3—5 多自由度弹性体系的最大地震反应与水平地震作用共21页
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第五节 多自由度体系的水平地震作用
第五节 多自由度体系的水平地震作用一、振型分解反应谱法多质点弹性体系地震反应同单质点弹性体系一样，可以通过运动方程的建立和求解来实现。
假定建筑结构是线弹性的多自由度体系，利用振型分解和振型正交性原理，将求解n 个多自由度弹性体系的地震反应分析分解成n 个独立等效的单自由度体系的最大地震反应，分别利用标准反应谱，求得结构j 振型下，质点i 的F ，再按一般力学方法，求j 振型水平地震作用产生的作用效应（弯矩、剪力、轴力和变形），最后，按一定法则将各振型的作用效应进行组合，（但应注意，这种振型间作用效应的组合，并非简单的求代数和。
）便可确定多自由度体系在水平地震作用下产生的作用效应。
由于各个振型在总的地震效应中的贡献总是以自振周期最长的基本振型（第一振型）为最大，高振型的贡献随振型阶数增高而迅速减小。
实际上，即使体系的自由度再多，也只计算对结构反应起控制作用的前k 个振型就够了，一般需考虑的振型个数k=2—3，即取前2—3个振型的地震作用效应进行组合，就可以得到精度很高的近似值，从而大胆减少计算工作量。
1、振型的最大地震作用第j 振型I 质点最大地震作用i ji j j ji G X F γα=式中： j α —— 相应于第j 振型自振周期T 的地震影响系数j γ —— j 振型的振型参与系数∑∑===n i jiin i jii j X m X m 121γ ji X —— j 振型i 质点的水平相对位移——振型位移i G —— 集中于i 质点的重力荷载代表值上述方法繁琐，工作量大，计算不方便，因此工程中为了简化计算，在满足一定条件下，可采用近似的计算法，即底部剪力法。
2、振型组合（1）SRSS （平方和开方法）∑=2j S S（2）CQC （完整二次项组合法）二、底部剪力法1、 适用条件：（1） 高度不超过40m ；（2） 以剪切变形为主（房屋高宽比小于4）（3） 质量和刚度沿高度分布比较均匀（4） 近似于单质点体系当结构满足上述条件时，结构振动位移反应以基本振型（第一振型）为主，且基本振型接近于直线。
多自由度水平地震作用
第三章 建筑结构抗震原理
§4 多自由度体系地震反应分析
无阻尼多自由度弹性体系的自由振动方程为：
} [ K ]{u} {0} [ M ]{u
设结构作简谐振动，其位移反应为： {u} { } sin( t ) 式中，ω—自振频率；θ—初始相位角; {ϕ}—仅与位置坐标有关的向量。 2 ([ K ] [ M ]){} 0 可以得到特征方程： 根据线性代数的知识，特征方程存在非零解的 充要条件是系数行列式等于零，即得到频率方 程： | [ K ] 2 [ M ] | 0
第三章 建筑结构抗震原理
§4 多自由度体系地震反应分析
4.1 动力方程的建立
实际工程结构的质量都是沿结构几何形状连续 分布的，因此，严格地说，其动力自由度应该 是无限的。 但是，采用无限自由度模型，一方面计算过于 复杂；另一方面也没这种必要，因为，选用有 限多自由度模型的计算结果已能充分满足一般 工程设计的精度要求。 因此，在研究和应用中，一般通过结构的离散 化方法，将无限自由度体系转化为有限自由度 体系。
第三章 建筑结构抗震原理
§4 多自由度体系地震反应分析
为了对不同频率的振型进行形状上的比较，需 要将其化为无量纲形式，这种转化过程称为振 型的规格化。 振型规格化的方法可采用下述三种方法之一： (1)特定坐标的规格化方法：指定振型向量中某一 坐标值为1，其它元素按比例确定； (2)最大位移值的规格化方法：将振型向量各元素 分别除以其中的最大值；
{ j }T [K ]{i } i2 { j }T [M ]{i }
T {i }T [ K ]{ j } 2 { } [ M ]{ j } j i
左式不变，而对右式进行转置运算可得
{ j }T [K ]{i } i2 { j }T [M ]{i }
§4 多自由度体系地震反应分析
无阻尼多自由度弹性体系的自由振动方程为：
} [ K ]{u} {0} [ M ]{u
设结构作简谐振动，其位移反应为： {u} { } sin( t ) 式中，ω—自振频率；θ—初始相位角; {ϕ}—仅与位置坐标有关的向量。 2 ([ K ] [ M ]){} 0 可以得到特征方程： 根据线性代数的知识，特征方程存在非零解的 充要条件是系数行列式等于零，即得到频率方 程： | [ K ] 2 [ M ] | 0
第三章 建筑结构抗震原理
§4 多自由度体系地震反应分析
4.1 动力方程的建立
实际工程结构的质量都是沿结构几何形状连续 分布的，因此，严格地说，其动力自由度应该 是无限的。 但是，采用无限自由度模型，一方面计算过于 复杂；另一方面也没这种必要，因为，选用有 限多自由度模型的计算结果已能充分满足一般 工程设计的精度要求。 因此，在研究和应用中，一般通过结构的离散 化方法，将无限自由度体系转化为有限自由度 体系。
第三章 建筑结构抗震原理
§4 多自由度体系地震反应分析
为了对不同频率的振型进行形状上的比较，需 要将其化为无量纲形式，这种转化过程称为振 型的规格化。 振型规格化的方法可采用下述三种方法之一： (1)特定坐标的规格化方法：指定振型向量中某一 坐标值为1，其它元素按比例确定； (2)最大位移值的规格化方法：将振型向量各元素 分别除以其中的最大值；
{ j }T [K ]{i } i2 { j }T [M ]{i }
T {i }T [ K ]{ j } 2 { } [ M ]{ j } j i
左式不变，而对右式进行转置运算可得
{ j }T [K ]{i } i2 { j }T [M ]{i }
自由度体系结构的地震反应
曲线下降段，自特征周期至5倍特征周期区段，衰减指数应取0.9。
直线下降段，自5倍特征周期至6s区段，下降斜率调整系数η1应取0.02，阻尼调整系数η2=1 。
地震影响系数曲线
地震影响系数曲线
2 当建筑结构的阻尼比按有关规定不等于0.05时，地震影响系数曲线的阻尼调整系数和形状参数应符合下列规定： 1) 曲线下降段的衰减指数应按下式确定： 2) 直线下降段的下降斜率调整系数应按下式确定： 3)阻尼调整系数应按下式确定：
地震影响系数的确定
建筑结构的地震影响系数应根据烈度、场地类别、设计地震分组和结构自振周期以及阻尼比确定。其水平地震影响系数最大值应按表3-4采用；特征周期应根据场地类别和设计地震分组按表3-2采用,计算罕遇地震作用时，特征周期应增加0.05s。
近年来地震经验表明，在宏观烈度相似的情况下，处在大震级远震中距下的柔性建筑，其震害要比中、小震级近震中距的情况重得多；理论分析也发现，震中距不同时反应谱频谱特性并不相同。
2
为更好体现震级和震中距的影响，采用设计地震分组来区分近震和远震，将建筑工程的设计地震分为三组。
3
设计地震第一组；震中距较小
4
设计地震第二组；震中距适中
5
设计地震第三组：震中距较大
6
常用术语—设计地震分组
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3.3 单自由度体系地震作用及其反应谱 标准反应谱
地震系数
地震系数是地面运动加速度峰值与重力加速度的比值。 地震烈度愈大，地面运动加速度愈大，地震系数也愈大，因而，地震系数与地震烈度之间有一定对应关系。
地震烈度
6
7
8
9
地震系数k
0.05
0.1（0.15）
直线下降段，自5倍特征周期至6s区段，下降斜率调整系数η1应取0.02，阻尼调整系数η2=1 。
地震影响系数曲线
地震影响系数曲线
2 当建筑结构的阻尼比按有关规定不等于0.05时，地震影响系数曲线的阻尼调整系数和形状参数应符合下列规定： 1) 曲线下降段的衰减指数应按下式确定： 2) 直线下降段的下降斜率调整系数应按下式确定： 3)阻尼调整系数应按下式确定：
地震影响系数的确定
建筑结构的地震影响系数应根据烈度、场地类别、设计地震分组和结构自振周期以及阻尼比确定。其水平地震影响系数最大值应按表3-4采用；特征周期应根据场地类别和设计地震分组按表3-2采用,计算罕遇地震作用时，特征周期应增加0.05s。
近年来地震经验表明，在宏观烈度相似的情况下，处在大震级远震中距下的柔性建筑，其震害要比中、小震级近震中距的情况重得多；理论分析也发现，震中距不同时反应谱频谱特性并不相同。
2
为更好体现震级和震中距的影响，采用设计地震分组来区分近震和远震，将建筑工程的设计地震分为三组。
3
设计地震第一组；震中距较小
4
设计地震第二组；震中距适中
5
设计地震第三组：震中距较大
6
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3.3 单自由度体系地震作用及其反应谱 标准反应谱
地震系数
地震系数是地面运动加速度峰值与重力加速度的比值。 地震烈度愈大，地面运动加速度愈大，地震系数也愈大，因而，地震系数与地震烈度之间有一定对应关系。
地震烈度
6
7
8
9
地震系数k
0.05
0.1（0.15）
自由度弹性体系的水平地震作用与抗震设计反应谱
响应特性
自由度弹性体系在水平地震作用下的响应特性包括位移、速度和加速度，这些响应与体系的自振频率、阻尼比和 刚度有关。
自由度弹性体系的地震损伤机理与破坏模式
损伤机理
水平地震作用下，自由度弹性体系的损伤机理主要包括构件的弯曲、剪切和拉伸，以及 节点或连接处的断裂。
破坏模式
常见的破坏模式包括整体倾覆、结构失稳、节点或连接处断裂等，这些破坏模式与地震 强度、结构设计和材料性能有关。
自由度弹性体系是指由多个弹性体组成的体系，其中每个弹 性体都可以在一定范围内自由振动。根据体系中弹性体的数 量和性质，可以分为单自由度、多自由度和无限自由度等类 型。
自由度弹性体系广泛应用于工程结构分析中，如桥梁、建筑 和机械系统等。通过建立数学模型，可以描述体系的运动行 为和受力状态。
自由度弹性体系的运动方程
自由度弹性体系的水平地震作用与 抗震设计反应谱
目 录
• 引言 • 自由度弹性体系的基本理论 • 水平地震作用的计算方法 • 抗震设计反应谱的建立 • 自由度弹性体系在地震作用下的反应分析 • 结论与展望
01 引言
背景介绍
01
地震是一种常见的自然灾害，对人类生命财产安全造成巨大威 胁。
02
地震作用下，建筑物等结构的抗震性能是关注的重点。
未来研究可以结合实际工程案例，对自由度弹性体系的抗震性能进行更为细致的分 析和评估，为工程实践提供更为可靠的依据。
此外，可以考虑将自由度弹性体系的地震反应谱研究与其他领域的研究相结合，如 结构健康监测、地震预警等，以实现更为全面和深入的研究。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
反应谱的应用范围与限制
应用范围
适用于单自由度弹性体系的地震作用分析和抗震设计。
自由度弹性体系在水平地震作用下的响应特性包括位移、速度和加速度，这些响应与体系的自振频率、阻尼比和 刚度有关。
自由度弹性体系的地震损伤机理与破坏模式
损伤机理
水平地震作用下，自由度弹性体系的损伤机理主要包括构件的弯曲、剪切和拉伸，以及 节点或连接处的断裂。
破坏模式
常见的破坏模式包括整体倾覆、结构失稳、节点或连接处断裂等，这些破坏模式与地震 强度、结构设计和材料性能有关。
自由度弹性体系是指由多个弹性体组成的体系，其中每个弹 性体都可以在一定范围内自由振动。根据体系中弹性体的数 量和性质，可以分为单自由度、多自由度和无限自由度等类 型。
自由度弹性体系广泛应用于工程结构分析中，如桥梁、建筑 和机械系统等。通过建立数学模型，可以描述体系的运动行 为和受力状态。
自由度弹性体系的运动方程
自由度弹性体系的水平地震作用与 抗震设计反应谱
目 录
• 引言 • 自由度弹性体系的基本理论 • 水平地震作用的计算方法 • 抗震设计反应谱的建立 • 自由度弹性体系在地震作用下的反应分析 • 结论与展望
01 引言
背景介绍
01
地震是一种常见的自然灾害，对人类生命财产安全造成巨大威 胁。
02
地震作用下，建筑物等结构的抗震性能是关注的重点。
未来研究可以结合实际工程案例，对自由度弹性体系的抗震性能进行更为细致的分 析和评估，为工程实践提供更为可靠的依据。
此外，可以考虑将自由度弹性体系的地震反应谱研究与其他领域的研究相结合，如 结构健康监测、地震预警等，以实现更为全面和深入的研究。
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反应谱的应用范围与限制
应用范围
适用于单自由度弹性体系的地震作用分析和抗震设计。
结构地震反应分析与抗震计算课件
结构地震反应分析与抗震计算
3.1.2 地震作用
结构抗震理论的发展
结构地震反应计算方法的发展，大致可以划分为三个阶段：
1、静力理论阶段---静力法
1920年，由日本大森房吉提出。假设建
m
筑物为绝对刚体。
mxg (t)
结构所受的水平地震作用：
Fmx gma x G gx gma x Gk
xg (t )
fc cx&t
结构地震反应分析与抗震计算
3.2.1 运动方程
弹性恢复力是使质点从振动位置回到平衡位置的力，由结构的弹 性变形产生。 根据胡克定律，恢复力与质点偏离平衡位置的位移成正比，但 方向与质点位移的方向相反。
fr kx
根据达朗贝尔原理，在任一时刻t，质点在惯性力、阻尼力及弹 性恢复力三者作用下保持动力平衡。于是运动平衡方程为
结构地震反应分析与抗震计算
3.1.3 结构动力计算简图及体系自由度
为确定运动过程中任一时刻全部质量的位置所需要的独立 的几何参数的数目，即自由度。
空间中一个自由质点可有三个独立的平动位移（忽略转 动），因此它具有三个平动自由度。若限制质点在一个平面内 运动，则一个质点有两个自由度。根据结构自由度的数量多少， 可分为单自由度体系和多单自由度体系。 质量集中点的个数与自由度个数并不是一一对应的
结构地震反应分析与抗震计算
3.1.3 结构动力计算简迪图拜及哈体利系法自塔由度
高层建筑
结构地震反应分析与抗震计算
烟囱
结构地震反应分析与抗震计算
对多、高层建筑其集中质量等于该楼层上、下各半的区域质量 （楼盖、墙体等）之和（每个质点的质量应根据重力荷载代表 值确定），并集中在楼面结构标高处，固端位置一般取至基础 顶面或室外地面下0.5m处。
3.1.2 地震作用
结构抗震理论的发展
结构地震反应计算方法的发展，大致可以划分为三个阶段：
1、静力理论阶段---静力法
1920年，由日本大森房吉提出。假设建
m
筑物为绝对刚体。
mxg (t)
结构所受的水平地震作用：
Fmx gma x G gx gma x Gk
xg (t )
fc cx&t
结构地震反应分析与抗震计算
3.2.1 运动方程
弹性恢复力是使质点从振动位置回到平衡位置的力，由结构的弹 性变形产生。 根据胡克定律，恢复力与质点偏离平衡位置的位移成正比，但 方向与质点位移的方向相反。
fr kx
根据达朗贝尔原理，在任一时刻t，质点在惯性力、阻尼力及弹 性恢复力三者作用下保持动力平衡。于是运动平衡方程为
结构地震反应分析与抗震计算
3.1.3 结构动力计算简图及体系自由度
为确定运动过程中任一时刻全部质量的位置所需要的独立 的几何参数的数目，即自由度。
空间中一个自由质点可有三个独立的平动位移（忽略转 动），因此它具有三个平动自由度。若限制质点在一个平面内 运动，则一个质点有两个自由度。根据结构自由度的数量多少， 可分为单自由度体系和多单自由度体系。 质量集中点的个数与自由度个数并不是一一对应的
结构地震反应分析与抗震计算
3.1.3 结构动力计算简迪图拜及哈体利系法自塔由度
高层建筑
结构地震反应分析与抗震计算
烟囱
结构地震反应分析与抗震计算
对多、高层建筑其集中质量等于该楼层上、下各半的区域质量 （楼盖、墙体等）之和（每个质点的质量应根据重力荷载代表 值确定），并集中在楼面结构标高处，固端位置一般取至基础 顶面或室外地面下0.5m处。
计算多自由度弹性体系的最大地震反应
计算多自由度弹性体系的最大地震反应杨晓云;杨卫平;谷明宇【摘要】简要介绍了计算多自由度弹性体系最大地震反应的振型分解法及底部剪力法的理论基础,着重对这两种方法求解框架的最大底部剪力和最大顶点的位移过程进行了探讨,得出了一些有意义的结论.【期刊名称】《山西建筑》【年(卷),期】2013(039)022【总页数】3页(P24-26)【关键词】地震反应;位移;剪力;结构【作者】杨晓云;杨卫平;谷明宇【作者单位】内蒙古科技大学建筑与土木工程学院,内蒙古包头014010;内蒙古科技大学建筑与土木工程学院,内蒙古包头014010;内蒙古科技大学矿业工程学院,内蒙古包头014010【正文语种】中文【中图分类】TU352.10 引言目前，对结构抗震设计最有意义的是结构最大地震反应。
两种计算多自由度弹性体系最大地震反应的方法:一种是振型分解反应谱法，另一种是底部剪力法。
其中前者的理论基础是地震反应分析的振型分解法及地震反应谱概念，而后者则是振型分解反应谱法的简化。
1 振型分解法求解框架的最大底部剪力和最大顶点位移3层剪切型结构如图1所示，结构处于8度区(地震加速度是0.20g)，Ⅰ类场地第一组，结构阻尼比是0.05。
试采用振型分解反应谱法，求结构在多遇地震下的最大底部剪力和最大顶点位移。
解:该结构是3自由度体系，质量矩阵和刚度矩阵分别为:先由特征值方程求自振圆频率，令得:即:B3－5.5B2+7.5B－2=0。
由上式可得:B1=0.351，B2=1.61，B3=3.54。
从而由得:由得结构的各阶自振周期:为求第一阶振型，将w1=14.5rad/s代入:得则第一阶振型为:同理得:由(振型分解反应谱法)得:根据场地类别、设计地震分组查表得特征周期值:根据设防烈度、地震影响查表得水平地震影响系数:αmax=0.16，则:由Fji=Giαjγjφji得:第一振型各质点(或各楼面)水平地震作用为:F11=2.0×9.8×0.0976×1.421×0.301=0.818kN。
7第七讲 多自由度弹性体系的水平地震作用
S1 (k11 x1 k12 x2 )
阻尼力
D1 (c11 x1 c12 x2 )
x x m
1 g 1
1
I
质点1的动力平衡方程
I1 + D1 + S1 = 0 得：
m1 1 c11 x1 c12 x2 k11 x1 k12 x2 m1 g x x
k11 k12 k1n 两边左乘一个 X 0 m1 T m2 t )} X T0[c](X {k)( t )} X T [ k ] X {q( t ( X M )} j [ M ][ ] X T {q ,[k ] q ,[c ] T { x j } [ M ]{ xk } X [ M ]{ I }g ( t ) M j ( j k ) x mn 0 根据振型的正交性有： 假定： k12 kknnn kkn1 11 1 m 0
2
1
2( )
j振型的反应:
记 j (t ) 为阻尼比 j ，频率 j 的SDOF体系地震位 移反应，则：
j (t ) 1
j
t 0
g ( )e j j ( t ) sin j ( t )d x
j振型的圆频率
j振型的阻尼比 (j=1,2,3… …,n)
q j (t ) j j (t )
质点的地震反应位移为：
x t X q t
第i质点的位移Leabharlann xi ( t )
j 1
n
j
j ( t ) X ji
3—5 多自由度弹性体系的最大地震反应与水平地震作用
3.5.2 底部剪力法
再将余下的部分 (1−δn )FEK 进行分配。因此， 进行分配。因此，在 考虑了上述调整后， 考虑了上述调整后，顶点的水平地震作用为 GnHn Fn = n (1−δn )FEK +δnFEK ∑ H jGj (3-135b) 135b) j=1 而其余各质点的水平地震作用为
αj Gi Vjo = ∑ Fji = ∑α jγ jφjiGi = α1G∑ γ j X ji i=1 i=1 i=1α G 1
n n n
5-3)
αj Gi 2 FEK = ∑V = α1G ∑( ∑ γ j X ji ) = α1Gξ j=1 j=1 i=1α G 1
n 2 jo n n
(3-
3.5.2 底部剪力法
式中， 为高振型影响系数， 式中，ξ为高振型影响系数，其表达式为
αj Gi 2 ξ = j∑1(i∑ γ j X ji ) = =1α G 1
n n
计算资料的统计分析表明， 计算资料的统计分析表明 ， 当结构体系各质点重量 相等，并在高度方向均匀分布时， 相等，并在高度方向均匀分布时， ， ξ =1.5( n为质点数n +1) /(2n +1) 为质点数。如为单质点体系(即单层建筑 即单层建筑)， 为质点数。如为单质点体系 即单层建筑 ， ，如 ξ =1 为无穷多质点体系， 抗震规范》取中间值， 为无穷多质点体系， 。《抗震规范》取中间值， ξ = 0.75 故式(3-5-3) ξ = 0.85 即 。故式 n n n αj Gi 2 2 FEK = ∑Vjo = α1G ∑( ∑ γ j X ji ) = α1Gξ j=1 j=1 i=1α G 1 改写为
3.5.2 底部剪力法
FEK = α1Geq
多自由度体系的水平地震作用(精)
因此，多质点体系的等效总重力荷载即为：
Geq 0.85 Gi
i 1
n
2. 质点的地震作用
在求得结构的总水平地震作用后，将其分配到各个质 点，可以得到各质点的地震作用。 由于质量和刚度沿高度分布比较均匀，高度不高，以 剪切变形为主的多自由度结构，其地震反应以基本振 型为主，而结构的基本振型接近于倒三角形。 故假定水平地震作用按倒三角形分布。
1．结构底部剪力
多质点体系在水平地震作用任一时刻的底部剪力为
F (t ) mi [ x0 (t ) xi (t )]
i 1
n
在设计时取其时程曲线的峰值，即：
FE { mi [ x0 (t ) xi (t )]}max
i 1
n
为简化计算，根据底部剪力相等的原则，将多自由度体系 用一个与其基本周期相等的单质点体系来代替。 同时根据反应谱方法，底部剪力就可以简单地用单自由度 体系的公式计算：
多自由度体系的水平地震作用
求解结构地震作用的方法有两大类：一类是拟静力 方法；另一类为直接动力方法。 多自由度体系的水平地震作用可采用第一类方法，也 就是振型分解反应谱方法，在一定条件下还可采用更为 简单的底部剪力法。
一、振型分解反应谱法
多自由度弹性体系在地震时质点所受到的地 震作用为惯性力，当不考虑扭转耦联时，质点 i上的地震作用为
1．各振型的最大地震作用
由上式可知，作用在第j振型第i质点上的水平地震作用绝对最大标 准值为:
Fji (t ) mi j X ji [ x0 (t ) j (t )]max
j
[ x0 (t ) j (t )]max g
令
Gi mi g
则作用在第j振型第i质点上的水平地震作用绝对最大标准值可表示 为: （i=1, 2, … , m；j=1, 2, … , n） Fji (t ) j j X jiGi
结构地震反应分析
---地震影响系数
T (s)
5Tg
6.0
m ax---地震影响系数最大值
地震影响 多遇地震 罕遇地震
6度
7度
8度
9度
0.04 0.08（0.12） 0.16（0.24） 0.32
0.28 0.50（0.72） 0.90（1.20） 1.40
注：括号中数值分别用于设计基本加速度为0.15g和0.30g的地区
Tg ---特征周期按下表取值
场地类别
Ⅰ0
Ⅰ1
Ⅱ ⅢⅣ
0.20
0.25
0.35 0.45 0.65
0.25
0.30
0.40 0.55 0.75
0.30
0.35
0.45 0.65 0.90
地震作用计算
F Gk T
k T
F G
单自由度体系的水平地震作用计算公式
例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋
吊车悬吊物重力
组合值系数
0.5
0.5
不考虑
藏书库、档案 其它民用建筑
硬钩吊车 软钩吊车
1.0 0.8 0.5 0.3
不考虑
地震系数
k xg max g
反应地面运动加速度峰值与重力加速度之间的比值， 与地震烈度有关
基本烈度 地震系数k
6
7
8
9
0.05 0.10（0.15） 0.20（0.30） 0.40
2 max 0.45 max
0 0.1
(Tg T
) 2 max
[20.2 1(T 5Tg )]max
T (s)
Tg
5Tg
6.0
当阻尼比 0.05时：
T (s)
5Tg
6.0
m ax---地震影响系数最大值
地震影响 多遇地震 罕遇地震
6度
7度
8度
9度
0.04 0.08（0.12） 0.16（0.24） 0.32
0.28 0.50（0.72） 0.90（1.20） 1.40
注：括号中数值分别用于设计基本加速度为0.15g和0.30g的地区
Tg ---特征周期按下表取值
场地类别
Ⅰ0
Ⅰ1
Ⅱ ⅢⅣ
0.20
0.25
0.35 0.45 0.65
0.25
0.30
0.40 0.55 0.75
0.30
0.35
0.45 0.65 0.90
地震作用计算
F Gk T
k T
F G
单自由度体系的水平地震作用计算公式
例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋
吊车悬吊物重力
组合值系数
0.5
0.5
不考虑
藏书库、档案 其它民用建筑
硬钩吊车 软钩吊车
1.0 0.8 0.5 0.3
不考虑
地震系数
k xg max g
反应地面运动加速度峰值与重力加速度之间的比值， 与地震烈度有关
基本烈度 地震系数k
6
7
8
9
0.05 0.10（0.15） 0.20（0.30） 0.40
2 max 0.45 max
0 0.1
(Tg T
) 2 max
[20.2 1(T 5Tg )]max
T (s)
Tg
5Tg
6.0
当阻尼比 0.05时：
第3章 结构地震反应分析与抗震计算
m
P(t )
x(t )
P(t )
t
dt
t
3.2.3运动方程的解
pdt mv mv0 •瞬时冲量的反应 动量定律：冲量等于动量的改变量 a.t=0 时,即在体系静止状态下作用瞬时冲量
Pdt mv mx0
x0 Pdt / m
x0 1 P (dt) 2 0 2m
x0 sin t
x(t )：质点对地面的的相对位移
质点位移：
m
m( g ) x x
cx
x(t )
X (t ) x(t ) xg (t )
质点加速度：
m
kx
X (t ) (t ) g (t ) x x
xg (t )
3.2.2单自由度体系在地震作用下 的运动方程
取质点为隔离体，由结构动力学可知，作用 在质点上的力：
2：特解，代表强迫振动
3.2.3运动方程的解
1：齐次方程的解
单质点弹性体系自由振动方程：
2 x 2 x 0 x
对一般结构（阻尼比较小），其齐次解为：
x(t) e
式中：
t
x(0) ζωx(0) sin ωt x(0) cos ωt ω
x(0) x(t) x(0) cos ωt sin ωt ω
3.2.3运动方程的解
无阻尼自由振动：振幅始终不变 有阻尼自由振动：振幅随时间的增加而减小，体系 的阻尼越大，其振幅的衰减就越快。
3.2.3运动方程的解
2、非齐次方程的解 2 x 2 x g x 运动方程： x
3.2.3运动方程的解
x(t) e
t
x(0) ζωx(0) x(0) cos ωt sin ωt ω
P(t )
x(t )
P(t )
t
dt
t
3.2.3运动方程的解
pdt mv mv0 •瞬时冲量的反应 动量定律：冲量等于动量的改变量 a.t=0 时,即在体系静止状态下作用瞬时冲量
Pdt mv mx0
x0 Pdt / m
x0 1 P (dt) 2 0 2m
x0 sin t
x(t )：质点对地面的的相对位移
质点位移：
m
m( g ) x x
cx
x(t )
X (t ) x(t ) xg (t )
质点加速度：
m
kx
X (t ) (t ) g (t ) x x
xg (t )
3.2.2单自由度体系在地震作用下 的运动方程
取质点为隔离体，由结构动力学可知，作用 在质点上的力：
2：特解，代表强迫振动
3.2.3运动方程的解
1：齐次方程的解
单质点弹性体系自由振动方程：
2 x 2 x 0 x
对一般结构（阻尼比较小），其齐次解为：
x(t) e
式中：
t
x(0) ζωx(0) sin ωt x(0) cos ωt ω
x(0) x(t) x(0) cos ωt sin ωt ω
3.2.3运动方程的解
无阻尼自由振动：振幅始终不变 有阻尼自由振动：振幅随时间的增加而减小，体系 的阻尼越大，其振幅的衰减就越快。
3.2.3运动方程的解
2、非齐次方程的解 2 x 2 x g x 运动方程： x
3.2.3运动方程的解
x(t) e
t
x(0) ζωx(0) x(0) cos ωt sin ωt ω
第三章 结构地震反应分析与抗震验算3—3 多自由度弹性体系的地震反应分析
0.676 2 0 . 601 1
将各阶振型用图形表示，如图3-15所示。图中反映振 型具有如下特征：对于串联多质点多自由度体系，其第几 阶振型，在振型图上就有几个节点（振型曲线与体系平衡 位置的交点）。利用振型图的这一特征，可以定性判别所 得振型正确与否
【例 3-4】三层剪切型结构如图 3-14 所示，求 该结构的自振圆频率和振型。
【解】该结构为 3 自由度体系，质量矩阵 和刚度矩阵分别为（刚度的求法见本题后附图）
1.2 0 3 K 1.2 1.8 0.6 10 6 N / m 0.6 0.6 0
2 0 0 M 0 1.5 0 103 kg 0 0 1
先由特征值方程求自振圆频率，令 B＝ω 2／600 得
5 2B
2 3 1.5B 1
0 1 0 1 B
K M
2
2 0
或 B3－5.5B2＋7.5B－2＝0 由上式可解得 B1＝0.351 B2＝1.61 B3＝3.54 从而由 600 B 得 ω 1＝14.5 rad／s ω 2＝31.3 rad／s ω 3＝46.1 rad／s 由自振周期与自振频率的关系 T＝2π ／ω ， 可得结构的各阶自振周期分别为 T1＝0.433 s T2＝0.202 s T3＝0.136 s
(i=1,2,……n)
上式表示的是一组方程，也就是说n自由度体系，其运 动微分方程组应由n个方程组成，用矩阵形式表示为：
3.3.1、多自由度弹性体系的运动方程
}+[C]{x }+[K ]{x} = [M ]{ g [M ]{ x 1} x
式中，[M]为体系质量矩阵；[C] 为体系阻尼矩阵；… [K] 为体系刚度矩阵。
多自由度体系的水平地震作用
1．各振型的最大地震作用
由上式可知，作用在第j振型第i质点上的水平地震作
用绝对最大标准值为:
F ji(t) m i jX ji[x 0 (t) j(t)]m a x
令
j
[x0(t)j(t)]max g
5
第 节
多
Gi mig
自 由
则作用在第j振型第i质点上的水平地震作用绝对最大水 平地 Nhomakorabea震
作
用
第三章 结构地震反应分析与抗震验算
振型组合的方式有多种，如求和、取最大、平方和开 平方等方法。
如假定地震时地面运动为平稳的随机过程，则对于各
平动振型所产生的地震作用效应可近似采用“平方和开 第
5
平方”的方法来确定，即：
节
多
S
S
2 j
自 由
度
S——水平地震作用效应
体 系
Sj——第j振型水平地震作用所产生的作用效应，包 括内力和变形。
体 系 的
水
平
地
震
作
用
第三章 结构地震反应分析与抗震验算
一般采用方法是先求出对应于每一振
型的最大地震作用（同一振型中各质点地 第 震作用将同时达到最大值）及其相应的地 节
5
震作用效应，然后将这些效应进行组合，
多 自
以求得结构的最大地震作用效应。
由 度
体
系
的
水
平
地
震
作
用
第三章 结构地震反应分析与抗震验算
自 由
δn的确定:对于多层钢筋混凝土和钢结构，根据场地的特征周期Tg及结
度 体
构的基本周期T1确定；对于多层内框架砖房取0.2；其他房屋可以不考 系
计算多自由度弹性体系的最大地震反应
：
＝
＋
＋
鲁＝
的结 构。当建筑 物有局部 凸出屋 面 的小建筑 物 （ 如屋 顶 间 ， 女儿
＋
＿０． ０ ８ ３×１ ０一 ｍ。
通 过振 型组合求结构 的最大顶点 位移 为 ：
＝ ＝ １ ０
（ １ — ６ ） 或 ： 譬 Ｆ ￣ Ｋ ］ ｄ ｚ Ｊ ３ ｄ ／ ｆ Ｅ ｄ 、 建 筑 上 的 地
∑ ∑
６ ． ４ ４ ２ ４ － （ 一０ ． ７ ９ ９ ） ＋０ ． ０ ８ ３ ‘＝
６ ． ４ ９ ２ ｍｍ 。
震作用需乘 以增 大系数 ， 抗震规范规定该增大系数 取为 ３ 。但是 ， 应注 意鞭梢效应 只对局 部凸出小建筑有影 响 ， 因此作用 在小建筑
＝６ ． ４ ９ １ ｍｍ 。
６ ＝０ ． ０ ８ ＋０ ． ０ ７＝０． ０ ８×０ ． ４ ３ ３＋０ ． ０ ７＝０． １ ０ ５。
ｒ ｌ ３ ＝１ ． ０× ９ ． ８× ０ ． ０ ９ ７ ６×１ ． ４ ２ １ ×１＝１ ． ３ ５ ９ ｋ Ｎ。
第二振型各质点 （ 或各楼 面） 水平地震作用为 ：
＝
半
—
＋
＋— －０ ． ８ ０ ０ ６ ’ ０ ０ ：
一
比， 可见底部 剪力法 的计算结 果 ＋ 鲁＝ ＋ 与振 与振型分解法的计算结果相 型分解反应谱法很接近 。
１ ２ ０ ０
０． ’ ７ ９ ９ ×１ ０～ ‘ ｍ。 ‘ ‘
说明 ： 底部剪力法适用于重量 和刚度沿高 度分布 均 比较 均匀 烟 囱） 等 时， 由于该部 分结 构 的重 量 和刚度 突然变 小 ， 将产 生 ＋ 墙 ， 鞭梢效应 ， 即局部 凸 出小 建筑 的地震 反应 有加 剧 的现 象。因此 ， 当采用底 部剪 力法计算 这类小建筑 的地震 作用效 应时 ， 计算按 式
＝
＋
＋
鲁＝
的结 构。当建筑 物有局部 凸出屋 面 的小建筑 物 （ 如屋 顶 间 ， 女儿
＋
＿０． ０ ８ ３×１ ０一 ｍ。
通 过振 型组合求结构 的最大顶点 位移 为 ：
＝ ＝ １ ０
（ １ — ６ ） 或 ： 譬 Ｆ ￣ Ｋ ］ ｄ ｚ Ｊ ３ ｄ ／ ｆ Ｅ ｄ 、 建 筑 上 的 地
∑ ∑
６ ． ４ ４ ２ ４ － （ 一０ ． ７ ９ ９ ） ＋０ ． ０ ８ ３ ‘＝
６ ． ４ ９ ２ ｍｍ 。
震作用需乘 以增 大系数 ， 抗震规范规定该增大系数 取为 ３ 。但是 ， 应注 意鞭梢效应 只对局 部凸出小建筑有影 响 ， 因此作用 在小建筑
＝６ ． ４ ９ １ ｍｍ 。
６ ＝０ ． ０ ８ ＋０ ． ０ ７＝０． ０ ８×０ ． ４ ３ ３＋０ ． ０ ７＝０． １ ０ ５。
ｒ ｌ ３ ＝１ ． ０× ９ ． ８× ０ ． ０ ９ ７ ６×１ ． ４ ２ １ ×１＝１ ． ３ ５ ９ ｋ Ｎ。
第二振型各质点 （ 或各楼 面） 水平地震作用为 ：
＝
半
—
＋
＋— －０ ． ８ ０ ０ ６ ’ ０ ０ ：
一
比， 可见底部 剪力法 的计算结 果 ＋ 鲁＝ ＋ 与振 与振型分解法的计算结果相 型分解反应谱法很接近 。
１ ２ ０ ０
０． ’ ７ ９ ９ ×１ ０～ ‘ ｍ。 ‘ ‘
说明 ： 底部剪力法适用于重量 和刚度沿高 度分布 均 比较 均匀 烟 囱） 等 时， 由于该部 分结 构 的重 量 和刚度 突然变 小 ， 将产 生 ＋ 墙 ， 鞭梢效应 ， 即局部 凸 出小 建筑 的地震 反应 有加 剧 的现 象。因此 ， 当采用底 部剪 力法计算 这类小建筑 的地震 作用效 应时 ， 计算按 式
3.3多自由度弹性体系的地震反应分析2009.9
x31 x32 x3 j x3n
x j1 xj2 x jj x jn
xn1 ]T xn 2 ]T xnj ]T xnn ]T
3.3.3地震反应计算的振型分解法及理论分析 地震反应计算的振型分解法及理论分析 质量矩阵正交性 刚度矩阵正交性 阻尼正交性
{X} [m]{X}i = 0
T j
(i ≠ j) (i ≠ j) (i ≠ j)
x1 (t )
D1 = (c11 x1 + c12 x2 ) m11 + c11 x1 + c12 x2 + k11 x1 + k12 x2 = m10 x x
质点2 质点2：
x0
m2 2 + c21 x1 + c22 x2 + k 21 x1 + k 22 x2 = m2 0 x x
矩阵形式： 矩阵形式：
体系按K振型振动时引起的弹性恢复力在振J型位移上所作的功之和等于 也即体系按某一振型振动时，它的位能不会转移到其他振型上去。 零，也即体系按某一振型振动时，它的位能不会转移到其他振型上去。
由于阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，运用振型 由于阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合， 关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性原理， 关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性原理，振型关于阻尼矩阵也是正 交。
[m]{} + [c]{x} + [k ]{x} = [m]{1}0 x x
刚度的意义
2
K2
k21
K2
2
k22
1
1
K1
k11
1
K1
1
k12
k11 = k1 + k2 = 2k k12 = k21 = k k22 = k
第三章结构地震反应分析与抗震计算
体系不振动
——临界阻尼状态
（4）若
x(t)
1 ，r1
=0 0 1
、r 2 为负实数
x(t ) c1e r1t c2 e r2t
体系不振动 ——过阻尼状态
1
1
当 1
图 各种阻尼下单自由度体系的自由振动
t 临界阻尼系数： cr 2m
临界阻尼比（简称阻尼比） c
第三章 结构地震反应分析 与抗震计算
主要内容
3.1 概述 3.2 单自由度体系的弹性地震反应分析 3.3 单自由度体系的水平地震作用与反应谱 3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析 3.5 多自由度弹性体系最大地震反应与水平地震作用 3.6 竖向地震作用 3.7 结构平扭耦合地震反应与双向水平地震影响 3.8 结构非弹性地震反应分析 3.9 结构抗震验算
采用集中质量方法确定结构计算简图 （步骤）：
定出结构质量集中 位置（质心）
将区域主要质量集中在质心； 将次要质量合并到相邻主要质量的质点上去
集中化描述举例
a、水塔建筑
h
h
h
b、厂房（大型钢筋混凝土屋面板）
主要(a质) 水量塔：水箱部分
水塔次要质量：塔柱部分
水箱全部质量 部分塔柱质量
集中到水箱质心
(b) 厂房
f c cx C —— 阻尼系数
＊弹性恢复力 ——由结构弹性变形产生
f r kx k —— 体系刚度
力的平衡条件：
fI fc fr 0
mx cx kx mxg
令 k c
m
2m
x 2x 2 x xg
二、运动方程的解
结构分成若干区域
建筑结构抗震设计多自由弹性体系的地震反应PPT教案
自率km222 ）振，2 圆较k11频大k2m2 1率的mk212一。k21
个ω2称为第二频率。
•
T期1，=利2Tπ2用/称ω式为1和第TT二2=周22期/π/。ω可2，由且ωTl和1＞ω
T2求2 ，得T体1称系
的 为
两 第
个 一
自 周
振 期
周 或
期 基
，即 本周
2021/4/29
10
第9页/共34页
2、两自由度弹性体系的运动微分方程组
• 根据达朗贝尔原理，I1+R1+S1=0，经整理得下列运动方程 • 同理对于质点2:
• 上二式就是两自由度弹性体系在水平地震作用下的运动微分方程组。
• 上述列动力平衡方程求解的方m法1x常（1 称t）为 c刚11x度（1 法t）。 运c12动x（2方t）程中k11的x（1系t）数kki1j2反x（2映t）了结构m1刚x（g度t）的大小，称为刚度系
，其中i为质点编号，
j为振型序号，而且主振型变形曲线可视为体系上相应的惯性力
引起的静力变形曲线F(，t) 因kx为(t)由
可知，结构在任一瞬
时的位移就是等于惯性力所产生的静力位移。
• 在一般初始条件下，任一质点的振动都是由各主振型的简谐振 动叠加而成的复合振动。
2021/4/29
14
第13页/共34页
•
2、n自由度弹性体系的自由振动
• 四、振型分解法
•
1、两自由度体系振型分解法
•
2、n自由度体系振型分解法
2021/4/29
4
第3页/共34页
一、多质点和多自由度体系
在进行建筑结构地震反应分析 时，除了少数质量比较集中 的结构可以简化为单质点体 系外，大量的多层和高层工 业与民用建筑、多跨不等高 单层工业厂房等，质量比较 分散，则应简化为多质点体 系来分析，这样才能得出比 较符合实际的结果。