常微分方程积分因子法的求解

用积分因子法解常微分方程

摘要：每一个微分方程通过转化为恰当方程之后，可以运用恰当方程的公式进行求解，因此非恰当微分方程转化成恰当方程是求解微分方程的重要步骤，转化成恰当方程需要求解出积分因子，因此积分因子的求解变得非常重要.此论文主要研究几类微分方程积分因子，从而使微分方程的求解变得较简便.

关键词：微分方程恰当微分方程积分因子通解

Abstract：After each differential equation through into the appropriate equation, can use the appropriate equations for solving non appropriate formula, the differential equation is transformed into an appropriate equation is an important step in solving differential equations, into the appropriate equation requires the solution of the integral factor, thus solving the integral factor becomes very important. This paper mainly research for several kinds of differential equation of integral factor, to make it easy for solving differential equations.

Key Words：Differential equation Exact differential equation Integrating factor General solution

自变量只有一个的微分方程称为常微分方程.常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置.本文通过运用求微分方程的积分因子来将微分方程转化为恰当微分方程求解.常微分方程是解决实际问题的重要工具[1].

1 恰当微分方程

1.1 常微分方程

联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）之间的关系式称为微分方程. 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.

方程

2(),2d y dy b cy f t dt dt

++= （1.1） 2

0dy dy t y dt dt ⎛⎫ ⎪⎝⎭

++= （1.2） 就是常微分方程的例子，这里y 是未知数，t 是自变量. 1.2 恰当微分方程

考虑一阶方程

(,)(,)0M x y dx N x y dy += （1.3） 这里假设(,)M x y dx ，(,)N x y dy 在某矩形区域内是x ，y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数.若方程（1.3）的左端恰好是某个二元函数(,)u x y 的全微分，即

(,)(,)(,)M x y dx N x y dy du x y += （1.4） 则称（1.3）为恰当微分方程（全微分方程）.

恰当微分方程（1.3）的通解就是

(,),u x y c = （1.5） 这里c 是任意常数.

定理1[2] 设函数(,)M x y dx 和(,)N x y dy 在一个矩形区域R 中连续且有连续的一阶偏导数，则称（2.1）为恰当微分方程的充要条件是

(,)(,).M x y N x y x y

∂∂=∂∂ （1.6） 1.3 恰当微分方程的解法

方法1 凑微分法：利用熟知的二元函数微分公式，重新分组组合，分块凑成全微分式 方法2 不定积分法：利用关系式：

(,)(,)(,)M x y dx N x y dy du x y +=

由此，函数(,)u x y 应适合方程组

(,),(,)u u M x y N x y x y

∂∂==∂∂

对(,)u M x y x

∂=∂关于x 积分得 (,)()u M x y dx y ϕ=+⎰

两端关于y 求导数，并利用恰当微分方程的充要条件，得

''()()(,)u M N dx y dx y N x y y y x

ϕϕ∂∂∂=+=+=∂∂∂⎰⎰ 通过对方程

'()(,)N dx y N x y x

ϕ∂+=∂⎰ 关于y 积分，解出()y ϕ，从而可得(,)()u M x y dx y ϕ=+⎰

的表达式，令 (,)()M x y dx y c ϕ+=⎰

即得方程的通解. 如果对(,)u N x y x

∂=∂关于y 积分，同理可得方程的通解为 (,)()N x y dx x c ψ+=⎰

其中()x ψ可类似于()y ϕ求解的方法得到.

方法3 公式法：方程的通解为

000(,)(,)x y x y M x y dx N x y dy c +=⎰⎰ 或 000(,)(,)x y x y M x y dx N x y dy c +=⎰

⎰ 其中c 是任意常数[3].

例1 求2()(2)0x y dx x y dy ++-=的通解

解 这里2

,2M x y N x y =+=-,在xy 平面上有连续偏导数，这时 1,1,M N y

x

∂∂==∂∂ 因此方程为恰当微分方程. 方法1（不定积分法） 现在求u ，使它同时满足如下两个方程：

2u x y x

∂=+∂， （1）

2u x y y ∂=-∂. （2） 由（1）对x 积分，得到

31()3

u x xy y ϕ=++， （3） 将（3）对y 求导数，并使它满足（2），即得

()

2u

d y x x y y dy ϕ∂=+=-∂，

于是

()

2,d y y dy ϕ=-

积分后得

2(),y y ϕ=-

将()y ϕ代入（3），得到

321

.3u x xy y =+-

因此，方程的通解为

32

1,3x xy y c +-=

这里c 是任意常数.

方法2 （公式法） 取00(,)(0,0)x y =

因此

00(,)(,)(,)x

y u x y M x y dx N x y dy

=+⎰⎰

200()(2)x y

x y dx x y dy =++-⎰⎰