二次函数和根与系数的关系

二次函数和根与系数的关

系

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例1：已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B （x2，y2）；（x1＜x2）

（1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变并证明你的猜想．（3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．

（平面内两点间的距离公式）．

解：（1）当k=1，m=0时，如图．

由得x2﹣x﹣1=0，∴x

1+x

2

=1，x

1

x

2

=﹣1，

过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C．∵直线AB的解析式为y=x+1，

∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC=|x

2﹣x

1

|==；同理，

当k=1，m=1时，AB=；

（2）猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB=．理由如下：由，得x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣1=0，

∴x

1+x

2

=2m+1，x

1

x

2

=m2+m﹣1，∴AB=AC=|x

2

﹣x

1

|==；

（3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下：①当k=0时，则函数的图象为直线y=1，

由，得A （﹣1，1），B （1，1），显然△AOB 为直角三角形；

②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1，

由，得x 2﹣x ﹣1=0，∴x 1+x 2=1，x 1x 2=﹣1，

∴AB=AC=|x 2﹣x 1|==，∴AB 2=10，

∵OA 2+OB 2=x 12+y 12+x 22+y 22=x 12+x 22+y 12+y 22=x 12+x 22+（x 1+1）2+（x 2+1）2=x 12+x 22+（x 12+2x 1+1）+（x 22+2x 2+1）=2（x 12+x 22）+2（x 1+x 2）+2=2（1+2）+2×1+2=10，∴AB 2=OA 2+OB 2，∴△AOB 是直角三角形；

③当k 为任意实数，△AOB 仍为直角三角形．

由，得x 2﹣kx ﹣1=0，∴x 1+x 2=k ，x 1x 2=﹣1，∴AB 2=（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2=（x 1﹣x 2）2+（kx 1﹣kx 2）2=

（1+k 2）（x 1﹣x 2）2=（1+k 2）[（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2]=（1+k 2）（4+k 2）=k 4+5k 2+4，

∵OA 2+OB 2=x 12+y 12+x 22+y 22=x 12+x 22+y 12+y 22=x 12+x 22+（kx 1+1）2+（kx 2+1）2=x 12+x 22+（k 2x 12+2kx 1+1）+（k 2x 22+2kx 2+1）=（1+k 2）（x 12+x 22）+2k （x 1+x 2）+2=（1+k 2）（k 2+2）+2kk+2=k 4+5k 2+4，

∴AB 2=OA 2+OB 2

，

∴△AOB 为直角三角形．

如图，已知抛物线y=x2-4x+3，过点D(0，-

2

5

)的直线与抛物线交于点M 、N ，与x 轴交于点E ，且点M 、N 与X 轴交于E 点，且M 、N 关于点E 对称，求直线MN 的解析式。

解：∵D(0,-

2

5) ∴设直线MN 的解析式为y=kx-

2

5 ∴252

43

y kx y x x ⎧

=-⎪⎨⎪=-+⎩ ∴kx-

2

5

= x2-4x+3 ∴x2-(4+k)x+

112

=0 1x +2x =-

b

a

=4+k ∵m y +

n y =0=k(4+k)

∴k=1或-5(舍)

∴直线MN 的解析式为y=x-

2

5 1、 如图，抛物线y=x 2﹣2x ﹣3与坐标轴交于A 、B 、三点，直线y=kx-1与抛物线交于P 、Q 两点，且

y 轴平分△PCQ 的面积，求k 的值。 （答案：k=-2）

已知：二次函数m x m x y ++-=)1(2的图象交x 轴于)0,(1x A 、)0,(2x B 两点，

交y 轴正半轴于点C ，且102

2

21=+x x 。 （1）求此二次函数的解析式；

（2）是否存在过点D (0，

2

5

)的直线与抛物线交于点M 、N ，与x 轴交于点E ，使得点M 、N 关于点E 对称若存在，求直线MN 的解析式；若不存在，请说明理由。

4

2

2

5

E

M

N

D

O

例2、已知抛物线y=﹣2x﹣5与x轴交A、B两点，与y轴交于点C，将直线m:y=向上平移，交抛物线于M、N。MN交y轴正半轴于点 T，S△MCT-S△CNT=44，求直线m的解析式。

如图，抛物线y=x2，过Q（0，3）作直线l交抛物线于E、F，点Q关于原点的对称点为P，当S△PEF=12时，求E、F点的坐标。

如图，抛物线y=—x2+4x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，将抛物线沿射线OM的方向平移，平移后的抛物线交x轴于点A1，B1，若2≦A1B1≦4，求M移动的最大距离.如图，抛物线y=—x2+3x+6交 y轴于点A，点C(4，k) 在抛物线上，将抛物线向右平移n个单位长度后与直线AC 交于M、 N两点，且M、N关于点C成中心对称，求n的值。

解：∵点A、C在抛物线y=-x2+3x+6上∴A(0,6) C(4,2) ∴AC:y=-x+6

∵抛物线y=-x2+3x+6的顶点G,

抛物线向右平移n个单位后，G点对应点G’坐标为+n,,设新抛物线解析式为y=-[x-+n)]2+

联立：

2

( 1.5)8.25

6

y x n

y x

⎧=---+

⎨

=-+

⎩

∴x2-(4+2n)x+n2+3n=0 ∴

M N

X X

+=4+2n

∵点M、N关于C点中心对称∴42

2

n

+

=

C

x=2 ∴n=2

、如图，已知抛物线y=-x2+2x+3与坐标轴交于A、B、C三点，点D、C关于原点对称，点M、N是抛物线上两点，且四边形CMDN为平行四边形，求点M、N的坐标。

解：∵点A、B、C在抛物线y=-x2+2x+3上