5达朗伯原理

达朗伯原理是将动力学基本方程中左端项移到等式右端， 从形式上变为静力学平衡方程，故又称为动静法。

关于质点的惯性力，注意以下几点： (1)惯性力是矢量，大小等于ma , 方向与加速度方向相反；
(2)惯性力是虚加的力，没有施力物体，因此在具体问题中, 只需根据Q = - ma来确定其大小、方向。
关于惯性力，学术界还存在着争议：
i i i
将上式投影到直角坐标轴上，可得六个平衡方程：
F N Q 0 F N Q 0 —力系的主矢等于零 F N Q 0 m (F ) m ( N ) m (Q ) 0 m (F ) m ( N ) m (Q ) 0 —力系的主矩等于零 m (F ) m ( N ) m (Q ) 0
惯性力:北半球向东发射远程炮弹偏右现象
（中程导弹射程：1000Km～4000Km；远程导弹：>4000Km；洲际导弹：8000～16000Km）
在“一战”期间 (1918), 德军用射程 113Km的巨形大炮轰击巴黎 , 炮长 34m, 外径1m, 炮重750T, 炮弹重120Kg, 3分30秒飞完115Km射程, 最大高度 40Km,发现炮弹总是向右偏离目标, 就是因为没有考虑到地球的自转偏向力。
在工程界, 习惯用达朗伯原理, 列出力平衡方程, 再 由此得到运动方程。 达朗伯原理为解决非自由质点系的动力学问题提供 了一种普遍而有效的方法。
第 五 章
§5– 1 达朗伯原理(动静法)
§5–2 刚体惯性力系的简化 §5–3 动静法应用举例 §5–4 定轴转动刚体对轴承的 动反力 §5–5 消除附加动反力的条件 · 动平衡和静平衡
O
z
ω
A1
ε
m1a y m2a
Ai
A2
x
m1=m2
ai Ai Qi
O C
2. 刚体做定轴转动
下面, 再研究上述平面惯性力系向转轴 与对称平面交点O简化后的主矢和主矩。 设刚体上任一质点Ai ,质量mi ,加速度 ai , 刚体惯性力系的主矢RQ 就是：
RQ＝ Qi (－mi ai )
O
ai Ai Qi
d'Alembert ，法国科学家， 1743 年提出达朗伯原
理。当时是为了解决复杂的机械动力学问题。
一. 质点达朗伯原理
m a = ∑Fi
F + N ＋ Q＝0 （5-1） F、 N 分别为主动力、约束力； Q＝- ma — 质点的惯性力 (5-1)式即质点达朗伯原理，其投影形式:
Fx N x Qx 0 Fy N y Q y 0 Fz N z Qz 0
惯性力：落体偏东
惯性力是虚拟力, 无施力体, 但可用仪器测出, 可感觉到。
在车厢内光滑的平台上，放置一质量为 m的小球，并用弹簧将小球与 车厢壁相连接。当车厢沿水平直线轨道匀速前进时，弹簧不变形，小球对 车厢处于静止状态； 而当车厢沿水平直线轨道以匀加速前进时，车厢内的观察者看到弹簧 被拉长了，小球仍对车厢处于静止状态。小球为什么会拉长弹簧？ 这对车厢内的观察者来说，似乎很难理解，但对站在地面 (惯性坐标 系)上的观察者，可以作出分析：质量为m的小球受到弹簧的拉力 F，产生 了同车厢相同的加速度a , 根据牛顿第二定律，F=ma . 又由作用反作用定律知，小球必须给弹簧一个反作用力Q(此力作用在 弹簧上), 它与作用力等值、反向、共线，即，Q = - F
再看定轴转动刚体的惯性力系向转轴 与对称平面交点O简化后的主矩。 刚体上任一质点Ai, 质量mi, 与转轴距 离ri, 加速度ai 分解成切向、法向分量, 该 质点的惯性力也分解为相应的两部分：
a
O
2
i
Q
n i
ai a a , a ri , a ri
n i n i
i
i
F N Q 0 m (F ) m (N ) m
i i i
—力系的主矢等于零
O
O
i
O
i
(Qi ) 0
—力系的主矩等于零
在任意瞬时, 作用于质点系的主动力、约束力和惯性力所 构成力系的主矢等于零, 该力系对任一点O的主矩也等于零。
二. 质点系达朗伯原理
F N Q 0 mO (Fi ) mO ( Ni ) mO (Qi ) 0
关于惯性力，学术界还存在着争议：
一种观点,惯性力是真实的力。
比如，人拉小车加速前进，因为小车 有加速度，惯性力存在，并且我们的手可 以感受到这个力。
Q=maC C
a F F' F
另一种观点认为, 惯性力不是真实的力。 真实的力有三要素: 大小、方向、作用点, 还有施力者以及 作用在施力者上的反作用力。
例如，小车上的力F是绳索提供的, 手上的力F'也是由绳索 提供的, 而惯性力Q= -ma作用在车上, 是由什么物体提供的？反 作用力又在何处？惯性力没有施力物体，也没有反作用力。 爱因斯坦创立的广义相对论认为, 惯性力完全与万有引力等 价，惯性力是真实力。
惯性力：左岸与右岸
在北半球的南北向河流冲刷河岸分析
RQ Qi (mi ai ) ac mi Mac
结论：平动刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合 力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与 加速度的方向相反。称为惯性力系的主矢。
平动刚体的惯性力系向质心简化，惯性力主矩?
§5-2 刚体惯性力系的简化
平动刚体的惯性力系向质心简化，惯性力主矩?
√
达 朗 伯 原 理
§5-2 刚体惯性力系的简化
应用动静法解决动力学问题时，首先碰到的是如何加惯 性力的问题。对于一个质点来说，它的惯性力很简单，只要 在质点上假想地加上一个惯性力(Q = - ma)就行了。 应用动静法解决质点系动力学问题时，从理论上讲，对 质点系中每一个质点加上它们各自相应的惯性力是可行的。 但是，实际上，当质点系的质点很多时，在每个质点上加惯 性力不胜其烦。 对于一个刚体来说，它的惯性力就较为复杂，因为刚体 上质点的数目为无限多个，要在每个质点上加惯性力，显然 不便进行。 下面讨论刚体作不同运动时，如何加惯性力。 分三种情况：刚体平动、定轴转动和刚体平面运动。
（5-2） 这表明, 在质点系运动的任一瞬时, 作用于每一质点上的主动力Fi 、 约束力Ni 和该质点的惯性力Qi 在形式上构成一平衡力系。对整个质点系， 在主动力、约束力和惯性力作用下，也处于假想的平衡状态，这就是质 点系的达朗伯原理。
Fi N i Qi 0
由静力学知道，一般力系的平衡条件是力系的主矢和对任意点的主矩 分别等于零，即
x x x y y y z z z
x
i
x
i
x
i
y
i
y
i
y z
i
z
i
z
i
i
§ 5-1 达郎伯原理
d'Alembert，法国科学家, 1743年提出达朗伯原理。
当时是为了解决复杂的机械动力学问题。
牛顿创立的经典力学方法, 在处理工程技术问题时, 一般需要写出描写物体运动的微分方程 ( 动力学方程 )，然 后利用微分方程的解来找出物体运动规律。
§5-2 刚体惯性力系的简化
1.刚体作平动
Q2 m2 Q1 m1
a1 aC
● 主矢:
RQ
Qn
a2
C mn
RQ (mi ai ) MaC
● 主矩 :
an
LQ 0
刚体平动时，惯性力系简化为通 过刚体质心的合力。
2. 刚体做定轴转动
任意形状刚体定轴转动时的惯性力系比较复杂 这里只讨论一种工程上常见的特殊情况, 即刚体具 有质量对称平面, 且转轴与此对称平面垂直。工程 中常见的曲柄、飞轮、凸轮等都属于此种情况。 设刚体绕固定轴 OZ转动， 在任意瞬时的角速 度为ω，角加速度为ε。先考虑刚体上任一对对称质 点A1 、A2(与xy平面对称两点惯性力相等)惯性力的 合成，因为相对于xy平面质量对称，其合惯性力必 在对称平面xy上，并且这两个对称的惯性力简化到 xy平面后，不形成附加力偶。 整个刚体看作为由无数对对称质点组成，把 所有的对称质点的惯性力都向对称平面简化, 这样, 整个刚体的惯性力系就可以简化为分布在对称平 面x -y上的平面力系。
这个反作用力Q是由于小球具有惯性，力图保持其原来的运动状态不 变、对弹簧进行反抗而产生的，故称为小球的惯性力。
火车加速前进时，车厢内乘客也承受惯性力，但感觉不明显。
二. 质点系达朗伯原理
上述质点的达朗伯原理可以直接推广到质点系。对质点系中每个质 点都相应地加上惯性力，这时，每个质点都处于形式上的平衡状态得到 n 个矢量平衡方程：
LQ M C (Qi ) ri Qi ri (mi aC )
m2 Q1 m1
a1 aC
LQ mi ri a C MrC aC
rC为质心C对简化中心的矢径，且
Q2
RQ
Qn
a2
C mn
an
rC
mr
M
因为简化中心与质心C重合, 故
rC 0
LQ 0
C
由质心位置公式： mi ri =MrC
m a
i
i
MaC
RQ＝－MaC
结论：具有质量对称平面的刚体绕垂直于质量对称平面的 固定轴转动时，惯性力系向固定轴O简化， 得到的惯性力系主 矢的大小等于刚体质量与质心加速度大小的乘积，方向与质心 加速度方向相反。
刚体做定轴转动时，刚体惯性力系的简化
§5-2 刚体惯性力系的简化
1.刚体作平动
当刚体平动时, 每一瞬时刚体内各质点的加速度相同, 都 等于刚体质心的加速度aC , 即ai=aC . 将平动刚体内各点都加上惯性力，任一点的惯性力为 Qi = - mi ai= - mi aC , 各质点惯性力的方向相同, 于是组成一个 同向的平行力系, 这个力系简化为通过质心的合力(主矢)：