朱慈勉结构力学第三章静定结构
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结构力学1-9章答案
1 8
2 36
1 4
3 ( 1 3 2 1 6 2 (3) 1 (6))
6EI 2
2
+ 2 6 1 2 5 ()
6EI
2EI
(c)
2kN/m 6m
2kN 2kN
B 2EI C
EI
EI
1
A
D
3m 3m 3m
1 6
2
2
3
3
42
18
36
30
6
MP
M
xc
6
3 2EI
(2
18
2
0
C
F RC [( 1 ) a] a (方向与图示一致)
h
h
(b)
c1 c2 c3
A A′
2a
BC
D
B′ C′
D′
Δ C
a
2a
1
0.5
1.5
0
FR 图
yc
t h
M ds
t
5 4
5
+t 5 5 t (1) 12 t ( 1 4 3 2 4 3)
4
2
h2
54.5t()
5-10 试求图示结构在支座位移作用下的位移：（a） ΔC ；（b） ΔyC ， ΔC 。 (a)
C D
D′
E E′
C′ΔC
h
b
A
l 2
B
B′
l 2
a
1
1
1
h
h
0
A
B
C
D
E
FG
H
2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m 3m
A
M 7.5
结构力学第三章
第三章 静定结构的内力计算
§3-1 静定结构的一般概念 §3-2 静定平面刚架 §3-3 三铰拱 §3-4 静定桁架 §3-5 静定组合结构 §3-6 静定结构的特性
§3-1 静定结构的一般概念
一、静定结构的定义
定义：一个几何不变的结构，在荷载等因素作用下其结构的全部支座反力 和内力均可由静力平衡条件唯一确定的结构称静定结构
FxA
FxB
Fx
M
0 C
f
（2）支座反力
设拱轴线方程 y f已(x知) 。
任意截面K的内力为：
MK 0
MK
FyAx FP1(x a1) FxA y
M
0 K
FxA y
F 0 FQK FyA cos FP1 cos FxA sin FQ0K cos FxA sin
F 0 FNK FyA sin FP1 sin FxA cos (FQ0K sin FxA cos)
二、静定平面桁架的内力计算
静定平面桁架的内力计算方法：结点法、截面法及两法的联合应用。 1.结点法：
切取结点为隔离体用 Fx 0、求F解y 未0知的轴力。
例 求图示桁架内力
解：（1）支座反力
FyB 24 12 2kN()、FyA 8 2 6kN()、FxA 0
（2）内力（设各杆轴力以拉为正）：
1.支座反力：
FyA
Fy0A
10(16 16
4)
7.5kN
FyB
Fy0B
10 4 16
2.5kN
F A
F B
Fx
M
0 C
f
7.58 10(8 4) 4
5kN
2、内力：集中荷载 F左P 右分段列内力方程。
§3-1 静定结构的一般概念 §3-2 静定平面刚架 §3-3 三铰拱 §3-4 静定桁架 §3-5 静定组合结构 §3-6 静定结构的特性
§3-1 静定结构的一般概念
一、静定结构的定义
定义：一个几何不变的结构，在荷载等因素作用下其结构的全部支座反力 和内力均可由静力平衡条件唯一确定的结构称静定结构
FxA
FxB
Fx
M
0 C
f
（2）支座反力
设拱轴线方程 y f已(x知) 。
任意截面K的内力为：
MK 0
MK
FyAx FP1(x a1) FxA y
M
0 K
FxA y
F 0 FQK FyA cos FP1 cos FxA sin FQ0K cos FxA sin
F 0 FNK FyA sin FP1 sin FxA cos (FQ0K sin FxA cos)
二、静定平面桁架的内力计算
静定平面桁架的内力计算方法：结点法、截面法及两法的联合应用。 1.结点法：
切取结点为隔离体用 Fx 0、求F解y 未0知的轴力。
例 求图示桁架内力
解：（1）支座反力
FyB 24 12 2kN()、FyA 8 2 6kN()、FxA 0
（2）内力（设各杆轴力以拉为正）：
1.支座反力：
FyA
Fy0A
10(16 16
4)
7.5kN
FyB
Fy0B
10 4 16
2.5kN
F A
F B
Fx
M
0 C
f
7.58 10(8 4) 4
5kN
2、内力：集中荷载 F左P 右分段列内力方程。
结构力学 第三章 静定结构
• 由结点弯矩平 衡校核弯矩计算是 否正确。
MBC=1kN· m
B
MBE= 4kN· m
MBA=5kN· m
FP1=1kN FP2=4kN
• 用计算中未使 用过的隔离体平衡 条件校核结构内力 计算是否正确。
5kN· m
1kN
3kN
FP3=1kN
2、简支刚架
• 解: • （1）、求支座 反力 • ∑y=0 • FCy =80kN(↑) • ∑m0=0 • FAx=120kN(←) •∑x=0 •FBx=80kN(→)
§3-2 静定多跨梁
•
由中间铰将若干根梁（简单梁） 联结在一起而构成的静定梁，称为静 定多跨梁。
1、几何组成：
• 基本部分+附属部分。 • （1）、基本部分：不依赖其它部分， 本身能独立承受荷载并维持平衡。 • （2）、附属部分：依赖于其它部分而 存在。
2、层叠图和传力关系
（1）、附属部分荷载 传 基本部分或 支撑它的附属部分。 • （2）、基本部分的荷载对附属部分无 影响，从层叠图上可清楚的看出来。 •
练习: 分段叠加法作弯矩图
q
A B
C
1 2 ql 4
l
q
1 ql 2
ql
l l l
例题
4kN· m
4kN
3m
3m
（1）集中荷载作用下
6kN· m
（2）集中力偶作用下
4kN· m 2kN· m
（3）叠加得弯矩图
4kN· m
4kN· m
例题
3m
8kN· m
2kN/m
3m
2m
（1）悬臂段分布荷载作用下
FP2=4kN
q=0.4kN/m
MBC=1kN· m
B
MBE= 4kN· m
MBA=5kN· m
FP1=1kN FP2=4kN
• 用计算中未使 用过的隔离体平衡 条件校核结构内力 计算是否正确。
5kN· m
1kN
3kN
FP3=1kN
2、简支刚架
• 解: • （1）、求支座 反力 • ∑y=0 • FCy =80kN(↑) • ∑m0=0 • FAx=120kN(←) •∑x=0 •FBx=80kN(→)
§3-2 静定多跨梁
•
由中间铰将若干根梁（简单梁） 联结在一起而构成的静定梁，称为静 定多跨梁。
1、几何组成：
• 基本部分+附属部分。 • （1）、基本部分：不依赖其它部分， 本身能独立承受荷载并维持平衡。 • （2）、附属部分：依赖于其它部分而 存在。
2、层叠图和传力关系
（1）、附属部分荷载 传 基本部分或 支撑它的附属部分。 • （2）、基本部分的荷载对附属部分无 影响，从层叠图上可清楚的看出来。 •
练习: 分段叠加法作弯矩图
q
A B
C
1 2 ql 4
l
q
1 ql 2
ql
l l l
例题
4kN· m
4kN
3m
3m
（1）集中荷载作用下
6kN· m
（2）集中力偶作用下
4kN· m 2kN· m
（3）叠加得弯矩图
4kN· m
4kN· m
例题
3m
8kN· m
2kN/m
3m
2m
（1）悬臂段分布荷载作用下
FP2=4kN
q=0.4kN/m
结构力学上册课件-0305静定桁架
-45 0
15 3m
A
-120 C -20 F -20 G
15kN 15kN 15kN
4m
4m
4m
结点分析时把所有杆内力均画成拉力（含已求得的压力）并代 入方程，然后是拉力的代正值，是压力的代负值。结果为正说 明该杆受拉，结果为负说明该杆受压，这样做不易出错。
桁架中内力为零的杆件称为零杆。
L 形结点
主内力: 按计算简图计算出的内力 次内力: 实际内力与主内力的差值
理想桁架与实际桁架的偏差
并非铰接（结点有较大刚性） 并非直杆（部分杆件为曲的，轴线未必汇交） 并非只有结点荷载（但可进行静力等效处理）
桁架的分类（根据几何组成分类）
简单桁架
联合桁架
简单桁架
复杂桁架
由于桁架杆是二力杆，为方便计算常将斜杆的轴力 双向分解处理，避免使用三角函数。
B
FBy Y=0 f(FN2 , FN )=0 X=0 g(FN2 , FN )=0
练习：求图示桁架指定杆件内力。 (只需指出所选截面即可)
a P
b
P
P
P c
P b
3. 对称性的利用
对称结构：几何形状、材料性质和支座对某轴对称的结构。
对称荷载：用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作 用点对称的荷载。
3）结点法和截面法的联合应用
2h
FP
FP
FP
FP
FP
FP
FP
1
3 24
6a
FP
A FAy
FP
FAy
FP
FP
FP
FP
FP
FP
1
3
24
B
6a
FBy
《结构力学》-第3章 静定结构的内力和位移
（4）联线：据各梁段的内力图形状，分别用 直线和曲线将各控制点依次相联，即得内力图。返6回
第 6 页，共 78 页
4. 利用叠加法作弯矩图
利用叠加法作弯矩图很方便,以例说明:
P P
（a） MAPA‹
L
MB
‹B
从梁上任取一段 AB 其受力如（a）图
＝
所示， 则它相当（b）
P MA
（b） A
MB
图所示的简支梁。
ah实际状态虚拟状态虚拟状态虚拟状态广义力与广义力与广义位移广义位移62324静定结构在荷载作用下的位移计算当结构只受到荷载作用时求k点沿指定方向的位kp此时没有支座位移故式75为eidseadsdsgadskqgadseadseids这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式
1
第 1 页，共 78 页
例如取结点C为隔离体（图b）， 有: ∑X=24－24=0 ∑Y=22－22=0
满足投影平衡条件。
0Ž• 24kN C •Ž0
22kN
• 24kN • 22kN （返1b8 ）回
第 18 页，共 78 页
例题 3—5 作三铰刚架的内力图
→HA VA↑ 26.7 20 6.7
解（：1）求反力
（2由）刚VVHA作架=AA弯整1==03H体矩´0B8k平4=图N´6衡↑.，66以，7=，kV∑D3N0BMC（=kNB杆1=→0↑o为k←可N例↑得）
拱
拱高ƒ 拱
趾
趾
起拱线
跨度L
返21回
第 21 页，共 78 页
§3-1-6 三铰拱的数解法
1. 支反力的计算
a1
a2
支反力计算同三铰刚架。
由 ∑MB=0 及 ∑MA=0
第 6 页，共 78 页
4. 利用叠加法作弯矩图
利用叠加法作弯矩图很方便,以例说明:
P P
（a） MAPA‹
L
MB
‹B
从梁上任取一段 AB 其受力如（a）图
＝
所示， 则它相当（b）
P MA
（b） A
MB
图所示的简支梁。
ah实际状态虚拟状态虚拟状态虚拟状态广义力与广义力与广义位移广义位移62324静定结构在荷载作用下的位移计算当结构只受到荷载作用时求k点沿指定方向的位kp此时没有支座位移故式75为eidseadsdsgadskqgadseadseids这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式
1
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例如取结点C为隔离体（图b）， 有: ∑X=24－24=0 ∑Y=22－22=0
满足投影平衡条件。
0Ž• 24kN C •Ž0
22kN
• 24kN • 22kN （返1b8 ）回
第 18 页，共 78 页
例题 3—5 作三铰刚架的内力图
→HA VA↑ 26.7 20 6.7
解（：1）求反力
（2由）刚VVHA作架=AA弯整1==03H体矩´0B8k平4=图N´6衡↑.，66以，7=，kV∑D3N0BMC（=kNB杆1=→0↑o为k←可N例↑得）
拱
拱高ƒ 拱
趾
趾
起拱线
跨度L
返21回
第 21 页，共 78 页
§3-1-6 三铰拱的数解法
1. 支反力的计算
a1
a2
支反力计算同三铰刚架。
由 ∑MB=0 及 ∑MA=0
结构力学 第三章 静定结构的内力计算(典型例题练习题)
［例题3-2-1］作简支梁的剪力图与弯矩图。
解：求支座反力荷载叠加法平衡方程［例题3-2-2］作外伸梁的剪力图与弯矩图。
解：求支座反力荷载叠加法平衡方程［例题3-2-3］作外伸梁的剪力图与弯矩图。
解：求支座反力荷载叠加法平衡方程［例题3-3-1］作多跨静定梁的内力图。
解：求支座反力荷载叠加法［例题3-3-2］作三跨静定梁的内力图。
解：求支座反力［例题3-3-3］作多跨静定梁的内力图。
解：求支座反力［例题3-4-1］作静定刚架的内力图解：求支座反力［例题3-4-2］作静定刚架的内力图解：求支座反力［例题3-4-3］作静定刚架的内力图解：求支座反力［例题3-4-4］作静定刚架的内力图解：求支座反力［例题3-4-5］作三铰刚架的内力图解：求支座反力［例题3-4-6］作三铰刚架的内力图解：求支座反力??［例题3-4-7］作静定刚架的内力图解：求支座反力［例题3-4-8］作静定刚架的图解：［例题3-4-9］作静定刚架的图解：［例题3-4-10］作静定刚架的图解：［例题3-4-11］作静定刚架的图解：［例题3-4-12］作静定刚架的图解：［例题3-4-13］作静定刚架的图解：［例题3-4-14］作静定刚架的图解：求支座反力?［例题3-4-15］作静定刚架的图解：［例题3-5-1］试绘制三铰拱的内力图。
拱轴方程为解：相应简支梁的反力和内力求支座反力拱轴方程当时?? ? 00053.1301050-3.00-133.5 1 1.5 1.7545157.510513.115.9-132.6 23333.6931510567.541.6-127.0 23333.69315567.5-41.6-71.4 3 4.53,7518.43322.5513.1-21.4-79.9 4640330505-82.5 57.5 3.75-18.43315-25 5.6 2.4-86.2 693-33.69255-557.50-99.1 710.5 1.75-45135-85 5.6-1.8-118.4 8120-53.130-1150-2.9-141.5［例3-5-2］试求对称三铰拱在竖向均布荷载作用下的合理轴线。
第三章-静定结构受力分析,同济大学课件,朱慈勉版教材
F
D
ql x 2
ql x 2
解：
1 2 C F ql 8 1.EBCF为基本部分，AE和FD为附属部分。 2.求铰B、E处约束力及支座反力。 3.确定铰E、F的位置。 M MC 1 1 1 根据叠加原理， B M 中 ＝ ql 2 M B M C ql x x qx x 2 8 2 2 1 l 考虑到 M B M C M 中 ， 故， M B＝M C ql 2 , 从而， x 16 8
第3章
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 §3-6 §3-7
静定结构受力分析
Analysis of Statically Determinate Structures
概述 多跨静定梁 静定平面刚架 三铰拱 静定平面桁架 组合结构 静定结构的一般性质
土木工程学院 结构力学
2014/10/13
为何采用多跨静定梁这种结构型式?（多跨静定梁的优点）
q
0.086ql 2
多跨静定梁
0.086ql 2
l
x
0.086ql 2
l
x 0.172l时正负弯矩相等
q
简支梁(两个并列)
1 2 ql 8
1 2 ql 0.125ql 2 8
相同跨度相同荷载作用下，与简支梁相比，多跨静定梁弯矩较小， 而且分布均匀。（节省材料，便于大跨）
土木工程学院 结构力学 2014/10/13
例：
叠加法作梁的M图。
由杆端弯矩作图
叠加q弯矩图
ql 2 32
ql 2 16 ql 2 4
M2
叠加ql2弯矩图
ql 2 2
3ql 2 4
ql 2 32
《结构力学习题》(含答案解析)
第三章 静定结构的位移计算一、判断题：1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。
2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。
3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。
4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取：A.;; B.D.C.=1=15、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。
6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。
M k M p 21y 1y 2**ωω( a )M =17、图a 、b 两种状态中，粱的转角ϕ与竖向位移δ间的关系为：δ=ϕ 。
8、图示桁架各杆E A 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。
a a9、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。
二、计算题：10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角ϕA ，EI = 常数。
q l l l /211、求图示静定梁D 端的竖向位移 ∆DV 。
EI = 常数 ，a = 2m 。
a a a 10kN/m12、求图示结构E 点的竖向位移。
EI = 常数 。
l l l /3 2 /3/3q13、图示结构，EI=常数 ，M =⋅90kN m , P = 30kN 。
求D 点的竖向位移。
P 3m 3m 3m14、求图示刚架B 端的竖向位移。
ql15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数 。
q16、求图示刚架中Ｄ点的竖向位移。
EI ＝常数。
l/217、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。
EI＝常数。
18、求图示刚架中D点的竖向位移。
E I = 常数。
qll l/219、求图示结构Ａ、Ｂ两截面的相对转角，EI＝常数。
l/23l/320、求图示结构A、B两点的相对水平位移，E I = 常数。
ll21、求图示结构B点的竖向位移，EI = 常数。
结构力学.同济大学_朱慈勉
３、刚片：假想的一个在平面内完全不变形的刚性 物体叫作刚片。在平面杆件体系中，一根直杆、折 杆或曲杆都可以视为刚片，并且由这些构件组成的 几何不变体系也可视为刚片。
刚片中任一两点间的距离保持不变，既由刚片中 任意两点间的一条直线的位置可确定刚片中任一点 的位置。所以可由刚片中的一条直线代表刚片。
精品课件
精品课件
第一部分 静定结构内力计算
静定结构的特性： １、几何组成特性 ２、静力特性
静定结构的内力计算依据静力平衡原理。
第三章 静定梁和静定刚架
§3-1 单 跨 静 定 梁
单跨静定梁的类型：简支梁、伸臂梁、悬臂梁 一、截面法求某一指定截面的内力
精品课件
１、内力概念
内力是结构承受荷载及变形的能力的体现，可理 解为在各种外因用下结构内部材料的一种响应。内 力是看不见的，但可由结构上受有荷载和结构发生 变形（变形体）体现。
１）复链杆：若一个复链杆上连接了Ｎ个结点，则 该复链杆具有(2N-3)个约束，等于(2N-3)个链杆的 作用。 ２）复铰：若一个复铰上连接了Ｎ个刚片，则该复 铰具有2(N-1)个约束，等于(N-1)个单铰的作用。
精品课件
三、多余约束 在体系上加上或撤除某一约束并不改变原体系的
自由度数，则该约束就是多余约束。
拆除约束法：去掉体系的某些约束，使其成为无 多余约束的几何不变体系，则去掉的约束数即是体 系的多余约束数。
１、切断一根链杆或去掉一个支座链杆，相当去 掉一个约束；
２、切开一个单铰或去掉一个固定铰支座，相当 去掉两个约束；
３、切断一根梁式杆或去掉一个固定支座，相当 去掉三个约束；
４、在连续杆（梁式杆）上加一个单铰，相当去 掉一个约束。
§1-2 结构计算简图
结构力学朱慈勉上
2、在q(x)＝常量段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。其凹下去的 曲线象锅底一样兜住q(x)的箭头。
3、集中力作用点两侧，剪力值有突变、弯矩图形成尖点；集中力偶作用点 两侧，弯矩值突变、剪力值无变化。
三、用“拟简支梁法”绘 弯矩图
先绘出控制截面的弯矩竖标，其间若无外荷载作用，可用直线相连；若有外 荷载作用，则以上述直线为基线，再叠加上荷载在相应简支梁上的弯矩图。
①弯矩M：对梁而言，使杆件上凹者为正（也即下侧纤 维受拉为正），反之为负。一般情况下作内力图时，规定弯 矩图纵标画在受拉一侧，不标注正负号。
②剪力Q：使截开后保留部分产生顺时针旋转者为正， 反之为负。
③轴力N：拉为正，压为负。剪力图和轴力图可绘在杆 轴的任意一侧，但必须标注正负号。
Q
M
M
Q
N
N
M
M
Q
（2）在q(x)＝常量段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛 物线。其凹下去的曲线象锅底一样兜住q(x)的箭头。
（3）集中力作用点两侧，剪力值有突变、弯矩图形成尖点； 集中力偶作用点两侧，弯矩值突变、剪力值无变化。 返回
用“拟简支梁法”绘弯矩图
MA
NA QA A
q
MB
NB
l
B QB
(a)
MA
MA (c) q
（3）计算三铰刚架时，要利用中间铰弯矩为零的条件。 （4）绘剪力图、轴力图必须标正、负号；绘弯矩图不必 标正负号，弯矩图绘在受拉一侧。
（5）求支座反力后及绘内力图后都应进行校核。 2、刚架内力计算举例：
第3章
例题1 试作图示刚架内力图。
第3章
解: (一)求支座反力
X 0 MA 0 MB 0
H A 30() VB 96kn() VA 56kn()
3、集中力作用点两侧，剪力值有突变、弯矩图形成尖点；集中力偶作用点 两侧，弯矩值突变、剪力值无变化。
三、用“拟简支梁法”绘 弯矩图
先绘出控制截面的弯矩竖标，其间若无外荷载作用，可用直线相连；若有外 荷载作用，则以上述直线为基线，再叠加上荷载在相应简支梁上的弯矩图。
①弯矩M：对梁而言，使杆件上凹者为正（也即下侧纤 维受拉为正），反之为负。一般情况下作内力图时，规定弯 矩图纵标画在受拉一侧，不标注正负号。
②剪力Q：使截开后保留部分产生顺时针旋转者为正， 反之为负。
③轴力N：拉为正，压为负。剪力图和轴力图可绘在杆 轴的任意一侧，但必须标注正负号。
Q
M
M
Q
N
N
M
M
Q
（2）在q(x)＝常量段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛 物线。其凹下去的曲线象锅底一样兜住q(x)的箭头。
（3）集中力作用点两侧，剪力值有突变、弯矩图形成尖点； 集中力偶作用点两侧，弯矩值突变、剪力值无变化。 返回
用“拟简支梁法”绘弯矩图
MA
NA QA A
q
MB
NB
l
B QB
(a)
MA
MA (c) q
（3）计算三铰刚架时，要利用中间铰弯矩为零的条件。 （4）绘剪力图、轴力图必须标正、负号；绘弯矩图不必 标正负号，弯矩图绘在受拉一侧。
（5）求支座反力后及绘内力图后都应进行校核。 2、刚架内力计算举例：
第3章
例题1 试作图示刚架内力图。
第3章
解: (一)求支座反力
X 0 MA 0 MB 0
H A 30() VB 96kn() VA 56kn()
结构力学第三章
FS ＝７kN. FS ＝ ７kN(注意:集中力
章目录 第三节 第四节 第五节
•
偶矩对剪力无影响).
• ③CD段均布荷载,方向向下,根据微分关系,
FS 的一阶导数为 q , q 为常数,可推知 FS 是一次函数,
此段剪力图是斜直线 . 又因为 q 向下指向 , 和坐标正向相反 , 即 q ＜０ , 此区段剪力递减 . 只需求
静力平衡
3.1.2 利用静力平衡求解杆件内力
第三章 静定结构的内力分析
章目录 第一节 第二节 章目录 第三节 第四节 第五节
第1节
3.1.2 利用静力平衡求解杆件内力
静力平衡
• 计算截面内力的基本方法是截面法,即将结构沿拟求内力的截面截开,选取截面 任意一侧的部分为研究对象(取隔离体),去掉部分对留下部分的作用,用内力来 代替,然后利用平衡条件可求得截面内力。 • 截面法中,可根据平衡推出用外力计算内力分量的简便方法。 • (１)弯矩:等于截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和。 • (２)剪力:等于截面一侧所有外力沿截面方向的投影代数和。 • (３)轴力:等于截面一侧所有外力沿截面法线方向的投影代数和。
判断弯矩曲线的凹凸性。
图 3.5
结构力学课件
第三章 静定结构的内力分析
章目录
3.2.2
第一节 第二节 章目录 第三节 第四节 第五节
•
利用微分关系作内力图
第2节
静定梁
关于内力曲线凹凸性的判断,数学中有个雨伞法则:
•
由于工程中习惯将弯矩图画在杆件的受拉一侧 ,这样梁的弯矩图竖标人为地翻下来 ,以向下为正. 为方便记忆,经研究发现弯矩曲线的凸向与 q 的指向相同. 利用微分关系作内力图,总是要将梁分 成若干段,一段一段地画.梁的分段点为集中力、集中力偶作用点,以及分布荷载的起、终点。
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4.4 载荷、剪力和弯矩之间的关系 4.4.1 分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系
dFS(x) q(x) 若q(x)为常数，则可根据这些关系得到如下表格
dx
q(x)
FS (x)
M (x)
dM (x) dx
FS (x)
q0
FS 常数
FS 0 FS 0
FS 0
q0
q0
如图所示受任意载荷的直梁 建立坐标系
y
F1 F2
取其中一微段 dx q(x)为连续函数，规定向上为正
dx
x
q(x)
x
dx
FS M
M+dM
将该微段取出，加以受力分析
FS+dFS q
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4.4 载荷、剪力和弯矩之间的关系
4.4.1 分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系
dx
Fy 0
FS(x) M(x)
的形状特征和绘制内力图的叠加法。 构 计 构 面 架 定 力
熟练掌握弯矩图绘制，能迅速绘制弯 总 算 桁 内 梁 计
矩图。
论
架力内算
理解恰当选取脱离体和平衡方程计算
内图力
静定结构内力的方法与技巧。会根据
力图
几何组成寻找求解途径。
图
回顾和补充
材料力学内容回顾
杆件内力分析要点： • 内力正负号规定：
FN
FN
MM
FQ
FN
FN
FQ FQ
M
M
结构力学与材料力学内力规定的异同
• 轴力和剪力的正负号规定与材料力学相同 • 内力符号脚标有其特定的意义。如MAB表明
AB杆的A端弯矩 • 结构力学弯矩图画在受拉纤维一侧
4.3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
【例4-2】
图示简支梁受均布载荷q作用， 求 (1)剪力方程和弯矩方程； (2)画剪力图和弯矩图。
qx dx
2
dx
dM (x) dx
FS (x)
注意 在集中力和集中力偶作用处微分关系不成立
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4.4 载荷、剪力和弯矩之间的关系 4.4.1 分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系
dFS (x) q(x) 剪力图上某点的斜率等于分布载荷的数值 dx
dM (x) dx FS (x)
弯矩图上某点的斜率等于剪力的数值
Q图 M图
内力图形状特征
无何载区段 均布荷载区段 集中力作用处 集中力偶作用处
平行轴线 斜直线
↓ ↓ ↓ ↓↓ ↓
＋ －
二次抛物线 凸向即q指向
发生突变
＋P －
出现尖点
尖点指向即P的指向
无变化 发生突变
m
两直线平行
备 Q=0区段M图 Q=0处，M 集中力作用截 集中力偶作用面
注 平行于轴线 达到极值
Fx
M
Fy
Q+ΔQ
N+ΔN
M+ΔM
ΔM=m
增量关系说明了内力图的突变特征
3） 积分关系
FNB FNA AB qx (x)dx
FQB FQA AB qy (x)dx
M B M A AB FQdx
由微分关系可得 右端剪力等于左端剪力减去该 段qy的合力； 右端弯矩等于左端弯矩加上该 段剪力图的面积。
面剪力无定义
弯矩无定义
等于在零自q，、由有零qQ端、集、、、中平QqM铰、力、、支偶M斜qQ座、、作、、Q用抛M铰、，结M截点面处弯，矩无等集于中集力中偶力作偶用的，值截。面弯矩
第3章 静定结构 §3-1 概述
按几何构造特点求解 几何构造形式简单的静定结构比较容易求解，如：
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• 荷载与内力之间的关系：
qy
Q ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ Q+dQ
1 ） 微分关系
N
qx
→→→→→
N+dN x
M
M+dM
dFN dx
qx
dx y
dFQ dx
qy
qy向下为正
dM dx FQ 微分关系给出了内力图的形状特征
2） 增量关系
ΔN=－FX ΔQ=－Fy
Q
N
m
• 内力的叠加与分解：
假设：材料满足线弹性、小变形。
例：求截面1、截面2的内力
5kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓
FN2=50－141×cos45o
=－50kN
1
FQ2= －141×sin45°＝－100kN 2
1 2
50kN
M2＝ 50×5 －125－141×0.707×5 ＝－375kN.m +
在剪力图无突变(无集中力作用)的某段梁上，有
FS x 2 FS x1
x2 qxd x
x1
q图的面积
在弯矩图无突变(无集中外力偶作用)的某段梁上，有
M x 2 M x1
F x2
x1 S
x
dx
Fs图的面积
上述积分关系有时可简化控制截面的内力计算。
ql 2 8
(3)画出剪力图和弯矩图
M
ql2/8
+
剪力图 斜直线 弯矩图二次抛物线
B FB
－
x
ql/2
x
5/54
q
A x
FA q
l M(x)
x
FA FS ql/2
+
FS(x)
M
ql2+/8
B FB
－
x
ql/2
x
• 求内力的基本方法：
截面法（截取隔离体；代之相应截面内力；利 用平衡方程求解）
截开、代替、平衡
结构力学
STRUCTURAL MECHANICS
第3章 静定结构的受力分析
Chapter 3 Statically Determinate Structure
基本要求
静三组静静多截
掌握结构的支座反力的计算，结构的 定 铰 合 定 定 跨 面
剪力和轴力计算的两种方法，内力图 结 拱 结 平 刚 静 内
M(x)+dM(x)
FSx qxdx FSx d FSx 0 (1)
C
MC 0
FS(x)+dFS(x)
M
x
dM
x
qx
dx
dx 2
FS
x
dx
M
x
0
(2)
q(x) 由（1）式可得:
dFS (x) q(x) dx
（2）式中略去高阶微量
A x
FA q
l
解 (1)求约束力
FA
FB
ql 2
(2)列剪力方程和弯矩方程
FSx FA qx
ql 2
qx
0 x l
x
FA FS ql/2
+
M(x) FS(x)
M x ql x q x2 0 x l
2
2
M max
M
l 2
45° 141kN
M2＝375kN.m （左拉）
FN1=141×0.707=100kN
5m
FQ1=50 +5×5－141×0.707
=－25kN
M1=125 +141×0.707×10－50×5－5/2×5²
=812.5kNm
(下拉）
125kN.m 5m
4.4 载荷、剪力和弯矩之间的关系 4.4.1 分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系