电动力学习题解答3

第三章 静磁场
1. 试用A 表示一个沿z 方向的均匀恒定磁场0B ，写出A 的两种不同表示式，证明二者之差为无旋场。

解：0B 是沿 z 方向的均匀恒定磁场，即 z B e B 00=，由矢势定义B A =⨯∇得
0//=∂∂-∂∂z A y A y z ；0//=∂∂-∂∂x A z A z x ；0//B y A x A x y =∂∂-∂∂
三个方程组成的方程组有无数多解，如：
○
10==z y A A ，)(0x f y B A x +-= 即：x x f y B e A )]([0+-=； ○20==z x A A ，)(0y g x B A y += 即：y y g x B e A )]([0+= 解○1与解○2之差为y x y g x B x f y B e e A )]([)]([00+-+-=∆ 则 0)//()/()/()(=∂∂-∂∂+∂∂+∂-∂=∆⨯∇z x y y x x y y A x A z A z A e e e A 这说明两者之差是无旋场
2. 均匀无穷长直圆柱形螺线管，每单位长度线圈匝数为n ，电流强度I ，试用唯一性定理
求管内外磁感应强度B 。

解：根据题意，取螺线管的中轴线为 z 轴。

本题给定了空间中的电流分布，故可由
⎰⨯=
'43
0dV r r
J B πμ 求解磁场分布，又 J 只分布于导线上，所以
⎰⨯=3
04r Id r l B πμ
1)螺线管内部：由于螺线管是无限长理想螺线管，所以其内部磁场是均匀强磁场，故只须求出其中轴 线上的磁感应强度，即可知道管
内磁场。

由其无限长的特性，不z y x z a a e e e r ''sin 'cos ---=φφ， y x ad ad d e e l 'cos ''sin 'φφφφ+-= )''sin 'cos ()'cos ''sin '(z y x y x z a a ad ad d e e e e e r l ---⨯+-=⨯φφφφφφ
z y x d a d az d az e e e '''sin '''cos '2φφφφφ+--=
取''~'dz z z +的一小段，此段上分布有电流'nIdz
⎰++--=∴2
/3222
0)
'()'''sin '''cos '('4z a d a d az d az nIdz z y x e e e B φφφφφπμ ⎰⎰⎰+∞
∞
-+∞
∞
-=+=+=z z I n a z a z d nI nI z a dz a d e e 02/3202/3222200
])/'(1[)
/'(2)'('
'4μμφπ
μπ
2)螺线管外部：由于螺线管无限长，不妨就在过原点而垂直于轴线的平面上任取一点
)0,,(φρP 为场点，其中a >ρ。

222')'sin sin ()'cos cos ('z a a r +-+-=-=φφρφφρx x
)'cos(2'222φφρρ--++=a z a
z y x z a a e e e x x r ')'sin sin ()'cos cos ('+-+-=-=φφρφφρ
y x ad ad d e e l 'cos ''sin 'φφφφ+-=
z y x d a a d az d az d e e e r l ')]'cos([''sin '''cos '2φφφρφφφφ--+--=⨯
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--+-+-=∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-')'cos('''sin ''''cos ''432
203203200
dz r a a d dz r az d dz r az d nI z y x φφρφφφφφπ
μπππe e e B 0=
3. 设有无限长的线电流I 沿z 轴流动，在z<0空间充满磁导率为μ的均匀介质，z>0区域为真空，试用唯一性定理求磁感应强度B ，然后求出磁化电流分布。

解：设z>0区域磁感应强度和磁场强度为1B ，1H ；z<0区域为2B ，2H ，由对称性可知1H
和2H 均沿θe 方向。

由于H 的切向分量连续，所以θe H H H ==21。

由此得到
021==n n B B ，满足边值关系，由唯一性定理可知，该结果为唯一正确的解。

以 z 轴上任意一点为圆心，以 r 为半径作一圆周，则圆周上各点的H 大小相等。

根
据安培环路定理得：I rH =π2，即r I H π2/=，()θπe H H r I 2/21== ()θπμμe H B r I 2/0111==∴，(z >0)；
()θπμμe H B r I 2/222==，(z <0)。

在介质中 ()()θμμπμe H B M 1/2//0202-=-=r I 所以，介质界面上的磁化电流密度为：
()()()()r z r I r I e e e n M α1/2/1/2/00-=⨯-=⨯=μμπμμπθ
总的感应电流：()()()1/1/2/020
-=⋅-=⋅=
⎰⎰μμϕμ
μππ
θθI rd r I d I e e l M ，
电流在 z<0 区域内，沿 z 轴流向介质分界面。

4. 设x<0半空间充满磁导率为μ的均匀介质，x>0空间为真空，今有线电流I 沿z 轴流动，
求磁感应强度和磁化电流分布。

解：假设本题中的磁场分布仍呈轴对称，则可写作
φπμe B )2/'(r I =
它满足边界条件：0)(12=-⋅B B n 及0)(12==-⨯αH H n 。

由此可得介质中：
φπμμμe B H )2/'(/2r I ==
由 M B H -=02/μ得：
在x <0 的介质中 φμμμμπμe M 0
2'-=
r I ，
则： 0
020002)('02'μμμμμφφμμμμπμπππ
-=+-=⋅=⎰⎰⎰I d d r r I d I M l M 再由 φφπμπμe e B )2/'(2/)(0r I r I I M =+= 可得)/(2'00μμμμμ+=，所以
r I πμμμμφ)/(00+=e B ，)/()(00μμμμ+-=I I M （沿 z 轴）
5. 某空间区域内有轴对称磁场。

在柱坐标原点附近已知)2/(2
20ρ--≈z C B B z ，其中
0B 为常量。

试求该处的ρB 。

提示：用0=⋅∇B ，并验证所得结果满足0=⨯∇H 。

解：由于B 具有对称性，设z z B B e e B +=ρρ， 其中 )2/(2
20ρ--=z C B B z
0=⋅∇B ，0)(1=∂∂+∂∂∴
z B z B ρρρρ，即：02)(1=-∂∂
cz B ρρρ
ρ， a cz B +=∴2ρρρ（常数）。

当0→ρ时，ρB 为有限，所以 0=a ；ρρcz B =，即：
z z c B cz e e B )]2/([220ρρρ--+= （1）
因为0=J ，0=D ，所以 0=⨯∇B ，即0)//(=∂∂-∂∂θρρρe B z B （2） 直接验证可知，（1）式能使（2）式成立，所以ρρcz B =，(c 为常数)
6. 两个半径为a 的同轴圆形线圈，位于L z ±=面上。

每个线圈上载有同方向的电流I 。

（1）求轴线上的磁感应强度。

（2）求在中心区域产生最接近于均匀常常时的L 和a 的关系。

提示：用条件0/2
2
=∂∂z B z
解：1） 由毕—萨定律，L 处线圈在轴线上 z 处产生的磁感应强度为
z z B e B 11=，
2
/3222
2/3222030
1])[(121])([4sin 4a L z Ia d L z a Ia r Id B z +-=-+=⨯=⎰⎰
μθπμαπ
μr l 同理，-L 处线圈在轴线上 z 处产生的磁感应强度为：
z z B e B 22=，2/322202]
)[(121a L z Ia B z ++=
μ。

所以，轴线上的磁感应强度：
⎭⎬⎫⎩⎨⎧++++-=
=2/3222/32220])[(1]
)[(121a L z a L z Ia B z z μe B （1） 2）因为 0=⨯∇B ，所以 0)()(2
=∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇B B B ；
又因为0=⋅∇B ，所以 02
=∇B ，0/2
2
=∂∂z B z 。

代入（1）式并化简得：
-
+++++--+-----2/72222/5222/7222])[()(5])[(])[()(5a z L z L a z L a z L z L 0]
)[(2
/522
=++--a z L
将 z=0 带入上式得：2
2
2
5a L L +=， 2/a L =∴
7. 半径为a 的无限长圆柱导体上有恒定电流J 均匀分布于截面上，试解矢势A 的微分方
程。

设导体的磁导率为0μ，导体外的磁导率为μ。

解：矢势所满足的方程为：
⎪⎩⎪⎨⎧>=∇<-=∇)
(,0)(,2
02a r a r 外内A J
A μ 自然边界条件：0→r 时，内A 有限。

边值关系：a
r a
r ===外
内
A A ；
a r a r ==⨯∇=
⨯∇|1
|1
外内A A μ
μ
选取柱坐标系，该问题具有轴对称性，且解与 z 无关。

令
z r A e A )(内内=，z r A e A )(外外=， 代入微分方程得：
J r r A r r r 0))((1μ-=∂∂∂∂内；0))
((1=∂∂∂∂r
r A r r r 外 解得：212
0ln 4
1)(C r C Jr r A ++-=μ内；43ln )(C r C r A +=外
由自然边界条件得01=C ，
由 a r a r ==⨯∇=⨯∇|1|10外内A A μμ 得：232
Ja C μ
-=， 由 a r a
r ===外内A A 并令其为零，得：2
0241Ja C μ=，a Ja C ln 2
24μ=。

)(41220r a -=∴J A μ内；r
a
a ln 212J A μ=外
8. 假设存在磁单极子，其磁荷为m Q ，它的磁场强度为3
04/r Q m πμr H =。

给出它的矢
势的一个可能的表示式，并讨论它的奇异性。

解：r
m m r
Q r Q e r H 20301
44πμπμ==
由 r
m
r Q e H B A 204πμ===⨯∇ 得： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧=∂∂-∂∂=∂∂
-∂∂=∂∂-∂∂0]([10)](sin 1[
14])(sin [sin 1
2
θφθπφθθθθ
φθφr
r m A rA r
r rA r A r r Q A A r (1) 令 0==θA A r ,得: r
Q A m πθθθφ4sin )(sin =∂∂
⎰=∴θφθπθθ04sin sin d r Q A m , θ
θ
πφsin cos 14r Q A m -= (2)
显然 φA 满足(1) 式，所以磁单极子产生的矢势φθ
θ
πe A sin cos 14r Q m
-= 讨论： 当0→θ时，0→A ；
当2/πθ→时，r Q m πφ4/e A →；
当πθ→时，∞→A ，故A 的表达式在πθ=具有奇异性，此时A 不合理。

9. 将一磁导率为μ，半径为0R 的球体，放入均匀磁场0H 内，求总磁感应强度B 和诱导磁矩m 。

(对比P49静电场的例子。

)
解：根据题意，以球心为原点建立球坐标，取H 0的方向为z e ，此球体被外加磁场磁化后，
产生一个附加磁场，并与外加均匀场相互作用，最后达到平衡，呈现轴对称。

本题所满足的微分方程为：
⎪⎩⎪⎨⎧>=∇<=∇)
(,0
)(,0022012R R R R m m ϕϕ （1）
自然边界条件：0
1=R m ϕ为有限；θϕcos 02
R H R m -=∞
=。

衔接条件：在0R R =处满足 21m m ϕϕ= 及 R R m m ∂∂=∂∂//201ϕμϕμ 由自然边界条件可确定方程组（1）的解为：
∑∞==0
1)(cos n n n
n m P R a θϕ； ∑∞
=+-+-=0
)1(02)(cos cos n n n n m P R d R H θθϕ
由两个衔接条件，有：
∑∑∞
=+-∞
=+-=0
)1(00
)(cos cos )(cos n n n n n n n
n
P R d R H P R a
θθθ
∑∑∞
=+-∞
=-+--=0
)2(0000
1
)(cos )1(cos )(cos n n n n n n n n P R d n H P nR
a θμθμθμ
比较)(cos θn P 的系数，解得：)2/(30001μμμ+-=H a ；
)2/()(030001μμμμ+-=R H d ； 0==n n d a ，)1(≠n
即：)2/(cos 30001μμθμϕ+-=R H m ，（0R R <）
20300002)2/(cos )(cos R R H R H m μμθμμθϕ+-+-=，（0R R >） )2/(300011μμμϕ+=-∇=∴H H m
])(3[2)(30
503000022R
R R m H R R H H H -⋅+-+=-∇=μμμμϕ
⎪⎩
⎪
⎨⎧<-⋅+-+=<+==)(,])(3[2)()(,)2/(30305030000002
000001R R R R R R R H R R H H H H H B μμμμμμμμμμμμ 在R <R 0区域内，)2/()(3/00010μμμμμ+-=-=H H B M
)2/()(4)3/4(003
0030μμμμππ+-===∴⎰H M M m R R dV V
10. 有一个内外半径为1R 和2R 的空心球，位于均匀外磁场0H 内，球的磁导率为μ，求空
腔内的场B ，讨论0μμ>>时的磁屏蔽作用。

解：根据题意，以球心为原点，取球坐标，选取H 0的方向为z e ，在外场H 0的作用下，空
心球被磁化，产生一个附加磁场，并与原场相互作用，最后达到平衡，B 的分布呈现轴对称。

磁标势的微分方程为：
012=∇m ϕ )(1R R < ；022=∇m ϕ )(21R R R << ；032=∇m ϕ )(2R R >
自然边界条件：0
1=R m ϕ为有限；θϕcos 03
R H R m -=∞
=。

衔接条件：1
211
R R m R R m ===ϕϕ ； 12110//R R m R R m R R ==∂∂=∂∂ϕμϕμ； 2
3
2
2
R R m R R m ===ϕϕ； 22230//R R m R R m R R ==∂∂=∂∂ϕμϕμ
由轴对称性及两个自然边界条件，可写出三个泛定方程的解的形式为：
∑∞==0
1)(cos n n n
n m P R a θϕ； ∑∞
=+-+=0
)1(2)(cos ][(n n n n n n m P R c R b θϕ；
∑∞
=+-+-=0
)1(03)(cos cos n n n n m P R d R H θθϕ
因为泛定方程的解是把产生磁场的源H 0做频谱分解而得出的，分解所选取的基本函数系是其本征函数系)}(cos {θn P 。

在本题中源的表示是：
)(cos cos 100θθRP H R H -=-
所以上面的解中， 0====n n n n d c b a ，)1(≠n 解的形式简化为： θϕcos 11R a m =；
θϕcos )(2112-+=R c R b m ；
θθϕcos cos 2103-+-=R d R H m
代入衔接条件得：2
111111-+=R c R b R a ， 2212022121--+-=+R d R H R c R b ，
)2(311110--=R c b a μμ， 32100032112)2(----=-R d H R c b μμμ。

解方程组得：
3
20031203
2
001)2)(2()(26R R R H a μμμμμμμμ++--=， 3
2
0031203
2
0001)2)(2()(2)2(3R R R H b μμμμμμμμμ++--+=，
3
2
0031203
2
310001)2)(2()(2)(3R R R R H c μμμμμμμμμ++---=， 3
2
0031203
2
03231001)2)(2()(2))()(2(R R R H R R d μμμμμμμμμμ++----+=。

从而，空间各点磁标势均可确定。

空腔内：
z r m a a a e e e H B 101110101sin cos μθθϕμμθ-=-=∇-==
当0μμ>>时，01≈a ，所以01≈B 。

即空腔中无磁场，类似于静电场中的静电屏蔽。

11. 设理想铁磁体的磁化规律为00M H B μμ+=，其中0M 是恒定的与H 无关的量。

今将
一个理想铁磁体做成的均匀磁化球（0M 为常值）浸入磁导率为'μ的无限介质中，求磁感应强度和磁化电流分布。

解：根据题意，取球心为原点，建立球坐标系，以M 0的方向为z e ，本题具有轴对称的磁场
分布，磁标势的微分方程为：
012=∇m ϕ )(0R R < ； 022=∇m ϕ )(0R R >
自然边界条件：0
1=R m ϕ为有限；02
=∞
=R m ϕ。

衔接条件： 0
2
1
R R m R R m ===ϕϕ ；
θμϕμϕμcos /'/000201M R R R R m R R m =∂∂-∂∂==；
由轴对称性及两个自然边界条件，可写出拉普拉斯方程通解的形式为：
∑∞==0
1)(cos n n n
n m P R a θϕ； ∑∞
=+-=0
)1(2)(cos n n n n m P R b θϕ；
代入衔接条件，比较)(cos θn P 各项的系数，得：
0==n n b a ，)1(≠n ；)'2/(001μμμ+=M a ；)'2/(3
001μμμ+=R M b )'2/(cos 001μμθμϕ+=∴R M m ， )(0R R <
23
0002)'2/(cos R R M m μμθμϕ+=，)(0R R >
由此 )'2/('20000101μμμμμμ+=+=M M H B
])(3['2''30
5
03
0022R
R R m M R R M B -⋅+=∇-=μμμμϕμ ⎪⎩
⎪⎨⎧>-⋅+<+=)(])(3['2')()
'2/('2030
5
03
00000R R R R R R R M M R R M B μμμμμμμμ 又 )()(0012ααB B n +=-⨯M R μ，（其中0=α）将B 的表达式代入，得：
)'2/(sin '300μμθμφ+-=M M e α
12. 将上题的永磁球置入均匀外磁场0H 中，结果如何？
解：根据题意假设均匀外场0H 的方向与M 0的方向相同，定为坐标 z 轴方向。

磁标势的微
分方程为：
012=∇m ϕ )(0R R < ； 022=∇m ϕ )(0R R >
自然边界条件：0
1=R m ϕ为有限；θϕcos 02
R H R m -=∞
=。

衔接条件： 0
2
1
R R m R R m ===ϕϕ ；
θμϕμϕμcos //0002001M R R R R m R R m =∂∂-∂∂==；
解得满足自然边界条件的解是：
θϕcos 11R a m =，)(0R R <
θθϕcos cos 2102-+-=R d R H m ，)(0R R >
代入衔接条件，得：2
010001-+-=R d R H R a
0013010002M a R d H μμμμ=++-
解得： )2/()3(000001μμμμ+-=H M a
)2/(])([03
000001μμμμμ+-+=R H M d
)2/(cos )3(000001μμθμμϕ+-=∴R H M m ，)(0R R <
])2/[(cos ])([cos 203
0000002R R H M R H m μμθμμμθϕ+-++-=，)(0R R > )2/()3(000011μμμϕ+--=-∇=H M H m
)2/(2)2/(3002
00000011μμμμμμμμμ+++=+=M H M H B ，)(0R R <
35022//)(3R R m m R R m H H -⋅+=-∇=ϕ，
其中 )2/(])([03
00000μμμμμ+-+=R H M m
]//)(3[3500202R R m R R m H H B -⋅+==μμ，)(0R R >
13. 有一个均匀带电的薄导体壳其半径为0R ，总电荷为Q ，今使球壳绕自身某一直径以角
速度ω转动，求球内外的磁场B 。

提示：本题通过解A 或m ϕ的方程都可以解决，也可以比较本题与§5例2的电流分布得到结果。

解：根据题意，取球体自转轴为 z 轴，建立球坐标系。

磁标势的微分方程为：
012=∇m ϕ )(0R R < ； 022=∇m ϕ )(0R R >
自然边界条件：0
1
=R m ϕ为有限；02
=∞
=R m ϕ。

衔接条件： 00124/sin /)//(R Q R R R m m πθωσθϕθϕ-=-=∂∂-∂∂= ；
02001//R R m R R m R R ==∂∂=∂∂ϕμϕμ；
其中 04/sin R Q πθωσ= 是球壳表面自由面电流密度。

解得满足自然边界条件的解是：
θϕcos 11R a m =，)(0R R <
θϕcos 212-=R b m ，)(0R R >
代入衔接条件，得：0201014/R Q R b R a πω-=--； 023
011=+-R b a 解得： 016/R Q a πω-=， πω12/2
01R Q b =
016/cos R R Q m πθωϕ-=∴，)(0R R <
220212/cos R R Q m πθωϕ=，)(0R R > 0116/R Q m πϕωH =-∇=∴
001016/R Q πμμωH B ==，)(0R R <
πϕ4/]//)(3[3522R R m m R R m H -⋅=-∇=，
其中 3/2
0ωm QR =
πμμ4/]//)(3[350202R R m R R m H B -⋅==，)(0R R >
14. 电荷按体均匀分布的刚性小球，其总电荷为Q ，半径为0R ，它以角速度ω绕自身某一
直径转动，求（1）它的磁矩；（2）它的磁矩与自转角动量之比（设质量M 0是均匀分布的）。

解：1）磁矩dV ⎰⨯=
)(2
1
x J x m
又 r R e R x ==，)()3/4()(3
R ωv x J ⨯=
=R Q
πρ φθθπωφθθπφd dRd R R Q d dRd R R Q r 2
430
230sin )(4321sin )(4321⎰⎰⨯=⨯⨯=e e R ωR m 又 )sin cos (cos sin y x z r e e e e e e φφθθθφ--+=-=⨯
⎰⎰⎰
--+=
∴0
240
20
30
sin )sin cos (cos [sin 83R y x z dR R d d R Q θφφθθθφπω
π
π
e e e m
ωe 5sin 832
003
402030
0QR dR R d d R Q R z ==⎰⎰⎰θθφπωππ 2)自转动量矩：
⎰⎰⎰⎰⨯⨯=⨯=⨯==dV R M dm d d )(4330
R ωR v R P R L L π ⎰⨯⨯=
φθθωπd dRd R R R M r z r sin )(432
230
0e e e ⎰⨯-=φθθθωπφd dRd R R M z sin )sin (43430
0e e ⎰-=φθθθωπθd dRd R R M sin )(sin 43430
0e ⎰⎰⎰--+=002
402030
0sin )sin cos (cos [sin 43R y x z dR R d d R M θφφθθθφπωππe e e ωω52sin 432
0003
402030
00R M dR R d d R M R ==⎰⎰⎰θθφπππ 02//M Q =∴L m
15. 有一块磁矩为m 的小永磁体，位于一块磁导率非常大的实物的平坦界面附近的真空中，
求作用在小永磁体上的力F 。

解：根据题意，因为无穷大平面的µ很大，则在平面上所有的H 均和平面垂直，类比于静电
场，构造磁矩m 关于平面的镜像'm ,则外场为：
m e ϕμ∇-=0B
而 2
34cos 4r
m r m πθ
πϕ=⋅=R m )sin cos 2(4)sin cos 2(43
0330θθθθπμθ
θπμe e e e B +=---=∴r r e r
m r r m m 受力为：
z a
r e
a
m e B m F )cos 1(643)(24
2
02απμα
θ+-=∇⋅===。