物理群论及应用

v xi
v yj
v zk
i,
j,
k
x y
er
z
e
i , j,k
x
r
y
z
（习惯上指把基矢写成行矩阵，坐标写成列矩阵）
物体不动，坐标系OX’Y’Z’经变换R到新的位置。P在OX’Y’Z’ 坐标系中的坐标为（x’,y’,z’）则矢径
uuur v v v
OP xi ' yj ' zk '
G' {E', B1, B2 , , Bn )
若G中任何一个元素都可以在G’中找到一个元素和他对应， 并满足下列性质
Ai Bi Ak Bk 则：
（ Bi ，Bk 不一定不同）
Ai Ak Bi Bk
称G与G’同态。
六 特征标（实为矩阵内容，群通过矩阵表示）
1、定义：（矩阵的迹）
x aii
2、AB与BA有相同的特征标 (AB BA)
证明：
xAB cii
aij b ji
i
i
j
xBA d jj
b ji aij
b ji aij
aij b ji xAB
j
ji
i
j
i
j
3、共轭矩阵特征标相同
B X 1 AX
xB bii
X
a 1
ij
jk
X
ki
i
i jk
（4）群中二个不同类没有共同元素 （从传递性可以证明）
（5）单位元素自成一类 因为
E AEA1 EAA1 EE E
（6）对易群每个元素自成一类 对易因群为 ： AB=BA
A1BA BA1 A BE B
（7）一个类中所有元素都有相同的周期
a 什么是周期？ An E
（则n 称为A的周期）
$4-2 分子点群
Cn
Dnh
Cnv
Dnd
Cnh
Sn
Cs
Td
Ci
Oh
Dn
$4-3 群表示理论 一、什么是群表示？
群G（对称群）用同构或同态的矩阵群来表示。
1、基矢变换和坐标变换 进行对称操作，就是把物体各点的位置按一定规律变动。
这样有两种表示方法： 给定坐标系，物体的各点的坐标按一定规律变换。 坐标系变化，物体中各点坐标变化情况。
五 同构与同态
1、同构：设有两个同阶的群：
G {E, A1, A2 , , Am )
G' {E', B1, B2 , , Bm )
它们的元素之间一一对应并满足下列性质
则：
Ai Bi
Ai Ak Bi Bk
Ak Bk
称G与G’同构。
2、同态：设有两个不同阶的群：
G {E, A1, A2 , , Am )
（1）基矢变换（坐标系旋转）
坐标系取向改变时，空间固定点的P的坐标如何变化。
设有两个原来相重合的坐标系OXYZ和OX’Y’Z’（右手直角坐标系） ，它们的基矢分别用 (i , j, k )和 (i ', j ', k '来) 表示。
P在OXYZ坐标系中的坐标为（x,y,z）则矢径 OP为：
uuur OP
3）共轭元素的性质
（1）每个元素自身共轭。A X 1 AX (为什么？）（X=E）
（2）A与B共轭，则B与A共轭（相互）
A X 1BX
B XAX 1 Y 1 AX
（3）A与B共轭，A与C共轭，则B与C共轭。（传递性）
A X 1BX
A Y 1CY ZCZ 1
B XAX 1 XZCZ 1 X 1 ( XZ )C( XZ )1
b 证明： B n ( X 1 AX )n X 1 AXX 1 AX X 1 AX X 1 An X X 1EX E （逆定理不成立）
（8）若两元素（对称操作）同类，则两对称元素可经某一操作 使之重合。（化学中用于判断方法）
如NH3中的3个对称面是同类。 而水分子中二个对称面则不同类。 又如苯分子中的二次轴
OP' e' r er'
因为
ev' evD(R)
OP' eD(R)r er'
rv' D(R)rv
（2）
比较（1）和（2）式， 将物体固定变换基矢与将基矢固定使物体 作相反方向变动时，物体上各点的坐标变换情况是一样的。
矩阵D（R）完全反应了变换R（对称操作）的作有结果。 所以把D（R）称为变换R的矩阵表示。
i'
,
j',
k'
x' y'
e' r'
z'
如果ຫໍສະໝຸດ Baidu矢
(i ', j', k在') OXYZ坐标系中的分量用矩阵D（R）表示：
e' eD(R)
OP e'r' eD(R)r' er
rv' [D(R)]1rv
（1）
（2）坐标变换（物体旋转）
若令物体随OX’Y’Z’坐标系一起变换R（物体运动），物体上的 P点移到空间另一点P’上，自然P’点在OX’Y’Z’的坐标系中的坐标 还是(x,y,z)，设P’点在OXYZ坐标系的坐标为(x’,y’,z’)，则：
则群H称作群G的子群。
有二个平凡子群（非真子群） E（单位元素）和 G（G群本身） 其它为真子群
四 共轭元素与类
1）共轭元素：设A，B，X是一个群的任何三个元素，若满足
B X 1 AX
则称A，B相互共轭。（相似变换）
2）类的定义： 相互共轭的元素的集合称为一个共轭类。 一个类中包含的元素数目称作它的阶。
$4-1群的定义和基本概念
一 为什么要学群论
1、 物理与化学的许多研究对象与对称性联系。 2、 表象 本质 3、光谱 4、简化计算（如判断积分是否为零）
二 群的定义
一个集合G（A，B，C，…）如果满足条件： 1）封闭性 2）缔合性： 3）单位元素
4）逆元素
三 子群 如果群G中的一部分元素对于群G的乘法也构成群H，
G中包含的每一个元素都可以唯一地写成GiGj
例如:
G1 {E, C3, C32} C3
G2 {E, h} Cs
定义直积
G G1 G2
{E, C3, C32}{E, h} {E, C3, C32 , h , C3 h , C32 h} C3h
直积群有如下性质: 1、各个直因子的共同元素只有单位元素。 2、各个直因子都是G的不变子群
X
ki
X
a 1
ij
jk
jk i
kj a jk a jj xA
jk
j
七 直积 如果有两个群: G1 {E, A1, A2 ,L Ai ,L Am} G2 {E, B1, B2 ,L Bj ,L Bk } 如果它们的元素彼此相乘的意义明确,并且相互对易: Ai B j B j Ai 则可以定义一个更大的群G,G为G1和G2的直接乘积G1G2 G G1 G2 {E, A1, A2,L Ai ,L Am}{E, B1, B2,L Bj ,L Bk}