高数下册测试题答案

试求出函数． 解：因为 特征方程为 七、计算曲面积分
， 其中是球体与锥体的公共部分的表面，，，是其外法线方向的方向 余弦． 解：两表面的交线为 原式，投影域为， 用柱坐标 原式 另解：用球坐标 原式 八、试将函数展成的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛 区间）． 解： 九、判断级数的敛散性． 解： 当，级数收敛；当，级数发散； 当时级数收敛；当时级数发散 十、计算曲线积分，其中为在第一象限内逆时针方向的半圆弧． 解：再取，围成半圆的正向边界 则 原式 十一、求曲面：到平面：的最短距离． 解：问题即求在约束下的最小值 可先求在约束下的最小值点
《高等数学》（下册）测试题一
一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）
1．设有直线
及平面，则直线（ A ）
A．平行于平面；
B．在平面上；
C．垂直于平面；
D．与平面斜交.
2．二元函数在点处（ C ）
A．连续、偏导数存在； B．连续、偏导数不存在；
C．不连续、偏导数存在； D．不连续、偏导数不存在.
二、选择题
1．函数在点处（ D ）．
（A）无定义；
（B）无极限；
（C）有极限但不连续；
（D）连续．
2．设，则（ B ）．
（A）；
（B）；
（C）；
（D）．
3．两个圆柱体，公共部分的体积为（ B ）．
（A）；
（B）；
（C）；
（D）．
4．若，，则数列有界是级数收敛的（ A ）．
（A）充分必要条件；
（B）充分条件，但非必
要条件；
（C）必要条件，但非充分条件；
（D）既非充分条件，又
非必要条件．
5．函数（为任意常数）是微分方程的（ C ）．
（A）通解；
（B）特解；
（C）是解，但既非通解也非特解；
（D）不是解．
三、求曲面上点处的切平面和法线方程．
解：
切平面为
法线为
四、求通过直线 的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线．
则 从而 2．求函数在处的幂级数展开式． 解： 3．将函数展开成傅立叶级数，并指明展开式成立的范围． 解：作周期延拓， 从而
《高等数学》（下册）测试题三
一、填空题 1．若函数在点处取得极值，则常数． 2．设，则． 3．设S是立方体的边界外侧，则曲面积分
3． 4．设幂级数的收敛半径为，则幂级数的收敛区间为． 5．微分方程用待定系数法确定的特解（系数值不求）的形式为．
最省？（本题8分） 解：设底圆半径为，高为，则由题意，要求的是在条件下的最小值。 由实际问题知，底圆半径和高分别为才能使用料最省 六、设积分域D为所围成，试计算二重积分．（本题8分）
解：观察得知该用极坐标， 七、计算三重积分，式中为由所确定的固定的圆台体．（本题8分） 解：解：观察得知该用先二后一的方法 八、设在上有连续的一阶导数，求曲线积分，其中曲线L是从点到点的
《高等数学》（下册）测试题二
一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（Βιβλιοθήκη Baidu括号中填上所选字母）
1．设，且可导，则为（ D ）
A．；；
B．；
C．；
D．．
2．从点到一个平面引垂线，垂足为点，则这个平面的方
程是（ B ）
A．；
B．；
C．；
D．．
3．微分方程的通解是（ D ）
A．； B．；
C．； D．．
4．设平面曲线为下半圆周，则曲线积分等于（ A ）
A．；
B．；
C．；
D．．
5．累次积分＝（ A ）
A．；
B．；
C．；
D．．
二．填空题（每小题5分，本大题共15分） 1．曲面在点处的切平面方程是；. 2．微分方程的待定特解形式是； 3．设是球面的外测，则曲面积分
＝． 三、 一条直线在平面：上，且与另两条直线L1：及L2：（即L2：）都相
交，求该直线方程．（本题7分） 解：先求两已知直线与平面的交点，由 由 由两点式方程得该直线： 四、求函数在点处的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数．（本题7分） 解： 沿梯度方向上函数的方向导数 五、做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料
方程的通解．（本题4分） 解：由解的结构定理可知，该微分方程对应齐次方程的特征根应为，否
则不能有这样的特解。从而特征方程为 因此 为非齐次方程的另一个特解， 故，，通解为
附加题：（供学习无穷级数的学生作为测试） 1．求无穷级数的收敛域及在收敛域上的和函数． 解： 由于在时发散，在时条件收敛，故收敛域为 看，
取 时， 这也说明了是不可能的，因为平面与曲面最小距离为。
十、（本题8分）设二阶连续可导函数，适合，求．
解： 由已知 即 十一、（本题4分）求方程的通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为 非齐次项，与标准式 比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为 代入方程得 十二、（本题4分）在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面
平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小. 解：设点的坐标为，则问题即在求最小值。 令，则由 推出，的坐标为
附加题：（供学习无穷级数的学生作为测试） ．判别级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 解：由于，该级数不会绝对收敛， 显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该级数条件收
敛 2．求幂级数的收敛区间及和函数. 解： 从而收敛区间为， 3．将展成以为周期的傅立叶级数. 解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。
解：设过直线的平面束为
即
第一个平面平行于直线，
即有
从而第一个平面为 第二个平面要与第一个平面垂直， 也即 从而第二个平面为 五、求微分方程的解，使得该解所表示的曲线在点处与直线相切． 解：直线为，从而有定解条件， 特征方程为 方程通解为，由定解的初值条件 ，由定解的初值条件 从而，特解为 六、设函数有二阶连续导数，而函数满足方程
2．设，则＝；
3．设为正向一周，则 0 ；
4．设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数 ；
5．设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的
解，则应有 1 .
三、（本题7分）设由方程组确定了，是，的函数，求及与.
解：方程两边取全微分，则
解出
从而
四、（本题7分）已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数. 解：
直线段．（本题8分） 解：在上半平面上 且连续， 从而在上半平面上该曲线积分与路径无关， 取折线
九、计算曲面积分，其中，为上半球面：．（本题8分） 解：由于，故 为上半球面，则 原式
十、求微分方程 的解．（本题8分）
解： 由，得 十一、试证在点处不连续，但存在有一阶偏导数．（本题4分） 解：沿着直线， 依赖而变化，从而二重极限不存在，函数在点处不连续。 而 十二、设二阶常系数线性微分方程的一个特解为，试确定常数，并求该
，
从而
五、（本题8分）计算累次积分 ）. 解：依据上下限知，即分区域为
作图可知，该区域也可以表示为
从而
六、（本题8分）计算，其中是由柱面及平面围成的区域.
解：先二后一比较方便， 七．（本题8分）计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分. 解：由对称性 从而 八、（本题8分）计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线. 解：在上半平面上 且连续， 从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取 九、（本题8分）计算，其中为半球面上侧. 解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧
3．设为连续函数，，则＝（ B ）
A．； B．； C． D．.
4．设是平面由，，所确定的三角形区域，则曲面积分
＝（ D ）
A．7； B．； C．； D．.
5．微分方程的一个特解应具有形式（ B ）
A．； B．； C．； D．.
二、填空题（每小题3分，本大题共15分）
1．设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为；