数学建模选拔队员问题

数学建模选拔队员问题
【摘要】全国研究生数学建模竞赛是一项关系到学校和个人荣誉的比赛,因此一个参赛院校如何选拔最优秀的队员和科学合理地组队是一个亟待解决的问题。

我们建立模型解决数学建模队员选拔与组队问题。

第一，队员选择模型。

首先，我们将所给队员的七项基本条件指标划分为知识、能力、表现三类。

运用层次分析法，建立成对比较矩阵，得到三类的权重继而得到七项条件的权重。

然后采用模糊物元法,计算每位队员各项指标的联系系数，并与权重结合得到队员的联系度，依此排名,淘汰排名最后的五位队员。

第二，最佳组队模型。

首先对于某些互补性的条件指标，取三名队员的最大值作为整队指标；对于某些整体性的条件指标，取三名队员的平均值作为整队指标。

然后结合各指标权重建立竞赛水平函数，同时对每项指标进行一定约束。

最后通过Mａｔlaｂ软件计算，求得最佳组队队员。

【关键词】选拔队员与组队层次分析法模糊物元法竞赛水平函数
1 引言
数学建模竞赛要求以不超过三人的团队参加，其主旨为培养学生的创新意识和团队精神。

这是一项关系到学校和个人荣誉的比赛,因此一个参赛院校如何选拔最优秀的队员和科学合理地组队是一个亟待解决的问题。

目前，２01２年浙江师范大学有２6名队员准备参加竞赛,已知每位队员的平时成绩、智力水平、计算机能力、参赛经验、写作能力、协作能力、身体状况。

假设所有队员接受了同样的培训,不考虑其他随机因素的影响，我们建立数学模型解决如下问题:
1．在26名队员中选择２1名优秀队员参加竞赛；
2.确定一个最佳的组队方案使竞赛技术水平最高。

2 模型假设
1.假设所有队员接受了同样的培训,不考虑其他随机因素的影响;
假设层次分析求权重带来的主观因素影响不会有太大影响；
３符号说明
符号说明
A、B 成对比较矩阵
a表示第i个因素相对于第j个因素的比较结果
ij
CI 一致性检验指标数
ＲI 随机一致性指标
ＣＲ一致性比率
ω
指标权重 i M
方案 j C 特征评价指标 ji x
指标量值 max ji x
x ｊi 的最大值 min ji x
x ji 的最小值 ξ
关联系数
i ω
各个条件指标的权重系数
1,2,...,7k l m
i i i
a a a i =、、（）
随机取三个人,,k l m 的第i 项条件的联系系数
1,2,...,5i p i =（）
第i 项条件联系系数的最大值 6,7i q i =（）
第i 项条件联系系数的平均值
f
竞赛水平函数
4 队员选择模型
我们在选拔数学建模队员时，一个队员的能力是可以从多方面衡量的,比如计算机能力，智力水平,写作能力等。

我们采用层次分析法和模糊物元法相结合来进行多因素的排序。

4.1层次分析法求各条件指标权重
不同的条件指标对于数学建模队员选拔的影响效力是不同的,因此对于各指标需要给定权重。

我们采用层次分析法。

层次分析法是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。

该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度,并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数,利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。

4．1.1层次结构
通过分析数学建模队员要求，我们可以发现，有的要求是针对队员的知识,如平时成绩、智力水平;有的要求是针对队员的能力，如计算机能力、参赛经历、写作能力，这些都是三人的数模团队中有人可以达到较高水平就可以的;而有的要求是针对队员的表现,如协作能力、身体状况，这些需要三个人都达到较高水平才能取得更好成绩。

基本的层次结构如下图所示:
4.1.2 构造成对矩阵，层次单排序
层次分析是一种定性分析和定量计算相结合的分析方法,根据相关文献构造各因素间的成对比较矩阵。

表1 判断矩阵元素a ij 的标度方法
尺度 含义 1 表示两个因素相比,具有同样重要性 3 表示两个因素相比,一个因素比另一个因素稍微重要 5 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 7 表示两个因素相比,一个因素比另一个因素强烈重要 9 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要 ２、4、6、8 上述两相邻判断的中值
倒数 因素i 与j 比较的判断a i ｊ,则因素ｊ与i 比较的判断a ji =１／ａi ｊ
① 知识、能力和表现的成对比较矩阵。

1122
2
1211122A ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
求出矩阵A 的特征值和特征向量，并做归一化处理,得到各个因素权重：
w =(０.３108，0.493４，０.１9５8）
由于λ=3．０5３6,查表得R Ｉ=0.5８,可得:
一致性指标CI=0.０26８<0.１,一致性比率ＣR=０.0４６2<0.1。

通过一致性检验。

② 平时成绩和智力水平的成对比较矩阵。

1
1 1
2 21
B
⎡⎤
⎢⎥=
⎢⎥⎣⎦
求出矩阵Ｂ１的特征值和特征向量,做归一化处理,通过一致性检验，得到各个因素权重:
1
w=(０．3３3３，0．6667）
③计算机能力、参赛经验和写作水平的成对比较矩阵。

2132 11
1
33
1
31 2
B
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
求出矩阵A的特征值和特征向量,并做归一化处理，得到各个因素权重：
2
w=（0．5278，0.13９6,0.3326)
由于λ=3．053６，查表得ＲＩ=0.５8，可得：
一致性指标CI＝０.0268<０.1，一致性比率CR=０.0４62<0.1。

通过一致性检验。

④协作能力和身体状况的成对比较矩阵。

313 1
1 3
B
⎡⎤
⎢⎥=
⎢⎥⎣⎦
求出矩阵A的特征值和特征向量,做归一化处理，通过一致性检验,得到各个因素权重:
3
w=（0．75,0．２5）
4．1．3 层次总排序
根据以上层次单排序,求得每项条件指标的权重,以平时成绩为例：
其权重
10.31080.33330.1036
ω=⨯=。

同样地，得其余各项条件指标的权重
i
ω。

得层次总排序如下：
()
=0.1036,0.2072,0.2604,0.0689,0.1641,0.1469,0.0490
ω
4.２模糊物元法选拔队员
由于多因素关系的描述具有不确定性、随机性和模糊性，我们采用模糊物元法。

模糊物元法是在物元分析的基础上提出描述事物模糊性的一门介于数学与试验之间的科学工具。

它是由一个三元有序组构成的，即由事物N，特征C 和关于模糊特征的量值Ｖ组成的三元有序组R，R= （Ｎ，C, V)。

它比模糊数学更能给出有关模糊的定量描述和处理,使排序决策结果更具真实性和准确性。

4．2.1模糊物元多因素排序的具体过程与步骤方法
第1步:建立排序决策方案的物元;
对于排序决策方案,将其事物、特征以及量值用有序三元组描述,即事物就是方案M i，特征评价指标C j，量值x jｉ构成的如下物元,即:
1
21
112112
1222212...........................m m mn m n
n n
mn M M M C x x x R C x x x C x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
第2 步: 确定指标的隶属度；
排序实际就是指标衡量标准的优劣确定，通常指标有成本型和效益型指标两大类。

成本型指标是指数值越小越好的指标;而效益型指标是指数值越大越好的指标，对于两类指标可以采用如下的方法来确定隶属度。

对于成本型指标：
ﻩ
ﻩﻩﻩﻩ
max max min ji ji ji ji ji
x x U x x -=
-
ﻩﻩ(1)
对于效益型指标:
ﻩ
ﻩ
min max min ji ji ji ji ji
x x U x x -=
-
ﻩ(2）
第3步:从隶属度到关联数变换；
关联度变换就是隶属度与关联系数的转换,由于在物元分析中其值是相等的，因此关联系数
ji
U ξ=;
第4步：模糊物元排序方案矩阵建立；
用隶属度值代替联系系数值后,即建立了联系系数的模糊物元,记:
ﻩ ﻩ
1
21
11
2112
12
22212...............
............
m m m n
n
n mn M M M C R C C ξξξξξξξξξξ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ﻩﻩ(３）
第5步：利用层次分析法确定指标权重系数;
权重系数的计算方法很多,有AHP 法、变异系数法、专家经验判断法、综合赋权等方法。

本文采用如上A ＨP(层次分析法)，得指标权重ω。

第6步:计算联系度并进行最终优劣排序。

关联度是模糊物元排序决策方案之间关联性的大小，通过其值大小进行优劣排序即可得到最终结果，联系度：
k R R ξ
ω=。

4.２．2 队员选拔 ①联系系数的模糊物元
该七项条件指标均为效益型指标,故采用公式min max min ji ji ji ji ji
x x U x x -=
-计算隶属度,并用隶
属度值代替联系系数值，建立了联系系数的模糊物元,得到下表2:
表2 各队员效益型指标
条件 队员
平时成绩 智力水平 计算机能力 参赛经验 写作能力 协作能力 身体状况 G 1.00０0 0.79１7 0.３214 ０.５0００ 0.3714 0.７2４1 0.4688 K 0．0００0 0.6667 0.2８57 ０.4333 1．０000 0．6207 0.８４３8 D 0．7７7８ 1.０000 ０.2８5７ 0.5０0０ 0.７４29 ０.827６ 0．８１25 B 0．８889 0.8333 ０．107１ ０.3333 0.４8５7 0.９310 ０.7813 Q ０.7４07 ０.3333 ０.7857 0．6６67 0.６２８6 0.８6２1 0.46８8 I 1.0000 0.３75０ 0．82１4 0.8667 0.4857 0.6２07 0.6875 X ０.7４0７ 0.875０ ０.4286 0．6000 ０.7429 ０.3793 ０.5３13 U 0．48１5 0.0000 0.４286 0．90００ 0.828６ 0.6207 0．6８75 N ０．３７04 ０.６667 0.６０7１ 0.8０0０ 0.3429 0.7９３1 ０.６2５0 V 0.9２59 0.95８３ 0．３５71 0.5667 0.6571 0.86２1 0.７813 Ｔ 1.0０0０ ０．37５0 0．7500 0.83３3 0．4286 0.4４８3 ０.0000 Ｅ 0.1852 ０．3３3３ 0.５7１4 1.0０00 0.77１４ 0．４828 1.0０00 R 0．7037 ０.8750 0．4643 0．56６７ 0.514３ 0.8621 0.5313 Z ０.4444 ０.7５００ 0．17８6 0.８3３3 0.7143 0.655２ ０.5０00 Ｗ 0.4４44 0.6250 0.００00 0.7６6７ 0.８28６ 0.０000 ０.４68８ P ０．70３７ 0.7917 ０.８2１4 0.８667 0.６2８６ 0.6５5２ 0.8125 Ａ ０．5185 0.6667 0．０357 0.5000 ０．８2８6 ０.9３１0 0.3７50 C 0.1852 0.83３3 0.8571 ０．7333 ０.７71４ ０．4４83 ０.5３１3 F 0.8519 ０.7917 0.1071 0.００00 ０．0000 0．4４83 0.6563 O 0.740７ 0.７500 0．6429 0．7000 0.8286 1.00０0 0.６８75 M ０．8１4８ ０.9167 ０.2143 0.0６６7 0.45７1 0.8276 0.5６25 Y 0．７０37 ０.5８33 0.8214 ０.7０00 0．11４3 0.6552 0.８７50 J 0.8１48 0.7917 1．00０0 0.4667 0.4５71 0.586２ 0.8４38 Ｓ ０.444４ 0.２5０0 0.７５00 0．９333 0.７1４３ 0.4４83 0.46８8 L ０.5185 ０.7５00 0.8571 0.１667 0．6857 0．８９6６ ０.8438 H
0.666７
０.8７５０
0.1429
0.5000
０．４8５7
０．7931
０.93７５
②将权重()=0.1036,0.2072,0.2604,0.0689,0.1641,0.1469,0.0490ω代入公式
k R R ξ
ω=，
求得各队员联系度及排名：
表3 各队员联系度排名
排名队员联系度排名队员联系度排名队员联系度
1 G 0．7643 10 V 0.６4９
１
19 Ｆ０.5589
2 K ０.７４
98
11 T ０.6146 ２0 O ０.5525
3 Ｄ０．7435 12 Ｅ0.6１38 ２１M ０．５433
４ B 0.7294 13 R 0.5931 ２2 Ｙ０.5３9
０
5 Q 0.6９９
3
１4 Z 0.576１23 J 0.5267
６I 0．6841 1５Ｗ0.5７0
４
2４S 0.48４3
７Ｘ0.６7９
9
１6 P
0.57０
２
25 L 0．3873
8 Ｕ0.６59
５
1７ A 0.5642 2６H ０.378２
9 N ０.65１
2
18 C
0.５6３
5
我们将最后5名的队员Ｙ,J,S，L,Ｈ淘汰,选择排名1至21的队员参加比赛。

作如下图1所示的G,Y,Ｊ,S,LH队员的雷达图，可以直观地看到依据联系度得到的排名第一(Ｇ）和最后五位(Ｙ,J,S,L,H)的差别,可见在选择数学建模队员时,有着很明显的缺陷是不可取的。

图1 六名队员的雷达图
5最佳组队模型
第二问是确定最佳的组队方案，使竞赛技术水平最高。

对某队的竞赛技术水平,我们可作如下解读:
1. 对于某些条件，须考虑队员之间的互补性，即该队某项条件的优劣程度应以该组中最优者为准。

这些考虑互补性的条件包括平时成绩、智力水平、计算机能力、参赛经验和写作能力。

故可取三人联系系数的最大值作为该队某项条件的联系系数。

2. 对于某些条件，则须考虑三人总体的优劣情况，比如协作能力和身体状况,每位参赛队员的协作能力和身体状况都会对整支队伍的竞赛水平带来影响。

故取三人联系系数的平均值作为该队某项条件的联系系数。

再根据由第一问层次分析法所得的每项条件指标的权重系数，建立竞赛水平函数f。

并任取3名队员组合,根据f 值大小确定最佳组队方案。

设1,2,...,7k l m
i i i
a a a i =、、（）表示2０个人中随机取三个人,,k l m 的第i 项条件的
联系系数,1,2,...,5i p i =（）表示取,,k l m 三个人第i 项条件联系系数的最大值为新联系系数,
6,7i q i =（）
表示取,,k l m 三个人第i 项条件联系系数的平均值为新联系系
数,(1,2,...,7)i i ω=仍表示每项条件指标的权重系数。

i p 和i q 反映的是该组队伍各项条件指标的优劣情况，为保证每组队伍的每项指标的能
力都能在中等以上,我们对其大小做一定的限定,规定其均须不小于0．５。

根据以上分析，我们建立如下模型： ﻩﻩﻩ
max{,,}1,2,...,5k l m i i i i p a a a i ==（）
ﻩﻩﻩ (4)
ﻩ 1
(6,73k l m i i i i q a a a i ++==)（）ﻩﻩ
(５）
ﻩ
0.51,2,...,5,0.56,7i i p i q i ≥=≥=（）（）
(6）
ﻩﻩ
ﻩ
5
7
1
6
i
i
i i
i i f p q ω
ω===
+∑∑ ﻩ
ﻩ (7)
此目标函数f 即为一个队的竞赛水平,任取3名队员组合,根据f 值大小找到竞赛水平最高的队伍,即确定了最佳组队方案。

我们运用Ma ｔla ｂ编程求解，将问题一中淘汰的５名队员的各项联系系数归零，并仍然在26个人中挑选队员。

由于要求的是目标函数的最大值,故对此没有影响,淘汰的5名队员会被程序自动排除。

并先随机选取一个队伍,程序跑遍所有可能的情况，取全部情况的最大值作为最高竞赛水平的队伍。

得到结论为,队员为D,G ，Q 时，max
0.8967f
=，竞技水平最高。

再观察三位队员的各
项联系系数可知,该组前五项指标的最大值为：0.９2５9,0.958３,1，0.7，０.8286均名列前茅，后两项指标的总体水平:0.81６1,0.7７09也比较高。

6 模型评价
6.1模型的优点 1． 问题三基于两种不同目的分别建立模型,并结合可能的临界分数对两种模型确立的组队情况进行比较取舍。

2. 层次分析法和模糊物元法相结合能客观准确地对受多因素影响的队员总体实力进行排名。

３. 建立的模型方法简单易行，适用于现实生活中的一般情况。

６.2 模型的缺点
1. 层次分析法中构建成对比较矩阵含有一定的主观性。

2. 均衡模型法虽然可以使获奖率变大,但是也有一定的风险,可能较高的临界分数反而会减少获奖组数。

【参考文献】
[１］张诚.基于模糊物元的中部六省物流能力分析[J],中国流通经济,２011,（０4):27-31 ［２]方红,汪晓银．关于数学建模教学方式及竞赛队员选拔和培训机制的探ﻩ讨,[J]，科教文汇(中旬刊),2008,（11):12２+125
[3]刘希成．基于模糊物元的多因素排序法[J],甘肃联合大学学报(自然科学版), ﻩ２
008,(05）: ４６-48
［4]伍代勇,刘兵兵.模糊层次分析法在队员选拔中的应用［Ｊ],安庆师范学院学报(自然科学版),2010，(01）：14-１6
[5]肖郑利.层次分析法及其在数学建模竞赛中的实际应用[Ｊ],科技风,2００9，(1２):63-65
[6]王万军．多因素指标排序的模糊物元方法及其应用［J],大庆师范学院学报，2009,(06)：５4－57
论文完成时间：201２年8月3０日。