(新)高中数学5_6数学归纳法与不等式同步测控苏教版选修4-51

5.6 运用数学归纳法证明不等式同步测控我夯基,我达标1.用数学归纳法证明“n n n n n ++++++++1312111 ≥2411(n∈N *)”时,由n=k 到n=k+1时,不等式左边应添加的项是( ) A.)1(21+k B.221121+++k k C.11221121+-+++k k k D.2111221121+-+-+++k k k k 解析:当n=k 时,不等式为24111312111≥++++++++k k k k k , 当n=k+1时,不等式为2411)1()1(1)1(113121≥+++++++++++++k k k k k k k k , 即为.241111)1()1(1)1(11312111≥+-+++++++++++++++k k k k k k k k k k ∴选C. 答案:C2.用数学归纳法证明1+21+31+…+121-n <n(n∈N *,且n>1)时,第一步即证下述哪个不等式成立( ) A.1<2 B.1+21<2 C.1+21+31<2 D.1+31<2 解析:∵n>1,n∈N *,∴第一步中n 取2. ∴左边=1+21+1221-⨯=1+21+31. 答案:C3.关于正整数n 的不等式2n >n 2成立的条件是( )A.n∈N *B.n≥4C.n>4D.n=1或n>4解析:当n=1时,不等式为2>1成立,当n=2时,不等式为22>22不成立.当n=4时,24>42不成立,排除A 、B 、C.选择D. 答案:D4.用数学归纳法证明“1+21+31+…+121-n <n(n∈N *,n>1)”时,由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是( )A.2k-1B.2k -1C.2kD.2k+1解析:当n=k 时,不等式为1+21+31+…+121-k <k, 当n=k+1时,不等式为1+21+31+…+121-k +12121++k k +…+1211-+k <k+1,∵2k+1-1-(2k -1)=2k+1-2k =2k,∴共增加了2k项. 答案:C5.对于不等式12+≤+n n n (n∈N *),某学生的证明过程如下:(1)当n=1时,112+≤1+1,不等式成立.(2)假设n=k(k∈N *)时,不等式成立,即k k +2<k+1,则n=k+1时,23)1()1(22++=+++k k k k<)2()23(2++++k k k =2)2(+k =(k+1)+1.所以当n=k+1时,不等式成立. 上述证法( )A.过程全部正确B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n=k 到n=k+1的推理不正确 解析:第一步正确,假设也正确.但从n=k 到n=k+1的推理不正确. 因为证明过程没有用上归纳假设. 答案:D 6.若不等式24212111mn n n >+++++ 对大于1的一切自然数n 都成立,则自然数m 的最大值为( )A.12B.13C.14D.不存在解析:令f(n)=11+n +21+n +…+n 21,取n=2,3,4,5等值发现f(n)是单调递减的. ［f(n)］max >24m ,∴f(2)>24m .∴m<24×(31+41)=14.答案:B 7.设n为正整数,f(n)=1+21+31+…+n1,计算得f(2)=23,f(4)>2,f(8)>25,f(16)>3,f(32)>27,观察上述结果,可推测出一般结论( ) A.f(2n)>212+n B.f(n 2)≥22+nC.f(2n)≥22+n D.以上都不对解析:f(2)=23,f(4)=f(22)>24,f(8)=f(23)>25,f(16)=f(24)>26,f(32)=f(25)>27.所以猜想f(2n)≥22+n .答案:C8.如果1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n(n+1)(n+2)=41n(n+1)(n+a)(n+b)对一切正整数n 都成立,a 、b 的值应该等于( )A.a=1,b=3B.a=-1,b=1C.a=1,b=2D.a=2,b=3 解析:令n=1,n=2得到关于a 、b 的方程组,解之即可. 答案:D我综合，我发展9.观察下式:1=12;2+3+4=32;3+4+5+6+7=52;4+5+6+7+8+9+10=72,…,则得出结论:__________.解析:观察得到从n 开始连续加(2n-1)个自然数之和,右边为中间奇数的平方,∴结论为n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)210.在数列{a n }中,a 1=1,且S n ,S n+1,2S 1成等差数列,则S 2,S 3,S 4分别为______,猜想S n =_________.解析:∵S n ,S n+1,2S 1成等差数列, ∴2S n+1=S n +2S 1.又∵S 1=a 1=1,∴2S 2=S 1+2S 1=3S 1=3.∴S 2=23=2122-,2S 3=S 2+2S 1=23+2=27.于是S 3=47=23212-. 由此猜想S n =1212--n n .答案:23,47,815 1212--n n11.用数学归纳法证明222413121+++…+2121)1(12+->+n n ,假设n=k 时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标是______________. 解析:观察用k+1替换不等式中的n,即为222413121+++…+2]1)1[(1++k >21- 2)1(1++k .答案:3121)2(1)1(141312122222+->+++++++k k k 12.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c 对一切n∈N *都成立,那么a=_____________, b=_____________,c=_______________.解析:当n=1,n=2,n=3时得到三个等式,解方程组求得a 、b 、c. 答案:21 41 41 13.用数学归纳法证明对一切大于1的自然数n,不等式(1+31)(1+51) (1)121-n )>212+n 成立.分析:注意由n=k 到n=k+1时的变化部分及应用归纳假设后的变形技巧. 证明:(1)当n=2时,左边=1+31=34,右边=25,左边>右边,不等式成立.(2)假设当n=k 时,不等式成立,即(1+31)(1+51)…(1+121-k )>212+k 成立,则当n=k+1时,左边=(1+31)(1+51)…(1+121-k )(1+121+k ) >)1211(212+++k k =12238412248412222122221222+++>+++=++=++•+k k k k k k k k k k k=21)1(21221232++=++•+k k k k =右边. ∴当n=k+1时,不等式成立.由(1)(2),可知不等式对一切大于1的自然数n 都成立. 14.设数列{a n }满足a 1=2,a n+1=a n +na 1(n=1,2,3,…). 求证:a n >12+n 对一切正整数n 成立.分析:本题中由n=k 变到n=k+1时,并不能直接代入归纳假设. ∵a k >12+k ,而k a 1<121+k ,异向不等式不能直接相加,需用函数的单调性来完成. 证法一:当n=1时,a 1=2>112+⨯,不等式成立, 假设n=k 时,a k >12+k 成立. 当n=k+1时,a k+12=a k 2+21k a +2>2k+3+21ka >2(k+1)+1.∴n=k+1时,a k+1>1)1(2++k 成立.综上(1)(2),可知a n >12+n 对一切正整数成立. 证法二:当n=1时,a 1=2>3=112+⨯,结论成立. 假设n=k 时结论成立,即a k >12+k . 当n=k+1时,由函数f(x)=x+x1(x>1)的单调性和归纳假设有a k+1=a k +k a 1>12+k +121+k . 因此只需证12+k +121+k ≥32+k ,而这等价于(12+k +121+k )2≥2k+3⇔121+k ≥0显然成立. 所以当n=k+1时,结论成立.因此,a n >12+n 对一切正整数n 均成立.我创新，我超越15.已知数列{b n }是等差数列,b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145(n∈N *), (1)求数列{b n }的通项. (2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a>0且a≠1),记S n 是数列{a n }的前n 项和,试比较S n 与31log a b n+1的大小,并证明你的结论. 分析:本题为数列与数学归纳法的综合题,在比较S n 与31log a b n+1的大小时,可比较真数的大小,而S n 不能合并起来,可用归纳——猜想,再用数学归纳法解答. 解:(1)设数列{b n }的公差为d, 由题意,得10×1+2)110(10-⨯×d=145,∴d=3,b n =3n-2. (2)由b n =3n-2,知S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+231-n ) =log a ［(1+1)(1+41)…(1+231-n )］,31log a b n+1=log a 313+n .因此要比较S n 与31log a b n+1的大小,可先比较(1+1)(1+41)…(1+231-n )与313+n 的大小. 取n=1,有(1+1)>3113+⨯, 取n≥2,有(1+1)(1+41)…(1+231-n )>313+n . 下面用数学归纳法证明之:①当n=1时,已验证不等式成立.②假设当n=k(k∈N *)时,不等式成立, 即(1+1)(1+41)…(1+231-k )>313+k , 则当n=k+1时, (1+1)(1+41)…(1+231-k )［1+2)1(31-+k ］>313+k (1+131+k )=13133++k k ·(3k+2).∵［13133++k k (3k+2)］3-(343+k )3=2223)13(49)13()13)(43()23(++=+++-+k k k k k k >0. ∴13133++k k ·(3k+2)>343+k =31)1(3++k .因此(1+1)(1+41)…(1+231-k )［1+2)1(31-+k ］>31)1(3++k .这说明,当n=k+1时,不等式也成立. 由①②,知对一切n∈N *,不等式(1+1)(1+41)…(1+231-n )>313+n 都成立. 再由对数的性质,可得当a>1时,S n >31log a b n+1; 当0<a<1时,S n <31log a b n+1.16.设a∈R ,f(x)=1222+-+•xx a a 是奇函数, (1)求a 的值; (2)如果g(n)=1+n n (n∈N *),试比较f(n)与g(n)的大小(n∈N *).分析:本题为函数与数学归纳法相结合的题目,可归纳——猜想——证明. 解:∵(1)f(x)是定义在R 上的奇函数, ∴f(0)=0.故a=1.(2)f(n)-g(n)=)1)(12(12211212++--=+-+-n n n n nn n n . 只要比较2n与2n+1的大小.当n=1,2时,f(n)<g(n);当n≥3时,2n>2n+1,f(n)>g(n).下面证明n≥3时,2n>2n+1,即f(x)>g(x).①n=3时,23>2×3+1,显然成立,②假设n=k(k≥3,k∈N )时,2k>2k+1,那么n=k+1时, 2k+1=2×2k>2(2k+1),2(2k+1)-［2(k+1)+1］=4k+2-2k-3=2k-1>0.(∵k≥3)∴n=k+1时有2k+1>2(k+1)+1成立.由①②,可知n≥3时,2n>2n+1.结论n=1,2时,f(n)<g(n),当n≥3时,f(n)>g(n).。