期中）图中三角形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】D【解析】图中的三角形有: △ABD, △ADE, △AEC, △ABE, △ADC, △ABC,共6个.故选D.变式1-2．（2024·洛阳市期末）图中三角形的个数是（）A．4个B．6个C．8个D．10个【答案】C【提示】依据三角形的定义即可得．【详解】图中的三角形是，共8个故选：C．【名师点拨】本题考查了三角形的定义，驾驭理解三角形的概念是解题关键．变式1-3．（2024·恩施市期中）如图，图中三角形的个数有（）A．6个B．8个C．10个D．12个【答案】B【解析】试题解析：以O为一个顶点的有△CBO、△CDO、△ABO、△ADO，不以O为顶点的三角形有△CAD、△CBA、△BCD、△BAD，共有8个．故选B.考查题型二三角形的分类典例2（2024·石家庄市期末）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形态是（）A．等边三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】D【解析】试题提示：依据三角形的内角和定理求出∠C，即可判定△ABC的形态．解：∵∠A=20°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，∴△ABC是钝角三角形．故选D．变式2-1．（2024·黄冈市期中）一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形肯定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】试题提示：依据三角形的内角和为180°，可知最大角为90°，因式这个三角形是直角三角形.故选B.变式2-2．（2024·深圳市期中）在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：3：5，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形态不确定【答案】C【提示】依据∠A：∠B：∠C=1：3：5，可设∠A=x°，∠B=3x°，∠C=5x°，再依据三角形内角和为180°可得方程x+3x+5x=180，解方程算出x的值，即可推断出△ABC的形态．【详解】解：∵∠A：∠B：∠C=1：3：5，∴设∠A=x°，∠B=3x°，∠C=5x°，∴x+3x+5x=180，解得：x=20，∴∠C=5×20°=100°，∴△ABC是钝角三角形．故选：C．【名师点拨】本题考查三角形内角和定理，关键是利用方程思想列出三个角的关系式．变式2-3．（2024·石家庄市期末）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型的是（）A．B．C．D．【答案】A【提示】依据三角形按角分类的方法一一推断即可．【详解】视察图象可知：选项B，D的三角形是钝角三角形，选项C中的三角形是锐角三角形，选项A中的三角形无法判定三角形的类型．故选A．【名师点拨】本题考查了三角形的分类，解题的关键是娴熟驾驭基本学问，属于中考常考题型．考查题型三构成三角形的条件典例3．（2024·宜兴市期末）下列各组线段不能组成三角形的是 ( )A．4cm、4cm、5cm B．4cm、6cm、11cmC．4cm、5cm、6cm D．5cm、12cm、13cm【答案】B【提示】依据三角形的随意两边之和大于第三边对各选项提示推断后利用解除法求解.【详解】A 、4485+=>，∴445cm cm cm 、、能组成三角形，故本选项错误；B 、461011+=<，∴4611cm cm cm 、、不能组成三角形，故本选项正确；C 、5496+=>，∴456cm cm cm 、、能组成三角形，故本选项错误；D 、5121713+=>，∴51213cm cm cm 、、能组成三角形，故本选项错误.故选：B .【名师点拨】本题考查了三角形的三边关系，是基础题，熟记三边关系是解题的关键.变式3-1．（2024·太仓市）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A ．12B ．15C ．12或15D ．18【答案】B【解析】试题提示：依据题意，要分状况探讨：①、3是腰；②、3是底．必需符合三角形三边的关系，随意两边之和大于第三边．解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不构成三角形，舍去．②若3是底，则腰是6，6．3+6＞6，符合条件．成立．∴C=3+6+6=15．故选B ．变式3-2．（2024·兰州市期末）等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则这个三角形的周长为( )A ．22B ．17C ．13D ．17或22【答案】A【提示】分4是腰长和底边两种状况探讨求解即可．【详解】解：4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9，∵4+4=8＜9，∴不能组成三角形，4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9，能组成三角形，周长=4+9+9=22，综上所述，该等腰三角形的周长为22．故选A ．【名师点拨】本题主要考查了三角形三边关系，难点在于分状况探讨并利用三角形的三边关系推断是否能组成三角形．cm cm长的两根木棒首尾相接成一个三角形的变式3-3．（2024·哈尔滨市期中）下列长度的四根木棒中，能与49，是（）A．4cm B．5cm C．9cm D．13cm【答案】C【提示】依据三角形三边关系：三角形随意两边之和大于第三边，逐一推断选项，即可.【详解】∵4+4<9，cm cm长的木棒首尾相接，不能组成三角形，∴4cm，49，∴A错误；∵5+4=9，cm cm长的木棒首尾相接，不能组成三角形，∴5cm，49，∴B错误；∵9+4>9，cm cm长的木棒能组成三角形，∴9cm，49，∴C正确；∵4+9=13，cm cm长的木棒，不能组成三角形，∴13cm，49，∴D错误；故选C.【名师点拨】本题主要考查三角形的三边关系，驾驭“三角形随意两边之和大于第三边”，是解题的关键.m-=，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，变式3-4．（2024·濮阳市期末）若实数m，n满意20则△ABC的周长是( )A．12 B．8 C．10 D．10或8【答案】C【提示】依据非负数的性质求出,m n的值，依据等腰三角形的性质求解即可.m-=【详解】20m n∴==2,4,当三角形的腰长为2时，224+=，构不成三角形；++=.当三角形的腰长为4时，三角形的周长为：44210故答案选：C.【名师点拨】考查非负数的性质以及等腰三角形的性质，驾驭三角形的三边关系是解题的关键.考查题型四三角形第三边的取值范围典例4．（2024·三明市期末）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）A．1 B．2 C．8 D．11【答案】C【提示】依据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可确定出第三边的范围，据此依据选项即可推断. 【详解】设第三边长为x，则有7-3<x<7+3，即4<x<10，视察只有C选项符合，故选 C.【名师点拨】本题考查了三角形三边的关系，娴熟驾驭三角形三边之间的关系是解题的关键.a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）变式4-1．（2024·龙岩市期中）若长度分别为,3,5A．1 B．2 C．3 D．8【答案】C【提示】依据三角形三边关系可得5﹣3＜a＜5+3，解不等式即可求解．【详解】由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，由此可得，符合条件的只有选项C，故选C．【名师点拨】本题考查了三角形三边关系，能依据三角形的三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3是解此题的关键，留意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．变式4-2．（2024·齐齐哈尔市期末）已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为A．2 B．3 C．5 D．13【答案】B【提示】依据“三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”，可得x的取值范围，一一推断可得答案. 【详解】解：依据“三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”可得:13-2<x<13+2,即11<x<15,因为取正整数,故x的取值为12、13、14,即这样的三角形共有3个.故本题正确答案为B.【名师点拨】本题主要考查构成三角形的三边的关系.变式4-3．（2024·广州市期中）一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（）A ．5或7B ．7或9C ．7D ．9【答案】B 【详解】依据三角形三边关系可得：5＜第三边＜11，依据第三边长为奇数，则第三边长为7或9．故选B.考查题型五三角形三边关系的应用典例5．（2024·德州市期末）已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【提示】依据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再依据第三边是整数，从而求得周长．【详解】设第三边为x ，依据三角形的三边关系，得：4-1＜x ＜4+1，即3＜x ＜5，∵x 为整数，∴x 的值为4．三角形的周长为1+4+4=9．故选C.【名师点拨】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．变式5-1．（2024·汕头市期中）已知a b c 、、是ABC ∆的三边长，化简a b c b a c +----的值是（）A ．2c -B ．22b c -C ．22a c -D ．22a b - 【答案】B【提示】依据三角形的三边关系“随意两边之和大于第三边，随意两边之差小于第三边”，得到a+b-c ＞0，b -a -c ＜0，再依据肯定值的性质进行化简计算.【详解】依据三角形的三边关系，得a+b-c>0，b -a -c <0.∴原式= a+b-c −(a +c −b)= 22b c -.故选择B 项.【名师点拨】本题考查三角形三边关系和肯定值，解题的关键是娴熟驾驭三角形三边关系.变式5-2．（2024·保定市期末）如图，为估计池塘岸边A ，B 的距离，小明在池塘的一侧选取一点O ，测得OA=15米，OB=10米，A ，B 间的距离可能是（）A．30米B．25米C．20米D．5米【答案】C【解析】设A，B间的距离为x．依据三角形的三边关系定理，得：15-10＜x＜15+10，解得：5＜x＜25，所以，A，B之间的距离可能是20m．故选C．变式5-3．（2024·滨州市期末）若（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．18【答案】B【提示】依据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a、b的值，依据等腰三角形的判定，可得三角形的腰，依据三角形的周长公式，可得答案．【详解】由（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，得a﹣3＝0，b﹣6＝0．则以a、b为边长的等腰三角形的腰长为6，底边长为3，周长为6+6+3＝15，故选B．【名师点拨】本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键．变式5-4．（2024·南开区期末）假如一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，则这个等腰三角形的腰长为（）A．13 B．5 C．5或13 D．1【答案】A【详解】设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，当底边长为x﹣12时，依据题意，2x+x﹣12=27，解得x=13，∴腰长为13；当底边长为x+12时，依据题意，2x+x+12=27，解得x=5，因为5+5＜17，所以构不成三角形，故这个等腰三角形的腰的长为13，故选A．考查题型六三角形的稳定性典例6．（2024·路北区期中）下列图形具有稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】A【提示】依据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行推断即可得．【详解】A、具有稳定性，符合题意；B、不具有稳定性，故不符合题意；C、不具有稳定性，故不符合题意；D、不具有稳定性，故不符合题意，故选A．【名师点拨】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确驾驭三角形的性质是解题关键．变式6-1．（2024·乌鲁木齐市期末）为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形具有稳定性D．两直线平行，内错角相等【答案】C【解析】试题提示：三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形态就不会变更．解：这样做的道理是三角形具有稳定性．故选：C．变式6-2．（2024·安阳市期末）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（）．A．0根B．1根C．2根D．3根【答案】B【解析】三角形具有稳定性，连接一条对角线，即可得到两个三角形，故选B变式6-3．（2024·济南市期末）如图，窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其所运用的几何原理是（）A．三角形的稳定性B．垂线段最短C．两点确定一条直线D．两点之间，线段最短【答案】A【提示】依据点A、B、O组成一个三角形，利用三角形的稳定性解答．【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形态，所以，主要运用的几何原理是三角形的稳定性．故答案选A.【名师点拨】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．变式6-4．（2024·深圳市期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的依据是( )A．两点之间的线段最短B．长方形的四个角都是直角C．三角形有稳定性D．长方形是轴对称图形【答案】C【详解】用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形的依据是三角形具有稳定性．故选：C．【名师点拨】本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用，是基础题．变式6-5．（2024·抚顺市期中）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．两直线平行，内错角相等D．三角形具有稳定性【答案】D【提示】依据三角形的稳定性解答即可．【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，故选：D．【名师点拨】此题考查三角形的性质，关键是依据三角形的稳定性解答．。

新浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题

新浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题本文介绍了八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》的知识点及典型例题。

其中，三角形按角分类分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按边的关系可分为等腰三角形、等边三角形和普通三角形。

文章还介绍了三角形的内角和定理、角平分线、重要线段中线和高线的定义、命题和证明步骤。

此外，文章还讲解了全等三角形、尺规作图、线段垂直平分线和角平分线的性质，以及如何利用这些知识点计算角度和线段长度。

最后，文章列举了八个考点，包括判断三条线段能否组成三角形、求三角形的某一边长或周长的取值范围、证明三角形全等等。

例题部分也包括了两个问题的解答。

1、正确画出AC边上的高的是（C）。

2、工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（B）三角形具有稳定性。

3、不能唯一作出直角三角形的是（C）已知一锐角及其邻边。

4、已知AD、BE、CF是△ABC的三条中线，相交于点O，设△BDO面积为1，则S△ABC=（6）。

5、在图中，由于AB=CD。

AD=BC，所以△ABO≌△CDO，△ABO与△CDO的对应顶点分别为AO和CO，所以全等三角形的对数为1，选项A。

6、根据中线定理可知，DF=EF=BF=AF=1/2AC，所以四边形DCEF是平行四边形，面积为AC的一半，即22.5cm，选项B。

7、根据角平分线定理可知，BP/PC=AB/AC，所以BP/AB=PC/AC，由此可得△BPC与△ABC相似，所以∠BPC=2∠A，选项A。

8、由于BD是BC边上的垂直平分线，所以BD=DC=4，由勾股定理可得AD=3，所以AB=5，所以ΔABD的周长为12，选项D。

9、将三角形按照图中的方式编号，可以发现只有第3块的形状与原来的三角形相同，所以应该带第3块去。

10、以B为顶点的外角为∠ABC=180°-∠A=130°，以C为顶点的外角为∠ACB=180°-∠A=130°，由于外角和等于360°，所以两个外角的平分线的夹角为130°/2=65°，选项A。

三角形(知识点+题型分类练习+基础检测+能力提高)

三角形章节复习全章知识点梳理：一、三角形基本概念1. 三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

2.3. 三角形三边的关系（重点）三角形的任意两边之和大于第三边。

三角形的任意两边之差小于第三边。

（这两个条件满足其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。

已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b解题方法：①数三角形的个数方法：分类，不要重复或者多余。

②给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形方法：最小边＋较小边＞最大边不用比较三遍，只需比较一遍即可③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边；直到找完为止，注意不要找重，也不要漏掉。

④已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围方法：第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b⑤给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。

二、三角形的高、中线与角平分线1. 三角形的高从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD叫做△ABC的边BC上的高。

三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。

2. 三角形的中线连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。

三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。

三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。

3. 三角形的角平分线∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。

要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。

三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。

初中数学知识点归纳精品教学-三角形初步认识知识点及练习题

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6.如图，将等边三角形 ABC 剪去一个角后，则∠1+∠2 的大小为（ A.120° B.180° C.200°
） D.240°
7.如图，一块三角形绿化园地，三个角都做有半径为 2R 的圆形喷水池，则这三个喷水池占去的绿化园地（即阴影部分）的面积为（ A. 2R
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21.如图,∠A=65 ， ∠B=75 ，将纸片的一角折叠，使点 C 落在△ABC 外，若∠2=20 则∠1 的度数为
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度.
22.如图，把△ABC 纸片沿 DE 折叠，使点 A 落在四边形 BCDE 的内部，若∠A=400，则∠1+∠2= 23.如图，在△ABC 中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=148°，则∠EDF=__________. 24.在△ABC 中， ∠B 内角平分线和∠C 外角平分线交于一点 A1， ∠A1BC 与∠A1CD 的平分线交于 A2，继续作∠A2BC 与∠A2CD 的平分线可得∠A3，如此下去可得∠A4…，∠An，当∠A=64°时，∠A2014 的度数为
15.一条线段的长为 a，若要使 3a-l， 4a+1， 12-a 这三条线段组成一个三角形，则 a 的取值范围_________ 16.如图,△ABC 中,DE⊥BC 于 E,AF⊥BC 于 F,已知△BCD 与△ABC 的面积之比为 1:3,DE=3cm,则 AF= .
17.如图所示,若∠A=30°,∠B=45°,∠C=44°,则∠DFE 等于 18.如图,Rt△ABC 中,∠ACB=900,∠A=540,将其折叠,使点 A 落在边 CB 上 A/处,折痕为 CD,则∠A/DB= 19.多边形的每一个内角都等于 1500，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有条 20.若一个 n 边形 n 个内角与某一个外角的总和为 13500，则 n 等于

三角形知识点及练习题

三角形知识点及练习题三角形是几何学中的重要图形之一，它由三条线段组成，其中任意两条线段之和大于第三条线段。

本文将介绍三角形的基本概念、性质以及一些实践练习题，帮助读者更好地理解和掌握三角形的知识。

一、三角形的基本概念1. 定义：三角形是由三个线段构成的图形，每个线段称为三角形的边，而三个顶点则是边的相交点。

2. 命名：三角形根据边的相对长度和角的大小进行命名。

例如，边长相等的三角形称为等边三角形，角相等的三角形称为等角三角形。

3. 分类：根据边长关系，三角形可以分为等腰三角形和不等腰三角形；根据角度关系，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

二、三角形的性质1. 内角和定理：三角形的三个内角之和等于180度（180°）。

2. 外角和定理：三角形的一个内角的外角等于其他两个内角的和。

3. 直角三角形的性质：直角三角形的两个直角边平方和等于斜边的平方，即勾股定理。

4. 等边三角形的性质：等边三角形的三边相等，三个内角也相等，每个角都是60度（60°）。

5. 等腰三角形的性质：等腰三角形的两边相等，对应的两个内角也相等。

三、三角形的练习题1. 问题一：已知三角形ABC，AB = 3cm，BC = 4cm，AC = 5cm，请判断这个三角形是什么类型的三角形？解答：根据边长关系，可以判断三角形ABC是一个直角三角形，因为满足勾股定理，3² + 4² = 5²。

2. 问题二：已知三角形PQR，角P = 45度（45°），角Q = 90度（90°），请判断这个三角形是什么类型的三角形？解答：根据角度关系，可以判断三角形PQR是一个直角三角形，因为角Q为直角。

3. 问题三：已知三角形XYZ，XY = YZ = 6cm，ZX = 8cm，请判断这个三角形是什么类型的三角形？解答：根据边长关系，可以判断三角形XYZ是一个等腰三角形，因为XY = YZ。

三角形基础知识及习题

三角形基础知识及习题三角形是几何学中最基本的图形之一，其基础知识对于学习几何学和解决几何问题至关重要。

本文将介绍三角形的基本定义、分类和性质，并提供一些习题供读者练习。

一、三角形的定义和分类1. 定义：三角形是由三条线段（边）所围成的图形。

三角形的三个顶点（角）和三个边缘（边）都相互连接。

2. 分类：根据三个角的大小，三角形可以分为三种类型：a. 锐角三角形：三个角都小于90度。

b. 直角三角形：其中一个角为90度。

c. 钝角三角形：其中一个角大于90度。

二、三角形的性质1. 角度和：三角形的三个角的角度和总是等于180度。

无论三角形是锐角、直角还是钝角三角形，其内角之和都是180度。

2. 边长关系：a. 等边三角形：三个边的长度都相等。

b. 等腰三角形：两个边的长度相等。

c. 直角三角形：满足毕达哥拉斯定理，即两直角边的平方和等于斜边的平方。

3. 角度关系：a. 锐角三角形：三个角都是锐角。

b. 直角三角形：其中一个角是直角。

c. 钝角三角形：其中一个角是钝角。

三、三角形的习题下面是几个关于三角形的习题，供读者练习运用三角形的基础知识与技巧。

1. 题目：已知三角形的两边长分别为5厘米和8厘米，夹角为60度，求第三条边的长度。

解法：利用余弦定理，可以得到第三条边的长度：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC。

带入数值计算得到c≈7.53厘米。

2. 题目：在直角三角形ABC中，AB = 3厘米，BC = 4厘米，求AC的长度。

解法：根据毕达哥拉斯定理，可以得到AC的长度：AC^2 =AB^2 + BC^2。

带入数值计算得到AC = 5厘米。

3. 题目：已知三角形的两边长分别为6厘米和8厘米，以及夹角为30度，求第三条边的长度。

解法：利用正弦定理，可以得到第三条边的长度：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

带入数值计算得到第三条边的长度约为7.61厘米。

4. 题目：在锐角三角形ABC中，AB = 7厘米，BC = 9厘米，夹角为45度，求角度C的大小。

三角形的初步知识知识归纳与题型训练(10类题型清单)原卷—24-25学年八年级数学上册单元(浙教版)

《三角形的初步知识》知识归纳与题型训练（10题型清单）一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.推论：三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．三、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．四、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．五、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：过点A作AD⊥BC于点D．取BC边的中点D，连接作∠BAC的平分线AD，交BC1．AD是△ABC的高．1．AD是△ABC的中线．1．AD是△ABC的角平分线．90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)4．点D是BC边的中点．推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝12BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝12∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．六、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形七、全等三角形的性质全等三角形对应边相等、对应角相等要点诠释：全等三角形的周长相等、面积相等、对应边上的“三线”也相等八、全等三角形的判定（1）三边分别对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）；（2）两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；（3）两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）；（4）两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）；要点诠释：在判定两个三角形全等时，需要注意以下几点（1）全等三角形的判定的一般步骤：准备条件——罗列条件——得出全等；（2）在全等三角形的判定中，已经有什么条件，还需要推导什么条件，一定要认真审题后再定；（3）全等三角形的判定和性质通常是同时考察的，一般先让判定两个三角形全等，然后再由其性质得对应边相等或对应角相等九、线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线定义：将一条线段平分，并且垂直于该线段的一条直线叫做这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；要点诠释：线段垂直平分线性质定理的证明原理是SAS线段垂直平分线性质定理的主旨是“点到点的距离相等”十、角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等；要点诠释：角平分线性质定理的证明原理是AAS角平分线性质定理的主旨是“点到边的距离相等”十一、定义与命题、证明定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义命题：判断某一件事情的句子叫做命题，正确的命题称你为真命题，错误的命题称为假命题；定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理；定理可以作为判断其他命题真假的依据；证明：要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明；要点诠释：要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但是不具备命题的结论的实例十二、尺规作图定义：用没有刻度的直尺和圆规作图，称为尺规作图题型一　三角形的三边关系1．（2024春•连云港期末）已知三角形的两边长分别为4和9，则此三角形的第三边长可能为（）A．9B．4C．5D．132．（2023秋•固始县期末）已知三角形的三边长分别是8、10、x，则x的取值范围是．3．（2024春•大渡口区期末）以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是（）A．3，6，9B．3，5，9C．2，6，4D．4，6，94．（2023春•织金县期末）BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是．巩固训练5．（2023春•翠屏区校级期中）现有3cm、4cm、7cm、9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是．题型二　三角形的内角和与外角例题：1．如图，y与x的关系式为（）A．y＝x+55B．y＝x﹣35C．y＝125﹣x D．y＝x+352．（2024春•江干区校级期末）如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片ABC（∠A＝25°，∠B＝65°）沿DE向下折叠，点A落在点A′处，当EA'∥BC时，∠1＝度．3．（2023春•金东区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝48°，∠ACB是锐角，将△ABC沿着射线BC 方向平移得到△DEF（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接CD，若在整个平移过程中，∠ACD和∠CDE中一个角是另一个角的2倍，则∠ACD＝．巩固训练4．（2024•周村区一模）如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（）A．75°B．60°C．105°D．120°5．已知，在△ABC中，∠A＝∠B+∠C，则△ABC是三角形．6．（2024春•鄞州区校级期末）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”．若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝60°，则△ABC中最小内角的度数为．7．（2023春•金华期末）如图，在三角形ABC中，EF⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为F，D，且∠CDG＝∠BEF，若∠AGD＝70°，求∠ACB的度数．题型三　三角形的“三线”例题：1．（2024•常州一模）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD 应该是△ABC的（）A．角平分线B．中线C．高线D．以上都不是2．（2024春•即墨区期中）下列各图中，正确画出AC边上的高线的是（）A．B．C．D．3．（2023秋•衢州期末）如图，AD和AE分别是△ABC的角平分线和高线，已知∠B＝60°，∠C＝40°，则∠DAE的度数为（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．40°4．已知：如图所示，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC ＝4cm 2，则阴影部分的面积为 cm 2．5．（2024春•淮阳区期末）在△ABC 中，∠A ＝∠B ＝∠ACB ，CD 是△ABC 的高，CE 是∠ACB 的角平分线，求∠DCE 的度数．巩固训练6．（2024春•象山县校级月考）如图，把△ABC 的各边延长2倍至A 1，B 1，C 1，那么△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的（）A ．4倍B ．7倍C ．19倍D ．20倍7．（2023秋•淮北期末）如图，BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABP ＝20°，∠ACP ＝50°，则∠P ＝　　°．8．（2023秋•奉化区期末）在△ABC 中，E 为边AC 的中点，点D 在边BC 上，BD ：CD ＝5：8，AD 、BE 交于点F ，若△ABC 的面积为26，则S △AEF ﹣S △BDF ＝．9．（2023秋•蛟河市期末）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是高线，∠BAC＝50°，∠EBC＝20°，则∠ADC的度数为．10．（2023秋•台州期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠B＝60°，AD是BC边上的高，∠ACB的平分线CF交AD于点E．求∠AEC的度数．11．（2023春•曲阳县期末）如图，在△ABC中，AE是边BC上的高．（1）若AD是BC边上的中线，AE＝3cm，S＝12cm2，求DC的长；△ABC（2）若AD是∠BAC的平分线，∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的大小．题型四　定义与命题、证明例题：1．下列语句中，不是命题的是（）A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．作角A的平分线D．内错角相等2．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题的反例是（）A．∠1＝∠2＝45°B．∠1＝40°，∠2＝50°C．∠1＝50°，∠2＝50°D．∠1＝40°，∠2＝40°3．将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式．巩固训练4．（2024春•临海市校级期中）以下命题中，其中是假命题的是（）A．同位角相等B．对顶角相等C．0的平方根是0D．﹣1的立方根是﹣15．（2024•镇海区校级模拟）能说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a”是假命题的一个反例可以是（）A．a＝1B．a＝C．a＝D．a＝﹣26．（2023秋•滨江区期末）将“对顶角相等”改写为“如果…那么…”的形式，可写为．题型五　全等三角形的性质例题：1．（2023秋•孟村县期末）如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（）A．12B．7C．2D．142．（2024•益阳三模）如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA 时，α与β之间的数量关系为（）A．α＝βB．α＝2βC．α+β＝90°D．α+2β＝180°3．（2022春•邓州市期末）如图，△PAC≌△PBD，若∠A＝40°，∠BPD＝20°，则∠PCD的度数为．4．（2021秋•芜湖期中）如图，点B，C，D在同一条直线上，∠B＝∠D＝90°，△ABC≌△CDE，AB＝6，BC＝8，CE＝10．（1）求△ABC的周长；（2）求△ACE的面积．5．（2022秋•鄞州区校级期末）如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D．（1）求证：CE⊥AB；（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．巩固训练6．（2023秋•科左中旗期末）如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是（）A．AB＝AC B．∠BAE CAD C．BE＝DC D．AD＝DE7．如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为．8．（2023秋•衢江区期末）如图，△ABC≌△ADE，点D恰好落在BC上，且DE⊥AC，∠B＝79°，则∠E的度数为．9．（2022秋•涟水县期中）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F在同一条直线上．（1）若∠BED＝140°，∠D＝75°，求∠ACB的度数；（2）若BE＝2，EC＝3，求BF的长．10．（2023秋•新田县期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为t s．（1）如图（1），当t＝时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．题型六　全等三角形的判定例题：1．（2024•凉州区二模）如图，B，D分别是位于线段AC两侧的点，连接AB，AD，CB，CD，则下列条件中，与∠BAC＝∠DAC相结合无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．AB＝AD B．CB＝CD C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D2．（2023秋•兴国县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝14cm，点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点，点P 和Q分别以2cm/s和3cm/s的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，要使以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为．3．（2023秋•滨海新区期末）已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．求证：△ABF≌△DCE．4．（2023秋•西湖区期末）如图，在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在同一条直线上，已知∠B＝∠DEF，BE＝CF．下面给出四个条件：①AC＝DF；②AB＝DE；③AC∥DF；④∠A＝∠D．请你从中任选一个条件，使得△ABC≌△DEF，并写出证明过程．5．（2022秋•镇海区校级期末）如图，在△ABC中，AC＝AB，AD⊥BC，过点C作CE∥AB，∠BCE＝70°，连接ED并延长ED交AB于点F．（1）求∠CAD的度数；（2）证明：△CDE≌△BDF；巩固训练6．（2024•邗江区二模）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL7．（2024•桂林一模）如图，把长短确定的两根木棍AB，AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（）A．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等B．有两角分别相等且其中等角的对边相等的两个三角形不一定全等C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等D．有两边和其中一边对角分别相等的两个三角形一定不全等8．（2022秋•泾阳县月考）已知△ABC和△CDE均为等边三角形，A、C、E在一条直线上．求证：（1）AD＝BE；（2）△DPC≌△EQC．9．（2021秋•章贡区期末）如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒．（1）当t＝3时，BP＝ cm；（2）当t为何值时，连接CP，DP，△CDP是等腰三角形；（3）Q为AD边上的点，且DQ＝5，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△DCQ 全等．题型七　全等三角形的性质与判定例题：1．（2024春•鄞州区校级期末）如图，AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F．若AD＝BD＝6，且△ACD的面积为12，则AF的长度为（）A．1B．C．2D．32．（2024春•南海区期中）如图，AD是△ABC的BC边上的中线，AB＝7，AD＝5，则AC的取值范围为．3．（2023秋•临潼区期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC 于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S＝ab．其中正确的是（）△ABCA．①②B．②③C．①②③D．①③4．（2024•潮州模拟）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF．（1）求证：CF∥AB；（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数．巩固训练5．（2023秋•长兴县期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，点E在边AC上，若∠DAE＝∠DEA，∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（）A．3B．4C．D．66．（2024•济南模拟）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是．7．（2023秋•台州期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝40°，点D是△ABC外角∠ACF平分线上的一点，连接AD、BD，若∠ADB＝∠ACB，则∠DAC＝度．8．（2023秋•兴国县期末）如图，△ABC与△BDE是全等的等边三角形，且A、B、D三点共线，AE、CD 交于点O，∠AEB＝∠EAB．现有如下结论：①∠AED＝90°；②∠BCD+∠AEB＝60°，③OB⊥AD；④AE＝CD；⑤OB平分∠CBE，平分∠AOD；⑥AO+OB＝AD；一定成立的有（）个．A．5个B．6个C．3个D．4个9．（2024•番禺区二模）已知：如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．10．（2024•凉州区二模）如图，点B、C、D在同一条直线上，AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD．（1）求证：△ABC≌△CDE．（2）若∠ACB＝37°，求∠AED的度数．题型八　线段垂直平分线的性质定理例题：1．（2023秋•孟村县期末）如图在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A＝50°，则∠BPC＝（）A．100°B．95°C．90°D．50°2．（2023春•桃城区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝15，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E．（1）求△ABD的周长；（2）若∠B＝35°，求∠BAD的度数．巩固训练3．（2024•武威二模）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝5，EC＝2，则BC的长是（）A．6B．7C．8D．94．（2024•鹤城区校级一模）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、点E，连接AD．若AE＝5cm，△ACD的周长为16cm，则△ABC的周长为 cm．5．（2023秋•无棣县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，边AC的垂直平分线EN交BC于点E．（1）已知△ADE的周长7cm，求BC的长；（2）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数．题型九　角平分线的性质定理例题：1．（2023秋•德庆县期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三边的中垂线的交点2．（2023秋•义乌市期末）如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC 交AC于点F．若△ABC面积为30cm2，AB＝8cm，AC＝7cm，则DE的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．5cm3．（2023秋•长兴县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：DE＝DF；（2）若∠BDE＝55°，求∠BAC的度数．巩固训练4．（2023秋•枣阳市期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP 就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确5．（2023秋•临海市期中）已知△ABC．（1）如图1，若三角形的内角∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，求证：①∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）；②∠BOC＝90°+∠A；（2）如图2，若三角形的外角∠DBC与∠ECB的平分线交于点O，试分析∠BOC与∠A有怎样的数量关系，请说明理由；（3）如图3，，若三角形的内角∠ABC与外角∠ACD的平分线交于点O，则∠BOC与∠A的数量关系为．（只写结论，不需证明）题型十　尺规作图例题：1．（2024•淮滨县三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A、B为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝4，则△AFH的周长为（）A．8B．6C．4D．2．（2024•岗巴县一模）如图，小颖按下面方法用尺规作角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别截取OC，OD，使OC＝OD．再分别以点C，D为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的平分线．其作图原理是：△OCP≌△ODP，这样就有∠AOP＝∠BOP，那么判定这两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS3．（2023秋•宁波期末）如图，在△ABC中，∠BAC是钝角．（保留作图痕迹）（1）用无刻度的直尺和圆规作AB，AC的垂直平分线，分别交BC于点D、E；（2）连结AD，AE，若∠DAE＝20°，求∠BAC的度数．巩固训练4．（2023秋•下陆区期末）如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．5．（2024•罗湖区校级模拟）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③6．（2023秋•凤阳县期末）如图，在△ABC中，AB＞AC．（1）用直尺和圆规作BC的中垂线，交AB于点D（要求保留作图痕迹）；（2）连接CD，若AB＝8，AC＝4，求△ACD的周长．。

三角形知识点+考点+典型例题(含答案)

第七章三角形【知识要点】一．认识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。

2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边。

三角形任意两边之差小于第三边。

3．与三角形有关的线段．．：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。

注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。

但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。

④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。

（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。

）4．三角形的内角与外角（1）三角形的内角和：180°引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。

（2）三角形的外角和：360°（3）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

初二三角形知识点总结和常考题

初二三角形知识点总结和常考题一、三角形的基本概念。

1. 定义。

- 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2. 三角形的边、顶点、内角。

- 组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

3. 三角形的表示方法。

- 三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

二、三角形的分类。

1. 按角分类。

- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。

- 直角三角形：有一个角是直角的三角形。

直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角所对的边叫做斜边，另外两条边叫做直角边。

- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。

2. 按边分类。

- 不等边三角形：三边都不相等的三角形。

- 等腰三角形：有两边相等的三角形。

相等的两边叫做腰，另外一边叫做底边；两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

等腰三角形中，三边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。

三、三角形的三边关系。

1. 定理。

- 三角形两边的和大于第三边。

2. 推论。

- 三角形两边的差小于第三边。

四、三角形的高、中线与角平分线。

1. 高。

- 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

三角形的三条高所在直线相交于一点。

2. 中线。

- 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心。

3. 角平分线。

- 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

三角形的三条角平分线相交于一点。

五、三角形的内角和定理及推论。

1. 内角和定理。

- 三角形三个内角的和等于180°。

2. 推论。

- 直角三角形的两个锐角互余。

- 有两个角互余的三角形是直角三角形。

六、三角形的外角。

1. 定义。

- 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

四年级三角形的知识点总结及练习题

四年级三角形的知识点总结及练习题一、三角形的定义在平面内，由三条不在一条直线上的线段连接成的图形叫做三角形。

二、三角形的分类三角形可以根据边长和角度的不同分为以下几种：1.根据边长分类（1）等边三角形三条边都相等的三角形，也叫正三角形。

（2）等腰三角形至少有两条边相等的三角形，其中相等的两边成为两腰，两腰之间的夹角叫做顶角。

（3）普通三角形三条边都不相等的三角形。

2.根据角度分类（1）锐角三角形三个角都小于90度的三角形。

（2）直角三角形三角形中有一个90度的角，这个角所对的边叫做斜边，另外两个角和边分别叫做直角和直角边。

（3）钝角三角形三个角中有一个角大于90度的三角形。

三、三角形的性质1.角的性质三角形的三个内角一定相加等于180度。

2.边的性质（1）任何一条边都小于其它两边之和。

（2）任何一条边都大于其它两边之差。

（3）两边之和大于第三边。

四、三角形的面积1.海龙公式当已知三角形的三边长a、b、c时，海龙公式计算三角形的面积S：s = (a+b+c)/2S = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))2.高度公式当已知三角形的底边长b和高度h时，高度公式计算三角形的面积S：S = 1/2 * b * h五、练习题1.判断下列各图形是否为三角形。

image1解答：不是三角形，三条线段不在同一平面内。

2.判断下列各图形是否为等边三角形。

image2解答：不是等边三角形，两边长度不相等。

3.已知三角形的三边长分别为3cm、4cm和5cm，求其面积。

解答：s = (a+b+c)/2 = (3+4+5)/2 = 6S = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)) = sqrt(632*1) = 3√6 所以该三角形面积为3√6(cm²)。

4.已知三角形的底边长为6cm，高度为4cm，求其面积。

解答： S = 1/2 * b * h = 1/2 * 6 * 4 = 12 所以该三角形面积为12(cm²)。

数学(浙教版) 八上 1.1 三角形的初步认识知识点+典型例题+同步练习(学生版)

一、认识三角形三角形：由不在同一条直线上的三点依次连结形成的图形叫做三角形表示：例△ABC 读作“三角形ABC”三角形的内角：由相邻两边的组成的夹角称为三角形的内角内角和180°三角形的基本性质两边之和大于第三边两边之差小于第三边三角形的外角等于不相邻两内角之和锐角三角形：三内角均为锐角三角形的分类直角三角形：有一内角为直角，即两锐角和为90°钝角三角形：有一内角为钝角三线角平分线中线高线性质：∠BAD=∠CAD BD=DC AD⊥BC 角平分线上的点到角两边的距离相等二、接触证明题知识讲解三角形的初步认识定义：一般的，能清楚规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或者术语的定义命题：判断某一件事情的句子叫命题条件：在“如果——那么——”中，“如果”开始的部分叫做条件结论：在“如果——那么——”中，“那么”后面的部分叫做结论真命题：正确的命题假命题：错误的命题定理：用推论的方法的判断为正确的命题叫定理证明：判断一个命题是真命题的推理过程叫证明三、全等三角形全等图形：能够重合的两个图形对于一对全等三角形，互相重合的角叫对应角；互相重合的边角对应边全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等边边边三角形全等的判断边角边角边角角角边垂直平分线，简称中垂线：过已知线段中点作垂线，该垂线叫做已知线段的中垂线性质：线段中垂线上的点到线段两端的距离相等四、尺规作图尺规作图：在几何作图中，外面把没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图%%角、角平分线、中垂线%%例1在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少?例2已知三角形的三边长分别是3，8，x，若x的值为偶数，则x的值有( D )．A．6个B．5个C．4个D．3个例3△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠FCD 的度数.例4如图：已知AC是线段BD的垂直平分线. 求证：△ABC≌△ADC典型例题例5已知：线段a和∠α，∠β. 求作：△ABC，使∠A=∠α,∠B=∠β,BC=a．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）一、选择题1、一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶5，这个三角形一定是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形2、下面不是平行线的判定定理的是( )A．在同一平面内，没有公共点的两条直线叫做平行线B．同位角相等，两直线平行C．内错角相等，两直线平行D．同旁内角互补，两直线平行3、如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为( )A．20°B．30°C．35°D．40°4.、如图，图中锐角三角形的个数是( )同步练习A．2个B．3个C．4个D．5个5、如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E的度数是( )A．30°B．40°C．60°D．70°6、如图，△ABC的平分线AD与中线BE交于点O，有下列结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线，下列说法正确的是( )A．①②都正确B．①不正确，②正确C．①②都不正确D．①正确，②不正确7、下列说法正确的是( )A．三个角对应相等的两个三角形全等B．两角对应相等，且一条边也对应相等的两个三角形全等C．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D．有两个角与一边对应相等的两个三角形不一定全等8、如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是( )A ．8B ．9C ．10D ．119、如图，给出下列四组条件：①AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ；②AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ；③∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∠C ＝∠F ；④AB ＝DE ，AC ＝DF ，∠B ＝∠E.其中能使△ABC ≌△DEF 的条件共有( )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组10、如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC ＝7，DE ＝2， AB ＝4，则AC 的长是( )A ．3B ．4C ．6D ．511、如图，在锐角三角形ABC 中，直线l 为BC 的中垂线，射线m 为∠ABC 的角平分线，直线l 与m 相交于点P.若∠BAC ＝60°，∠ACP ＝24°，则∠ABP 的度数是( )A ．24°B ．30°C ．32°D ．36°12、两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AD＝CD ，AB ＝CB.小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC ⊥BD ；②AO ＝CO ＝12AC ；③△ABD ≌△CBD.其中正确的结论有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个13、如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是( )A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS二、填空题14、如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，若∠1＝50°，∠2＝110°，则∠A＝____．15、如图，△ADB≌△ECB，若∠CBD＝40°，BD⊥EC，则∠D的度数为____．16、有下列语句：①画线段AB＝CD；②互补的两个角是邻补角；③延长MN到点Q；④三角形的一边与另一边的延长线组成的角是三角形的外角吗？其中为命题的是_____．(填序号)17、如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB 长为半径作弧，两弧交于点D，连结AD，CD，若∠B＝65°，则∠ADC的度数为______．18、要说明命题“若a·b＝0，则a＋b＝0”是假命题，可举反例．19、如图，AC与BD相交于点O，∠A＝∠D，请你补充一个条件，使得△AOB≌△DOC，你补充的条件是．20、如图，在四边形ABCD中，给出了下列三个论断：①对角线AC平分∠BAD；②CD＝BC；③∠D＋∠B＝180°.在上述三个论断中，若以其中两个论断作为条件，另外一个论断作为结论，则可以得出___个正确的命题．21、将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的条件和结论：（1）三条边对应相等的两个三角形全等；（2）三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．22、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连结DF.求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE.23、已知△ABC的三边长分别为a，b，c，请化简代数式|a－b－c|＋|a＋b－c|.24、如图，△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F.（1）当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为____；（2）若∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC的度数．25、如图，∠AOD＝∠BOC，∠A＝∠C，O是AC的中点．求证：△AOB≌△COD.26、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.。