辛算法在电磁计算中的应用

辛算法在电磁计算中的应用

摘要

近几年，随着计算机性能的飞速发展和计算物理中各种新型算法的出现，各种电磁场数值方法层出不穷，但很多算法面临着计算时间长、储存空间不足及计算精度低等方面的困难。Hamilton系统理论是当代数学物理中的一个重要的工具。一切守恒的物理过程，总能表示成适当的Hamilton系统。辛算法正是保持Hamilton系统内在性质的一种新型数值方法，该算法在长时间的数值计算中，具有一般数值方法无可比拟的计算优势。

本文首先介绍了电磁学的基本背景和电磁计算的研究，然后介绍了辛算法。接着，介绍了辛算法在Maxwell方程中的应用，然后在无耗煤质和散射存在时的情况下分析了辛时域有限差分法的计算式。最后，以真空中一维的高斯脉冲电磁波为例用辛算法进行了数值运算。

关键词：电磁计算；辛算法；Hamilton系统；Maxwell方程

一．引言

电磁场理论的应用遍及地理学、生命科学、医学、材料科学和信息科学等几乎所有技术学科领域。计算电磁学是以电磁场理论为基础，以高性能的计算技术为手段，运用计算数学提供的各种方法，解决复杂电磁场理论和工程问题的应用科学。因此，开展计算电磁学的研究不仅可以产生国际水平的基础研究成果，更重要的是可以促进我国民用和军用电磁学相关领域的发展。

早在1864年，Maxwell在前人理论和实验的基础上建立了统一的电磁场理论，并用数学模型揭示了自然界一切宏观电磁现象所遵循的普遍规律，这就是Maxwell方程组，它包括微分形式和积分形式。简单地说，所有的宏观电磁问题都可以归结为Maxwell方程组在各种边界条件下的求解问题。计算电磁学自20世纪60年代兴起，至今40余年。纵观整个电磁理论发展的过程，电磁学的发展可以分为两个阶段。以20世纪60年代为分界点，之前可以称为经典电磁学阶段，在这个时期，电磁场理论和工程中的许多问题大多采用解析或渐进的

方法进行处理，即在几种可分离变量的坐标系中求解Maxwell方程组或其退化形式，最后得到解析解。之后基于积分方程的矩量法和基于微分方程的差分类方法为代表的数值计算方法的运用标志着计算电磁学阶段的到来，电子计算机的迅速发展，使大型数值运算成为可能。之后计算Maxwell方程进入了高速发展阶段，所采用的方法大都是先将Maxwell方程离散化，再运用程序进行数值结果计算。

二．电磁学中常见的计算方法

从计算电磁学作为一门学科问世以来，频域方法一直占据着主导地位。然而，随着人们在应用电磁学领域研究的深入，传统的点频法和窄频带方法已经不能满足需要。科学实践的需求推动了时域数值技术的发展和成熟。随着计算机硬件技术的发展，人们逐步具有了直接在时域对具有宽频带特性的瞬变电磁场计算分析的能力，从而实现了对物理量和物理现象更深刻、更直观的理解。时域数值技术的一个突出优点是可以给出关于问题空间的丰富的时域信息，而且经过简单的时频变换，即可得到宽带范围的频域信息，相对频域方法显著地节约了计算量。最近几十年是电磁场时域技术蓬勃发展的时期，各具优势和特色的新颖时域算法层出不穷。

计算中应用的方法有：蒙特卡罗法有限差分法有限元法、矩量法、辛算法等；时域方面的方法有：时域有限差分法、时域多分辨法、时域伪谱法等。

三．辛算法与Hamilton系统

由于电磁场方程可以转化为一无穷维Hamilton系统，而Hamilton系统具有一系列的内在性质，因而在对Hamilton系统的数值求解时，保持其内在性质就显得尤为重要。辛算法正是保持Hamilton系统内在性质的一种新型数值方法，该算法在长时间的数值计算中，具有常见数值方法无可比拟的计算优势。

哈密顿系统理论是当代数学物理中的一个重要的工具。一切守恒的物理过程，无论是经典的，量子的或相对论的，无论自由度为有限的或无限的，总能表示为适当的Hamilton系统。从理论上来说，线性的或非线性的电磁场方程，如标量波动方程，Maxwell方程也都可转化为Hamilton系统。基于Hamilton系统的辛算法，应用于电磁散射数值方法的研究的演化永远是辛变换演进，因此其主要特征就是系统的相空间体积保持不变和总能量守恒。而常用的数值方法如有限元法等都不能保持这种性质，会引入人为的耗散机制和虚假的激励以及种种非Hamilton系统原有的干扰和歪曲，特别是在迭代步数很大的情况下，这种现象尤为

突出。

辛算法是一种基于Hamilton系统的算法，能量守恒对应的数学表述为系统状态的演化过程是辛变换，因而在计算系统状态时的离散化方程也应该是辛变换，满足这一条件的数值方法统称为辛算法。正因为如此，辛算法能够保证系统随着时间的演化过程永远是辛变换，即始终保持Hamilton系统的基本特征，这也确保了该数值方法的对称和守恒。

八十年代初期，国内外专家开始对Hamilton系统的算法进行研究。国内已故著名数学家冯康先生在一九八四年国际微分几何和微分方程会议上系统地提出了一种能够保持Hamilton系统基本特征的算法——辛几何算法也称为辛算法或辛格式。随后，辛算法不仅因其本身丰富的内涵而成为目前数值算法研究的热点，而且因其良好的数值特性广泛应用于许多学科领域中。例如，辛算法已应用于量子力学和强场物理、化学反应动力学、天体力学和大气与海洋科学、分子动力学、地理学等领域的研究中，并已取得了很好的成果。四．辛算法在Maxwell方程中的应用

1.Maxwell方程组的Hamilton表述

时域Maxwell旋度方程在介质中传播时的方程形式为

▽×H=ε+J

▽×E=-ε-Jm

电磁场中的Maxwell方程组可以用如下的Hamilton函数H表示

Π(B,D)=(B▽×B+D▽×D)-JB+JmD

则Maxwell可以表示为下面的Hamilton典则方程形式

=

=-

这样就可以把适用于Hamilton系统的辛算法应用到求解Maxwell方程的FDTD方法中来。2.辛时域有限差分法的计算式

(1)无耗媒质的情况

当电流密度为零，即J=0时，建立辛差分格式。为了和传统的FDTD取得一致的形式，用E，H来代替D，B，则上面的Maxwell方程的典则形式如下:

==-▽×E