第八讲用假设法解题

用假设法解题

情景引入

我国古代趣题：今有雉兔共笼，上有三十五头，下有九十四足.问雉、兔各有几何？这就是著名的鸡兔同笼问题，这类问题我们该如何解答呢？

专题介绍

有些应用题看起来很难求出答案，但如果我们合理进行“假设”，往往会使问题得到解决. “假设”是数学思维中思考问题的一种常用方法，所谓“假设法”就是依照已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾，作适当调整，从而找到正确答案.我国古代趣题中的“鸡兔同笼”问题就是运用假设法解决问题的一个范例.

例题精讲

例1：见情景引入. 将题目翻译过来就是：现有一笼鸡兔，数鸡头和兔头共35 个，数鸡脚和兔脚共94 只，问鸡兔各共几只？

分析：方法一：

1）假设35 只全是鸡，那么，笼子中脚的总数应该是×35＝70（只）.

2）题中脚的总数是94 只，假设后比原来少了94－＝24（只），这是因

为我们把其中的兔子当成了鸡来算.

一只兔子当成一只鸡就少了 2 只脚，那么，少的24 只脚是把多少只兔子当成了鸡？因此，可知道兔子有24 ÷＝（只），则鸡有35 －＝23（只）.

3）列综合算式：

兔子的只数：（94－×35）÷2＝（只）；

鸡的只数：35 －＝（只）.

方法二：

1）假设35 只全是兔子，那么，笼子中脚的总数应该是×35＝140 （只）.

2）题中脚的总数是94 只，假设后比原来多了－＝46 （只），这是因为我们把其中的当成了来算.

一只鸡当成一只兔子就多了只脚，那么，多的只脚是把多少只鸡当成了兔子？因此，可知道鸡有46 ÷＝（只），则兔子有35 －＝（只）.

3）列综合算式：

鸡的只数：（×35－94）÷2＝（只）；

兔子的只数：35 －＝（只）.

答：鸡有23 只，兔有12只.

巩固练习：1. 鸡兔共30只，共有脚84 只，鸡兔各有多少只？

解：方法一：

1）假设30 只全是鸡，那么，笼子中脚的总数应该是×＝（只）.

2）题中脚的总数是84 只，假设后比原来少了84－＝（只），一只

兔子当成一只鸡就少了只脚，少了只脚就说明兔子有÷＝（只），则鸡有－＝（只）.

3）列综合算式：

兔子的只数：（－×）÷＝（只）；

鸡的只数：－＝（只）.

方法二：

1）假设，那么，笼子中脚的总数应该是×＝（只）.

2）题中脚的总数是84 只，假设后比原来多了－＝（只），一只

鸡当成一只兔子就多了只脚，多了只脚就说明鸡有÷＝（只），则兔子有－＝（只）.

3）列综合算式：

鸡的只数：；

兔子的只数：.

答：.

2. 鸡兔同笼,共有头100 个,足316只,那么鸡兔各有几只？（用两种方法解答）

锦囊妙计

解答“鸡兔同笼”问题，通常采用假设法.

（1）可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡，也可以先假设都是兔，以鸡换兔；

（2）根据“假设前后脚数的总差量÷单只鸡兔脚数的差量2”，求出鸡或兔的数量.

例2：有1 角、5 角的硬币共35 枚，一共9 块 5 角，求两种硬币各多少枚？

分析：1）假设35 枚硬币全是 1 角的，那么，总钱数应该是×35 ＝（角）.

2）原来的钱数是95 角，假设后比原来少了95－＝（角）；一枚5 角硬币当成 1 角就少了角，那么，少了60 角就说明 5 角硬币有÷＝（枚），则1 角硬币有－15 ＝（枚）.

3）列综合算式：

5 角硬币：（95－）÷（－1）＝（枚）；想一想：此题还可以怎样假设？

1 角硬币：－15 ＝（枚）.

答：5 角硬币有枚，1 角硬币有枚.

巩固练习：1. 小军用10 元钱买5 角和8 角邮票共17 张，问这两种邮票各买了多

少张？

解：1）假设17 张全是5 角的邮票，那么，总钱数应该是×＝（角）.

2）原来的钱数是角，假设后比原来少了－＝（角）；一枚8 角邮票当成5 角就少了角，那么，少了角就说明8 角邮票有÷＝（张），则5 角邮票有－＝（张）.

3）列综合算式：

8 角邮票：；

5 角邮票：.

答：.

2. 车棚里停放着45 辆车，包括三轮车和自行车，两种车轮子的总和为105 个，

问三轮车和自行车各多少辆？

锦囊妙计

这类题类似与鸡兔同笼问题，用假设法解题时，

（1）一般可假设要求的两种物品是同一种；

（2）根据“假设前后总的差量÷两种物品的面值差（或其它差量）”，求出一种物品，再求出另一种物品.

例3：某校进行的数学竞赛共15 道题，规定每做对一题得10 分，每做错一题倒

扣4 分，小明在这次数学竞赛中得了66 分，问他做错、对了几道？

分析：1）假设小明把题目全部做对了，那么，应得的分数是×15＝（分）.

2）而题中所得分数是66 分，假设后比原来多了－66＝（分），这

是因为我们把做错的题当成了做对的题来算. 每做错一个题，就比做对一个题要少

得＋＝（分），那么，少得了分就说明答错的题目有÷＝（道），则答对的题目有－＝（道）.

3）列综合算式：

答错的题目：；

答对的题目：.

答：.

巩固练习：1. 某玻璃杯厂要为商店运送1000 个玻璃杯，双方商定每个运费为 1 元，如果打碎一个，这一个不但不给运费，而且要赔偿 4 元.结果运到目的地后结算时，玻璃杯厂共得运费895元，求打碎了几个玻璃杯？

解：1）假设1000个玻璃杯全部运到并完好无损，那么，应得的运费是×1000＝（元）；

2）而题中所得运费是895 元，比假设后少收入了－＝105（元），

这是因为我们把其中打碎了的玻璃杯当成了没打碎来算，每打碎一个玻璃杯，就比

没打碎要少收入＋＝（元），那么，少收入105 元就说明打碎的玻璃

杯有÷＝（个）.

3）列综合算式：

打碎的玻璃杯数：.

答：.

2. 某车间生产一批服装共250 件，生产一件可得25 元，如果有一件不符合要

求，则倒扣20 元，生产后得到费用5350元.问有几件不合格？

锦囊妙计

对于这类问题使用假设法解题时，注意两种量单个数值的差，如每做错一个题扣 a 分，每做对一个题加 b 分，那么，每做错一个题要比做对一个题少得（a+b）分.

例4：学校买来8 张办公桌和 6 把椅子，共花去550 元.每张办公桌的价钱是每把

椅子的2 倍，每张办公桌和每把椅子各多少元？

分析：1）假设学校买的全是办公桌，根据“每张办公桌的价钱是每把椅子的 2 倍”，则买6 把椅子的价钱只能买÷ 2 ＝ 3 （张）办公桌.

2）题中共花的550 元就相当于8 ＋ 3 ＝（张）办公桌的价钱，所以，

每张办公桌的价钱为550 ÷＝（元）.

3）列综合算式：

办公桌：550÷（÷ 2 ＋）＝50 （元）；

椅子：50÷＝25 （元）.

答：办公桌的价钱为50元，椅子的价钱为25 元.

巩固练习：1. 学校买来 4 个篮球和 5 个排球共用了185 元，已知一个篮球比一个排球贵8 元，那么篮球和排球的单价各是多少元？

解：1）假设学校买的全是排球，根据“一个篮球比一个排球贵8 元”，则买 4 个篮球比买 4 个排球贵× 4 ＝32 （元）.

2）题中共花的185 元，相当于买了 4 ＋ 5 ＝（个）排球还多余32 元，所以，排球的单价为（－）÷9 ＝（元）.

3）列综合算式：

排球：（－× 4 ）÷（＋）＝（元）；

篮球：＋＝（元）.

答：.

2. 小明买2 个乒乓球和 4 个皮球共用去52 元，6 个乒乓球的价钱相当于 1 个

皮球的价钱.乒乓球和皮球的单价各是多少元？

锦囊妙计

用假设法解这类问题，

（1）假设两种物品为同一种物品；

（2）将已知条件转化为直接可用的条件，如“甲的单价是乙的n 倍”，那么，买

a 个乙的价钱就只能买（a÷n）个甲.

模块5

（3）根据总钱数与对应的一种物品数量，求出这种物品的单价，再求另一种.

例5：水果糖的块数是巧克力糖的 3 倍，如果小明每天吃 2 块水果糖，1 块巧克力糖，几天后，水果糖还剩下7 块，巧克力糖正好吃完.原来水果糖有多少块？

分析：1）根据题中“水果糖的块数是巧克力糖的 3 倍”，假设小明每天吃 1 块巧克力，3 块水果糖，那若干天后，两种糖刚好吃完.

2）现在小明每天吃 2 块水果糖，少吃了 3 －＝ 1 （块），结果，若干天后，水果糖还剩下7 块.则吃的天数为7 ÷＝7 （天），则原来水果糖的块数即

可求得.

3）列式如下：

÷（1×3－）＝7 （天）；

2×＋7 ＝21 （块）.

答：原来水果糖有21块.

巩固练习：1. 小红家有些梨和苹果，苹果的个数是梨的 3 倍，爸爸和小红每天各吃1 个苹果，妈妈每天吃 1 个梨.若干天后，苹果还剩9 个，而梨恰好吃完，

原来苹果有多少个？

解：1）根据题中“苹果的个数是梨的 3 倍”，假设小红和爸爸妈妈每天吃 1 个梨，3 个苹果，那若干天后，两种水果刚好吃完.

2）现在小红和爸妈每天一共吃 2 个苹果，1 个梨，少吃了－＝（个）苹果，结果，若干天后，苹果还剩下9 个.则吃的天数为÷＝（天），则原来苹果个数即可求得.

3）列式如下：

÷（1×3－）＝（天）；

2×＋＝（个）.

答：.

2. 某商店有些红气球和黄气球，红气球的只数是黄气球的 4 倍，每天卖出2 只红气球和 1 只黄气球，若干天后，红气球剩下12 只，黄气球刚好卖完.红气球原来有多少？

锦囊妙计

这类题通常是“吃东西”、“卖东西”等消耗东西的问题，用假设法解这类题时，

（1）如何假设是关键，一般题中会出现“甲总数是乙总数的n 倍”，那么，可以假设每天消耗乙的数量为 1 ，甲为n ，则若干天后，甲和乙都刚好消耗完.

（2）再根据假设前后的差量求出天数，进而求出甲或乙的总数.

练习题

1. 鸡兔共100 只，共有脚280 只，鸡兔各有多少只？

2. 三一班的同学在献爱心活动中共有34 名同学捐款，共捐了89 元，这些同学有捐2 元的，有捐 5 元，求捐 2 元和捐 5 元的同学各有多少名？

3. 某小学进行英语竞赛，每答对一题得10 分，答错一题倒扣 2 分，共有15 道题，小明得了102 分，他做对了多少题？

4. 买4 张办公桌和9 把椅子共用252元，1 张桌子和3 把椅子的价钱正好相等，

桌子和椅子的单价各是多少元？

5. 四（3）班有彩色粉笔和白色粉笔若干盒，白粉笔的盒数是彩色粉笔的7 倍，每天用去 2 盒白粉笔和 1 盒彩色粉笔，当彩色粉笔全部用完时，白粉笔还剩10 盒，原来白粉笔有多少盒？