第3讲.二次函数实际应用.培优

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漫画释义

满分晋级

3

函数13级 二次函数的基本解析式与图象变换

函数14级 二次函数 实际应用 函数15级 二次函数 图象综合应用

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秋季班

第三讲

二次函数实际应用

中考内容与要求

中考考点分析

二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。

这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。

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实际应用问题主要考查涨降价、面积等问题，讲解时要明确等量关系．

【例1】 如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作

两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE ，则求DE 长的最小值．

（2012扬州）

E

D

E

D

【解析】 如图，连接DE ．

设x AC =则x BC -=2，

∵△ACD 和△BCE 分别是等腰直角三角形，

∴∠DCA ＝45°，∠ECB ＝45°，DC ＝x 22，CE ＝

()x -22

2

， ∴∠DCE ＝90°， 故()()112222

1212

222222+-=+-=-+=

+=x x x x x CE DC DE ， 当1=x 时，2DE 取得最小值，DE 也取得最小值，最小值为1． 故答案为：1．

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模块一 实际应用问题

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【例2】 某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。如果每件商

品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）。设每件商品的售 价上涨x 元（x 为整数），每个月的销售利润为y 元， (1) 求y 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；

(2) 每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？

(2012四川巴中)

【解析】(1) ()()x x y 1020010-+=，

即2000100102++-=x x y ，其中120≤≤x ；

(2) 当5=x 时（满足120≤≤x ），每月可获得最大利润，2250=最大y

即最大月利润是2250元.

【例3】 某种产品的年产量不超过1 000 t ，该产品的年产量与费用之间的函数图象是顶点在原点

的抛物线的一部分（如图甲）；该产品的年销量与销售单价之间的函数图象是线段（如 图乙），若生产的产品都能在当年销售完，问该产品年产量为多少吨时，所获得的毛利 润最大．（毛利润=销售额-费用） （2013石景山期末）

图甲

(t )

图乙

(t )

【解析】 设年产量（t ）与费用（万元）之间函数解析式为2

1ax y =，

由题意可得a 2

10001000=，解得：10001

=a ，即：1000

2

1x y =.

设年销量（t ）与销售单价（万元/t ）之间的函数解析式为b kx y +=2， 由题意，可得

⎩⎨⎧+⋅=+=.030,100020b k b k 解得：⎪⎩⎪

⎨⎧=-=30

1001b k ，即：3010012

+-=x y 设毛利润为y 万元，

由题意，可得=y )30100

1

(+-x x 10002x - （其中10000≤≤x ）

能力提升

=x x 301000

112

+-

， 因为100011

15000

>=x ，

所以当10000≤≤x 时，y 随x 的增大而增大，

因而在1000=x 时，图象达到最高点，故当年产量为1000吨时，所获得的毛利润最大.

建系解决实际问题主要考查足球、篮球、羽毛球等运动轨迹，拱桥、桥洞等形状类似于抛物线的实际问题，解题时，要合理建系，充分利用图象上的点坐标解题．

【例4】 如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球 看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x (m )满足关系式()h x a y +-=2

6.

已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离 为18m 。

(1) 当62.h =时，求y 与x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围） (2) 当62.h =时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；

(3) 若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围。

（2012安徽）

【解析】 (1) 把0=x ，2=y 及62.h =代入到()h x a y +-=2

6，即60

1

-

=a ； ∴当62.h =时，y 与x 的关系式为()62660

1

2.x y +--

= (2) 当62.h =时，()62660

1

2.x y +--

=

∵当9=x 时，432452..y ＞=，∴球能越过网。

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模块二 建系解决实际问题