递推关系解析

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, k是某个自然数,
则称上式为该数列的k阶递推关系式.
递推关系的分类:
齐次递推关系(常数项为零) (1)按常数项分 非齐次递推关系(常数项不为零)
线性递推关系 (2)按an的运算分 非线性递推关系
常系数递推关系 (3)按an的系数分 变系数递推关系
一元递推关系 (4)按数列的多少分 多元递推关系
m 1
j j r
11
n1 k k r r k k 0 an1 ran 2
n 1 2
n 2 2

k 0
n 2 jwk.baidu.com
j j r
当n为奇数时, 类似地可证上述递推关系成立.
C
A
B
C
A
B
C
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解 易知, a1 1, a2 3, 对于n 3, 搬动圆盘的算 法如下 : 第一步,将套在柱 A 的上面n 1个盘移到柱 B 上, 需搬动an1次; 第二步,将柱 A 上最大一个盘移到柱 C 上,只需 搬动一次; 第三步,再从柱 B 上将n - 1个盘移到柱 C 上,也 需an1次.
则两支军队在第n天战斗结束时的人数满足递推 关系式: an 1 an Abn 1 bn1 bn Ban1 an an 1 Abn 1 即 bn bn 1 Ban 1
二元线性递 推关系组
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例3 在信道上传输仅用a、b、c这3个字母组成的 长度为n 的字母串，规定有两个 a 连续出现的串 不能传输，用an表示这个信道允许传输长度为 n的 字母串的个数，试建立序列{an }的递推关系.
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例1(Hanoi塔问题) n个圆盘按从大到小的顺序依 次套在柱 A 上,规定每次只能从一根柱子上搬动一 个圆盘到另一根柱子上,且要求在搬动过程中不允 许大盘放到小盘上,而且只有 A, B,C 三根柱子可供 使用.求将n个盘子从柱 A 移到柱 C 上所需要搬动 圆盘的最小次数an .
A
B
C
4
A
B
第三章
3.1 基本概念
递推关系
, an , , 一个关于an
定义3.1.1 对数列a0 ,a1 ,a2 , F (a0 , a1 , a2 , , an ) 0.
, an ,
和某些ai ( i n)的方程式,称为递推关系式.记作
递推关系式也可这样描述: 定义 对数列a0 ,a1 ,a2 , 若对所有的n k , 均有 a n F ( a n 1 , a n 2 , , an k ),
于是,得递推关系 an 2an 1 1,{an }的定解问题为 an 2an 1 1 a1 1
一元非齐次常系 数线性递推关系 6
例2 (蓝开斯特战斗方程)两军打仗,每支军队在 每天战斗结束时都清点人数,用a0 和b0分别表示 在战斗打响前第一支和第二支军队的人数,用an 和bn 分别表示第一支和第二支军队在第n天战斗 结束时的人数,假设一支军队每天所减少的人数 与另一支军队在每天战斗开始前的人数成比例.
2m k 1 k m 2 2m j 2 j m 1 m 1 r r r r k j k 0 m 1 j 0
m 1
2m k 1 k m 1 2m 2 r r k j k 0 j 0
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如果字母串中第一个字母是b,则其余字母 可以有an1 种选择,所以以b开头的长为n的字母 串有an-1个, 同样, 以c开头的长为n的字母串有an-1 个.
于是得递推关系 an 2an1 2an 2 , a1 3, a2 8 n3
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例4 设 n k k an r k k 0 求{an }所满足的递推关系.
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定义3.1.2 (定解问题) 含有初始条件的递推 关 系称为定解问题,其一般形式为 a n F ( a n 1 , a n 2 , , a n k ) a0 d 0 , a1 d1 , , ak 1 d k 1
注 : 一般说来,k阶递推关系需要有k个初始条件 才能确定唯一的解.一个数列的递推关系和 初始条件一起称为数列的定解问题.所谓解 一个数列的定解问题就是要找出数列通项 an 关于n的一般表达式。
解 当n为偶数时,令n 2m, 则 n 1 n 2 2 2 m 1
2m k k 2m m 1 2m k k m m 于是an r r r k k 0 0 k 1 k m
解 长度为1的字母串有a,b,c, 所以a1 3, 长度为 2且没有两个a相邻的字母串有ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc, 所以a2 8, 下设n 3.
如果字母串中第一个字母是a , 那么第二个字母 只能是b或c , 其余的字母可以有an 2 种方式选择, 因此 以a开头的长为n的字母串有2an 2个.
m
10
n 2
2 m m 1 2 m k 1 2 m k 1 k m m r r k 0 k 1 k 1 m
2m 1 m 1 2m k 1 k m 1 2m k 1 k m m r r r k k 1 k 1 0 k 1 m