高中数学随机变量及其分布数学期望

X x1 x2 ··· xi P p1 p2 ··· pi 则称 E( X ) x1 p1 x2 p2
··· xn
··· pn xi pi xn pn
为随机变量X的均值或数学期望（简称为期望。 它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
练习1、甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件
下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1， X2表示， X1，X2的概率分布下：
1.3
人数和对应频率列表为
迟到人数
0
1
频率
0.3
0.3
2
3
0.2
0.2
0 0.3 1 0.3 2 0.2 3 0.2 1.3
概率可以理解为频率的稳定值所以随机变X的概率分布列：
迟到人数X
0
1
概率
P1
P2
2
3
P3
P4
离散型随机变量取值的平均值 数学期望
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
反 思 感
求悟 随机变量X的数学期望的方法和步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值.
(2)求出X取每个值的概率P(X＝k).
(3)写出X的分布列.
(4)利用数学期望的定义求E(X).
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，
罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为
0.7，他连续罚球3次；（1）求他得到的分数
市一中为了了解疫情期间上网课对学生们上学迟到
的影响情况，每天记录由于上网课迟到的同学人数， 下表是10天中每天迟到人数的情况
人数 0
1
2
3
天数 3
3
2
2
那么学校每天平均有多少人迟到呢？
第二章 随机变量及其分布 2.3.1 离散型随机变量的数学期望
一、复习回顾
1、离散型随机变量的分布列
X
x1
x2 ··· xi
2，…，n.于是得到X的分布列
X0
1 … k …n
由于表中的第二行恰好是二项式展开式 P Cn0p0qn Cn1p1qn－1 … Cnkpkqn－k … Cnnpnq0
(q＋p)n＝C0np0qn＋Cn1p1qn－1＋…＋Cknpkqn－k＋…＋Cnnpnq0 的各对应项的值，
所以称这样的离散型随机变量 X 服从参数为 n，p 的二项分布，记作 X～B(n，p).
X的分布列；（2）求X的期望。
解：(1) X～B（3，0.7）
0.3 P（X=0)=
3
P（X=1)=
C
1 3
0.7
0.32
C P（X=2)=
2 3
0.72
0.3
0.7 P（X=3)=
3
X0
1
2
3
P 0.33
C
1 3
0.7
0.32
C
2 3
0.7
2
0.3
0.73
(2)
EX
0 0.33
1
C
1 3
0.7
0.32
···
P
p1
p2 ··· pi
···
2、离散型随机变量分布列的性质：
(1)pi≥0，i＝1，2，…； (2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．
一、复习回顾
3、独立性重复事件与二项分布
事件A发生的次数设为X，事件A发生的概率为p，不发生的概率为q＝1－p，那么在
n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝ Cnkpkqn－k ，其中k＝0,1,
证明：∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k
(∵ k Cnk =n Cn-1k-1)
∴E ξ =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 +
…+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0 =np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … +
Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0)
4.超几何分布
一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中
任取n件，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值
为m时的概率为
P( X
m)
CMm
C nm N M
CNn
离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布
引例
市一中为了了解疫情期间上网课对学生们上学迟到的 影响情况，每天记录由于上网课迟到的同学人数，下 表是10天中每天迟到人数的情况
= np(q+p)n-1=np
所以 若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np．
小结：一般地,如果随机变量X服从二项分布，
即X～B（n,p），则 EX np
练一练: 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和
2个黄球,从中有放回地取5次,则取到红球次
数的数学期望是 3 .
跟踪训练2 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保 险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立. (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
X1
0
1
2
3
pk 0.7 0.1 0.1 0.1
X2
0
1
2
3
pk 0.5 0.3 0.2 0
如何比较甲、乙两个工人的技术？ 甲0.6，乙0.7
多维探究
一、离散型随机变量的数学期望
命题角度1 一般离散型随机变量的数学期望 例1 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加 考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一 直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次 为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和数学期望.
解 设该车主购买乙种保险的概率为p，由题意知p×(1－0.5)＝0.3，解得p＝0.6. 设所求概率为P1，则P1＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8. 故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8.
2
C
2 3
0.7
2
0.3
3 0.73
EX 2.1 3 0.7 连续罚球10次呢？
如果X~B（n，p），那么 EX=？
一般地,如果随机变量X服从二项分布， 小结：
即X～B（n,p），则 EX np
求证:若ξ~B(n，p)， 则Eξ= np
ξ01
…k
…n
P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0
人数 0
1
2
3
天数 3
3
2
2
那么这所学校每天平均有多少人迟到呢？
Leabharlann Baidu
计算10天中记录的迟到总和是： 0x3+1x3+2x2+3x2=13
平均每天迟到的人数为：
03 13 2 2 3 2 13 1.3
10
10
上式改写成
0 3 1 3 2 2 3 2
10
10
10
10
0 0.3 1 0.3 2 0.2 3 0.2