商的变化规律及应用共16页文档
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商的变化规律.pptPPT课件
什么笑吗？在除法中，商到底有
怎样的变化规律呢？哥为
什么笑
我给你14块饼， 平均分2天吃完，
呀？
怎么样？
那我就给 你140块饼, 平均分20 天吃完。
太好了！太 好了！这回每 天我可以多吃 些了！
第3页/共16页
哈哈
跳过
乒乓球： 2 元/个 篮 球：20元/个 足 球：40元/个
200 ÷2＝100(个) 200 ÷20＝10 (个)
第5页/共16页
100 ÷ 5 ＝20 100 ÷10＝10
200 ÷20＝10 200 ÷10＝ 20
240÷ 5 ＝ 48 240÷40 ＝ 6
280 ÷70＝ 4 280 ÷10＝ 28
算
一
算
第6页/共16页
一班捐款：16 元 二班捐款：160元 三班捐款：320元
要买这样的8元 一个的垃圾桶， 每班分别可以 买多少个呢？
×10 ×10
60÷ 30 ＝ 2
×100
×100
600÷ 300＝ 2
6÷ 3 ＝ 2
÷100
÷100
60÷ 30 ＝ 2
÷10
÷ 10
600÷300＝2
被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍 数（０除外）， 商不变。
第12页/共16页
练一练
72÷9= 8
36÷3= 12 80÷4= 20
720÷90= 8 360÷30= 12 800÷40= 20
第10页/共16页
同学们，谁的笑是聪明的一笑，为什么？
第一次：6 第二次：60
第三次：600
3 30
300
小猴子的笑是聪明的一笑，因为越来越 多的小猴子分到桃子了。
《商的变化规律》
旅行预订
旅行者可以通过比较不同旅行 社或在线预订平台的报价，来 选择价格更合理的旅游产品。 这同样需要使用商的变化规律 来比较不同报价之间的差异。
商业中的应用
01
市场调研
商家在进行市场调研时，需要了解竞争对手的产品价格、促销策略和
市场占有率等信息。这需要使用商的变化规律来分析竞争对手的商业
策略。
02
要点二
详细描述
单项式乘以单项式，把他们的系数相乘作为积的系数， 相同字母的幂分别相乘后作为积中的相应项，其余字母 连同他的指数不变，作为积的因式。例如，$(2x^2) \cdot (3x^3)$等于$6x^5$。
除法运算律
总结词
一个数除以一个不为0的数等于这个数乘以 这个数的倒数。
详细描述
在进行除法运算时，一个数除以一个不为0 的数等于这个数乘以这个数的倒数。例如，
性质
小数商具有连续性和无限性，即两个整数相除得到的小数商是一个无限循环或不循环小数。此外，小数商还具 有传递性和封闭性，即任何两个整数的小数商都只有一个确定的值，并且如果a除以b得到的小数商是c，那么 b除以a得到的小数商就是c的倒数。
02
商的性质
传递性
定义
如果a·b=c·d，那么a:d=b:c，称为商的传递性。
扩大或缩小不同倍数
总结词
当两个数扩大或缩小的倍数不同时，商会发生变化。
详细描述
例如，当90除以10得到9，而9扩大20倍得到180，这时 商变为18，这表明当两个数扩大或缩小的倍数不同时， 商会发生变化。
零除法法则
总结词
零除法法则是指当被除数为零时，商也为零。
详细描述
例如，当90除以0得到0，这表明当被除数为零时，商 也为零。
商的变化规律和商不变的规律
应用场景：商的变化规律适用于解决一些与比例和倍数有关的问题，如计算利息、折扣 等；商不变规律则更多用于代数运算和方程求解
注意事项：使用商的变化规律时，需要注意被除数和除数扩大的倍数必须相同；而商不 变规律中，除数不能为0，否则会导致分母为0的情况，不符合数学规则
商的变化规律和商不变规律的适用范围
商的变化规律 适用于除数不 为0的情况，被 除数和除数同 时乘或除以相 同的数（0除 外），商不变。
商不变规律是指被除数和除数同时乘或除以同一个不 为零的数，商不变。
单击此处添加项标题
数学表达式为：a ÷ b = (a × k) ÷ (b × k) 或 a ÷ b = (a ÷ k) ÷ (b ÷ k)，其中 a、b、k 均 为正数。
单击此处添加项标题
商不变规律是数学中一个重要的定理，它在除法、分 数、比等数学概念中有广泛应用。
商不变规律的证明方法
证明方法一：利 用除法的定义进 行证明
证明方法二：利 用商的性质进行 证明
证明方法三：利 用代数恒等式进 行证明
证明方法四：利 用几何图形进行 证明
01
商的变化规律和商不变规律的对比
商的变化规律和商不变规律的异同点
相同点：两者都是描述除法运算中商的变化情况
不同点：商的变化规律是指被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变；而商不 变的规律是指除数不能为0，被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变
当除数扩大若干倍时，商也扩大相同的倍数 当除数缩小若干倍时，商也缩小相同的倍数 除数不为0，当除数扩大或缩小若干倍时，商也相应地扩大或缩小相同的倍数 商随被除数的变化而变化，当被除数扩大或缩小若干倍时，商也扩大或缩小相同的倍数
商的变化规律在实际中的应用
注意事项：使用商的变化规律时，需要注意被除数和除数扩大的倍数必须相同；而商不 变规律中，除数不能为0，否则会导致分母为0的情况，不符合数学规则
商的变化规律和商不变规律的适用范围
商的变化规律 适用于除数不 为0的情况，被 除数和除数同 时乘或除以相 同的数（0除 外），商不变。
商不变规律是指被除数和除数同时乘或除以同一个不 为零的数，商不变。
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数学表达式为：a ÷ b = (a × k) ÷ (b × k) 或 a ÷ b = (a ÷ k) ÷ (b ÷ k)，其中 a、b、k 均 为正数。
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商不变规律是数学中一个重要的定理，它在除法、分 数、比等数学概念中有广泛应用。
商不变规律的证明方法
证明方法一：利 用除法的定义进 行证明
证明方法二：利 用商的性质进行 证明
证明方法三：利 用代数恒等式进 行证明
证明方法四：利 用几何图形进行 证明
01
商的变化规律和商不变规律的对比
商的变化规律和商不变规律的异同点
相同点：两者都是描述除法运算中商的变化情况
不同点：商的变化规律是指被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变；而商不 变的规律是指除数不能为0，被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变
当除数扩大若干倍时，商也扩大相同的倍数 当除数缩小若干倍时，商也缩小相同的倍数 除数不为0，当除数扩大或缩小若干倍时，商也相应地扩大或缩小相同的倍数 商随被除数的变化而变化，当被除数扩大或缩小若干倍时，商也扩大或缩小相同的倍数
商的变化规律在实际中的应用
商的变化规律优秀课件
你发现了什 么问题吗？
2
60 1 7 0 12 5
我来问！
（1）被除数乘2，除数怎样变化，商不变？ （除数也要乘2）
（2）除数除以10，被除数怎样变化，商不变？ （被除数也要除以10）
（3）被除数不变，除数除以2，商会怎样变化？ （商会扩大2倍）
我来答！
你认为小 猪说得有 道理吗？
返回
商的变化规律
被除数 除数 商
14 ÷ 2 ＝ 7 140 ÷ 20 ＝ 7 280 ÷ 40 ＝ 7 560 ÷ 80 ＝ 7 5600 ÷ 800 ＝ 7
先算出商，再观察， 你发现了什么？
广州市三学苑网络科技有限公司
被除数和除数同时 扩大（或缩小）相 同的倍数，商不变。
刚才的故事中,小猴子 是运用什么什么规律教 育贪吃的小猪的呢?
2 100 200÷ 20 ＝ 10
40
5
16
2
160 ÷8 ＝ 20
320
40
被
除
除
数
数
扩
不
大
变
返回
商 缩 小
被
除
除
数
Hale Waihona Puke 数不扩变
商 扩 大
大
计算这两组题， 你能发现什么？
27 ÷ 3 ＝ 270 ÷ 30 ＝ 2700 ÷ 300＝
找 规 律 ，
56 ÷ 7 ＝
填
560 ÷ 70 ＝
一
5600 ÷ 700＝
填
。
80 ÷ 2 ＝
800 ÷ 20 ＝
8000 ÷ 200＝
数学诊所
14
210
60 8 4 0 230 4 8 3 0 0
商的变化规律课件
160 ÷ 20=8
120 ÷ 3= 40
先算出商，再观察，你发现了什么？
被除数 14 140 280 560 5600
除数 2 20 40 80 800
商 7 777 7
①第2栏与第1栏比，被除数有什么变化？除数有 什么变化？商呢？
（被除数和除数都乘了10，商不变。） ②第4栏与第5栏比，被除数有什么变化？除数呢？ 商呢？
商的变化规律（一）：在除法中，被除数 不变，除数乘（或除以）几（0除外），
商就除以（或乘）几。
商的变化规律（二）：在除法中，除数不 变，被除数乘（或除以）几（ 0除外），
商也乘（或除以）几。
根据商的变化规律直接说出得数。
160 ÷ 4= 40
24 ÷ 3= 8
160 ÷ 40=4
240 ÷ 3= 80
两天我给你20 块饼，怎么样？
太好了！太 好了！这回 每天我可以 多吃些了！
猴哥，笑什 么？
哈哈！
问题设疑：
在这个故事中，猴哥到底掌握 了什么规律？他是如何把猪八戒糊 弄过去的呢？这就是我们这节课要 探讨的内容《商的变化规律》。
2 100 200÷ 20 ＝ 10
40
5
200÷ 20 ＝ 10
120 ÷ 30= 4 600 ÷ 150= 4
240 ÷ 60=4
200 ÷ 50= 4
智力大比拼
27 ÷ 3 ＝ 9 （一） 270 ÷ 30 ＝ 9
2700 ÷ 300＝ 9
56 ÷ 7 ＝ 8 （二） 560 ÷ 70 ＝ 8
5600 ÷ 700＝ 8
根据每组第一题的商 写出下面两题的商。
8000 ÷ 200＝ 40 （三） 800 ÷ 20 ＝ 40
数学课件《商的变化规律》
商的表示方法
商通常用分数或小数表示，如 “9÷3=3”可以表示为分数“3/1” 或小数3.0。
商的变化规律定义
商的变化规律定义
商的变化规律是指当被除数或除数发生变化时，商如何相应地变化。例如，当 被除数扩大2倍时，商也扩大相同的倍数；当除数缩小2倍时，商反而扩大相同 的倍数。
商的变化规律形式
商的变化规律可以用数学公式表示，如“a÷(b÷c)=a×(1/b)×c”、 “(a×b)÷c=a÷(c/b)”等。
详细描述
例如，如果一个数缩小2倍，另 一个数不变，则它们的积也缩 小2倍。
除法运算中的商的变化规律
总结词
当一个数除以一个不为零的数时，如 果除数扩大若干倍，被除数不变，则 商也扩大相同的倍数。
详细描述
例如，如果除数扩大2倍，被除数不 变，则商也扩大2倍。
总结词
当一个数除以一个不为零的数时，如 果除数缩小若干倍，被除数不变，则 商也缩小相同的倍数。
在数学中的应用
代数运算
商的变化规律在代数运算中有着广泛 的应用，例如在解方程、因式分解和 不等式求解等过程中，需要根据商的 变化规律对表达式进行变形和化简。
函数和微积分
在函数和微积分的学习中，商的变化 规律对于理解函数的单调性、极值以 及导数的计算等概念至关重要，是深 入学习数学的基础。
在日常生活中的应用
一个除法的商是7，除数是4，被除数 是多少？
一个除法的商是3，被除数是96，除 数是多少？
这些题目旨在挑战学生的思维能力， 让他们在理解商的变化规律的基础上， 灵活运用规律解决问题。
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商通常用分数或小数表示，如 “9÷3=3”可以表示为分数“3/1” 或小数3.0。
商的变化规律定义
商的变化规律定义
商的变化规律是指当被除数或除数发生变化时，商如何相应地变化。例如，当 被除数扩大2倍时，商也扩大相同的倍数；当除数缩小2倍时，商反而扩大相同 的倍数。
商的变化规律形式
商的变化规律可以用数学公式表示，如“a÷(b÷c)=a×(1/b)×c”、 “(a×b)÷c=a÷(c/b)”等。
详细描述
例如，如果一个数缩小2倍，另 一个数不变，则它们的积也缩 小2倍。
除法运算中的商的变化规律
总结词
当一个数除以一个不为零的数时，如 果除数扩大若干倍，被除数不变，则 商也扩大相同的倍数。
详细描述
例如，如果除数扩大2倍，被除数不 变，则商也扩大2倍。
总结词
当一个数除以一个不为零的数时，如 果除数缩小若干倍，被除数不变，则 商也缩小相同的倍数。
在数学中的应用
代数运算
商的变化规律在代数运算中有着广泛 的应用，例如在解方程、因式分解和 不等式求解等过程中，需要根据商的 变化规律对表达式进行变形和化简。
函数和微积分
在函数和微积分的学习中，商的变化 规律对于理解函数的单调性、极值以 及导数的计算等概念至关重要，是深 入学习数学的基础。
在日常生活中的应用
一个除法的商是7，除数是4，被除数 是多少？
一个除法的商是3，被除数是96，除 数是多少？
这些题目旨在挑战学生的思维能力， 让他们在理解商的变化规律的基础上， 灵活运用规律解决问题。
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四年级数学上册《商的变化规律及应用》PPT课件1
被除数不变，除数除以2，商会怎样变化？ （商反而乘2）
已知48÷12=4，判断下列各式是否正 确。如果不对，怎样改一下就对了。
√ ①（48×5）÷（12×5）=4……（ ） √ ②（48÷4）÷（12÷4）= 4…… （ ） × ③（48×3）÷（12×4）=4……（ ） × ④（48×3）÷（12÷3）= 4……（ ） × ⑤（48 - 8）÷（12 - 8）=4……（ ） × ⑥（48 +6）÷（12 + 6）=4……（ ）
商的变化规律
120×5=600
1200×5=6000
1、两个数相12乘×，5一=个6因0数不变，另一个因数
乘两（个或数除相以乘），几一（个0除因外数）不，变积，也另乘一（个或因除数以）
乘几（。或除以）几（0除外），积也乘（或除以）
几。
8×86×=64=84
两个（数（相8乘×8，2×）一2个×）因（数×86乘÷（一26）个÷数=2（4）80除=外）4，8
4
4
看谁算的又对又快
72÷9= 8
36÷4= 9 800÷2=400
720÷90= 8 360÷4=90 800÷10=80
7200÷900= 8 3600÷4=900 800÷20=40
我来问！
你来答！
在一道除法算式里，如果被除数除以5，除数也 除以5，商（不变 ）。
除数除以10，被除数怎样变化，商不变？ （被除数也要除以10）
商）
÷ 20=10 由上往下看, 被除数不变,
40= 5 ×20
÷20
除数（ 扩大 ），商反而 随着（ 缩小 ）。
被除数不变，除数 乘 几， 商反而除以 几。
由下往上看，你发现什么规律？
2 = 100
已知48÷12=4，判断下列各式是否正 确。如果不对，怎样改一下就对了。
√ ①（48×5）÷（12×5）=4……（ ） √ ②（48÷4）÷（12÷4）= 4…… （ ） × ③（48×3）÷（12×4）=4……（ ） × ④（48×3）÷（12÷3）= 4……（ ） × ⑤（48 - 8）÷（12 - 8）=4……（ ） × ⑥（48 +6）÷（12 + 6）=4……（ ）
商的变化规律
120×5=600
1200×5=6000
1、两个数相12乘×，5一=个6因0数不变，另一个因数
乘两（个或数除相以乘），几一（个0除因外数）不，变积，也另乘一（个或因除数以）
乘几（。或除以）几（0除外），积也乘（或除以）
几。
8×86×=64=84
两个（数（相8乘×8，2×）一2个×）因（数×86乘÷（一26）个÷数=2（4）80除=外）4，8
4
4
看谁算的又对又快
72÷9= 8
36÷4= 9 800÷2=400
720÷90= 8 360÷4=90 800÷10=80
7200÷900= 8 3600÷4=900 800÷20=40
我来问！
你来答！
在一道除法算式里，如果被除数除以5，除数也 除以5，商（不变 ）。
除数除以10，被除数怎样变化，商不变？ （被除数也要除以10）
商）
÷ 20=10 由上往下看, 被除数不变,
40= 5 ×20
÷20
除数（ 扩大 ），商反而 随着（ 缩小 ）。
被除数不变，除数 乘 几， 商反而除以 几。
由下往上看，你发现什么规律？
2 = 100
商的变化规律(与“规律”有关文档共16张)
由上往下看,被除数不变，除数（ 扩）大，商 （ 缩小）；
由下往上看，被除数不变，除数（
（
）。
），缩商小
扩大
被除数不变，除数扩大或缩小多少倍，商反而缩小或扩大相同 的倍数。
被除数 ÷ 除数 = 商
不
扩大
缩小
变
缩小
扩大
第4页，共16页。
观察右边表格可以发现（ ）除数没变,（
）
和（被除数）发生了变商化.
。
5600 ÷ 700＝ 8
80 ÷ 2 ＝ 40 800 ÷ 20 ＝ 40 8000 ÷ 200＝ 40
第9页，共16页。
我来问！
（1）被除数乘2，除数怎样变化，商不变？
（除数也要乘2） （2）除数除以10，被除数怎样变化，商不变？
（被除数也要除以10）
我来答！
第10页，共16页。
一、完成课本94页第四题。
（3）被除数不变，除数除以2，商会怎样变化？
1、（36×10）÷（12×10） ……………………………… （ ）
3、（36×6）÷（12 ÷6）……………………………………（ ）
根据商的变化规律，不计算判断下面哪些算式与36÷12＝3的商相等？相等的在括号内打“√”，不相等的打“×”。
5、 36000 ÷12000 …………………………………………… （ ）
第14页，共16页。
数学诊所
14
210
60 8 4 0 230 4 8 3 0 0
6
46
30
24
23
24
23
0
0
√
√
上面的计算对吗?你知道应用了什么规律吗？
第15页，共16页。
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37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
商的变化规律及应用
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
变 不变 变
二、探究新知
活动建议：
1.每人验证一条猜想。
2.独立填写研究报告。
3.组内交流研究结果。
研究报告
提出猜想 在除法里，被除数（
），除数（
举例验证
），商不变。
得出结论 我验证的猜想成立吗？（
）
二、探究新知
被除数乘或除以一个数，除数也乘或除以相同的数 （0除外），商不变。
二、探究新知
780÷30= 26
被除数和除数为什么都乘4？
二、探究新知
840÷50= 16……40
50
余4。
16 840 5
34
30
4
余40。
谁说得对？你能验证一下吗？
三、知识运用
下面的题你会算吗？想想为什么可以这样算？ 120÷30= 4
6300÷700= 9
三、知识运用
在 里填数，在 里填运算符号。 200÷40= （200 ÷ 2 ）÷（40÷2） 200÷40= （200 × 4 ）÷（40×4） 200÷40= （200 ÷ A ）÷（40÷A） A≠0
200÷40= （200 × A ）÷（40×A） A≠0
三、知识运用
规律
积变化 乘 因数×因数= 积 法 不变 变 变
积不变 因数×因数= 积 变 变 不变
商变化
商不变
除 被除数÷除数= 商 被除数÷除数= 商
法 不变 变 变 变
变 不变
变 不变 变
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
26 30 780
60 180 180
0
我这样做。 小平
我这样做。
26
小英
30 780
6
18
18
0
小英这样做对吗？为什么？
二、探究新知
120÷15= 8 8
15 120 120 0
我这样做。
120÷1பைடு நூலகம்=
被除数和除数都乘4，商不变。
120÷15 =（120 × 4）÷（15 × 4） =480÷60 =8
第六单元 除数是两位数的除法
商的变化规律及应用
北京市东城区和平里第一小学 肖仙莉
一、复习导入
规律
乘
法
积变化
积不变
除
法
商变化
商不变
二、探究新知
规律
积变化 乘 因数×因数= 积 法 不变 变 变
积不变 因数×因数= 积 变 变 不变
商变化
商不变
除 被除数÷除数= 商 被除数÷除数= 商 法 不变 变 变 变 ？ 变？不变