绵阳市高2016届第一次诊断考试数学(文科)答案

市高2013级第一次诊断性考试

数学(文史类)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

CBCBD BACCC

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．[)∞+，10

12．3

13．a ≥2

14．7 15．②③

三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．解 ：（1）∵ m ⊥n ，

∴ m ·n =(cos α，1-sin α)·(-cos α，sin α)=0，

即-cos 2

α+sin α-sin 2

α=0． ……………………………………………………3分

由sin 2

α+cos 2

α=1，解得sin α=1， ∴ 2

2π

πα+

=k ，k ∈Z .…………………………………………………………6分

（2） ∵ m -n =(2cos α，1-2sin α)， ∴ |m -n |=22)sin 21()cos 2(αα-+

αααsin 41)sin (cos 422-++=

αsin 45-=， (9)

分

∴ 5-4sin α=3，即得2

1

sin =α， ∴ 2

1

sin 212cos 2=

-=αα． ……………………………………………………12分

17．解：（1）由已知a n +1=2a n +1，可得a n +1+1=2(a n +1)．

∴

21

1

1=+++n n a a （常数）．………………………………………………………3分 此时，数列}1{+n a 是以211=+a 为首项，2为公比的等比数列，

∴ n n n a 22211=⋅=+-，于是a n =2n

-1． ………………………………………6分

（2）∵n n n

b 2

=.…………………………………………………………………7分

∴ n

n n

S 2232221321+

+++=

，

两边同乘以

21

，得,2232221211432+++++=n n n S 两式相减得 122

21212121+-+++=n n n n

S

122

11)

211(21+---=n n n 1

2

211+--

=n n n

， ∴n

n n n

S 2

2121--

=-．…………………………………………………………12分 18．解：（1）设第n 年的受捐贫困生的人数为a n ，捐资总额为b n ．

则a n =80+(n -1)a ，b n =50+(n -1)×10=40+10n . ……………………………2分

∴ 当a =10时，a n =10n +70， ∴

8.070

101040>++=n n a b n n ， 解得：n >8． ……………………………………………………………………5分 即从第9年起每年的受捐大学生人均获得的奖学金才能超过0.8万元． …6分

（2）由题意：n

n

n n a b a b >

++11(n >1)， 即

a

n n

na n )1(80104080)1(1040-++>+++，………………………………………………8分

整理得 (5+n )[80+(n -1)a ]-(4+n )(80+na )>0， 即400+5na -5a +80n +n 2

a -na -320-4na -80n -n 2

a >0， 化简得80-5a >0，

解得a <16，……………………………………………………………………11分 ∴ 要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过15人．

……………………………………………

12分

19．解：（1）在Rt △ABC 中，AC =AB cos60º=3216=⨯

，23

1

==AB AD . ∵ +=，

∴ CA AD CA CA AD CA CA CD ⋅+=⋅+=⋅2

)(

><⋅⋅+=CA AD CA AD CA ，cos ||||||2

=9+2×3×cos120º

=6. (4)

分

（2）在△ACD 中，∠ADC =180º-∠A -∠DCA=120º-θ，

由正弦定理可得ADC

AC A CD ∠=

sin sin ，即)120sin(233)120sin(23

3θθ-︒=-︒⨯

=CD . ………………………………………5分

在△AEC 中，∠ACE =θ+30º，∠AEC =180º-60º-(θ+30º)=90º-θ，

由正弦定理可得：AEC

AC A CE ∠=

sin sin ，即θθcos 233)90sin(23

3=-︒⨯

=CE ， ……6分

∴ θ

θcos 23

3)120sin(2334130sin 21⋅-︒⋅=︒⋅⋅=

∆CE CD S DCE θ

θcos )120sin(1

1627⋅-︒⋅=

，………………………7分 令f (θ)=sin(120º-θ)cos θ，0º≤θ≤60º， ∵ f (θ)=(sin120ºcos θ-cos120ºsin θ)cos θ

θθθcos sin 21

cos 232+= θθ2sin 212122cos 123+++⨯= )2sin 2

12cos 23(2143θθ++=

)602sin(2

1

43︒++=

θ，………………………………………………10分 由0º≤θ≤60º，知60º≤2θ+60º≤180º，

∴ 0≤sin(2θ+60º)≤1， ∴

43≤f (θ)≤2

143+， ∴ )32(4-≤

)(1θf ≤3

3

4，