函数极值充分条件
16第十六讲 函数极值的第一和第二充分条件
即 x0 是 f ( x)的一个极小值点 .
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§4 函数的极值与最大（小）值
极值判别
最大值与最小值
定理6.12（极值的第二充分条件）
设 f (x) 在点 x0 的某领域 U ( x0;δ )内可导，f ′′( x0 )
存在. 若 f ′( x0 ) = 0, f ′′( x0 ) ≠ 0 ,
0
0
f ( x) ≥ f ( x0 ) , x ∈ ( x0 − δ , x0 ) .
同理可证 f ( x) 在 [ x0, x0 + δ ) 上递增,故
于是
f ( x) ≥ f ( x0 ) , x ∈ ( x0, x0 + δ ) . f ( x0 ) ≤ f ( x) , x ∈U ( x0; δ ) ,
极值判别
最大值与最小值
定理6.11（极值的第一充分条件）
设函数 f (x) 在 x0 连续，在某邻域U ( x0;δ )上可导. (i) 若当 x ∈ ( x0 − δ , x0 ) 时,f ′( x) ≤ 0, 当 x ∈ ( x0, x0 + δ )
时，f ′( x) ≥ 0, 则 f ( x) 在点 x0 取得极小值 .
(ii) 若当 x ∈ ( x0 − δ , x0 ) 时, f ′( x) ≥ 0, 当 x ∈ ( x0, x0 + δ )
时，f ′( x) ≤ 0, 则 f ( x) 在点 x0 取得极大值 .
证 根据导函数的符号判别函数单调性的方法, 可以
知道该定理的几何意义十分明显. 在这里仅给出 (i)
从而当 x ∈ ( x0 − δ , x0 ) 时, f ′( x) < 0 ;
极值点的判断条件
极值点的判断条件
极值点是函数图像的某段子区间内上极大值或者极小值点的横坐标。
对于函数f(x)，如果f'(x0)=0，那么x0可能是f(x)的极值点。
然而，这只是一个必要条件，并非充分条件。
根据极值的第二充分条件，如果f''(x0)>0，那么x0是f(x)的极小值点；如果f''(x0)<0，那么x0是f(x)的极大值点。
另外，驻点（一阶导数为零的点）和不可导点（导数不存在，也可以取得极值）都可能是极值点，但这并不绝对。
一个给定的区间内，可以有多个极大值和极小值点，其中最大的为最大值，最小的为最小值。
高等数学 函数的极值与最大值、最小值
解：（1）设平均成本为 y ，则 y = 25000 + 200 + x
x
40
由
y′
=
−
25000 x2
+
1 40
=
0
，得
x1
= 1000
，
x2
=
−1000
（舍去）
因为 y′′ |x=1000 = 5×10−5 > 0 ，所以当 x = 1000 时， y 取极小值，
也即最小值，因此，要使平均成本最小，应生产 1000 件产品。
2009年7月3日星期五
21
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（2） 利润函数为
L(x)
=
500x
−
⎛ ⎜⎝
问 x = a 是为 f (x) 的极值点？如果是极值点， f (x) 在
x = a 取得极大值还是极小值？（课本 例 3）
解题思路：
（1） f ′(x) 在点 x = a 处连续
lim f ′(x) = f ′(a)
x→a
（2） f ′(a) = lim f ′(x) = lim f ′(x) × (x − a) = (−1) × 0 = 0
又因为 f ′′(x) = − 1 < 0 ， 25
所以当 x = 1800 时， f (x) 取得最大值，
即房租定为 1800 元时，可获得最大收入。
2009年7月3日星期五
17
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例8
证明
1 2 p−1
≤
xp
+
(1 −
x) p
≤1
(0 ≤ x ≤ 1, p > 1) ．
极值的第二充分条件
极值存在的第二充分条件是bai当一阶du导数等于0，而二阶导数大于0时，zhi为极小值点。
当一阶导数等于dao0，而二阶导数小于0时，为极大值点。
具体证明过程如下。
证明：因为对于函数y=f(x)。
设f(x)一阶可导，且y'=f'(x)，二阶可导，且y''=f''(x)。
且当x=x0时，f'(x0)=0。
那么当f''(x0)＞0时，而f''(x0)=lim(x→x0⁺)（f'(x)-f'(x0)）/(x-x0)=f''(x0)=lim(x→x0⁻)（f'(x)-f'(x0)）/(x-x0)＞0。
当x→x0⁺时，x-x0＜0，那么f'(x)-f'(x0)＜0，即f'(x)＜0。
当x→x0⁻时，x-x0＞0，那么f'(x)-f'(x0)＞0，即f'(x)＞0。
那么可得x＞x0时，f'(x)＜0，则函数f(x)为减函数，x＜x0时，f'(x)＞0，则函数f(x)为增函数，所以可得f(x)在x=x0处取得极小值。
同理可证明函数y=f(x)，当x=x0时，f'(x0)=0，f''(x0)＜0时，f(x)在x=x0处取得极大值。
扩展资料：1、二阶导数的性质（1）判断函数极大值以及极小值。
结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。
当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。
当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为极大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。
（2）函数凹凸性。
设f(x)在[ab]上连续，在（ab)内具有一阶和二阶导数，那么，若在（ab)内f''(x)>0则f(x)在[ab]上的图形是凹的。
若在（ab)内f’‘(x)<0则f(x)在[ab]上的图形是凸的。
多元函数极值的充分条件
多元函数极值的充分条件马丽君（集宁师范学院 数学系）我们知道，一元函数()y f x =在点0x x =取得极值的充分条件是：函数()f x 在点0x 处具有一阶二阶连续导数，0x 是()f x 驻点，即0()0f x '=。
若0()0(0)f x ''><，则0x 为()f x 的极小值点（或极大值点）对于多元函数()Y f X =，其中12(,,,)n X x x x =，有与上面一元函数取得极值的充分条件相对应的结论。
定义 1.设n 元函数()Y f X =，其中12(,,,)n X x x x =，对各自变量具有一阶连续偏导数，则称12,,,Tn f ff x x x ⎛⎫∂∂∂⎪∂∂∂⎝⎭为()f X 的梯度，记作gradf 。
引理 设n 元函数()f X ，其中12(,,,)n X x x x =，对各自变量具有一阶连续偏导数，则()f X 在点000012(,,,)n X x x x =取得极值的必要条件是：0112(),,,0Tn n X X f ff gradf X x x x ⨯=⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭证明：引理成立是显然的，即极值点函数可导，则该点的偏导数等于零。
定义 2.设n 元函数()f X ，对各自变量具有二阶连续偏导数，000012(,,,)n X x x x =是()f X 的驻点，现定义()f X 在点0X 处的矩阵为：222000211212222000202122222000212()()()()()()()()()()f N n n n f X f X f X X X X X X f X f X f X H X X X X X X f X f X f X X X X X X ⎧⎫∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂⎪⎪⎪⎪∂∂∂⎪⎪=∂∂∂∂∂⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂⎩⎭由于各二阶偏导数连续，即22(,1,2,,)i j j if fi j n x x x x ∂∂==∂∂∂∂，所以0()f H X 为实对称矩阵。
二元函数的极值与最值
二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下：1．二元函数的无条件极值(1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。
对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。
(2)二元函数取得极值的必要条件： 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ，0),('00=y x f y ，即),(00y x 是驻点。
(3) 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ，令A y x f xx =),('00，B y x f xy =),('00，C y x f yy =),('00，则当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值；当02<-AC B 且A>0，f ),(00y x 为极小值；02>-AC B 时，),(00y x 不是极值点。
注意： 当B 2－AC = 0时，函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论例1 求函数z = x 3 + y 2 －2xy 的极值．【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【解】先求函数的一、二阶偏导数：y x x z 232-=∂∂，x y y z 22-=∂∂．x x z 622=∂∂, 22-=∂∂∂y x z , 222=∂∂yz ． 再求函数的驻点．令x z ∂∂= 0，y z ∂∂= 0，得方程组⎩⎨⎧=-=-.022,0232x y y x 求得驻点(0，0)、），（3232． 利用定理2对驻点进行讨论：(1)对驻点(0, 0)，由于A = 0, B =－2， C = 2，B 2－AC >0,故(0, 0)不是函数z = f (x , y ) 的极值点．(2)对驻点），（3232，由于A =4, B =－2，C = 2,B 2－AC =－4<0, 且A >0,则 2743232-=），（f 为函数的一个极小值． 例2：（2004数学一）设z=z(x,y)是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的极值点和极值.【分析】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。
三元函数极值的一个充分条件
—
【 ＋２ １ ０ ｃ Ｆ＋ ＜
（。Ｙ ， ） ，。 为极 大值 点 。Ｙ ， ） ，。 为极 大值． 证 明 ：由三元 函数 的泰勒公 式 ， 意 的 对任
（ｏ ，０ ｈ， ＋ｋ ∈Ｕ Ｐ ） 有 ＋ｆＹ ＋ ０ ） （０， ａ ｆ ＋ ，ｏ ，ｏ ｋ ｆ ，０Ｚ）＝ ｆ＝ （ ０ ＺＹ ＋ｈ ＋ ）－ Ｃ０Ｙ ， ０
函数的二阶偏导数 ， 给出了三元函数无 条件极值判别 的一个充分条件 ， 然后将其推广到条件极值的情形 ， 最后给出实例 ．
关键词 ： 三元 函数 ； 充分条件 ； 条件极值
中 图分 类 号 ： １７ ４ ０ ７ ． 文 献标 志码 ： Ａ 文 章编 号 ：１７ ４ ０ （０ ０ ０ ０ １ — ３ ６ ３— ８７ ２ １ ）５— ５ １ ０
在高 等数学 中 ， 元 函数 、 元 函数 极值 已有 一 二
成 熟 的判 别 法 ， 而对 于 三元 及 以上 的情 形 涉 及 较 少， 文献 ［ １—３ 讨 论 了用 二 次 型 的正 定 型 的正 负 ］ 性判 别多元 函数极 值 ． 献 ［ ］ 过 Ｊｃｂ 矩 阵给 文 ４通 ａｏ ｉ 出了求条件 极值 的充分 条件 ． 文献 ［ ］ 梯度 法 求 ５用
Ｓ ｆ ｃｅ ｏ ｄｉｉｎ ｏ ｘ ｒ ｍ ｅ ｖ ｌ ｆｔ ｅ ａ ｉ ｂ ｅ ｕｎｃｉ ｎ ｕｆ ｉｎｔｃ ｎ ｔｏ ｆ ｒ ｅ ｔ ｅ ａ ｕｅ ｏ ｈｒ ｅ ｖ ｒａ ｌｓ ｆ ｉ ｔｏ
Ｍ ｅ ｇ Ｙｉ ｉ ｇ ｎ ｐｎ
（ｃ ｏｌ ｆＭ ｔｅ ｔ ｓ ｎ ｈ ｓ ｓＪ ｎ ｓ ｎｖｒｔ ｆ ｃ ｎｅａｄＴ ｃｎｌ ｙ Ｚ ｅｊ ｎ ｉ ｇｕ２２ ０ ， ｈｎ ） Ｓｈｏ ｏ ａｈｍａｃ ｄＰ ｙｉ ，ｉ ｇｕＵ ｉｅｓｙｏ ｉ ｃ ｎ ｅｈ ｏ ｇ ， ｈｎｉ ｇＪ ｎ ｓ １０ ３ Ｃ ｉａ ｉ ａ ｃ ａ ｉ Ｓｅ ｏ ａ ａ
函数的极值与最值知识点总结
函数的极值与最值知识点总结函数的极值和最值是数学中重要的概念，它们对于函数的图像和性质有着重要的影响。
本文将对函数的极值和最值进行详细总结。
1. 函数的极值函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。
在函数图像上就是曲线的顶点或谷底。
1.1 极大值和极小值函数在区间内取得最大值的点称为极大值点，函数在区间内取得最小值的点称为极小值点。
极大值点和极小值点合称为极值点。
1.2 极值的必要条件函数的极值一定是函数的驻点（即函数的导数为0）或者是函数定义域的端点，这是极值的必要条件。
1.3 极值判定的充分条件若函数在某点的导数由正变负，则该点是函数的极大值点；若函数在某点的导数由负变正，则该点是函数的极小值点。
这是极值判定的充分条件。
2. 函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
2.1 最大值和最小值函数在定义域内取得的最大值称为最大值，函数在定义域内取得的最小值称为最小值。
2.2 最值的存在性当函数在闭区间上连续时，函数一定存在最大值和最小值。
但是当函数在开区间上连续时，函数不一定存在最大值和最小值。
2.3 最值的求解方法求函数的最值主要通过导数的方法进行。
首先求出函数的导数，然后求出导数的零点，即函数的极值点。
从这些极值点中选取函数值最大的点，即为函数的最大值；选取函数值最小的点，即为函数的最小值。
3. 案例分析接下来通过一个具体的案例来说明函数的极值和最值的求解过程。
3.1 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 的极值和最值。
首先求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x，令 f'(x) = 0，解得 x = 0 或 x = 2。
当 x = 0 时，f''(0) = 0，无法判断极值情况；当 x = 2 时，f''(2) = 6 > 0，说明 x = 2 是极小值点。
计算 f(2) = 2^3 - 3(2)^2 = -4，可知函数的极小值为 -4。
函数的极值
o
a
x1
x2
x3
x4
b
x
三、极值的第一充分条件
y
o
a
x1
x2
x3
x4
b
x
Байду номын сангаас极大
极小
三、极值的第一充分条件
f ( x) 在 x0 处连续，在 x0 的 定理2（第一充分条件）设函数 某去心邻域 U ( x0 , )内可导 f ( x) 0 ，而 x ( x0 , x0 ) 时， f ( x) 0 1）当 x ( x0 , x0 ) 时， 则 f ( x) 在 x0处取得极大值； f ( x) 0 ，而 x ( x0 , x0 ) 时， f ( x) 0 2）当 x ( x0 , x0 ) 时， 则 f ( x) 在 x0处取得极小值； 则 f ( x) 在 x0 处没有极值。 f ( x )不改变符号， 3）当 x U ( x0 , )时，
函数的极值
一、极值定义
极值：邻域内取到的最大值（最小值），局部最值。 极值只能在定义域的内部取得，不能在端点取到。 区间内部的最值点是极值点。
y
o
a
x1
x2
x3
x4
b
x
二、极值的必要条件
定理1（必要条件）可导的极值点，导数为零。 注：1）导数为0的点可能是极值点； 2）极值点不一定导数为0
3）导数为0的点和不可导点可能是极值点（可疑点） 如果yx0 为可疑点，如何判断它是否为极值点？
六、小结
极值点实际是单调区间的分界点。
极大
极小
七、课后练习
极值点：单调区间的分界点
四、计算函数极值的步骤
二元函数的极值与最值
先求出一阶偏导，再令其为零并求出相再求函数的驻点.令—=O,■X :z C=O,-y得方程组r 23x -2y=O,2y —2x = O.二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下：1. 二元函数的无条件极值(1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。
对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。
(2) 二元函数取得极值的必要条件：设f(x,y)在点(x o, y。
)处可微分且在点(X o,y o)处有极值，则f'x(X o,y°)=O , f 'y (X o, yo) = 0，即(x。
，y。
)是驻点。
(3)二兀函数取得极值的充分条件：设z = f (x, y)在(X o，y。
)的某个领域内有连续上二阶偏导数，且 f 'x(X o ,y°) = f 'y (X o, y°) = o，令f'xx (x o, y°) = A ，f'xy (X o,y°) =B，f'yy (x°,y°) =C ，贝U当B2- AC ::: O 且A<O 时，f(X o, y o)为极大值;当B2- AC ::: O 且A>O，f(x o, y o)为极小值；B2 - AC O时，(X o, y o)不是极值点。
注意：当B2—AC = O时，函数z = f (x, y)在点(x o,y o)可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论例1求函数z = x3 + y2—2xy的极值.【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点,确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值, 【解】先求函数的一、二阶偏导数：2；z 2 ；z :z3x -2 y， 2 y -2x . 歹=6x ,:x -y ：x2 2求得驻点(O, o)、(—,—). ;2Z ;y3 3利用定理2对驻点进行讨论:【解因为x 2 -6xy■ 10 y 2 - -2 yz _ zc cc 和:z2 x —6 y —2 y — -2z — =0 ,ex :：x&；z-6x 20 y - 2z-2y —-2z —:y0, :x .:z 0fy =3y,-3x 亠 10y - z = 0,将上式代入 x 2 —6xy-10y 2_2yz —z 2 T8=0，可得二_9,=3,--3, 二_3由2 -22zy 2 :Xz 2 -2() -2z :x 2:z 0 ・ 2:X匸启2cz c z -6-22 y — :x ;\;y'z 'z20—2 — — 2—— 2 y 2 ;:y ;:y ;:y⑴对驻点(0, 0),由于A = 0, B = — 2, C = 2, B 2 — AC 0,故(0, 0)不是函数 z = f(x, y)的极值点.(2)对驻点(2,2),由于 A =4, B = — 2, C = 2,B 2 — AC = — 4*0,且 A . 0,则3 32 24f '一 —为函数的一个极小值. 3 3 27例 2： ( 2004 数学一)设 Z=Z (X,y)是由 x 2 _6xy • 10 y 2 _ 2yz _ Z 2 • 18 = 0 确定的函 数，求z = z(x, y)的极值点和极值・【分析】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。
极值的判定方法详解
极值的判定方法详解极值是数学中一个重要的概念，它在优化问题、微积分和数学建模等领域中有着广泛的应用。
判定一个函数的极值是数学分析中的基本问题之一，本文将详细介绍极值的判定方法。
一、极值的定义在数学中，给定一个函数f(x)，如果存在一个点x0，使得在x0的某个邻域内，对于任意的x，都有f(x)≤f(x0)或f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的极大值或极小值，同时称x0为极值点。
二、一阶导数法判定极值一阶导数法是判定极值的常用方法之一。
根据函数的导数可以判断函数在某一点的增减性，从而判定极值。
1. 极值点的必要条件若函数f(x)在x0处可导且x0为极值点，则f'(x0)=0。
这是极值点的必要条件，但不是充分条件。
2. 极值点的充分条件若函数f(x)在x0处二阶可导，且f'(x0)=0，f''(x0)>0，则x0为f(x)的极小值点；若f''(x0)<0，则x0为f(x)的极大值点。
三、二阶导数法判定极值二阶导数法是判定极值的另一种常用方法。
通过函数的二阶导数可以判断函数在某一点的凹凸性，从而判定极值。
1. 极值点的必要条件若函数f(x)在x0处可导且x0为极值点，则f''(x0)=0。
这是极值点的必要条件，但不是充分条件。
2. 极值点的充分条件若函数f(x)在x0处二阶可导，且f''(x0)>0，则x0为f(x)的极小值点；若f''(x0)<0，则x0为f(x)的极大值点。
四、边界点和无界区间的极值判定除了在内部点判定极值外，还需要考虑函数在边界点和无界区间的极值情况。
1. 边界点的极值判定若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且在a处或b处的导数不存在，则f(x)在[a, b]上的极值点可能出现在a或b处。
2. 无界区间的极值判定若函数f(x)在区间(-∞, +∞)上连续，在(-∞, +∞)内可导，且当x→±∞时，f(x)趋于某个常数L，则f(x)在(-∞, +∞)上的极值点可能出现在x→±∞时。
求极值的方法与技巧
求极值的方法与技巧极值一般分为无条件极值和条件极值两类。
无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题；条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外，还受其他条件限制的极值问题。
一、求解无条件极值的常用方法1．利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型定理1(充分条件) 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又f x (x 0, y 0)=0, f y (x 0, y 0)=0, 令f xx (x 0, y 0)=A , f xy (x 0, y 0)=B , f yy (x 0, y 0)=C ,则f (x , y )在(x 0, y 0)处是否取得极值的条件如下：(1) AC -B 2>0时具有极值, 且当A <0时有极大值, 当A >0时有极小值；(2) AC -B 2<0时没有极值；(3) AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值。
极值的求法：第一步 解方程组f x (x , y )=0, f y (x , y )=0, 求得一切实数解, 即可得一切驻点。
第二步 对于每一个驻点(x 0, y 0), 求出二阶偏导数的值A 、B 和C 。
第三步 定出AC -B 2的符号, 按定理1的结论判定f (x 0, y 0)是否是极值、是极大值 还是极小值。
应注意的几个问题：⑴对于二元函数z =f (x , y ),在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法, 但是这种方法对三元及更多元的函数并不适用；⑵AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值，还需另作讨论；⑶如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值点，讨论函数的极值问题时这些点也应当考虑。
例1求函数的极值。
2222()()xy z x y e -+=+解 令222222()22()2(1)02(1)0x y x y z x x y e x z y x y e y-+-+∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩得驻点及(0,0)22 1.x y +=又由22222222()2[2(13)4(1)]x y zy x x x y e x-+∂=-----∂ 22222()4(2)x y zxy x y e x y-+∂=---∂∂ 22222222()2[2(13)4(1)]x y z x y y x y ey -+∂=-----∂ 22(0,0)2,z A x∂==∂2(0,0)0,z B x y ∂==∂∂22(0,0)2zC y∂==∂240,B AC A ∆=-=-<>故为极小值。
函数的最值
令 得 极小点 , 从而为最小点 , 故 AD =15 km 时运费最省 .
400 x 又
y 5 ) ( 3) , k 为某一常数 k 2
400
2 32 x )
(400 所以 x 15 为唯一的
小
1.函数极值的确定方法
结
(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点 (2) 第一充分条件 过 过 由正变负 由负变正 为极大值
在给定条件的情况下， 要求效益最佳的问题， 就是最大值问题； 而在效益一定的情况下， 要求消耗资源最少的问题， 是最小值问题； 在解决实际问题时，首先要把问题的要求作为目标， 建立目标函数，并确定函数的定义域； 其次，应用极值知识求目标函数的最大值或最小值； 最后应按问题的要求给出结论。
例5 将边长为a的一块正方形铁皮，四角各截取一个大小相同的小正方形， 然后将四边折起做一个无盖的方盒。问截掉的小正方形边长为多大时， 所得方盒的容积最大？ 而方盒的最大容积为多少？
a x 0, 2
a-2x a-2x
因为
dV dV a a a 当x 0, 时， 当x , 时， 0, 0, 6 6 2 dx dx
所以
a x 是极大值点。 6
由于在区间内部只有一个极值点且是极大值点， 这也就是取得最大值的点。
求函数最值时，常遇到下述情况：
(1)若函数f(x)在连续区间I内有一个极值，是极大(小)值时， 它就是函数f(x)在该区间上的最大(小)值， 解极值应用问题时，此种情况较多。 x x y=f(x) y=f(x)
o
a
x0
b x
o
a
x0
b x
(2)若函数f(x)在连续区间[a,b]上是单调增加(减少)的， 则最值在区间端点取得。
高等数学：第十一讲 二元函数的极值
2.求方程组
f f
x( y(
x, x,
y) y)
0 0
的所有实数解，得函数的所有驻点；
3.求出 fxx (x, y), fxy (x, y), f yy (x, y), 对于每个驻点 (x0, y0 ) ,求出二
阶偏导数的值 A，B，C；
4.对于每个驻点 (x0, y0 )，判断 B2 AC 的符号，由极值存在的充分
第二步：判别. 求二阶偏导数 f xx (x, y) 6x 6 A
fxy (x, y) 0 B f yy (x, y) 6 y 6 C
例题：
fxx (x, y) 6x 6 A, fxy (x, y) 0 B, f yy (x, y) 6 y 6 C
在点 (1 , 0) 处，A 12, B 0, C 6, B2 - AC 12 6 0, A 0, f (1,0) 5 为极小值. 在点 (1 , 2) 处，A 12, B 0, C -6, B2 - AC 12 6 0, f (1,2) 不是极值. 在点 (-3 , 0) 处，A -12, B 0, C 6, B2 - AC 12 6 0, f (-3,0) 不是极值. 在点(-3 , 2) 处，A -12, B 0, C -6, B2 - AC 12 6 0, A 0, f (-3,2) 31 为极大值.
定义 设函数 z f (x, y) 在点 P0 (x0, y0 ) 的某个邻域内有定义，如果
在该邻域内任何异于 P0 (x0, y0 )的点 P(x, y)，总有 (1) f (x, y) f (x0, y0 ), 则称 f (x0, y0 ) 为函数 f (x, y) 的一个极大值， 点 P0 (x0, y0 )称为函数 f (x, y) 的一个极大值点；
二元函数极值充分条件的附加说明
定理 ２ （ 二元函数极值存在的充分条件） 设函数 ｚ＝
ｙ ）在 Ｐ（ ，ｏ 。 。Ｙ ）处是 否取得 极值 的条 件如下 ： （） Ａ １ 当 Ｃ—Ｂ ＞０时 ， （） Ａ ２ 当 Ｃ—Ｂ ＜０时 ，
，） Ｐ （。Ｙ） ｙ 在 。 ， 点的某个邻域 内有连续的一 ｏ
阶及二阶偏导数 ， （。Ｙ ）＝０， （。Ｙ）＝０． Ａ＝ （。ｙ ）， ＝ （ ， ）， 厂 （。Ｙ）， 又 ， ｏ ， ｏ 记 ， 。 Ｂ 厶 Ｙ Ｃ＝ ＂ ， 则 ｏ ｏ
Ｃ ＜０ 则 Ｐ 为极 大值 点． ）， 。
Ａ 注△ ＝△０△ 。） 圭： ｘ－ ｙ ｕ ｌ ｙ ＾， ＝ Ａ ￣ｉ ｉ ＋ ｌ ， （， ｏ
ｃ
ｉ ＝０
（ 后＝・２ …）． ，，
（ ）当 Ａ、 Ｃ全 为零 时 ， △ｕ ２ Ｂ、 若 正定 ， Ｐ 为极 小值 点 ； △ｕ 则 。 若 负定 ， Ｐ 为极 大值点 ． 则 。 （） ３ 其他 情况 ， 需进 一步 判断 ．
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第２卷 １
第 ４期
开封大学学报
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬห้องสมุดไป่ตู้ＯＦ Ｋ Ｆ Ｇ ＡＩ ＥＮ ＵＮＩ ＲＳ ＶＥ ｎ
Ｖ １２ Ｎｏ ４ ｏ．１ ． Ｄ ｃ２ ０ ｅ ．０７
２０ ０ ７年 １ ２月
二元 函数极值充分条件的附加说 明
朱超武 路世 英 ，
收稿 日期 ：０７—０ ０ ２０ ３— ８
作者简介 ： 朱超武 （９ ３一）男 ， １７ ， 河南陕县人 ， 讲师． 研究方向 ： 高等数学
６ ５
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而 对 于 △ 的正定性 ， 下面定 理 ． 有 定理 ｃ二元 四次型 △ ＝ａＺ ‘＋ １ △， △ ） ４ ３ｘ ｙ ＋ △ 正 定 的充 要 条件是 下列 条 ｏ Ｘ ４ △ ）＋６ ２ △， Ａ Ａ ３ ４ ￣ ＋ 件 同时满 足 ：
n元函数极值的充分条件
则函数有极小 （ 值 。对于 ｎ 大） 元函数也有类似的结论 ； 一元函数极值的第二充分条件 ： 设函数 ） 存 在二阶导数 ，。 是函数的驻点 ， 。 ≠０ 若当厂 （。 ＞ （ ０ ， 且厂 （ ） ， ） ０ ＜ ） 则函数在 取极小（ ） 。 大 值。对于 ｎ 元函数的二阶偏导数 （ ＝ ，， ｎ １２ ｎ ， 构成的对称矩阵， ｉ １２ …， ＝ ，…，） 由 根据该对称阵的正定性 ， 来 讨论 ｎ 函数的极值 问题。 元 相关 记号 ： Ｘ＝（ ，２… ， ）Ｘ ＝（ 。 ２，ｌ， ， ）ｈ ＝ 一 ，ｉ ，… ，） ｌ ， ，ｏ ｌ， 。 。… 。 ， 。 （ ＝１２ ｎ
个判 别定理 。并举例说 明定理 的应 用。
关键 词 ：ｎ元 函数 极值 充 分条件
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｗ ｈ ｏ ｅ ｏ ｄ ｓ ｒ ｎ ｔ ｘ ｒ ｍｅ ｖ ｕ ｆ ｍｕ ｔ ａｉ ｔ ｕ ｃｉ ｎ ｒ ｂ ｓｒ ｃ ：Ｔ ｏ ｔ ｅ ｒ ｍｓ ｔ ｉ ｉ ａ ｅ ｅ ｔ ｃ ｍｉ ｅ ａ ｅ ｏ ｌｖ ｒ ｅ ｆｎ ｔ ｓａｅ ｏ — ｌ ｉ ａ ｏ ｔｉ ｅ ｈ ｎ ｓ ｆ ｃ ｅ ｔｃ ｎ ｉ ｏ ｓ ｏ ｘｒ ｍｅ ｖ ｌ ｅ ｏ ｎ ａｎ ｄ ｗ ｅ ｕｆ ｉｎ ｏ ｄ ｔ ｎ ｆｅ ｔｅ ａ ｕ ｆ ｏ ｅ—ｖ ｒａ ｌ ｕ ｃｉ ｎ ａ ｅ ｇ ｎ ｒ ｌ ｅ ． ｉ ｉ ａ ｉｂ ｅ ｆ ｎ ｔ ｅ ｅ ａｉ ｄ ｏ ｒ ｚ Ａｎ ｅ ａ ｐ ｉａ ｉｎ ｏ ｅ ｒ ｍｓ ｉ ｉ ｕ ｔ ｔ ｄ ｗｉ ｘ ｍｐ ｅ ． ｄ ｔ ｐ ｌ ｔ ｆｔ ｏ ｅ ｓ ｌ ｓ ａｅ ｔ ｅ ａ ｌ ｓ ｈ ｃ ｏ ｈ ｌ ｒ ｈ Ｋｅ ｏ ｄ：Ｆ ｎ ｔ ｎ ｏ —ｖ ｒａ ｌ ｓ Ｅ ｔ ｍｅ ｖ ｕ Ｓ ｆ ｃｅ ｔ ｏ ｄ ｔ ｎ ｙＷ ｒ ｕ ｃｉ ｆ ｏ ｎ ａ ｉｂ ｅ ｘ ｒ ａ ｅ ｅ ｌ ｕ ｆ ｉｎ ｎ ｉ ｏ ｓ ｉ ｃ ｉ
函数极值充分条件
的证明方法更简单且具有一般性.
证明 要点
用f 在点 x0二阶泰勒公f式 (x)， f(x0确 ) 定 的符. 号
注：①只有二阶导数存在且不为零的驻点才可以 用本定理判别法；
②使用本定理时，一般要求二阶导数的计算相对 较为容易；
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③对于二阶导数 fx不存在的点、不可导的点，
只能用第一充分条件进行判别。 例1 求函 f(x )3 数 arx c ltn x a 的 n 极 . 值 解由
数学分析
§1 拉格朗日定理和函数的单调性 §2 柯西中值定理和不定积分 §3 泰勒公式 §4 函数的极值和最大(小)值 §5 函数的凸性和拐点 §6 函数图像的讨论
第六章 微分中值定理 及其应用
§4 函数的极值和最大(小)值
§4 函数的极值与最大(小)值
教学内容：函数的极值与最值． 教学重点：函数极值与最值的确定． 教学难点：函数极值充分条件． 教学要求：掌握函数极值的第一、第二充分条
件，学会求闭区间上连续函数的最 值的基本方法．
§4 函数的极值与最大(小)值
极大(小)值是局部的最大(小)值, 它 有着很明显的几何特征. 在本节中,我 们将逐一研究函数的这些几何特征.
一、极值判别 二、最大值与最小值
函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而 且也是函数性态的一个重要特征．
费 马 定 理 告 诉 我 们函：数若f 在 点x0 可 导 ， 且x0 是 f 的 极 值 点 ，f则(x0) 0， 即 可 导 函 数 在x0有 点极 值 的 话 ， 必 有f (x0) 0.
试问这里为什么不考虑不可导点 x = 0?
例4 求出函 f(x)数 x2x x0的极 . 值 x1 x0
解 x 0 时 f(x ) ， 2 x 2 x (1 lx n )
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因为 f ( x ) 0 , x ( x0 , x0 ) , f ( x ) 在 ( x0 , x0 ] 上连续，所以 f ( x ) 在 ( x0 , x0 ] 上递减，故 f ( x ) f ( x0 ) , x ( x0 , x0 ) .
y
导数为零, 但 x 0 不是它的
极值点. 于是得极值的必要条件： 可微函数的极值点一定是导数为零. 下面给出极值的充分条件.
O
x
定理6.10 (极值的第一充分条件) 设函数 f (x) 在
x0 连续，在某邻域 U ( x0 ; ) 上可导 .
(i) 若当 x ( x0 , x0 ) 时,f ( x0 ) 0,当 x ( x0 , x0 ) 时，f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在点 x0 取得极小值 . (ii) 若当 x ( x0 , x0 )时, f ( x0 ) 0, 当x ( x0 , x0 ) 时，f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在点 x0 取得极大值 .
定理 6.10 的几何说明
y
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x0
x
o
y
x
o
y
x0
x0 是极值点情形
x0
o
x0
x
o
x
x0 不是极值点情形
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根据导函数的符号判别函数单调性的方法， 可 以知道定理的几何意义十分明显. 出 (i) 的证明， (ii) 的证明类似. 在这里仅给
证明 利用导函数符号得出函数的单调性方法.
同理可证 f ( x ) 在 [ x0 , x0 ) 上递增,故
f ( x ) f ( x0 ) , x ( x0 , x0 ) .
于是
f ( x0 ) f ( x ) , x U ( x0 ; ) ,
即 x0 是 f ( x ) 的一个极小值点 .
第一充分条件求极值的步骤归纳如下：
件，学会求闭区间上连续函数的最
值的基本方法．
§4 函数的极值与最大(小)值
极大(小)值是局部的最大(小)值, 它
有着很明显的几何特征. 在本节中,我 们将逐一研究函数的这些几何特征. 一、极值判别 二、最大值与最小值
函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而
且也是函数性态的一个重要特征．
费马定理告诉我们：若函数 f 在点 x0 可导，且 x0 是 f 的极值点，则 f ( x0 ) 0，即可导函数在点 x0有极值的 话，必有 f ( x0 ) 0. 进一步的问题是：如果 y f ( x ) 在点 x0 不可导，它 有没有可能在 x0 取得极值？回答是肯定的，例如， y x ，在 x 0 不可导，但在 x 0 有极小值.
的某邻域 U ( x0 ; ) 内可导，f ( x0 ) 存在.若
f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0 ,
那么 x x0 是 f ( x ) 的一个极值点 , 并且
(i) f ( x0 ) 0, 则 f ( x ) 在 x x0 处取极小值. (ii) f ( x0 ) 0, 则 f ( x ) 在 x x0 处取极大值 .
①确定函数 f x 的定义域，求出导函数 f x ； ②找出函数 f x 的所有驻点（由 f x 0 ）
以及所有 f x 不存在的点；
③利用第一充分条件，检查上述的点两侧邻近
f x 的符号（列表完成）。
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定理 6.11 (极值的第二充分条件) 设 f (x) 在点 x0
用 f 在 点 x0 二 阶 泰 勒 公 式 ， 确 定 f ( x) f ( x0 ) 的符号 .
注：①只有二阶导数存在且不为零的驻点才可以 用本定理判别法； ②使用本定理时，一般要求二阶导数的计算相对 较为容易；
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③对于二阶导数 f x 不存在的点、不可导的点， 只能用第一充分条件进行判别。 例1 求函数 f ( x ) 3 arctan x ln x 的极值点.
证 同样我们仅证(i). 因为 f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) lim lim 0, x x0 x x0 x x x x0 0
所以由保号性， 存在 0, 当 x U ( x0 ; ) 时,
f ( x ) 0. x x0
从而当 x ( x0 , x0 ) 时,
f ( x0 ) 0 ; 当 x ( x0 , x0 ) 时,
f ( x ) 0.
由极值判别的第一充分条件得知: x0 是极小值点 .
注 建议同学们与教材上的证明方法相比较, 这里 的证明方法更简单且具有一般性.
证明 要点
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综上所述可见：函数的 极值点可能是下述 两种点： （1）使 f ( x0 ) 0 的点 x0 ； （2）使 y f ( x )不可导的点 x0 . 把这两类点称为“极值 可疑点”或“可疑极值 点” . 如何来判定一个极值可 疑点且是真正的极值 点呢？ 这正是我们下面要解决 的问题.
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一、极值判别
费马定理告诉我们.可微函数的极值点一定是稳
定点. 也就是说, 在曲线上相应的点处的切线一 定是水平的. 我们在这里再次强调: 费马定理是在函数可微的 条件下建立的. 换句话说，若没有可微这个前提 条件，费马定理的结论 f ( x ) 0 就无从说起.
当然，费马定理的逆命题亦不真. 例如对于任意 的可微函数导数为零也不一定取得极值. 如幂函数y=x3，在 x=0
数学分析
§1 §2 §3 §4 §5 §6
拉格朗日定理和函数的单调性 柯西中值定理和不定积分 泰勒公式 函数的极值和最大(小)值 函数的凸性和拐点 函数图像的讨论
第六章 微分中值定理 及其应用
§4 函数的极值和最大(小)值
§4 函数的极值与最大(小)值
教学内容：函数的极值与最值． 教学重点：函数极值与最值的确定． 教学难点：函数极值充分条件． 教学要求：掌握函数极值的第一、第二充分条