力学习题-第4章质点组动量定理(含答案)

已知 B 的质量是 A 的两倍，而 C 的质量是 A 的三倍，此时由此三质点组成的体
系的质心的位置为
1 28 A. ( 3 , - 3 , 3) ; B. (1, -1, 2) ; C. (1, - 2, 8) ; D. (1, 2, 3)
答案：B
解：根据题中给定的坐标系，由质心计算公式可知：
rc


M月l 81M 月 M 月

l 82

4.68 106
m.
2. 已知质点质量 m = 5kg，运动方程 r = 2ti + t2j . 则质点在 0~2 秒内受的冲量大 小为 N·s. 答案：20 解：F = ma = 10j ;
I = FΔt = 20j; 所以冲量大小为 20Ns.
3. 沿 x 方向的力 F = 12t (SI)作用在质量 m = 2kg 的物体上，使物体从静止开始 运动，则它在 3 秒末的动量大小为 kg·m/s. 答案：54 解：力 F 的冲量大小为
2. 无论质心系是否是惯性系，质心系下质点组的总动量始终为零. 答案：对 解释：对质心系下的观测者而言，质点组所受的合外力与总的惯性力相等，即， 质点组所受合外力为零，动量守恒. 其守恒值为质点组的总质量与质心速度的 乘积。而对质心系下的观测者而言，观测的质点组的质心速度始终为零. 因此， 出现质心系下质点组总动量为零的结果. 这也是质心系的特点之一.
第四章 质点组动量定理与守恒定律 单元测验题
一、选择题
1. 作用在质点上的力对时间的累积称为力的 ，其效果等于质点
的
改变.
A. 冲量、动量；B. 功、动量；C. 功、动能；D. 冲量、动能
答案：A
2. 某一时刻 A、B、C 三质点的位置坐标分别为：(-3, 4, 3)、(3, -8, 6)、(1, 2, -1)，
=
(3 ln
2
- 1)gT
7. 如图装置中，两物体 m2 和 m3 由一细绳相连，细绳跨过装在大物体 m1 上的定 滑轮。已知所有的表面都光滑。当系统由静止释放后 A. m1 静止不动；B. m1 将向左匀速平动；C. m1 将向左加速平动；D. 系统的总 动量守恒
43
m2
m1
m3
答案：C 解释：当系统由静止释放后，在水平方向上不受外力，水平方向动量守恒。但 竖直方向由于 m3 受重力下落，所以竖直方向的动量不守恒，D 错；m3 加速下落 引起 m2 加速向右平动，又因水平方向动量守恒、质心位置不变，所以 m1 将向左 加速平动.
2
x l
4 l
xl
2
x 4

x




x2 4l
x 2
l 4
41
B 端自由下落： x 1 gt 2 2
联Hale Waihona Puke 解得： rc1 4
g 2t 4 4l

gt 2 4

l 4
ac

rc


3g 2t2 4l

g 2

g 2
(1
3x ) l
FT
=
Mg
- MaC
A.
mL ;
B. mv0t ;
C. m(v0t + L) ;
D. m(v0t - L)
m0 + m
m0 + m
m0 + m
m0 + m
答案：D
解：以小孩刚上板处小孩所在的位置为坐标原点，以 v0 的方向为正方向，以小
孩刚好驶上板以及车相对板刚静止时为系统的始末态，小孩、车和板组成的系
统水平方向动量守恒，质心速度不变

0 ， v1

m0 2m2 u
m0 m1 m2
， v2

m0 2m1 u
m0 m1 m2
由此可以看出， v1 v2 ，即 m2 先到.
6. 一质量为 m0（无水时）的水桶开始处于静止状态，桶中装有质量也为 m0 的
水，通过一根绳子施以大小为 F = 3 m0g 的恒力将桶从井中提上来，桶中的水以
vc

mv0 m0 0 m0 m

mv0 m0 m
，即质心做匀速运动.
L
初态：板的坐标为 L/2、人和车的坐标为 0，质心坐标为
X C0
=
m2 m+
+0 m0
末态：板坐标
L/2+Δx、人和车
L+Δx，质心坐标
X Ct
=
L m( 2
+
x) + m0 (L + m + m0
x)
系统质心位移为： X c X ct X c 0 vc t
对 m0 ： Ft m（0 v '） 0
对 m ： Ft mv ' mv ,
得 ： v =
m v
m + m0
由题意，m0 刚被拉起瞬间细绳断开，m0 仅受重力作用，上升的高度为
v'2 h'= = (
m
)2 v2 = (
m
)2 h = 0.02m = 2cm
2g m + m0 2g m + m0
m A rA mB rB mC rC mA mB mC

m A rA 2m A rB 3m A rC mA 2mA 3mA
rA 2rB 3rC 6
将已知数据代入可求得质心的坐标为： (1, -1, 2) .
3. 长为 l，线密度为λ的柔软绳索，原先两端 A、B 并合一起，悬挂在支点上， 现让 B 端脱离支点自由下落，求当 B 端下落了 x 时，支点上所受的力 FT.
42
答案：B
解：以 m2 的运动方向为正方向，设当两人之一走到木桩处时，船速为 v ，则 m1 ，
m2 相对于地面的速度分别为： v1 v u ， v2 v u
运动两人和船组成的系统动量守恒： 0 m0v m1v1 m2v2
解得： v

m1 m2 u
m0 m1 m2
解：火箭到达最高点时，速度为零，炸裂成三块，只有内力作用，质点系动量
守恒: m1v1 m2v2 m3v3 0
根据题意： m1 m2 m3
可得: v1 v2 v3 0
取 z 轴沿竖直方向，原点在炸裂点，向下为正.
在竖直方向动量守恒： v1z v2z v3z 0
F
+
u
'
dm dt
-
(2m0
-
m0 T
t)g
=
(2m0
-
m0 T
t)
dv dt
桶中的水以不变的速率从桶中漏出，说明 dm 为常量，水从桶中漏出时对桶的 dt
相对速度 u ' 为零。对上式整理积分可得 t = T 时水桶的速度：
∫ ∫ v =
v
dv =
0
T 0
(
3m0 g
2m0
-
m0 T
t
-
g )dt
v＝v0－gt

u
ln
m0 m
其中 v0 , m0 分别是火箭发射时的初速度和总质量，u 为燃料相对火箭的喷射速度，m
为不包含燃料的火箭质量. 所以，要想使火箭获得高的速度，应增大 m0/m 的值，
即增大燃料占火箭总质量的比例.
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对面滑来，A 把球以相对于他的速率 u 向 B 水平抛去，让 B 接住，为使 A 和 B
避免碰撞，u 至少应为
m/s（结果保留一位小数）.
答案：9.9
解：以两人和小球组成的系统为研究对象，运动过程中动量守恒.
两人不相碰的极值条件为： B 接住球后两人有共同的速度，设为 v .
整个过程系统动量守恒： (m m1)v1 m2v2 (m1 m2 m)v
并挂在一固定的光滑滑轮上， m 从静止下落 h = 0.5m 后开始拉起 m0. 设 m0 刚
被拉起瞬间细绳断开，则 m0 能上升的高度为
cm.
45
答案：2
解：设向下为正方向，v 为物体 m 在绳拉紧前的速率， v 为绳刚好拉紧后两物 体共同的速率。忽略作用过程中两物体的重力作用，绳子拉紧前后瞬时，分别 对 m0 和 m 应用动量定理：
7. 一玩具火箭垂直向上发射，当它达到最高点时炸裂成三个等质量的碎片，观
察到其中一块碎片经时间 t1 = 2s 垂直地落到地上，而其他两块碎片在炸裂后的
t2 = 3s 时刻落在地上，忽略空气阻力，火箭炸裂时离地面的高度为 m（结果
保留一位小数）.
答案：33.6 （允许的答案范围：33.4~33.8）
A. l g ;
B. x g ;
C.
l
+ 3x 2

g
;
D.
l
+ 2
x

g
答案：C
解：以支点 A 的位置为原点，竖直向下为正方向，建立坐标系.
对全绳应用质心运动定理可得： Mg FT Mac ，其中 M l
当 B 端下落了 x 时，质心位置为：
rc

l
x l
二、填空题
1. 地球的质量是月球的 81 倍，二者中心相距 3.84108 m ，则地球和月球组成
的系统的质心与地球中心的距离为
×106 m（结果保留两位小数）.
答案：4.68 （允许的答案范围：4.66 ~ 4.70）
解：取地心为原点，地心指向月心的方向为 x 方向.
由质心计算公式可知：
rc

M地 0 M月l M地 M月
解得板的位移： x m(v0t L) . m0 m
5. 小船静浮于河中，小船两头分别站着质量为 m1 和 m2（m1 > m2）的人，他们 同时相对船以相同的速率 u 走向原位于船正中且固定在河中的木桩. 忽略水对 船的阻力，问谁先走到木桩处？ A. m1 先到; B. m2 先到; C. 二人同时到达; D. 无法判定
恒定的质量速率从桶中漏出来，经过时间 T 桶变成空的，变成空桶的瞬间桶的
速度大小为
A. gT ; B. 3gT ; C. (3ln 2 +1)gT ; D. (3ln 2 -1)gT
答案：D
解：竖直向上为正方向，以桶及桶中的水为研究系统，系统在 t 时刻的质量为
2m0
-
m0 T
t
，根据变质量质点的运动方程有：
则
h

v1zt1

1 2
gt12
，
h

v2 zt2

1 2
gt22
，
h

v3zt2

1 2
gt
2 2
联立可得： h

gt1t2 t1 2t2 2 2t1 t2

=
33.6m
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三、判断题 1. 当选择不同的参照系时，质心在质点组中的相对位置不同. 答案：错 解释：质点组中任意两点的相对位置矢量是不依赖于坐标系选取的，因此质心 的位置相对质点组本身来说是确定的、唯一的，不会因坐标系选取的不同而不 同.
B 接球过程中， B 和球组成的系统动量守恒：
m(v u) m2v2 (m m2)v
两式联立，代入已知数据，可得：u = 9.9 m/s.
5. 如图，漏斗中的煤粉不断地落到速度 v1 = 1.5m/s 的自动传送带上，每秒钟落
下的煤粉量为 20kg. 煤粉作用在传送带上的水平方向的力为
3. 一个质点组总动量的改变与内力无关. 答案：对 解释：请参考本周视频.
4. 在处理非惯性系中的质点组问题时， 把相应的惯性力当作外力处理，则动 量定理仍然成立.
答案：对 解释：请参考本周视频.
5. 发射火箭时，为使火箭获得较高的速度，应降低燃料占火箭总质量的比例.
答案：错
解释：根据变质量系统的动力学方程可以推得，火箭燃烧燃料获得的末速度为
N.
答案：30
解：以 t 时间内落到传送带上的煤粉 m 为研究对象，设传送带作用在煤粉上
的水平方向的力为 Fx ，对 m 应用动量定理： Fx t mv m 0
解得：
Fx

v
m t

30
N
则煤粉作用在传送带上的水平方向的力为 30 N .
6. 如图，两物体 m = 0.25kg、m0 = 1kg，通过一根很轻且不可伸长的细绳相连
=
l
+ 3x 2
g
4．一块长为 L、质量为 m0 的大平板静放在光滑水平冰面上，一小孩骑着儿童
自行车以 v0 的速度从板的一端驶上平板，在板上他的速度忽快忽慢，在将近板
的另一端时，他忽然刹车，在板的另一端边缘车相对板静止. 已知小孩在板上
骑车的时间为 t，小孩与车一起的质量为 m. 车相对板刚静止时板的位移为
44
3
I=∫
12tdt = 54
0
kg·m/s
由动量定理，物体在 3 秒末的动量大小 P = I + 0 = 54 kg·m/s
4. 质量 m1 = 50kg 的人 A 手里拿着一质量 m =5kg 的小球以 v1 = 1.2m/s 的速率在
光滑冰面上沿直线滑冰，另一质量 m2 = 45kg 的人 B 以 v2 = 0.8m/s 的速率向 A