抽象函数常见题型

抽象函数有关问题（2014.10.16）

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于它的函数表达式未知，其函数性质只能由给出的函数关系式来推断，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本课探讨抽象函数常见题型的解法。

一、定义域问题 例1. 已知函数)(2x f 的定义域是（1，2］，求：

（1）f （x ）的定义域 (2) ()]3([log 2

1x f -的定义域

变式练习1 已知函数f （x ）的定义域是［1，2］，求：

（1）)(2x f 的定义域 （2）f(1+x)+f(1-x) 的定义域

二、求值问题 例2设定义在R 上不是恒为常数的函数f （x ），对任意实数x 、y ，都有)()()(y f x f y x f =+，（1）求(0)f 的值 （2）证明)(x f >0恒成立

变式练习2 已知定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞的函数f （x ），满足下列条件：

①(2)1f =；②)()()(y f x f y x f +=⋅。 求f （1），f （—1/4）的值。

三、解析式问题 例 3 设对满足10≠≠x x ，的所有实数x ，函数()f x 满足：1()(

)1x f x f x x

-+=+，求f （x ）的解析式。

变式练习3 已知函数()f x 的定义域为Z, :,m n Z ∀∈都有()()()1f m n f m f n +=++, 且(1)1f =, 当:x Z ∀∈时, 求(x)f 解析式

四、奇偶性问题 例 4. 已知函数)0)((≠∈x R x x f ，对任意不等于零的实数21x x 、都有)()()(2121x f x f x x f +=⋅，试判断函数f （x ）的奇偶性。

变式练习 4 已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足: ()()()f a b af b bf a ∙=+. (1)求(0),(1)f f -的值; (2)判断()f x 的奇偶性,

五、单调性问题 例5 设定义在(0,)+∞上的函数)(x f 对,(0,)x y ∀∈+∞，都有()()y f x yf x = 成立，且1()02f > ，求不等式:(log x)0a f > 的解集（(0)a ≠

变式练习5 函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;

②对任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1

()13

f >. (1)求(0)f 的值; (2)求证: ()f x 在R 上是单调增函数;

六、综合练习

1设f （x ）定义于实数集上，(1)1f -=-，当1x >时，1)(>x f ，且对于任意实数x 、y ，有()()()f xy f x f y =⋅。（1）求(0),(1),f f 的值

（2）判断)(x f 的奇偶性，并给出证明。

（3）判断)(x f 的单调性，并给出证明。

(4)若0a

b c >>>且2b ac =,求证:()()2()f a f c f b +>.

2 定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意实数m ，n ，总有)()()(n f m f n m f ⋅=+，

且当x>0时，0⋅=，，

}1)2(|){(R a y ax f y x B ∈=+-=，，，若∅=B A ，试确定a 的取值范围。

3．定义在R +上的函数f(x)满足: ①对任意实数m, f(x m )=mf(x); ②f(2)=1。(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y) 对任意正数x,y 都成立; (2)证明f(x)是R +上的单调增函数; (3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值范围.