二次根式比较大小 (2)优秀课件

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二次根式的ppt课件

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将二次根式化简成最简二 次根式,即根号内不含能 开方的因数或因式。
变形技巧
根据题目要求,对二次根 式进行变形,如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算,比较大小,求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式,其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后,能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式,其一般形 式为$\sqrt{a}$,其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性,即 $\sqrt{a} \geq 0$,当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算,运算顺序先 乘方再乘除,最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$(其 中a是非负数)及其变体,如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号,表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同,先乘方再乘除,最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等,运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。

第十六章 二次根式 单元解读 课件(共14张PPT)2024-2025学年人教版八年级数学下册

第十六章 二次根式 单元解读 课件(共14张PPT)2024-2025学年人教版八年级数学下册
了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数) 的加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关的简单四则运算.
教材分析
本章主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、 减、乘、除运算.通过本章学习,学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知 识结构,并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习作好准备.
本章教学建议
02 加强归纳法,使学生经历从特殊到一般的认识过程
前已指出,教材对本章内容的处理,一以贯之地用“从具体数字的算术平方根的运算 中观察规律,归纳得出二次根式的性质、运算法则”的方式展开.因此,教学时一定要根据 教材的这一编写意图,让学生通过观察、思考、讨论等,经历从特殊到一般的过程,归纳 得出有关结论.例如,对于二次根式的乘法法则和除法法则,都应该先让学生利用二次根式 的概念和性质进行一些具体数字的计算,并观察所得结果,发现二次根式相乘(除)与积(商) 的算术平方根之间的关系;然后让学生自己举例,利用发现的规律进行验证性计算;最后 归纳出二次根式的乘法、除法法则.
单元解读
第十六章 二次根式
R·八年级下册
课标分析
“数与式”是代数的基本语言,初中阶段关注用字母表述代数式,以及代数 式的运算,字母可以像数一样进行运算和推理,通过字母运算和推理得到的结论 具有一般性.
数与代数领域的学习,有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念,发 展几何直观和运算能力.
课标要求
加强符号意识、运算能 力的培养
教材分析
设计思路 概念
性质
运算
介绍二次根式的性质,包括一 通过观察、操作、归纳、
个非负数的平方的算术平方根 类比等方法,给出二次
根式的概念
的性质、积的算术平方根和商

人教版数学八年级下册二次根式(第2课时)教学课件

人教版数学八年级下册二次根式(第2课时)教学课件

第二十一页,共三十九页。
探究新知
【议一议】如何区别 ( a )2与 a2 ?
( a)2
a2
从运算
(yùn
suàn)顺 从序取看值
范围
(fànwéi)
看从运算结 果看
意义
先开方,后平方
a≥0
a
表示一个非负 数a的算术平方
根的平方
第二十二页,共三十九页。
先平方,后开方
a取任何实数
|a|
表示一个实数a 的平方的算术平 方根
探究新知
【猜一猜】当a<0时, a=2
-a ?
a(a<0) 平方
(píngf
-2
āng)
-0.1 运算
...23
a2 4
0.01
4 .9..
算术
a2
(suànshù)
平方根
2
0.1 2 ..3.
观察两者有什么关系?
第十五页,共三十九页。
探究新知 归纳:
a2 的性质:
a (a≥0) a2 a
②理清语句层次明确运算顺序;
③牢记一些概念和公式.
第三十页,共三十九页。
巩固练习
如图,是一个(yī ɡè)圆形挂钟,正面面积为S,用代
S
数式表示出钟的半径为_________π_.
第三十一页,共三十九页。
连接中考
1.计算( 3)2 1的结果是___4_.
2.下列等式正确的是( A )
A.( 3)2 3
km/h,逆水行驶的速度是(v 2.5)km/h.
(2)设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S,所以 x 1S所5 ,
以它的长为 5 S . 15
第二十九页,共三十九页。

《二次根式(第2课时)》PPT课件 北师大版八年级数学

《二次根式(第2课时)》PPT课件 北师大版八年级数学

探究新知 素养考点 1
二次根式的加减乘除计算
例1 计算:
(1)3 2 2 3
(2) 12 3 - 5
(4) 13 3
13 - 3
(5)
12 -
1 3
3
(3)
2
5 1
(6) 8 18
2
解:(1)原式= 3 2 2 3 6 6
(2)原式= 12 3-5 36 - 5 =6-5=1
总结:只需其中两个结合就可实现转化进行计算,说明二 次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘 ( a b k a b k(a 0,b 0,k 0) )
巩固练习
变式训练
1.计算
12
1 2
的结果是 ( C )
A. 10 B.4
C. 6 D.2
2.下面计算结果正确的是( B )
33 5
=___5___
(6)( 15+ 20) 5 =___3_+_2_
课堂检测
基础巩固题
4. 计算:
(1) 18- 1 2
(2) 18 + 32- 1 50
3
5
解:(1)原式= 9 2- 1 =3 2- 2 = 5 2
2
22
(2)原式= 9 2 + 16 2- 1 25 2 = 3 2 +4 2- 1 5 2
探究新知
素养考点 1 简单的二次根式的乘法运算
例1 计算:
(1) 3 5 ;
(2) 1 27 .
3
解: (1) 3 5 15 ;
(2) 1 27 1 27 9 3 .
3
3
探究新知
想一想 下边的式子如何运算?
2 3 5

新浙教版八年级数学下册第一章《二次根式的性质(2) 》公开课课件

新浙教版八年级数学下册第一章《二次根式的性质(2) 》公开课课件

5
5
_15_2 _3 0 __5_5_
5 30
_1 2_____
24
24
你意发选现几n了个n什数2n么验1规证n律 你n2所?n请1发用(现字nn的为母规表自律示然规数律,,并且n 任n2≥2)
例题 化简:
(1). 4 a 2 b 3
解:原 式 22•a2•b2•b 22• a2• b2 b2abb



化简二次根
式的一般步 (1) 分解质因数; 化带分数为假分数;骤如何?
处理好被开方数中的符号;
(2)根号内分数的分子、分母同乘一个数,使 分母成一个正整数的平方;
(3)运用二次根式的性质化简。
二次根式乘法运算规律公式的应用
a•b a• b (a≥0,b≥0)
例题:化简:
(1)、1681解:16 81 16 81
(2 )如 . a 1 果 、 a 2 、 ...、 .a .n.0 则a 1 : •a 2•..•.a na 1• a 2•..•. a n
练习:(创新来自模仿) 化简
( 1) 49 121
( 2 ) 225
解: 7 原 2 12 式 1 7 2121 解:原 式 152 15
711 77
( 3 ) 18
1625 16 25
4、请同学们根据以上例子讨论、归纳总结出一般规律
二次根式乘法运算规律公式
a•b a• b(a≥0,b≥0)
积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方
根的积。
注意:
× ab a b
问题1: × (4)(9)49 ?
问题2: 91×6 9 16?
× 5232 5232
× 3 2 4 23 24 2 3 4 7

16.第3课时二次根式比较大小课件数学沪科版八年级下册

16.第3课时二次根式比较大小课件数学沪科版八年级下册
解:∵ 5 2 25 2 50 4 3 16 3 48
∵ 50>48
∴ 50 > 48
∴5 2 > 4 3
2.比较 19 1 与 2 的大小.
3
3
作差法
解:∵
19 1 2
3
3
19 3 3
∵ 19 3 19 9 >0
∴ 19 3 >0 3

19 1 > 3
2 3
1
1
3.比较 2 3 与 3 2 的大小.
分母有理化法
1 解:∵ 2
1(2 3) 3 (2 3) (2 3)
2
3
1 3
1( 3 2) 2 ( 3 2)( 3
2)
3
2
又 2 3 ( 3 2) 2 2 >0

∴ 2 3 3 2
∴ 1>
1
2 3
3 2
4.比较 15 14
2
23
2
32
2
<1
3
∴ 2 3<3 2
1、比较 5 2 与 4 3 的大小.
方法 ① 平方法
解:∵
5
2 2 50,
4
2
3 48
又∵ 50>48
∴ 5 2 2 >
2
43
∴5 2 > 4 3
1、比较 5 2 与 4 3 的大小.
方法 ② 被开方数比较法
在二次根式的运算中,一般要把最后结果化为最简二次根式, 并且分母中不含二次根式.
例 比较 2 3 与 3 2 的大小.
方法 ① 平方法
解: ∵
2
2
3
12 ,

二次根式ppt课件

二次根式ppt课件

通过案例讲解二次根式在实际问 题中的应用
分析数学模型和实际问题之间的 关系
课程安排
4. 课堂练习和总结(10分钟)
提供课堂练习,检验学生对所 学内容的掌握情况
总结本节课的重点和难点,进 行回顾和总结
PART 02
二次根式的基本概念
二次根式的定义
总结词:非负数
详细描述:二次根式是指根号内含有未知数的数学表达式,它必须满足被开方数为非负数,否则没有 意义。
要点二
培养学生的数学思维和解决问题 的能力,例如
让学生自己设计一个与二次根式相关的问题并解决它等。
PART 06
总结与回顾
主要知识点回顾
二次根式的定义
二次根式是一种可以用来解决各 种实际问题的数学工具,它表示 一个非负数通过开方得到的平方
根。
二次根式的性质
二次根式具有非负性、有界性、正 值性等性质,这些性质在解决实际 问题时具有重要的应用价值。
PART 04
二次根式的应用
代数领域的应用
01
02
03
根式与方程的解
通过二次根式,我们可以 求解一元二次方程的解, 确定其实数根和虚数根。
根式的化简
在代数运算中,对根式进 行化简可以简化表达式, 提高运算效率。
根式与不等式
利用根式可以求解一元二 次不等式,通过确定不等 式的解集,解决实际问题 。
- \sqrt{3}$等。
解决与二次根式相关的实际问题,例如 :计算圆的面积或周长等。
掌握和运用二次根式的运算法则和公式 ,例如:$(a+b)\sqrt{a} = a\sqrt{a}
+ b\sqrt{a}$等。
综合练习题
要点一
通过综合题目,考察学生对二次 根式的全面理解和运用,例如

21.1二次根式 课件2(人教版九年级上册)

21.1二次根式 课件2(人教版九年级上册)

2a 1
a 1
2
你能用魔法师变出的这些代数式 作为被开方数构造二次根式吗?
探究 当 x为 怎 样 的 实 数 时 , x 2在 实
数范围内有意义?
解: 由 x+2≥0,
∴x≥-2
∴当x≥-2时, x 在实数范围内有意义 . 2
求下列二次根式中字母的取值范围:
1 a 1 2 3 a 3
(1)二次根式的概念
(2)根号内字母的取值范围
(3)二次根式的值
?米
a米
塔座所形成的这个直角三角形的
2 斜边长为______________ a 2500 米。
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S, 则半径为____________.
S
如图所示的值表示正方形的面 积,则正方形的边长是 b 3
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点?
a 2500
回忆
⑴9的平方根?如何表示? ⑵9的算术平方根?如何表示? (3)25的平方根?算术平方根? (4)0的平方根是?算术平方根是? (5)3的的平方根?算术平方根?
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根?如何表示? 一般地,若一个数的平方等于a,则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根?如何表示? 正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0 用
2
s

b3
表示一些非负数的算术平方根.
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫被开方数
请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 a 的认识!
?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.

二次根式的概念 (2) —初中数学课件PPT

二次根式的概念 (2) —初中数学课件PPT

课堂小结 (1)二次根式的概念
形如 a(a 0) 的式子叫做二次根式. (2)二次根式有意义的条件 a≥0
(3)二次根式的性质: a ≥0 (a≥0) 双重非负性
为 ____2___(设圆周率为 3.14).
6.28
3.h=5t2,则t=_____h__ 5
自学效果检测 形如 a(a 0) 的式子叫做二次根式. a叫被开方数 定义包含三个内容:
1.必需含有二次根号 “ ”. 2.被开方数a≥0. 3.a可以是到更多课件
自学效果检测 例1.下列式子中,是二次根式的 有 ___(_1_)(_4_)_(6_)__________(填序号)
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号) , (6) a2 1 , (7) 3 5
自学效果检测
例2.当x是怎样的实数时, 3x 1在实数范围内
有意义?
解:由3x-1≥0,得:x≥
1 3
1
当x≥ 3时,在实数范围内有意义.
当堂训练(一)
1
例3.当x是多少时, 2x 3 在实数范围内有意义?
+
x 1
解:依题意,得
2x 3 0 x 1 0
由①得:x≥- 3由②得:x≠-1
2
3
当x≥- 且2 x≠-1时,在实数范围内有意义. 二次根式中字母的取值范围的基本依据:
①被开方数不小于零;
②分母中有字母时,要保证分母不为零。
能力提升
已知 y 3 x x 3 5,求 x 的值 y
思考: a (a≥0)是一个什么数?
非负数 即 a ≥0
能力提升
例4.已知 (a 2)2 b 8 0,求 ab的值.

初中数学二次根式PPT课件图文

初中数学二次根式PPT课件图文
【解析】选C.若二次根式 有意义,则2x+6≥0, 解得x≥-3,在数轴上时从表示-3的点向右画,且用实心 圆点.
3.(2014·南通中考)若 在实数范围内有意义, 则x的取值范围是 ( ) A.x≥ B.x≥- C.x> D.x≠
【解析】选C.由题意得 解得x>
一、二次根式的相关概念 1.二次根式:一般地,形如 (_____)的式子. 2.最简二次根式:同时满足:(1)被开方数不含_____. (2)被开方数中不含能开得尽方的___________.
a≥0
字母
因数或因式
二、二次根式的性质
两个重要性质
( )2=__(a≥0).
=|a|=
【名师点津】理解二次根式的性质需注意的两个问题 (1) (a≥0)的双重非负性: ①被开方数a非负; ② 本身非负.
(2) 与( )2的异同: 中的a可以取任何实数,而( )2中的a必须取非负 数,只有当a取非负数时, =( )2.
【题组过关】 1.(2016·潍坊中考)实数a,b在数轴上对应点的位置如 图所示,化简|a|+ 的结果是 ( ) A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b
【解析】选A.由题干图知:a<0,a-b<0, 则|a|+ =-a-(a-b)=-2a+b.
2.(2015·资阳中考)已知:(a+6)2+ =0,则 2b2-4b-a的值为________. 【解题指南】首先根据非负数的性质可求出a的值和 b2-2b=3,进而可求出2b2-4b-a的值.
3.二次根式的混合运算:与实数的运算顺序相同,先算 乘方,再算_____,最后算加减,有括号的先算括号里面 的(或先去括号).
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6、媒介传递法
适当选择介于两个数之间的媒介值, 利用传递性进行比较。
例6、比较 7 3 与 8 7 3
的大小。
分析: 估计 5736 ,68 7 37
所以可取媒介值6。
解:∵ 7 3 9 3 3 3 6 ,8 3 3 3 6 ,8 7 3 8 1 3 9 3 6
2、平方法
当 a0,b0时
①若 a 2 b,2 则: a b ②若 a 2 b,2 则: a b
例2、比较3 2 与 2 3 的大小。 解: (32)218,(23)212
∵ 18 12
∴ 3 23 2
3、作差比较法 在对两数比较大小时,经常运用如下性质:
① ab0 ab
② a b0 ab
二次根式比较大小 (2)优秀课件
[对应训练] 4.(1)(2015·南京)估计 52-1介于( C ) A.0.4 与 0.5 之间 B.0.5 与 0.6 之间 C.0.6 与 0.7 之间 D.0.7 与 0.8 之间 (2)(2015·信阳模拟)设 n 为正整数,且 n< 65<n+1,则 n 的值为( D ) A.5 B.6 C.7 D.8
1、根式变形法 当 a0,b0 时,
①如果 a b ,则: a b
②如果 a b,则: a b
例1、比较 3 5 与 5 3 的大小。
解:∵ 3 5 3 2 5 4 5 ,5 3 5 2 3
3 2 5 4 5 ,5 3 5 2 3 7 5
04575 4575 4575 4575
∴ 3 55 3
例7、比较 2 1 与 2 的大小。
3 12 (3 1 )
3 1 3
3 (3 1 )
3 (2 1 )2 (3 1 )3 2 0
3 (3 1 )
3 (3 1 )
4、求商比较法
它运用如下性质:当a>0,b>0时,则:
①a 1 a b
b
②a 1 a b
∴ 73 873
∴ 2 1 2
3 1 3
5、倒数法
例5、比较 7 6 与 6 5
的大小。
解: 1 7 6 7 6
1 6 5 6 5
b
3、分母有理化法 通过分母有理化,利用分子的大小来比较。
例3、比较
2与 3 1
1
2 1 的大小。
解: 22 (3 1 ) 3 1 , 1
3 1(3 1 ) (3 1 )
2 1
3 1 , 1(2 1 ) 2 1
1 )
2 1(2 1 ) (2 1 )
∵ 31 21

21 3 1 2 1
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