《复数的四则运算》人教A版高中数学精讲课件
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图D-7-2
【特别提醒】运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题 （1）向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则 是复数加法、减法几何意义的依据. （2）利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点， 在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数. （3）注意向量 AB 对应的复数是zB-zA（终点对应的复数减去 起点对应的复数）. （4）根据复数及复数运算的几何意义，复数的加、减运算 与向量的加、减运算可以互相转化，从而得到合理的解题方 法. （5）向量 AB 在复平面内对应的复数为点B对应的复数减去点 A对应的复数.
（2-i）＝5.
方法二：∵ z＝2+i，∴ |z|＝ 22 12 ＝ 5 ，∴ z· z ＝|z|2＝5.
（2）设z1＝a+bi（a，b∈R），则|z1|＝ a2 b2 ＝5，即a2+b2
＝25，
z1 ·z2＝（ a+bi）·（ 3+4i）＝ （3a-4b）+（3b+4a ）i.
∵ z1·z2是纯虚数，
方 法二 ： 因为 z+1- 3i ＝5-2i ， 所以 z＝ （ 5-2i） -（ 1-3i） ＝
4+i.
【答案】 （1）1+i （2）4+i
训练题1［2019·天津重点中学高三联考］已知z1＝3+i，z2 ＝1+5i，则复数z＝z2-z1对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1.答案： B 解析：z＝z2-z1＝（1+5i）-（3+i）＝-2+4i.
3a 4b 0,
∴
3b a 2
4a b2
0, 25,
解得
a b
4, 3
或
a b
4, 3.
∴ z1＝4+3i或z1＝-4-3i. 【答案】 （1）D （2）4+3i或-4-3i
人教A版（2019）高中数学必修第二册 教学课 件：第 七章 7.2 复数的四则运算(共33张PPT)
训练题6［2019·湖北八校高三二联］已知a，b∈R，i是虚数 单位.若a-i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2＝ （ ）
（3）常用运算技巧 ①（a+bi）2＝a2+2abi-b2（a，b∈R）； ②（a+bi）（a-bi）＝a2+b2（a，b∈R），即z· z ＝|z|2； ③（1±i）2＝±2i.
人教A版（2019）高中数学必修第二册 教学课 件：第 七章 7.2 复数的四则运算(共33张PPT)
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3.两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部 部分分别相加（减）
4.复数减法的几何意义
两个复数z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R）在复平 面内对应的向量分别是OZ1 ，OZ2 ，那么这两个复数的差z1-z2 对应的向量是OZ1 -OZ2 ，即向量 Z2Z1 .
如果作OZ ＝ Z2Z1 ，那么点Z对应的复数就是z1-z2（如图所 示），即复数（a-c）+（b-d ）i对应 的向量 .这是 复数减 法的 几何意义（就是平面向量减法的三角形法则）.
BC ＝OC -OB ＝（-1，-2）-（-2，1）＝（1，-3）.
∵
AD＝ BC ，∴ （x-1，y-2）＝（1，-3），∴
x 2,
y
1.
∴ 点D对应的复数为2-i.
（方法二）∵ ABCD为正方形，A，C关于原点O对称，
∴ O为正方形ABCD的中心.
设D（x，y），则
x y
2 1
00，，∴
训练题7［2019·江西赣州中学高三检测］复数z＝
（3-2i）i的共轭复数 z 等于 （ ）
A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D.2+3i 7. 答案： C 解析：∵ z＝（3-2i）i＝3i-2i2＝2+3i，
∴ z ＝2-3i.
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x y
2，1，∴
点D对应的复数为2-i.
训练题 4［2019·广东深圳高级中学高二期末］在复平面内，
O 是原点，OA ，OC ，AB 对应的复数分别为-2+i，3+2i，1+5i，
那么 BC 对应的复数为
.
4.答案： 4-4i 解析：∵ BC ＝-（ OA - OC + AB ），∴ BC 对 应的复数为-［-2+i-（3+2i）+（1+5i）］＝-［（-2-3+1） +（1-2+5）i］ ＝-（-4+4i）＝4-4i.
<2>复数加、减法的几何意义
例2. 如图7-2-1，已知平行四边形OABC的三个顶点O，A， C对应的复数分别为0，3+2i，-2+4i.
图7-2-1 （1）求 AO 表示的复数； （2）求CA 表示的复数； （3）求B点对应的复数.
【解题提示】 （1）利用 AO ＝- OA 求解. （2）根据CA ＝OA -OC 求解.（3）根据OB ＝OA +OC 求解. 【解】（1）∵ AO ＝- OA ，∴ AO 表示的复数为-（3+2i）， 即-3-2i. （2）∵ CA ＝OA -OC ，∴ CA 表示的复数为（3+2i）-（-2+4i） ＝5-2i. （3）∵ OB ＝ OA + AB ＝OA +OC ，∴ OB 表示的复数为（3+2i） +（-2+4i）＝1+6i. 即B点对应的复数为1+6i.
二 复数的乘、除运算
<1>复数的乘法运算
例3
（1）［2019·北京卷］已知复数z＝2+i，则z·z ＝ （ ）
A. 3 B. 5 C.3 D.5
（2）若|z1|＝5，z2＝3+4i，且z1·z2是纯虚数，则z1＝
.
【解析】（1）方法一：∵ z＝2+i，∴ z ＝2-i，∴ z· z ＝（2+i）
训练题2［2019·福建厦门高三模拟］已知|z|＝3，且z+3i是纯
虚数，则z＝
.
2.答案： 3i 解析：设z＝x+yi（x，y∈R），∵ x2+y2＝
32，且z+3i＝x+yi+3i＝x+（y+3）i是纯虚数，∴
x 0，
y
3.
∴ z＝3i.
【技巧点拨】 进行复数加、减运算时： （1）复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. （2）把i看作一个字母，类比多项式加、减运算中的合并同类项. （3）复数的加法可以推广到多个复数相加的情形. 【注意】 （1）复数z＝a+bi（a，b∈R）对应的点为（a，b）. （2）当已知|z|求解复数z时，一般用待定系数法求解，需设z＝a+bi （a，b∈R）.
训练题5［2019·湖北孝感高二检测］已知z∈C，且|z+3-4i|＝1， 求|z|的最大值与最小值. 5 解：由于|z+3-4i|＝|z-（-3+4i）|＝1，所以在复平面上， 复 数 z对 应 的 点 Z 与 复 数 -3+4 i 对 应 的 点 C 之 间 的 距 离 等 于 1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C（-3，4）为圆心，半 径等于1的圆，如图D-7-2.而|z|表示复数z对应的点Z到原 点O的距离，又|OC|＝5，所以点Z到原点O的最大距离为 5+1＝6，最小距离为5-1＝4.即|z|max＝6，|z|min＝4.
（c+di）写成 a bi 的形式，再把分子与分母都乘分母 c di
的共轭复数 c-di（使分母“实数化”），化简可得上 面的结果.
常考题型
一. 复数的加、减运算
<1>复数的加法与减法运算
例1（1）
1 3
1 2
i
+（2-i）-
4 3
3 2
i
＝
.
（2）已知复数z满足z+1-3i＝5-2i，则z＝
即 z· z ＝|z|2＝|z |2＝|z2|
这是复数模的一个常用性质，也是共轭复数的一个 性质.
二、复数的除法
复数除法的法则
（a+bi）÷（c+di）＝ ac bd + bc ad i（a，b，c，d
c2 d 2
c2 d 2
∈R，且c+di≠0）.
说明：在进行复数除法运算时，通常先把（a+bi）÷
第七章 复数
7.2 复数的四则运算
学习目标
1.能进行复数代数形式的四则运算. 2.了解两个具体复数相加、相减的几何意义，能够利用“数形 结合”的思想解题.
重点：复数的代数形式的加、减法运算，复数加、减运算的几 何意义. 难点：复数减法的运算法则.
知识梳理
一.复数的加法
1. 复数的加法法则 设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么它们的 和 （a+bi）+（c+di）＝（a+c）+（b+d）i. （1）两个复数相加，类似于两个多项式相加. （2）复数的加法满足交换律、结合律. （3）复数的加法法则可推广到多个复数相加的情形. 2.复数加法的几何意义
A.5-4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i 6.答案：D 解析：由题意知a-i＝2-bi，∴ a＝2，b＝1， ∴ （a+bi）2＝（2+i）2＝3+4i.
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设 OZ1 ，OZ2 分别与复数a+bi，c+di对应，则两个向量 OZ1 与 OZ2 的和就是与复数（a+c）+（b+d）i对应的向量.如图7.2-1 （向量 OZ1 与OZ2 不共线时），这就是复数加法的几何意义（就 是向量加法的平行四边形法则）.
图7.2-1
二.复数的减法
1.复数的减法法则 （a+bi）-（c+di）＝（a-c）+（b-d）i. 2.两个复数相减，类似于两个多项式相减.
三.复数的乘法
1.复数的乘法法则 设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R）是任意两个复 数，那么它们的积
（a+bi）（c+di） ＝（ac-bd）+（ad+bc）i. 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果 中把 i2 换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可.
2.复数乘法的运算律
.
【解析】
（1）
1 3
1 2
i
+（2-i
）-
4 3
3 2
i
＝
1 3
2
4 3
+
1 2
1
3 2
i
＝1+i.
（2）方法 一：设 z＝ x+yi（x，y ∈R），因为 z+1- 3i＝ 5-2i ，
所以x+yi+（1-3i）＝5-2i，即x+1＝5且y-3＝-2，解得x＝
4，y＝1，所以z＝4+i.
【名师点拨】 （1）|z-z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时， 要把绝对值号内变为两复数差的形式. （2）|z-z0|＝r表示复数z在复平面内对应的点的轨迹为以z0 对应的点为圆心，r为半径的圆. （3）涉及复数模的最值问题，可从两点间距离公式入手进 行分析判断，然后运用数形结合的方法进行求解.
<2>复数的除法运算 (1 i)3
例4.（1） (1 i)2 ＝ （ ） A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
（2）［2019·全国Ⅲ卷］若z（1+i）＝2i，则z＝ （ ） A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
对于任意z1，z2，z3∈C，有
（1）交换律：
z1z2＝z2z1，
（2）结合律：
（z1z2）z3＝z1（z2z3），
（3）分配律：
z1（z2+z3）＝z1z2+z1z3.
请思考:若z1，z2是共轭复数，那么z1+z2，z1-z2， z1·z2分别是怎样的数？
提示：设z1＝a+bi，则z2＝a-bi （a，b∈R）， 从而z1+z2＝（a+bi）+（a-bi）＝2a∈R. z1-z2＝（a+bi）-（a-bi）＝2bi， z1·z2＝（a+bi）（a-bi ）＝a2+b2∈R.
训练题3 如图7-2-2，已知复平面内的正方形ABCD的三个
顶 点 A ， B ， C 分 别 对 应 复 数 zA＝ 1+2i ， zB＝-2+i，
zC＝-1-2i ，则顶 点D对应的 复数为
.
图7-2-2
3.答案：2-i 解析：（方法一）设D（x，y），
则 AD ＝ OD -OA ＝（x，y）-（1，2）＝（x-1，y-2）.
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【方法点拨】 （1）两个复数相乘时，首先按多项式的乘法展开；再将i2 换成-1；然后进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形 式.
（2）复数模的一个常用性质：|z|2＝| z |2＝|z2|＝z· z .
【特别提醒】运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题 （1）向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则 是复数加法、减法几何意义的依据. （2）利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点， 在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数. （3）注意向量 AB 对应的复数是zB-zA（终点对应的复数减去 起点对应的复数）. （4）根据复数及复数运算的几何意义，复数的加、减运算 与向量的加、减运算可以互相转化，从而得到合理的解题方 法. （5）向量 AB 在复平面内对应的复数为点B对应的复数减去点 A对应的复数.
（2-i）＝5.
方法二：∵ z＝2+i，∴ |z|＝ 22 12 ＝ 5 ，∴ z· z ＝|z|2＝5.
（2）设z1＝a+bi（a，b∈R），则|z1|＝ a2 b2 ＝5，即a2+b2
＝25，
z1 ·z2＝（ a+bi）·（ 3+4i）＝ （3a-4b）+（3b+4a ）i.
∵ z1·z2是纯虚数，
方 法二 ： 因为 z+1- 3i ＝5-2i ， 所以 z＝ （ 5-2i） -（ 1-3i） ＝
4+i.
【答案】 （1）1+i （2）4+i
训练题1［2019·天津重点中学高三联考］已知z1＝3+i，z2 ＝1+5i，则复数z＝z2-z1对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1.答案： B 解析：z＝z2-z1＝（1+5i）-（3+i）＝-2+4i.
3a 4b 0,
∴
3b a 2
4a b2
0, 25,
解得
a b
4, 3
或
a b
4, 3.
∴ z1＝4+3i或z1＝-4-3i. 【答案】 （1）D （2）4+3i或-4-3i
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训练题6［2019·湖北八校高三二联］已知a，b∈R，i是虚数 单位.若a-i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2＝ （ ）
（3）常用运算技巧 ①（a+bi）2＝a2+2abi-b2（a，b∈R）； ②（a+bi）（a-bi）＝a2+b2（a，b∈R），即z· z ＝|z|2； ③（1±i）2＝±2i.
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3.两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部 部分分别相加（减）
4.复数减法的几何意义
两个复数z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R）在复平 面内对应的向量分别是OZ1 ，OZ2 ，那么这两个复数的差z1-z2 对应的向量是OZ1 -OZ2 ，即向量 Z2Z1 .
如果作OZ ＝ Z2Z1 ，那么点Z对应的复数就是z1-z2（如图所 示），即复数（a-c）+（b-d ）i对应 的向量 .这是 复数减 法的 几何意义（就是平面向量减法的三角形法则）.
BC ＝OC -OB ＝（-1，-2）-（-2，1）＝（1，-3）.
∵
AD＝ BC ，∴ （x-1，y-2）＝（1，-3），∴
x 2,
y
1.
∴ 点D对应的复数为2-i.
（方法二）∵ ABCD为正方形，A，C关于原点O对称，
∴ O为正方形ABCD的中心.
设D（x，y），则
x y
2 1
00，，∴
训练题7［2019·江西赣州中学高三检测］复数z＝
（3-2i）i的共轭复数 z 等于 （ ）
A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D.2+3i 7. 答案： C 解析：∵ z＝（3-2i）i＝3i-2i2＝2+3i，
∴ z ＝2-3i.
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x y
2，1，∴
点D对应的复数为2-i.
训练题 4［2019·广东深圳高级中学高二期末］在复平面内，
O 是原点，OA ，OC ，AB 对应的复数分别为-2+i，3+2i，1+5i，
那么 BC 对应的复数为
.
4.答案： 4-4i 解析：∵ BC ＝-（ OA - OC + AB ），∴ BC 对 应的复数为-［-2+i-（3+2i）+（1+5i）］＝-［（-2-3+1） +（1-2+5）i］ ＝-（-4+4i）＝4-4i.
<2>复数加、减法的几何意义
例2. 如图7-2-1，已知平行四边形OABC的三个顶点O，A， C对应的复数分别为0，3+2i，-2+4i.
图7-2-1 （1）求 AO 表示的复数； （2）求CA 表示的复数； （3）求B点对应的复数.
【解题提示】 （1）利用 AO ＝- OA 求解. （2）根据CA ＝OA -OC 求解.（3）根据OB ＝OA +OC 求解. 【解】（1）∵ AO ＝- OA ，∴ AO 表示的复数为-（3+2i）， 即-3-2i. （2）∵ CA ＝OA -OC ，∴ CA 表示的复数为（3+2i）-（-2+4i） ＝5-2i. （3）∵ OB ＝ OA + AB ＝OA +OC ，∴ OB 表示的复数为（3+2i） +（-2+4i）＝1+6i. 即B点对应的复数为1+6i.
二 复数的乘、除运算
<1>复数的乘法运算
例3
（1）［2019·北京卷］已知复数z＝2+i，则z·z ＝ （ ）
A. 3 B. 5 C.3 D.5
（2）若|z1|＝5，z2＝3+4i，且z1·z2是纯虚数，则z1＝
.
【解析】（1）方法一：∵ z＝2+i，∴ z ＝2-i，∴ z· z ＝（2+i）
训练题2［2019·福建厦门高三模拟］已知|z|＝3，且z+3i是纯
虚数，则z＝
.
2.答案： 3i 解析：设z＝x+yi（x，y∈R），∵ x2+y2＝
32，且z+3i＝x+yi+3i＝x+（y+3）i是纯虚数，∴
x 0，
y
3.
∴ z＝3i.
【技巧点拨】 进行复数加、减运算时： （1）复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. （2）把i看作一个字母，类比多项式加、减运算中的合并同类项. （3）复数的加法可以推广到多个复数相加的情形. 【注意】 （1）复数z＝a+bi（a，b∈R）对应的点为（a，b）. （2）当已知|z|求解复数z时，一般用待定系数法求解，需设z＝a+bi （a，b∈R）.
训练题5［2019·湖北孝感高二检测］已知z∈C，且|z+3-4i|＝1， 求|z|的最大值与最小值. 5 解：由于|z+3-4i|＝|z-（-3+4i）|＝1，所以在复平面上， 复 数 z对 应 的 点 Z 与 复 数 -3+4 i 对 应 的 点 C 之 间 的 距 离 等 于 1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C（-3，4）为圆心，半 径等于1的圆，如图D-7-2.而|z|表示复数z对应的点Z到原 点O的距离，又|OC|＝5，所以点Z到原点O的最大距离为 5+1＝6，最小距离为5-1＝4.即|z|max＝6，|z|min＝4.
（c+di）写成 a bi 的形式，再把分子与分母都乘分母 c di
的共轭复数 c-di（使分母“实数化”），化简可得上 面的结果.
常考题型
一. 复数的加、减运算
<1>复数的加法与减法运算
例1（1）
1 3
1 2
i
+（2-i）-
4 3
3 2
i
＝
.
（2）已知复数z满足z+1-3i＝5-2i，则z＝
即 z· z ＝|z|2＝|z |2＝|z2|
这是复数模的一个常用性质，也是共轭复数的一个 性质.
二、复数的除法
复数除法的法则
（a+bi）÷（c+di）＝ ac bd + bc ad i（a，b，c，d
c2 d 2
c2 d 2
∈R，且c+di≠0）.
说明：在进行复数除法运算时，通常先把（a+bi）÷
第七章 复数
7.2 复数的四则运算
学习目标
1.能进行复数代数形式的四则运算. 2.了解两个具体复数相加、相减的几何意义，能够利用“数形 结合”的思想解题.
重点：复数的代数形式的加、减法运算，复数加、减运算的几 何意义. 难点：复数减法的运算法则.
知识梳理
一.复数的加法
1. 复数的加法法则 设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么它们的 和 （a+bi）+（c+di）＝（a+c）+（b+d）i. （1）两个复数相加，类似于两个多项式相加. （2）复数的加法满足交换律、结合律. （3）复数的加法法则可推广到多个复数相加的情形. 2.复数加法的几何意义
A.5-4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i 6.答案：D 解析：由题意知a-i＝2-bi，∴ a＝2，b＝1， ∴ （a+bi）2＝（2+i）2＝3+4i.
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设 OZ1 ，OZ2 分别与复数a+bi，c+di对应，则两个向量 OZ1 与 OZ2 的和就是与复数（a+c）+（b+d）i对应的向量.如图7.2-1 （向量 OZ1 与OZ2 不共线时），这就是复数加法的几何意义（就 是向量加法的平行四边形法则）.
图7.2-1
二.复数的减法
1.复数的减法法则 （a+bi）-（c+di）＝（a-c）+（b-d）i. 2.两个复数相减，类似于两个多项式相减.
三.复数的乘法
1.复数的乘法法则 设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R）是任意两个复 数，那么它们的积
（a+bi）（c+di） ＝（ac-bd）+（ad+bc）i. 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果 中把 i2 换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可.
2.复数乘法的运算律
.
【解析】
（1）
1 3
1 2
i
+（2-i
）-
4 3
3 2
i
＝
1 3
2
4 3
+
1 2
1
3 2
i
＝1+i.
（2）方法 一：设 z＝ x+yi（x，y ∈R），因为 z+1- 3i＝ 5-2i ，
所以x+yi+（1-3i）＝5-2i，即x+1＝5且y-3＝-2，解得x＝
4，y＝1，所以z＝4+i.
【名师点拨】 （1）|z-z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时， 要把绝对值号内变为两复数差的形式. （2）|z-z0|＝r表示复数z在复平面内对应的点的轨迹为以z0 对应的点为圆心，r为半径的圆. （3）涉及复数模的最值问题，可从两点间距离公式入手进 行分析判断，然后运用数形结合的方法进行求解.
<2>复数的除法运算 (1 i)3
例4.（1） (1 i)2 ＝ （ ） A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
（2）［2019·全国Ⅲ卷］若z（1+i）＝2i，则z＝ （ ） A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
对于任意z1，z2，z3∈C，有
（1）交换律：
z1z2＝z2z1，
（2）结合律：
（z1z2）z3＝z1（z2z3），
（3）分配律：
z1（z2+z3）＝z1z2+z1z3.
请思考:若z1，z2是共轭复数，那么z1+z2，z1-z2， z1·z2分别是怎样的数？
提示：设z1＝a+bi，则z2＝a-bi （a，b∈R）， 从而z1+z2＝（a+bi）+（a-bi）＝2a∈R. z1-z2＝（a+bi）-（a-bi）＝2bi， z1·z2＝（a+bi）（a-bi ）＝a2+b2∈R.
训练题3 如图7-2-2，已知复平面内的正方形ABCD的三个
顶 点 A ， B ， C 分 别 对 应 复 数 zA＝ 1+2i ， zB＝-2+i，
zC＝-1-2i ，则顶 点D对应的 复数为
.
图7-2-2
3.答案：2-i 解析：（方法一）设D（x，y），
则 AD ＝ OD -OA ＝（x，y）-（1，2）＝（x-1，y-2）.
人教A版（2019）高中数学必修第二册 教学课 件：第 七章 7.2 复数的四则运算(共33张PPT)
【方法点拨】 （1）两个复数相乘时，首先按多项式的乘法展开；再将i2 换成-1；然后进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形 式.
（2）复数模的一个常用性质：|z|2＝| z |2＝|z2|＝z· z .