自动控制原理第四章2015.详解
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共轭复极点的出现相当于增加了
4＋5＝360
对辐角条件没有影响， 因此实轴上的根轨迹
的判断方法不变。
2018年10月5日
第四章 根轨迹法 25
5． 根轨迹的分离点和会合点
两条或两条以上的根轨迹分支在 S 平面上相
遇又立即分开的点称为分离点（或汇合点）。此时
特征方程式会出现重根。
jw p3
[s]
C
s s 2
Kg
n 2, m 0
第四章 根轨迹法 21
2018年10月5日
3. 根轨迹的连续性、对称性和分支数
根轨迹是连续的曲线。(Kg是连续变化的)
根轨迹总是对称于实轴 。 ( 实际的物理系统的参 数都是实数→特征方程的系数是实数 →特征根不是实 数就是共轭复数)
根轨迹的分支数 (条数)等于系统特征方程的次数 n。(实际系统n>m，根轨迹描述特征根的变化规律) 结论：根轨迹是连续且对称于实轴的曲线，其分支数 等于系统特征方程的次数或系统的阶数。
第四章 根轨迹法 23
开环零点用○表示 开环极点用×表示
2018年10月5日
4．实轴上的根轨迹
1 当 p j ,
zi 全部是实数时。
判断方法：在实轴上找一试验点 S，如果 S点的右侧 的开环零极点个数之合为偶数个，则该点不在根轨
迹上；若为奇数个则在根轨迹上。(奇是偶不是)
根据辐角条件：
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i
m
1 Kg
2018年10月5日
第四章 根轨迹法 13
这个方程式表达了开环传递函数与闭环特
征方程式的关系，该方程的解即为闭环特征根， 因此该式又称为根轨迹方程。 令 s=σ+jω 代入可得复数方程：
N ( s) D( s )
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 22
数学知识补充：
-p4
s p j s p j
-p1
-Pj 是起点
s s
0
-z1
-p1
S 是终点
s
-p5
s p1 s z1 0
s p1 s z1 180
s p4 s p5 360
i 1
求解难！
开环传递函数(开环零、极点+开环增益)
闭环零极点全部可能的分布图
用时域分析法分析系统的三性
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 5
根轨迹法
一种由开环传递函数求闭环特征根的简便方法。
它是一种用图解方法表示特征根与系统参数的全部
数值关系的方法。
1948年，由伊文思（W. R. Evans）提出。
说明
•相角条件是确定s平面上根轨迹的充分必要条件。绘
制根轨迹时，只需要使用相角条件。当需要确定根轨
迹上各点的Kg值时，才使用幅值条件。
• 知道了根轨迹上的点满足的基本条件，实际上还是
不能绘制出根轨迹。 • 要比较快捷的绘制根轨迹，需要找出根轨迹的一些 基本规律。
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 18
环极点的分布定性的给出分析。当 0 < K k ≤ 0.5时，根轨迹在实轴上， 输出响应单调的。当K k > 0.5时，根 轨迹在复平面内，输出响应振荡的。
3 稳态特性：开环传函在原点有
一极点，I型系统，根轨迹上的K k 值即为静态误差系数。
可见：根轨迹是分析系统的有力工具。
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 11
1 nm s
1 0 Kg
1 只有s → ∞时满足 = 0条件。 Kg
2018年10月5日
结论：n-m条根轨迹终止于无限远（开环无限零点）。
第四章 根轨迹法 20
根轨迹终止于开环零点：
m 条终止于开环有限零点。 n条根轨迹 n m 终止于开环无限零点。
例：Wk ( s)
4.2 根轨迹的绘制法则
4.2.1 绘制根轨迹的一般法则 1．起点（K g = 0）
N ( s) 根轨迹方程： D( s )
n
(s z ) (s p )
j 1 j m i g j 1 i 1 n i
m
1 Kg
(s p ) K (s z ) 0
180o (1 2 ) ( 0,1, 2,
)
式中： —第 i个开环有限零点到s点的矢量辐角； i
—第 j i个开环极点到s点的矢量辐角；
注：根轨迹上的点均满足幅值条件和辐角条件。
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 16
m n m n N s 1 2 3 ( s z ) (s p ) i j i j D s i 1 j 1 i 1 j 1
特征方程 闭环极点
D(s) s2 2s 2Kk 0
s1 1 1 2 K k s2 1 1 2 K k
第四章 根轨迹法 8
2018年10月5日
当K K取不同值时，闭环特征根如下：
s1 1 1 2 K k
Kk
s1
s2
s2 1 1 2 K k
根轨迹法的任务
由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法 确定闭环极点。
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 6
4.1 根轨迹法的基本概念
1、什么是根轨迹
Kk 例4.1 单位反馈二阶系统 Wk (s) s 0.5s 1
闭环传递函数
2Kk WB ( s) 2 s 2s 2 K k
(s＋z ) 0
j 1
m
s z j ( i 1 m)
开环有 限零点
结论：n 阶系统有m条根轨迹终止于开环有限零点。
2
n- m条根轨迹
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i
m
s m a1s m1 n s b1s n 1
分离点（会合点）的坐标 s 的计算公式 ： d
Wk s N s D s N s D s 0
d d 1 Wk s 0 或 0 ds ds Wk s
d W s d 1 ds k ds Wk s Wk 2 s
p2 p1
A
B
p4
0
s
2018年10月5日
第四章 根轨迹法 26
设闭环系统的特征方程为
N ( s ) D( s ) K g N ( s ) 1＋Wk s 1 K g 0 D( s ) D( s )
设重根为 - σ d , 则s = -σ d处为分离点，设重根有γ个， 则在分离点处特征方程可写为：
180o (1 2 ) ( 0,1, 2,
)
s1
1、解二阶方程求得根轨迹。 2、通过检验是否满足幅角 条件来求得根轨迹。
2
3
1
S1 : 1 3 180 2 3 1 2 180
S1不满足幅角条件，因此 不是根轨迹上的点。
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 17
零极点 形式
第四章 根轨迹法 12
式中： zi ——开环零点； —— p j 开环极点； K g 根轨迹放大系数。 ——
2018年10月5日
闭环系统特征方程式为
DB s 1 WK (s) 1 K g N (s) D(s) 0
根轨迹 方程
或可写作
N ( s) D( s )
第四章 根轨迹法
Root-locus analysis
(8学时) 信息学院
二○一五年十一月
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 1
主要内容
根轨迹的基本概念 根轨迹的绘制法则 用根轨迹法分析系统的暂态特性
2018年10月5日
第四章 根轨迹法
2
学习重点
了解根轨迹的基本特性和相关概念；
掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练地
1
2
如果上式的阶次较高，计算重根就比较麻烦。这 时可采用图解法（或试探法）来确定重根。
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 28
注
（1）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点 （包括无限零点）或开环极点（包括无限极 点），则在此段根轨迹上必有分离点。 （2）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。 （3）只有那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分离
应用到根轨迹的绘制过程中；
2018年10月5日
第四章 根轨迹法
3
闭环极点分布同单位阶跃响应之间的对应关系
D(s) = 1+ Wk (s) = 0
发现问题：控制系统分析的关键是找到闭环极点！ 提出问题：是否存在其他非解析的方法求得闭环极点？ 0 0 1。 解决问题：通过开环零极点来求得闭环极点 0 1
j 1 j i 1 n i
m
1 Kg
N s D s
(s z )
i 1 n i j 1 j
m
(s p ) L
j 1
l
i 1 b
m
i
j
开环有限零点到s点的矢量长度之积 1 开环极点到s点的矢量长度之积 Kg
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 15
(s z ) Байду номын сангаасs p )
j 1 j i 1 n i
m
注意： s 为闭环传函
1 Kg
的特征根 ( 极点 ) ， -zj 和-pi为开环传函的零 点和极点。
复数 幅值和相角
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 14
根轨迹方程： 幅值条件：
N ( s) D( s )
(s z ) (s p )
o ( s z ) ( s p ) 180 (1 2 ) ( 0,1, 2, i j i 1 j 1 m n
)
结论：在实轴上根轨迹分支存在的区间的右侧，
开环零、极点数目的总和为奇数。
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 24
2 当Wk s 中存在共轭复极点时。
i 1 j
Kg 0 si pi i 1,2n
结论：根轨迹起始于开环极点。
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 19
2. 终点
K ＝
g
1 根轨迹方程可写成： Kg
(s p ) (s z ) 0
i 1 i j 1 j
j
n
m
1
Kg
1＋WK s s s d F s 0
r
2
d 1 WK s ds s sd
2018年10月5日
r 1
d WK s ds
r s s d
F s s s d Fs
0
第四章 根轨迹法 27
闭环特征根的变化。 3、利用根轨迹可使我们在广泛的 范围内了解系统的稳定性及动 态特性。分析系统性能。
2018年10月5日
第四章 根轨迹法 10
1 稳定性 : 当K k : 0 变化时，
根轨迹（闭环极点）均在左半平面， 因此系统对所有Kk 值均是稳定的。
2 暂态性能：由K k
值变化对应闭
1
1
1
1
2018年10月5日
第四章 根轨迹法
4
一个美好的愿望：
n j 1
D s 1 WK ( s) 1
m
K g s zi
i 1
m
s pj
j 1
n
0
s p j K g s zi 0
根轨迹方程：
N ( s) D( s )
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i
m
1 Kg
辐角条件：（充分必要条件）
与Kg 无关
n m n N s m (s zi ) (s p j ) i j D s i 1 j 1 i 1 j 1
0
0.5
0
-1
-2
-1
1
2
-1+j
-1+j
3
-1-j
-1-j
3
2018年10月5日
-1+j
-1-j
第四章 根轨迹法 9
由 K k 0→∞变化时，闭环特征根在S平面上移动的
轨迹如下图所示。这就是该系统的根轨迹。
根轨迹的特点：
1、根轨迹上的点均为闭环极点。
k 2、直观地表示了参数 K 变化时，
2、根轨迹方程（根轨迹满足的基本条件）
控制系统结构如图
开环传递函数:
K1 K 2 N 1 ( s ) N 2 ( s ) WK ( s ) D1 ( s ) D2 ( s ) K g ( s zi )
i 1 m
根轨迹型
(s p j )
j 1
n
K g N ( s) D( s )
4＋5＝360
对辐角条件没有影响， 因此实轴上的根轨迹
的判断方法不变。
2018年10月5日
第四章 根轨迹法 25
5． 根轨迹的分离点和会合点
两条或两条以上的根轨迹分支在 S 平面上相
遇又立即分开的点称为分离点（或汇合点）。此时
特征方程式会出现重根。
jw p3
[s]
C
s s 2
Kg
n 2, m 0
第四章 根轨迹法 21
2018年10月5日
3. 根轨迹的连续性、对称性和分支数
根轨迹是连续的曲线。(Kg是连续变化的)
根轨迹总是对称于实轴 。 ( 实际的物理系统的参 数都是实数→特征方程的系数是实数 →特征根不是实 数就是共轭复数)
根轨迹的分支数 (条数)等于系统特征方程的次数 n。(实际系统n>m，根轨迹描述特征根的变化规律) 结论：根轨迹是连续且对称于实轴的曲线，其分支数 等于系统特征方程的次数或系统的阶数。
第四章 根轨迹法 23
开环零点用○表示 开环极点用×表示
2018年10月5日
4．实轴上的根轨迹
1 当 p j ,
zi 全部是实数时。
判断方法：在实轴上找一试验点 S，如果 S点的右侧 的开环零极点个数之合为偶数个，则该点不在根轨
迹上；若为奇数个则在根轨迹上。(奇是偶不是)
根据辐角条件：
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i
m
1 Kg
2018年10月5日
第四章 根轨迹法 13
这个方程式表达了开环传递函数与闭环特
征方程式的关系，该方程的解即为闭环特征根， 因此该式又称为根轨迹方程。 令 s=σ+jω 代入可得复数方程：
N ( s) D( s )
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 22
数学知识补充：
-p4
s p j s p j
-p1
-Pj 是起点
s s
0
-z1
-p1
S 是终点
s
-p5
s p1 s z1 0
s p1 s z1 180
s p4 s p5 360
i 1
求解难！
开环传递函数(开环零、极点+开环增益)
闭环零极点全部可能的分布图
用时域分析法分析系统的三性
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 5
根轨迹法
一种由开环传递函数求闭环特征根的简便方法。
它是一种用图解方法表示特征根与系统参数的全部
数值关系的方法。
1948年，由伊文思（W. R. Evans）提出。
说明
•相角条件是确定s平面上根轨迹的充分必要条件。绘
制根轨迹时，只需要使用相角条件。当需要确定根轨
迹上各点的Kg值时，才使用幅值条件。
• 知道了根轨迹上的点满足的基本条件，实际上还是
不能绘制出根轨迹。 • 要比较快捷的绘制根轨迹，需要找出根轨迹的一些 基本规律。
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 18
环极点的分布定性的给出分析。当 0 < K k ≤ 0.5时，根轨迹在实轴上， 输出响应单调的。当K k > 0.5时，根 轨迹在复平面内，输出响应振荡的。
3 稳态特性：开环传函在原点有
一极点，I型系统，根轨迹上的K k 值即为静态误差系数。
可见：根轨迹是分析系统的有力工具。
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 11
1 nm s
1 0 Kg
1 只有s → ∞时满足 = 0条件。 Kg
2018年10月5日
结论：n-m条根轨迹终止于无限远（开环无限零点）。
第四章 根轨迹法 20
根轨迹终止于开环零点：
m 条终止于开环有限零点。 n条根轨迹 n m 终止于开环无限零点。
例：Wk ( s)
4.2 根轨迹的绘制法则
4.2.1 绘制根轨迹的一般法则 1．起点（K g = 0）
N ( s) 根轨迹方程： D( s )
n
(s z ) (s p )
j 1 j m i g j 1 i 1 n i
m
1 Kg
(s p ) K (s z ) 0
180o (1 2 ) ( 0,1, 2,
)
式中： —第 i个开环有限零点到s点的矢量辐角； i
—第 j i个开环极点到s点的矢量辐角；
注：根轨迹上的点均满足幅值条件和辐角条件。
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 16
m n m n N s 1 2 3 ( s z ) (s p ) i j i j D s i 1 j 1 i 1 j 1
特征方程 闭环极点
D(s) s2 2s 2Kk 0
s1 1 1 2 K k s2 1 1 2 K k
第四章 根轨迹法 8
2018年10月5日
当K K取不同值时，闭环特征根如下：
s1 1 1 2 K k
Kk
s1
s2
s2 1 1 2 K k
根轨迹法的任务
由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法 确定闭环极点。
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 6
4.1 根轨迹法的基本概念
1、什么是根轨迹
Kk 例4.1 单位反馈二阶系统 Wk (s) s 0.5s 1
闭环传递函数
2Kk WB ( s) 2 s 2s 2 K k
(s＋z ) 0
j 1
m
s z j ( i 1 m)
开环有 限零点
结论：n 阶系统有m条根轨迹终止于开环有限零点。
2
n- m条根轨迹
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i
m
s m a1s m1 n s b1s n 1
分离点（会合点）的坐标 s 的计算公式 ： d
Wk s N s D s N s D s 0
d d 1 Wk s 0 或 0 ds ds Wk s
d W s d 1 ds k ds Wk s Wk 2 s
p2 p1
A
B
p4
0
s
2018年10月5日
第四章 根轨迹法 26
设闭环系统的特征方程为
N ( s ) D( s ) K g N ( s ) 1＋Wk s 1 K g 0 D( s ) D( s )
设重根为 - σ d , 则s = -σ d处为分离点，设重根有γ个， 则在分离点处特征方程可写为：
180o (1 2 ) ( 0,1, 2,
)
s1
1、解二阶方程求得根轨迹。 2、通过检验是否满足幅角 条件来求得根轨迹。
2
3
1
S1 : 1 3 180 2 3 1 2 180
S1不满足幅角条件，因此 不是根轨迹上的点。
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 17
零极点 形式
第四章 根轨迹法 12
式中： zi ——开环零点； —— p j 开环极点； K g 根轨迹放大系数。 ——
2018年10月5日
闭环系统特征方程式为
DB s 1 WK (s) 1 K g N (s) D(s) 0
根轨迹 方程
或可写作
N ( s) D( s )
第四章 根轨迹法
Root-locus analysis
(8学时) 信息学院
二○一五年十一月
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 1
主要内容
根轨迹的基本概念 根轨迹的绘制法则 用根轨迹法分析系统的暂态特性
2018年10月5日
第四章 根轨迹法
2
学习重点
了解根轨迹的基本特性和相关概念；
掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练地
1
2
如果上式的阶次较高，计算重根就比较麻烦。这 时可采用图解法（或试探法）来确定重根。
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 28
注
（1）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点 （包括无限零点）或开环极点（包括无限极 点），则在此段根轨迹上必有分离点。 （2）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。 （3）只有那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分离
应用到根轨迹的绘制过程中；
2018年10月5日
第四章 根轨迹法
3
闭环极点分布同单位阶跃响应之间的对应关系
D(s) = 1+ Wk (s) = 0
发现问题：控制系统分析的关键是找到闭环极点！ 提出问题：是否存在其他非解析的方法求得闭环极点？ 0 0 1。 解决问题：通过开环零极点来求得闭环极点 0 1
j 1 j i 1 n i
m
1 Kg
N s D s
(s z )
i 1 n i j 1 j
m
(s p ) L
j 1
l
i 1 b
m
i
j
开环有限零点到s点的矢量长度之积 1 开环极点到s点的矢量长度之积 Kg
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 15
(s z ) Байду номын сангаасs p )
j 1 j i 1 n i
m
注意： s 为闭环传函
1 Kg
的特征根 ( 极点 ) ， -zj 和-pi为开环传函的零 点和极点。
复数 幅值和相角
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 14
根轨迹方程： 幅值条件：
N ( s) D( s )
(s z ) (s p )
o ( s z ) ( s p ) 180 (1 2 ) ( 0,1, 2, i j i 1 j 1 m n
)
结论：在实轴上根轨迹分支存在的区间的右侧，
开环零、极点数目的总和为奇数。
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 24
2 当Wk s 中存在共轭复极点时。
i 1 j
Kg 0 si pi i 1,2n
结论：根轨迹起始于开环极点。
2018年10月5日 第四章 根轨迹法 19
2. 终点
K ＝
g
1 根轨迹方程可写成： Kg
(s p ) (s z ) 0
i 1 i j 1 j
j
n
m
1
Kg
1＋WK s s s d F s 0
r
2
d 1 WK s ds s sd
2018年10月5日
r 1
d WK s ds
r s s d
F s s s d Fs
0
第四章 根轨迹法 27
闭环特征根的变化。 3、利用根轨迹可使我们在广泛的 范围内了解系统的稳定性及动 态特性。分析系统性能。
2018年10月5日
第四章 根轨迹法 10
1 稳定性 : 当K k : 0 变化时，
根轨迹（闭环极点）均在左半平面， 因此系统对所有Kk 值均是稳定的。
2 暂态性能：由K k
值变化对应闭
1
1
1
1
2018年10月5日
第四章 根轨迹法
4
一个美好的愿望：
n j 1
D s 1 WK ( s) 1
m
K g s zi
i 1
m
s pj
j 1
n
0
s p j K g s zi 0
根轨迹方程：
N ( s) D( s )
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i
m
1 Kg
辐角条件：（充分必要条件）
与Kg 无关
n m n N s m (s zi ) (s p j ) i j D s i 1 j 1 i 1 j 1
0
0.5
0
-1
-2
-1
1
2
-1+j
-1+j
3
-1-j
-1-j
3
2018年10月5日
-1+j
-1-j
第四章 根轨迹法 9
由 K k 0→∞变化时，闭环特征根在S平面上移动的
轨迹如下图所示。这就是该系统的根轨迹。
根轨迹的特点：
1、根轨迹上的点均为闭环极点。
k 2、直观地表示了参数 K 变化时，
2、根轨迹方程（根轨迹满足的基本条件）
控制系统结构如图
开环传递函数:
K1 K 2 N 1 ( s ) N 2 ( s ) WK ( s ) D1 ( s ) D2 ( s ) K g ( s zi )
i 1 m
根轨迹型
(s p j )
j 1
n
K g N ( s) D( s )